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Aufgabe 4

Aufgaben
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Die Klasse 10b führt verschiedene Urnenexperimente durch. Urnen sind undurchsichtige Behälter, in denen gleichartige Kugeln unterschiedlicher Farben liegen.
a)
Aufgabe 4
Abb. 1: Urne mit $4$ weißen und $8$ schwarzen Kugeln
Aufgabe 4
Abb. 1: Urne mit $4$ weißen und $8$ schwarzen Kugeln
Es befinden sich (vgl. Abbildung) wieder $4$ weiße und $8$ schwarze Kugeln in der Urne. Sara kann eine Wette gewinnen, wenn sie eine weiße Kugeln zieht. Voher muss sie den Inhalt der Urne verändern: Entweder legt sie eine weiße Kugel zusätzlich in die Urne oder nimmt eine schwarze Kugel aus der Urne, um ihre Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhöhen.
$\blacktriangleright$
Entscheide und begründe, was Sara tun soll, um ihre Wette möglichst zu gewinnen.
(3 P.)
#wahrscheinlichkeit
b)
Hier siehst du die Abbildung eines Baumdiagramms.
Aufgabe 4
Abb. 2: Baumdiagramm
Aufgabe 4
Abb. 2: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$
Ergänze die drei fehlenden Wahrscheinlichkeiten
(2 P.)
Das Baumdiagramm passt zu eiener der drei Situationen $A$, $B$ oder $C$.
Aus einer Urne mit $5$ blauen Kugeln und $1$ roten Kugel wird zweimal hintereinander ohne Zurücklegen gezogen.
Aus einer Urne mit $5$ blauen Kugeln und $1$ roten Kugel wird eine Kugel gezogen.
Aus einer Urne mit $5$ blauen Kugeln und $1$ roten Kugel wird zweimal hintereinander mit Zurücklegen gezogen.
$\blacktriangleright$
Entscheide, welche der drei Situationen passt.
(1 P.)
$\blacktriangleright$
Begründe, warum die anderen Situationen nicht infrage kommen.
(2 P.)
#baumdiagramm
c)
Aufgabe 4
Abb. 3: Urne mit $7$ weißen und $3$ schwarzen Kugeln
Aufgabe 4
Abb. 3: Urne mit $7$ weißen und $3$ schwarzen Kugeln
#wahrscheinlichkeit

Wahlteil zu B4

Bitte ankreuzen! Dieser Wahlteil soll gewertet werden (du musst insgesamt zwei Wahlteile bearbeiten):
nein
d)
Aufgabe 4
Abb. 4: Urne mit $4$ schwarzen und $6$ weißen Kugeln
Aufgabe 4
Abb. 4: Urne mit $4$ schwarzen und $6$ weißen Kugeln
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit einer schwarzen Kugel
Es gibt $8$ schwarze Kugeln von insgesamt $12$ Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit ist demnach:
$P(\text{schwarze Kugel})=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\approx0,6667=66,67~\%$
$ P(\text{schwarze Kugel})=\dfrac{8}{12} $
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit einer weißen Kugel
Nun sind $6$ von $14$ Kugeln weiß. Deshlab gilt für die Wahrscheinlichkeit:
$P(\text{weiße Kugel})=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}\approx 0,4286=42,86~\%$
$ P(\text{weiße Kugel})=\dfrac{6}{14} $
$\blacktriangleright$  Möglichkeiten vergleichen
Berechne für beide Möglichkeiten die Warscheinlichkeit:
  1. $P(\text{weiße Kugel})=\dfrac{5}{13}\approx 0,3846=38,46~\%$
  2. $P(\text{weiße Kugel})=\dfrac{4}{11}\approx 0,3636=36,36~\%$
  1. $P(\text{weiße Kugel})=\dfrac{5}{13}$
  2. $P(\text{weiße Kugel})=\dfrac{4}{11}$
Also ist die erste Möglichkeit besser für Sara, da sie mit einer höheren Wahrscheinlichkeit gewinnt. Also soll Sara eine zusätzliche weiße Kugel hinzufügen.
#prozent
b)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm ergänzen
Beide Zweige zusammen müssen immer $1$ ergeben. Für den unteren Zweig gilt deshalb:
$1-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{6}$
Für die Wahrscheinlichkeiten am Ende der Pfade gilt mit der Pfadmultiplikationsregel:
$\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{36}$
Aufgabe 4
Abb. 1: Ausgefülltes Baumdiagramm
Aufgabe 4
Abb. 1: Ausgefülltes Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Situation bestimmen und begründen
In diesem Fall wird ohne Zurücklegen gezogen, also müssten sich die Wahrscheinlichkeit für die zweite Ziehung ändern. Da sie dies im Baumdiagramm nicht tun, kann Situation $A$ ausgeschlossen werden.
Das Baumdiagramm ist zweistufig, also für zwei Ziehungen. Da bei $B$ nur eine Kugel gezogen wird, kann diese Situation auch ausgeschlossen werden.
Nach dem Ausschlussverfahren ist $C$ die richtige Situation. Das Baumdigramm zeigt 2 Ziehungen mit Zurücklegen, also stimmt die Aussage.
Situation $C$ ist die richtige.
#prozent
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für „zwei Schwarze Kugeln“
Aufgabe 4
Abb. 2: Baumdiagramm
Aufgabe 4
Abb. 2: Baumdiagramm
#pfadregeln#baumdiagramm#prozent
d)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen
Beachte beim Zeichnen, dass ohne Zurücklegen gezogen wird und sich die Gesamtzahl der Kugeln nach der ersten Ziehung ändert. Das Baumdiagramm sollte dann folgendermaßen aussehen:
Aufgabe 4
Abb. 3: Baumdiagramm
Aufgabe 4
Abb. 3: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für „2 verschiedenfarbige Kugeln ziehen“
Mit der Pfadadditions- und multiplikationsregel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{2 verschiedenfarbige Kugeln})&=&\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{9}+\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{48}{90} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{24}{45} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,5333 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 53,33~\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{9}+\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{48}{90} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{24}{45} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,5333 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 53,33~\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedene Kugeln beträgt also etwa $53,33~\%$
#pfadregeln#baumdiagramm#prozent
Bildnachweise [nach oben]
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