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Aufgabe 3

Aufgaben
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a)
Berechne den Flächeninhalt dieser trapezförmigen Metallplatte.
(2 P)
b)
Aus der trapezförmigen Metallplatte soll ein Rechteck herausgeschnitten werden. Um die Maße des Rechtecks einfacher bestimmen zu können, zeichnet ein Mitarbeiter das Trapez in ein Koordinatensystem ein.
Der obere Rand der Metallplatte ist ein Teil der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=4,5-0,75x$.
  • Bestimme die $y$-Werte für $x=0$ und $x=4$.
  • (2 P)
  • Gib an, welche Bedeutung die berechneten $y$-Werte für das Trapez haben.
  • (2 P)
c)
Um eine Rechteckplatte mit möglichst großem Flächeninhalt herauszuschneiden, probiert der Mitarbeiter zunächst verschiedene Werte für die Breite $x$ bzw. für die Höhe $y$ des Rechtecks aus:
Breite $x$Höhe $y=4,5x-0,75x$Flächeninhalt $A=x \cdot y$
$1,00\text{ m}$$3,75\text{ m}$$3,75\text{ m}^2$
$1,60\text{ m}$$5,28\text{ m}^2$
$2,00\text{ m}$
$2,40\text{ m}$$2,70\text{ m}$
$2,10\text{ m}$
  • Berechne die fehlenden Werte.
  • (3 P)
Zu einer systematischen Bestimmung des Flächeninhalts werden folgende Umformungsschritte ausgeführt:
$A=x \cdot y$1. Zeile
$A=x \cdot (4,5-0,75x)$2. Zeile
$A=4,5x - 0,75x^2$3. Zeile
  • Entscheide, welcher Umformungsschritt jeweils ausgeführt wurde.
    Verbinde dazu die Angabe der Zeile (links) mit der richtigen Antwort (rechts).
    Insgesamt sind drei Verbindungslinien zu zeichnen.
    die 2. binomische Formel anwenden
    den Term „Länge mal Breite“ für den Flächeninhalt des Rechtecks verwenden
    die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes verwenden
    das Distributivgesetz anwenden; ausmultiplizieren
    den Satz des Pythagoras anwenden
    für $y$ den Funktionsterm der Gerade $g$ einsetzen
  • (3 P)
d)
Durch die Umformungsschritte aus Teilaufgabe $c)$ hat man für den Flächeninhalt des Rechteckes die Gleichung einer zugehörigen quadratischen Funktion $f$ erhalten:
$f(x)=-0,75x^2+4,5x$ bzw. $f(x)=x \cdot (4,5-0,75x)$
Der Graph dieser Funktion sieht folgendermaßen aus:
Der Mitarbeiter vermutet: „Da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist kann man mit diesem die optimale Maße für die Platte bestimmen.“
  • Ermittle den $x$-Wert des Scheitelpunktes.
  • (1 P)
  • Berechne den Funktionswert für diesen $x$-Wert und erkläre seine Bedeutung für die Rechteckplatte.
  • (2 P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$Flächeninhalt berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt der trapezförmigen Metallplatte berechnen. Du hast hierfür die Abmessungen der Metallplatte gegeben. An dem Trapez gibt es zwei Seiten die parallel zueinander stehen. Diese bezeichnest du mit der Seite $a$ und der Seite $c$. Desweiteren gibt es in diesem Fall eine Seite, die senkrecht zu den Seiten $a$ und $c$ steht. Dies ist die Höhe $h$. Für den Flächeninhalt eines Trapes gilt folgende Formel:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$
b)
$\blacktriangleright$$\boldsymbol{y}$-Werte bestimmen
Du sollst die $y$-Werte für $x=0$ und $x=4$ bestimmen. Du hast hierfür die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=4,5-0,75x$ gegeben. Du musst also den jeweiligen $x$-Wert für $x$ in die Geradengleichung einsetzen und den dazugehörigen $y$-Wert bestimmen.
