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Aufgabe 3

Aufgaben
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Die Zeichnung stellt den ersten Entwurf einer Schrägseilbrücke dar. Ein Zentimeter in der Zeichnung entspricht $50~\text{m}$ in der Wirklichkeit.
Aufgabe 3
Abb. 1: Entwurf der Schrägseilbrücke
Aufgabe 3
Abb. 1: Entwurf der Schrägseilbrücke
a)
$\blacktriangleright$
Bestimme die Spannweite der Brücke (von $A$ nach $B$ ) und die Höhe der beiden gleich Höhen Pylonen über der Fahrbahn (von $A$ nach $L$ oder von $B$ nach $R$ ) in der WIrklichkeit
(2 P.)
b)
Der Verlauf der Tragseile wird durch die lineare Funktionen $g_1$ bis $g_4$ sowie $h_1$ bis $h_5$ beschrieben. Das Koordinatensystem hat seinen Ursrung in der Mitte der Brücke auf Höhe der Fahrbahn.
Zwei der Funktionsterme werden gleichgesetzt:
$\qquad -\dfrac{4}{9}x+\dfrac{16}{9}=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}$
$\blacktriangleright$
Löse diese Gleichung.
(2 P.)
Durch die Lösung der Gleichung und die Probe werden die Koordinaten eines Punktes $P$ bestimmt.
$\blacktriangleright$
Bestimme diese Koordinaten rechnerisch und markiere den Punkt $P$ in der obigen Abbildung.
(2 P.)
#gleichung
c)
An dem ersten Entwurf wird kritisiert, dass die Pylone viel zu hoch seien. Deshalb wird ein zweiter Entwurf durchgerechnet, in dem die folgenden Gleichungen den Verlauf der Tragseile beschreiben:
$h_1(x)=-0,5x+0,\\ h_2(x)=-0,5x-0,5,\\ h_3(x)=-0,5x-1,\\ h_4(x)=-0,5x-1,5,\\ h_5(x)=-0,5x-2$
Aufgabe 3
Abb. 2: Brücke mit einem Tragseil
Aufgabe 3
Abb. 2: Brücke mit einem Tragseil
In der Abbildung ist bereits ein Tragseil eingezeichnet.
$\blacktriangleright$
Entscheide, durch welche der oben genannten linearen Funktionen dieses Tragseil beschrieben wird und beschrifte es mit der zugehörigen Bezeichnung.
(1 P.)
$\blacktriangleright$
Wähle eine weitere der oben genannten Funktionen aus und zeichne den Verlauf des zugehörigen Tragseils ein.
(1 P.)
$\blacktriangleright$
Bestimme, welche Höhe für die Pylonen im zweiten Entwurf erforderlich ist. Nutze dazu die Funktionsgleichungen.
(1 P.)
#gerade
d)
Ein dritter Entwurf sieht eine Hängebrücke mit einem Tragseil vor, das parabelförmig durchhängt. Der Verlauf eines Tragseils wird durch die Funktion $p(x)=\dfrac{3}{25}x^2+\dfrac{1}{2}$ beschrieben. Eine Längeneinheit auf den Koordinatenachsen entspricht $50~\text{m}$ in der Wirklichkeit.
Aufgabe 3
Abb. 3: Skizze der Hängebrücke ist nicht maßstäblich
Aufgabe 3
Abb. 3: Skizze der Hängebrücke ist nicht maßstäblich
$\blacktriangleright$
Bestimme die Höhe des Tragseils über der Fahrbahn in der Mitte der Brücke.
(1 P.)
$\blacktriangleright$
Berechne, welche Höhe für die Pylonen im dritten Entwurf erforderlich ist.
(2 P.)
#parabel

Wahlteil zu B3

Bitte ankreuzen! Dieser Wahlteil soll gewertet werden (du musst insgesamt zwei Wahlteile bearbeiten):
nein
e)
Die Brücke wird so gebaut wie im dritten Entwurf geplant. Der Verlauf eines parabelförmig durchhängenden Tragseils wird durch die Funktion $p(x)=\dfrac{3}{25}x^2+\dfrac{1}{2}$ beschrieben.
