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Aufgabe 2

Aufgaben
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B2 Stereometrie

Aufgabe 2
Abb. 1: Tropical Island
Aufgabe 2
Abb. 1: Tropical Island
a)
Für den Entwurf eines Lageplans erstellt ein Mitarbeiter eine nicht maßstäbliche Skizze des Grundrisses.
$\blacktriangleright$
Kreuze den Grundriss mit den richtigen Maßangaben an.
(1 P.)
b)
Die Halle hat keine senkrechten Außenwände, sondern das Dach der Halle erstreckt sich unmittelbar bis zum Boden. Der Übergang zwischen Boden und Hallenkörper muss durch ein wetterfestes Abdichtungsband verschlossen werden.
$\blacktriangleright$
Überprüfe durch eine Rechnung, ob eine Rolle mit $1.000\,\text{m}$ Abdichtungsband ausreicht.
(2 P.)
c)
Laut Homepage des Freizeitparks soll die Grundfläche mehr als neun Fußballfeldern entsprechen. Ein Fußballfeld hat die Fläche von ca. $7.000\,\text{m}^2.$
$\blacktriangleright$
Berechne die Grundfläche der Halle und überprüfe die Angabe des Freizeitparks.
(Wenn du den Radius der Viertelkugeln nicht bestimmen kannst, verwende $r=105\,\text{m}.$)
(5 P.)
d)
Der umbaute Raum der Halle von „Tropical Islands“ beträgt laut Architektenangaben ca. $5$ Millionen $\text{m}^3.$
$\blacktriangleright$
Überprüfe, ob der umbaute Raum korrekt angegeben ist.
(4 P.)

Wahlteil zu B2

Bitte ankreuzen! Dieser Wahlteil soll gewertet werden (du musst insgesamt zwei Wahlteile bearbeiten):
nein
e)
Alle fünf Jahre muss die Dachoberfläche der Halle professionell gereinigt werden. Der Betreiber holt drei Angebote ein.
Angebot 1Angebot 2Angebot 3
$1\,€$ pro $\text{m}^2$Grundpreis $19.000\,€$
zuzüglich
$0,80\,€$ pro $\text{m}^2$
Festpreis: $120.000\,€$
$\blacktriangleright$
Berechne die Kosten für jedes der drei Angebote und gib an, welches Angebot das günstigste ist.
(6 P.)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
© 2017 – SchulLV.
[3]
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B2 Stereometrie

a)
$\blacktriangleright$  Richtiger Grundriss bestimmen
Für den Radius $r$ gilt mit der gegebenen Skizze:
$\begin{array}[t]{rll} 360\,\text{m}&=& 2\cdot r + 150\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;-150\,\text{m} \\[5pt] 210\,\text{m}&=& 2\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 105\,\text{m}&=& r \end{array}$
$r= 105\,\text{m}$
Somit stellt die Abbildung 2 den Grundriss mit den richtigen Maßangaben dar, da dieser Grundriss eine Breite von $210\,\text{m}$ besitzt.
b)
$\blacktriangleright$  Länge der Rolle überprüfen
Für den Umfang $U$ des Grundrisses folgt mit der Formel für den Umfang eines Kreises:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2 \cdot \pi \cdot r+ 2 \cdot 150\,\text{m}\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 105\,\text{m}+ 2 \cdot 150\,\text{m}\\[5pt] &\approx& 959,73,\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$
Somit beträgt der Umfang des Grundrisses etwa $959,73\,\text{m}$. Damit reicht eine Rolle mit $1.000\,\text{m}$ Abdichtungsband aus, um den Übergang zwischen Boden und Hallenkörper zu verschließen.
#umfang
c)
$\blacktriangleright$  Grundfläche bestimmen
Für den Flächeninhalt $A$ der Grundfläche folgt mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises und eines Rechtecks:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \pi \cdot r^2+ 210\,\text{m} \cdot 150\,\text{m}\\[5pt] &=& \pi \cdot (105\,\text{m})^2+ 210\,\text{m} \cdot 150\,\text{m}\\[5pt] &\approx& 66.136,06\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
$A \approx 66.136,06\,\text{m}^2 $
Im Vergleich dazu beträgt der Flächeninhalt von neun Fußballfeldern ungefähr $9 \cdot 7.000\,\text{m}^2=63.000\,\text{m}^2.$
Somit ist die Angabe des Freizeitparks korrekt, da die Grundfläche der Halle mehr als neun Fußballfeldern entspricht.
#flächeninhalt
d)
$\blacktriangleright$  Umbaute Raum bestimmen
Der umbaute Raum bezeichnet das Volumen der Halle. Das Volumen setzt sich aus einem Halbzylinder und zwei Viertelkugeln zusammen. Somit folgt für das Volumen der Halle mit den gegebenen Werten und den Formeln für das Volumen eines Zylinders und einer Kugel:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3+\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot 150\,\text{m}\\[5pt] &=& \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot (105\,\text{m})^3+\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (105\,\text{m})^2 \cdot 150\,\text{m}\\[5pt] &\approx& 5.022.228,56\,\text{m}^3\\[5pt] \end{array}$
$V \approx 5.022.228,56\,\text{m}^3$
Somit ist der umbaute Raum korrekt angegeben und beträgt etwa $5$ Millionen $\text{m}^3.$
#volumen

Wahlteil zu B2

e)
$\blacktriangleright$  Kosten berechnen
Die Dachoberfläche setzt sich aus der Oberfläche zweier Viertelkugeln und der halben Mantelfläche des Zylinders zusammen. Mit der Formel für die Oberfläche einer Kugel und der Mantelfläche des Zylinders folgt für die Dachoberfläche $O$:
$\begin{array}[t]{rll} O&=& \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot 150\,\text{m} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot (105\,\text{m})^2 + 2 \cdot \pi \cdot 105\,\text{m} \cdot 150\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 168.232,29\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$O \approx 168.232,29\,\text{m}^2$
Damit folgt für die Kosten $K_1$ mit dem Angebot 1:
$\begin{array}[t]{rll} K_1&\approx& 168.232,29\,\text{m}^2 \cdot 1 \dfrac{\,€}{\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 168.232,29\,€ \end{array}$
Die Kosten für die Reinigung der Dachoberfläche mit dem Angebot 1 betragen somit etwa $168.232,29\,€.$
Für die Kosten $K_2$ folgt mit dem Angebot 2:
$\begin{array}[t]{rll} K_2&\approx& 19.000\,€+ 168.232,29\,\text{m}^2 \cdot 0,8 \dfrac{\,€}{\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 134.604,83\,€ \end{array}$
$K_2 \approx 134.604,83\,€$
Damit betragen die Kosten für die Reinigung der Dachoberfläche mit dem Angebot 2 ungefähr $134.604,83\,€.$
Für die Kosten $K_3$ mit dem Angebot 3 gilt mit dem gegebenen Festpreis $K_3=120.000\,€.$
Somit sind die Kosten für die Reinigung der Dachoberfläche mit dem Angebot 3 am geringsten. Damit ist das Angebot 3 das günstigste.
#kugel#zylinder
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