$\blacktriangleright$Bedeutung angeben
Du sollst angeben, welche Bedeutung die berechneten $y$-Werte für das Trapez haben. Überlege dir wie das Trapez dargestellt ist und welche Seite, welchen Teil des Trapezes beschreibt.
c)
$\blacktriangleright$Fehlende Werte berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die fehlenden Werte in der Tabelle berechnen. Hierfür hast du die jeweiligen Gleichungen in der Tabelle angegeben. Zur Berechnung der Höhe gilt die Gleichung $y=4,5-0,75x$ und zur Berechnung des Flächeninhalts die Gleichung $A=x \cdot y$. Du musst also die entsprechenden Gleichungen nach den gesuchten Werten auflösen.
$\blacktriangleright$Umformungsschritte begründen
Du sollst jeweils entscheiden, welcher Umformungschritt ausgeführt wurde. Betrachte die jeweiligen Zeilen und überlege dir, wie du von der einen Zeile zur nächsten gelangst. Hierzu sollst du die Angabe der Zeile mit der richtigen Antwort verbinden.
d)
$\blacktriangleright$$\boldsymbol{x}$-Wert ermitteln
Du sollst den $x$-Wert des Scheitelpunktes ermitteln. Hierfür hast du durch die Umformungschritte für den Flächeninhalt des Rechtecks die quadratische Gleichung $f(x)=-0,75x^2+4,5x$ beziehungsweise $f(x)=x \cdot (4,5-0,75x)$ gegeben. Du sollst nun den $x$-Wert des Scheitelpunktes bestimmen. Du weißt, dass der Graph der Funktion $f$ achsensymmetrisch ist und dadurch gilt, dass sich der Scheitelpunkt immer genau in der Mitte zweier $x$-Werte mit dem identischen $y$-Wert befindet. Betrachte beispielsweise die Nullstellen des Graphen der Funktion $f$.
Die Nullstellen liegen bei $x_1=0$ und $x_2=6$. Die $x$-Wert des Scheitelpunktes $x_S$ muss somit genau zwischen den beiden $x$-Werten liegen.
$\blacktriangleright$Funktionswert ermitteln und Bedeutung erklären
In dieser Teilaufgabe sollst du den Funktionswert des Scheitelpunktes ermitteln und seine Bedeutung für die Rechteckplatte erkären. Den Funktionswert kannst du berechnen, indem du den $x$-Wert des Scheitelpunktes in die Funktionsgleichung von $f$ mit $f(x)=-0,75x^2+4,5x$ einsetzt. Überlege anschließend, welche Bedeutung dieser Funktionswert besitzt.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$Flächeninhalt berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt der trapezförmigen Metallplatte berechnen. Du hast hierfür die Abmessungen der Metallplatte gegeben. An dem Trapez gibt es zwei Seiten die parallel zueinander stehen. Diese bezeichnest du mit der Seite $a$ und der Seite $c$. Desweiteren gibt es in diesem Fall eine Seite, die senkrecht zu den Seiten $a$ und $c$ steht. Dies ist die Höhe $h$. Für den Flächeninhalt eines Trapes gilt folgende Formel:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$
Daraus folgt für den Flächeninhalt des Trapezes mit $a=4,50 \text{ m}$, $c= 1,50 \text{ m}$ und $h=4,00 \text{ m}$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h\\[10pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (4,50 \text{ m}+1,50 \text{ m}) \cdot 4,00 \text{ m}\\[5pt] &=& 12,00 \text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt der trapezförmigen Metallplatte beträgt $12,00 \text{ m}^2$.
b)
$\blacktriangleright$$\boldsymbol{y}$-Werte bestimmen
Du sollst die $y$-Werte für $x=0$ und $x=4$ bestimmen. Du hast hierfür die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=4,5-0,75x$ gegeben. Du musst also den jeweiligen $x$-Wert für $x$ in die Geradengleichung einsetzen und den dazugehörigen $y$-Wert bestimmen.