Eine Längeneinheit auf der Koordinatenachse entspricht $50~\text{m}$ in der Wirklichkeit.
Für Bauarbeiten werden zwei Abspannseile montiert. Ihr Verlauf wird durch die lineare Funktion $a_1(x)=0,72x-0,1$ und $a_2(x)=1,2x-2,5$ beschrieben.
Aufgabe 3
Abb. 4: Skizze nicht maßstäblich
Aufgabe 3
Abb. 4: Skizze nicht maßstäblich
$\blacktriangleright$
Berechne die Koordinaten der Punkte, an denen das Abspannseil $a_1$ in genau der gleichen Höhe über der Fahrbahn verläuft wie das Tragseil.
(4 P.)
Durch Ablesen würde man in der obigen Skizze ermitteln, dass ds absannseil $a_2$ im Punkt $(2|0)$ auf Höhe der Fahrbahn befestigt ist, also $100~\text{m}$ von der Brückenmitte entfernt. Durch eine Rechnung kann man zeigen, dass dieser Wert nicht exakt ist.
$\blacktriangleright$
Berechne, wie viele Meter von der Brückenmitte entfernt das Abspannseil $a_2$ tatsächlich auf Höhe der Fahrbahn befestigt ist.
(2 P.)
#schnittpunkt
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Spannweite bestimmen
Messe den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$. Dieser entpricht gerade $10~\text{cm}$. Da $1~\text{cm}\mathrel{\widehat{=}}50~\text{m}$ in der Wirklichkeit entsprechen, gilt:
$10~\text{cm}\mathrel{\widehat{=}} 10\cdot 50~\text{m}=500~\text{m}$
Die Spannweite der Brücke ist in Wirklichkeit also $500~\text{m}$.
$\blacktriangleright$  Höhe der Pylonen bestimmen
Gehe für die Höhe der Pylonen genauso vor. Für die gemessene Höhe solltest du $4~\text{cm}$ erhalten. Damit gilt für die wirkliche Höhe:
$4~\text{cm}\mathrel{\widehat{=}} 4\cdot 50~\text{m}=200~\text{m}$
Die Pylonen sind in Wirklichkeit also $200~\text{m}$ hoch.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{4}{9}x+\dfrac{16}{9}&=&\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Brüche erweitern} \\[5pt] -\dfrac{4}{9}x+\dfrac{16}{9}&=&\dfrac{6}{9}x+\dfrac{6}{9} &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{6}{9}x \\[5pt] -\dfrac{10}{9}x+\dfrac{16}{9}&=&+\dfrac{6}{9} &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{16}{9} \\[5pt] -\dfrac{10}{9}x&=& -\dfrac{10}{9} &\quad \scriptsize \mid\; : (-\dfrac{10}{9}) \\[5pt] x&=&1 \end{array}$
$ x=1 $
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Setze $x=1$ in eine der beiden Funktionen ein, um den $y$-Wert zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot 1+\dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$
Zeichne zum Schluss den Punkt $P\left(1\,\bigg \vert \,\dfrac{4}{3}\right)$ in die Abbildung:
Aufgabe 3
Abb. 1: Brücke mit Punkt $P$
Aufgabe 3
Abb. 1: Brücke mit Punkt $P$
#koordinaten
c)
$\blacktriangleright$  Funktion bestimmen
Verlängere die Gerade, um den $y$-Achsenabschnitt $-\dfrac{1}{2}$ ablesen zu können. Außerdem kannst du ein Steigungsdreieck einzeichnen und die Steigung $m=\dfrac{1}{2}$ ablesen.
