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Aufgabe 1

Aufgaben
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B1 Trigonometrie

Sonnensegel
Das Restaurant Seeblick möchte sich als Sonnenschutz für die Terrasse vom Segelmacher eine besonders stabile Markise anfertigen lassen. Die Abbildung zeigt die Form und die Größe der trapezförmigen Markise.
Aufgabe 1
Abb. 1: Sonnensegel
Aufgabe 1
Abb. 1: Sonnensegel
a)
Für die Kalkulation der Kosten ist der Bedarf an Segeltuch wichtig.
$\blacktriangleright$
Berechne den Flächeninhalt der Markise.
(2 P.)
Hinweis: Wenn dir für eine Berechnung in b), c) oder d) exakte Zwischenergebnisse fehlen, kannst du mit den Längenangaben aus den beiden Zeichnungen arbeiten.
#flächeninhalt
b)
Die Markise wird mit Stahlseilen am Rand des Trapezes und entlang der Diagonalen aufgespannt. Die Segelmacherin hat sich für den Entwurf etwas Besonderes einfallen lassen:
Die Diagonale $\overline{AC}$ soll genau $8\,\text{m}$ lang werden und in einem Winkel von $30^°$ zum linken Rand verlaufen (siehe Zeichnung). Die Diagonalen sollen sich im Punkt $S$ genau im rechten Winkel schneiden. Um diese Bedingung zu erfüllen, muss die Länge $h$ ganz genau ausgerechnet werden.
Aufgabe 1
Abb. 2: Sonnensegel
Aufgabe 1
Abb. 2: Sonnensegel
$\blacktriangleright$
Gib eine Gleichung an, mit der $h$ exakt bestimmt werden kann.
(1 P.)
$\blacktriangleright$
Berechne die Länge der Strecke $\overline{BC}$ auf $1\,\text{mm}$ genau.
(3 P.)
c)
$\blacktriangleright$
Begründe möglichst ohne Rechnung, dass das Winkelmaß $\beta_1$ genau $30^°$ betragen muss.
(2 P.)
$\blacktriangleright$
Weise rechnerisch nach, dass die Strecke $\overline{AS}$ genau $6\,\text{m}$ lang ist.
(2 P.)
$\blacktriangleright$
Gib das Winkelmaß $\delta_2$ möglichst ohne Rechnung an und begründe durch geometrische Überlegungen, dass diese Angabe exakt ist.
(2 P.)
#winkel

Wahlteil zu B1

Bitte ankreuzen! Dieser Wahlteil soll gewertet werden (du musst insgesamt zwei Wahlteile bearbeiten):
nein
d)
$\blacktriangleright$
Berechne das Winkelmaß $\beta_2$.
$\blacktriangleright$
Berechne die Länge der Diagonalen $\overline{DB}$.
(6 P.)
#winkel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
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B1 Trigonometrie