Für $x=0$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4,5-0,75 \cdot 0\\[10pt] &=& 4,5\\[5pt] \end{array}$
Für $x=4$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4,5-0,75 \cdot 4\\[10pt] &=& 1,5\\[5pt] \end{array}$
Der $y$-Wert bei $x=0$ beträgt $y=4,5$ und bei $x=4$ gilt $y=1,5$.
$\blacktriangleright$Bedeutung angeben
Du sollst angeben, welche Bedeutung die berechneten $y$-Werte für das Trapez haben. Überlege dir wie das Trapez dargestellt ist und welche Seite, welchen Teil des Trapezes beschreibt.
Die berechneten $y$-Werte geben jeweils die Seitenlängen an. Hierbei gilt, dass die linke Seite eine Länge von $4,50 \text{ m}$ besitzt und die rechte Seite eine Länge von $1,50 \text{ m}$.
c)
$\blacktriangleright$Fehlende Werte berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die fehlenden Werte in der Tabelle berechnen. Hierfür hast du die jeweiligen Gleichungen in der Tabelle angegeben. Zur Berechnung der Höhe gilt die Gleichung $y=4,5-0,75x$ und zur Berechnung des Flächeninhalts die Gleichung $A=x \cdot y$. Du musst also die entsprechenden Gleichungen nach den gesuchten Werten auflösen.
In der zweiten Zeile hast du die Breite mit $x=1,60 \text{ m}$ gegeben und suchst die entsprechende Höhe $y$. Du musst also $x$ in die Gleichung $y=4,5-0,75x$ einsetzen. Für die Höhe folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4,5\text{ m}-0,75 \cdot 1,60 \text{ m}\\[10pt] &=& 3,30 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
In der dritten Zeile hast du nur die Breite $x=2,00 \text{ m}$ gegeben und sollst daraus die Höhe und den Flächeninhalt bestimmen. Für die Höhe gilt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4,5\text{ m}-0,75 \cdot 2,00 \text{ m}\\[10pt] &=& 3,00 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
Somit folgt für den Flächeninhalt $A$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& x \cdot y\\[10pt] &=& 2,00 \text{ m} \cdot 3,00 \text{ m}\\[10pt] &=& 6,00 \text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
In der vierten Zeile hast du die Breite $x=2,40 \text{ m}$ und die Höhe $y= 2,70\text{ m}$ gegeben und sollst daraus den Flächeninhalt berechnen. Für den Flächeninhalt $A$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& x \cdot y\\[10pt] &=& 2,40 \text{ m} \cdot 2,70 \text{ m}\\[10pt] &=& 6,48 \text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
In der letzten Zeile hast du die Höhe $y=2,10 \text{ m}$ gegeben und sollst daraus die Breite $x$ und den Flächeninhalt $A$ bestimmen. Du musst also die Gleichung $y=4,5\text{ m}-0,75 \cdot x$ nach $x$ umformen. Für $x$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4,5\text{ m}-0,75 \cdot x & \quad \scriptsize \mid \, -4,5\text{ m}\\[5pt] y-4,5\text{ m}&=& -0,75 \cdot x& \quad \scriptsize \mid \, :(-0,75)\\[5pt] x&=& -\dfrac{4}{3} \cdot y+6\text{ m}\\[5pt] &=& -\dfrac{4}{3} \cdot 2,10 \text{ m}+6\text{ m}\\[5pt] &=& 3,20 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
Für den Flächeninhalt gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& x \cdot y\\[10pt] &=& 3,20 \text{ m} \cdot 2,10 \text{ m}\\[10pt] &=& 6,72 \text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
Somit ergibt sich folgende Tabelle mit den fehlenden Werten:
Breite $x$Höhe $y=4,5x-0,75x$Flächeninhalt $A=x \cdot y$
$1,00\text{ m}$$3,75\text{ m}$$3,75\text{ m}^2$
$1,60\text{ m}$ $3,30 \text{ m}$$5,28\text{ m}^2$
$2,00\text{ m}$$3,00 \text{ m}$$6,00 \text{ m}^2$
$2,40\text{ m}$$2,70\text{ m}$$6,48 \text{ m}^2$
$3,20 \text{ m}$$2,10\text{ m}$$6,72 \text{ m}^2$
$\blacktriangleright$Umformungsschritte begründen
Du sollst jeweils entscheiden, welcher Umformungschritt ausgeführt wurde. Betrachte die jeweiligen Zeilen und überlege dir, wie du von der einen Zeile zur nächsten gelangst. Hierzu sollst du die Angabe der Zeile mit der richtigen Antwort verbinden.