Für die Gerade gilt damit:
$y=0,5x-0,5$
Dies entspricht der Gleichung des Tragseils $g_2$. Beschrifte zum Schluss das Tragseil in der Skizze:
Aufgabe 3
Abb. 2: Skizze mit Gerade $g_2$
Aufgabe 3
Abb. 2: Skizze mit Gerade $g_2$
$\blacktriangleright$  Tragseil einzeichnen
Wähle eine Gerade aus und zeichne diese ein:
Aufgabe 3
Abb. 3: Brücke mit allen Tragseilen
Aufgabe 3
Abb. 3: Brücke mit allen Tragseilen
$\blacktriangleright$  Höhe der Pylonen bestimmen
Die Gleichungen haben alle die selbe Steigung. Betrachtest du die Gleichungen $g_1$ und $h_1$, welche wegen des $y$-Achsenabschnittes am höchsten liegen, stellst du fest, dass die Pylonen $2~\text{LE}$ hoch sein müssen. Dies entspricht $2\cdot 50~\text{m}=100~\text{m}$.
die Pylonen müssen $100~\text{m}$ hoch sein.
#gerade
d)
$\blacktriangleright$  Höhe des Tragseils bestimmen
In der Mitte der Brücke ist $x=0$. Setzte dies in die Gleichung des Tragseils ein, um dessen $y$-Wert zu erhalten:
$y=\dfrac{3}{25}\cdot 0^2 +\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
Da die Brüche auf $y=0$ liegt, ist der Abstand zwischen Fahrbahn und Tragseil gerade $\dfrac{1}{2}~\text{LE}$. Dies entspricht $50\cdot \dfrac{1}{2}~\text{m}=25~\text{m}$ in der Wirklichkeit.
$\blacktriangleright$  Höhe der Pylonen bestimmen
Die Pylonen stehen an den Stellen $x=\pm 5$. Da das Tragseil symmetrisch ist, musst du nur einen Pylon betrachten. Setze also $x=5$ in die Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{3}{25}\cdot 5^2 +\dfrac{1}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{3}{25}\cdot 25 +0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3 +0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,5 \end{array}$
Dies entspricht in Wirklichkeit $4,5\cdot 50~\text{m}=225~\text{m}$.
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Setze die Funktiondes Abspannseils $a_1$ mit der des Tragseils gleich:
$\begin{array}[t]{rll} 0,72x-0,1&=&\dfrac{3}{25}x^2+\dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{3}{25}x^2 \\[5pt] -\dfrac{3}{25}x^2+0,72x-0,1&=&\dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\; -0,5 \\[5pt] -\dfrac{3}{25}x^2+0,72x-0,6&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ -\dfrac{3}{25}x^2+0,72x-0,6= 0 $
Mit der $abc$-Formel (Mitternachtsformel) erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-0,72 \pm \sqrt{0,72^2-4\cdot\dfrac{3}{25}\cdot 0,6}}{- 2\cdot \dfrac{3}{25}} \\[5pt] x_1&=&1 \\[5pt] x_2&=&5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&1 \\[5pt] x_2&=&5 \end{array}$
Setze die Ergebnisse in eine der beiden Funktionen ein, um die $y$-Werte zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&0,72\cdot 1-0,1=0,62 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&0,72\cdot 5-0,1=3,5 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y_1&=&0,62 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&3,5 \end{array} $
Die Punkte sind also:
$\begin{array}[t]{rll} &P_1(1|0,62) &\quad \scriptsize \\[5pt] &P_2(5|3,5) \end{array}$
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
die Schnittpunkte einer Funktion mit der $x$-Achse kannst du berechnen, indem du $y=0$ setzt. Setze also $a_2(x)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} 1,2x-2,5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +2,5 \\[5pt] 1,2x&=&2,5 &\quad \scriptsize \mid\; :1,2 \\[5pt] x&\approx& 2,08 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1,2x-2,5&=&0 \\[5pt] x&\approx& 2,08 \end{array}$
In Wirklichkeit ist das Abspannseil $a_2$ also $50\cdot 2,08~\text{m} \approx 104~\text{m}$ von der Brückenmitte entfernt.
#gleichsetzungsverfahren#abc-formel
Bildnachweise [nach oben]
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