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2} \cdot \left(\overline{AB}+ \overline{DC}\right) \cdot \overline{AD} \\[5pt] &\approx & \frac{1}{2} \cdot (12\,\text{m}+ 4\,\text{m}) \cdot 6,93\,\text{m} \\[5pt] &\approx & 55,44\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$A \approx 55,44\,\text{m}^2$
Der Flächeninhalt der Markise beträgt somit etwa $55,44\,\text{m}^2.$
#trapez
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung angeben
Mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck $ACD$ folgt für die Höhe $h$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan 30^°&=&\dfrac{\overline{DC}}{h} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot h\\[5pt] h \cdot \tan 30^°&=&\overline{DC} & \quad \scriptsize \mid \,:\tan 30^°\\[5pt] h&=& \dfrac{\overline{DC}}{\tan 30^°} \\[5pt] &=& \dfrac{4\,\text{m}}{\tan 30^°} \\[5pt] \end{array}$
$ h= \dfrac{4\,\text{m}}{\tan 30^°}$
Mit der Gleichung $h= \dfrac{4\,\text{m}}{\tan 30^°}$ kann die Höhe $h$ exakt bestimmt werden.
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke berechnen
Durch Einzeichnen der Höhe $h$ in das Dreieck $ABC$ folgt:
Aufgabe 1
Abb. 1: Skizze
Aufgabe 1
Abb. 1: Skizze
Mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $MBC$ und der zuvor bestimmten Gleichung für die Höhe $h$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}^2&=&\overline{MB}^2 +h^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{BC}&=& \sqrt{\overline{MB}^2 +h^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{(8\,\text{m})^2 +\left(\dfrac{4\,\text{m}}{\tan 30^°}\right)^2 } \\[5pt] &\approx& 10,583\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{BC} \approx 10,583\,\text{m} $
Somit beträgt die Länge der Strecke $\overline{BC}$ etwa $10,583\,\text{m}.$
#satzdespythagoras#tangens
c)
$\blacktriangleright$  Winkelmaß begründen
Für den Winkel $\sphericalangle{BAS}$ gilt mit der gegebenen Abbildung:
$\begin{array}[t]{rll} 90^°&=& 30^° + \sphericalangle{BAS} & \quad \scriptsize \mid \, -30^°\\[5pt] 60^°&=& \sphericalangle{BAS} \end{array}$
$\sphericalangle{BAS} = 60^° $
Mit der Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck $ABS$ folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} 180^°&=& 90^° + \sphericalangle{BAS} + \beta_1 \\[5pt] 180^°&=& 90^° + 60^° + \beta_1 \\[5pt] 180^°&=& 150^° + \beta_1 & \quad \scriptsize \mid \, -150^°\\[5pt] 30^°&=& \beta_1 \\[5pt] \end{array}$
$ \beta_1= 30^°$
Daraus folgt, dass das Winkelmaß $\beta_1$ genau $30^°$ betragen muss.
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke nachweisen
Mit dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck $ABS$ folgt für die Länge der Strecke $\overline{AS}$:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \beta_1&=&\dfrac{\overline{AS}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB}\\[5pt] \overline{AB} \cdot \sin \beta_1&=& \overline{AS} \\[5pt] 12\,\text{m} \cdot \sin 30^°&=& \overline{AS} \\[5pt] 6\,\text{m}&=& \overline{AS} \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{AS}=6\,\text{m}$
Somit beträgt die Länge der Strecke $\overline{AS}$ genau $6\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Winkelmaß angeben
Mit der Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck $ASD$ folgt für den Winkel $\sphericalangle{ADS}$:
$\begin{array}[t]{rll} 180^°&=& 90^° +30^° +\sphericalangle{ADS} \\[5pt] 180^°&=& 120^° +\sphericalangle{ADS} &\quad \scriptsize \mid\; -120^°\\[5pt] 60^°&=& \sphericalangle{ADS} \\[5pt] \end{array}$
$\sphericalangle{ADS}=60^° $
Weiter gilt laut der gegebenen Abbildung:
$\begin{array}[t]{rll} 90^°&=&\delta_2 + \sphericalangle{ADS} \\[5pt] 90^°&=&\delta_2 + 60^° &\quad \scriptsize \mid\; -60^°\\[5pt] 30^°&=&\delta_2 \\[5pt] \end{array}$
$\delta_2=30^°$
Durch geometrische Überlegungen wird außerdem deutlich, dass der Winkel $\delta_2$ ein Wechselwinkel zu dem Winkel $\beta_1$ ist. Somit folgt mit der vorherigen Teilaufgabe, dass $\delta_2=\beta_1=30^°$ gelten muss und somit die Angabe exakt ist.
#sinus

Wahlteil zu B1

d)
$\blacktriangleright$  Winkelmaß berechnen
Mit dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck $SBC$ folgt für den Winkel $\beta_2$ mit der zuvor berechneten Länge der Strecke $\overline{BC}$:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \beta_2&=& \dfrac{\overline{SC}}{\overline{BC}}&\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}(\,) \\[5pt] \beta_2&=&\sin^{-1}\left( \dfrac{\overline{SC}}{\overline{BC}}\right) \\[5pt] &\approx&\sin^{-1}\left( \dfrac{2 \,\text{m}}{10,563\,\text{m}}\right) \\[5pt] &\approx& 10,89^° \\[5pt] \end{array}$
$\beta_2 \approx 10,89^°$
Damit beträgt das Winkelmaß $\beta_2$ etwa $10,89^°.$
$\blacktriangleright$  Länge der Diagonalen berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras und den Ergebnissen aus den vorherigen Teilaufgaben folgt im rechtwinkligen Dreieck $ABD$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}^2&=& \overline{AB}^2 + h^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \overline{BD}&=&\sqrt{\overline{AB}^2 + h^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(12\,\text{m})^2 +\left(\dfrac{4\,\text{m}}{\tan 30^°}\right)^2 } \\[5pt] &\approx& 13,86\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{BD} \approx 13,86\,\text{m} $
Somit beträgt die Länge der Diagonalen $\overline{DB}$ etwa $13,86\,\text{m}.$
#satzdespythagoras#sinus
Bildnachweise [nach oben]
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