Zuerst musst du beschreiben, wie du zur ersten Zeile mit $A=x \cdot y$ gelangst. Hierfür musst du den Term „Länge mal Breite“ für den Flächeninhalt des Rechtecks verwenden.
Von der ersten zur zweiten Zeile kommst du, indem du für $y$ den Funktionsterm der Gerade $g$ einsetzt. Der Funktionsterm für $y$ lautet $y=4,5 -0,75x$. Wenn du diesen in die erste Zeile für $y$ einsetzt erhältst du die zweite Zeile mit $A=x \cdot (4,5 -0,75x)$.
Die dritte Zeile ist mit $A=4,5x -0,75x^2$ gegeben. Von der zweiten zur dritten Zeile kommst du, wenn du die zweite Zeile ausmultiplizierst. Das bedeutet du musst das Distributivgesetz anwenden.
d)
$\blacktriangleright$$\boldsymbol{x}$-Wert ermitteln
Du sollst den $x$-Wert des Scheitelpunktes ermitteln. Hierfür hast du durch die Umformungschritte für den Flächeninhalt des Rechtecks die quadratische Gleichung $f(x)=-0,75x^2+4,5x$ beziehungsweise $f(x)=x \cdot (4,5-0,75x)$ gegeben. Du sollst nun den $x$-Wert des Scheitelpunktes bestimmen. Du weißt, dass der Graph der Funktion $f$ achsensymmetrisch ist und dadurch gilt, dass sich der Scheitelpunkt immer genau in der Mitte zweier $x$-Werte mit dem identischen $y$-Wert befindet. Betrachte beispielsweise die Nullstellen des Graphen der Funktion $f$.
Die Nullstellen liegen bei $x_1=0$ und $x_2=6$. Die $x$-Wert des Scheitelpunktes $x_S$ muss somit genau zwischen den beiden $x$-Werten liegen. Bestimmen also den $x$-Wert des Scheitelpunktes als Mittelpunkt der beiden $x$-Werte. Für $x_S$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x_S&=& \dfrac{x_1+x_2}{2}\\[10pt] &=& \dfrac{0+6}{2}\\[10pt] &=& 3\\[5pt] \end{array}$
Der $x$-Wert des Scheitelpunktes liegt bei $x_S=3$.
$\blacktriangleright$Funktionswert ermitteln und Bedeutung erklären
In dieser Teilaufgabe sollst du den Funktionswert des Scheitelpunktes ermitteln und seine Bedeutung für die Rechteckplatte erkären. Den Funktionswert kannst du berechnen, indem du den $x$-Wert des Scheitelpunktes in die Funktionsgleichung von $f$ mit $f(x)=-0,75x^2+4,5x$ einsetzt. Überlege anschließend, welche Bedeutung dieser Funktionswert besitzt. Für den Funktionswert des Scheitelpunktes folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0,75x^2+4,5x\\[10pt] f(3)&=& -0,75 \cdot 3^2+4,5 \cdot 3\\[10pt] &=& 6,75\\[5pt] \end{array}$
Der Funktionswert des Scheitelpunktes beträgt $6,75$.
Der Funktionswert gibt den Flächeninhalt des Rechtecks an. Es gilt, dass der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist und somit beitzt die Rechteckplatte an dem Scheitelpunkt den größten Flächeninhalt.
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