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Aufgabe 3

Aufgaben
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B3 Funktionen

Paul und Janine programmieren eine App für den Vertretungsplan an ihrer Schule.
Nach einem Tag nutzen sechs Schülerinnen und Schüler die App. An den darauffolgenden Tagen verdreifacht sich die Zahl täglich, so dass die App schon am vierten Tag von $162$ Nutzern verwendet wird.
a)
Mit Hilfe einer Tabelle wollen Paul und Janine sich einen Überblick verschaffen:
Anzahl der Tage
ab Upload
Anzahl der Nutzer
$0$$2$
$1$$6$
$2$
$3$
$4$$162$
$\blacktriangleright$
Ergänze die fehlenden Anzahlen der Nutzer.
(2 P.)
Die beiden überlegen, mit welcher Funktion man dieses Wachstum darstellen kann. Sie haben zwei Vermutungen:
$f_1(x)=2 \cdot 2^x$ und $f_2(x)=3 \cdot 3^x$
Dabei steht $x$ für die Anzahl der Tage seit dem Upload der App.
$\blacktriangleright$
Zeige, dass beide Funktionsterme nicht richtig sind.
(2 P.)
#funktionsgleichung
b)
Die tatsächliche Funktion für die ersten vier Tage lautet:
$f(x)=2 \cdot 3^x.$
Paul behauptet: „Wenn das so weitergeht, haben wir bald $10.000$ Nutzer.“
$\blacktriangleright$
Berechne, nach wie vielen Tagen mehr als $10.000$ Nutzer zu erwarten wären.
(2 P.)
c)
Am fünften und sechsten Tag nimmt die Anzahl jeweils nur um $170$ zu.
$\blacktriangleright$
Ergänze die Tabelle:
Anzahl der Tage
ab Upload
Anzahl der Nutzer
$4$$162$
$5$
$6$
(2 P.)
Für den fünften und sechsten Tag lässt sich die Entwicklung der Nutzerzahlen durch eine lineare Funktion der Form $g(x)=m\cdot x +b$ beschreiben. Dabei ist $g(4)=162.$
$\blacktriangleright$
Erläutere, welche Bedeutung $m=170$ in diesem Zusammenhang hat.
(1 P.)
$\blacktriangleright$
Berechne den Achsenabschnitt $b.$
(1 P.)
#linearefunktion
d)
In der Realität können weder die exponentielle noch die lineare Zunahme der Nutzerzahlen die Situation auf Dauer richtig beschreiben.
$\blacktriangleright$
Nenne einen Grund dafür.
(1 P.)
Der abgebildete Graph stellt die Zunahme der Nutzerzahlen realistischer dar. Man kann vier Abschnitte unterscheiden:
Aufgabe 3
Abb. 1: Zunahme der Nutzerzahlen
Aufgabe 3
Abb. 1: Zunahme der Nutzerzahlen
I:Uploadzeitpunkt bis zum 4. Tag$f$, exponentielle Zunahme
II:4. Tag bis zum 6. Tag$g$, lineare Zunahme
III:6. Tag bis zum 10. Tag$h$, parabelförmiger Verlauf
IV:ab dem 10. Tag
I:Uploadzeitpunkt bis zum 4. Tag$f$, exp. Zunahme
II:4. Tag bis zum 6. Tag$g$, lineare Zunahme
III:6. Tag bis zum 10. Tag$h$, parabelf. Verlauf
IV:ab dem 10. Tag
$\blacktriangleright$
Interpretiere den Verlauf des Graphen ab dem 10. Tag.
(1 P.)

Wahlteil zu B3

Bitte ankreuzen! Dieser Wahlteil soll gewertet werden (du musst insgesamt zwei Wahlteile bearbeiten):
nein
e)
Für den Zeitraum vom 6. Tag bis zum 10. Tag kann der weitere Verlauf des Graphen durch $h(x)=-20x^2+400x-1.178$ beschrieben werden.
$\blacktriangleright$
Berechne die Nullstellen dieser Funktion.
(2 P.)
$\blacktriangleright$
Zeichne die beiden Nullstellen in die Zeichnung ein und skizziere die Parabel.
(2 P.)
$\blacktriangleright$
Zeige, dass die Parabel ihren Scheitelpunkt an der Stelle $x=10$ hat, und berechne, wie viele Nutzer demnach am 10. Tag zu erwarten sind.
(2 P.)
#scheitelpunkt#nullstelle#parabel
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B3 Funktionen

a)
$\blacktriangleright$  Fehlende Werte ergänzen
Die Anzahl der Nutzer verdreifacht sich täglich. Somit folgt für die Anzahl der Nutzer nach zwei Tagen $n_2$:
$\begin{array}[t]{rll} n_2&=& 6 \cdot 3 \\[5pt] &=& 18 \end{array}$
Entsprechend folgt für die Anzahl der Nutzer nach $3$ Tagen:
$\begin{array}[t]{rll} n_3&=& 18 \cdot 3 \\[5pt] &=& 54 \end{array}$
Damit folgt für die vollständige Tabelle:
Anzahl der Tage
ab Upload
Anzahl der Nutzer
$0$$2$
$1$$6$
$2$$18$
$3$$54$
$4$$162$
$\blacktriangleright$  Falsche Funktionsterme nachweisen
Anhand der Tabelle folgt $f(0)=2$ und $f(1)=6$.
Mit den gegebenen Funktionstermen gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(1)&=&2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 4 & \neq 6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_2(0)&=& 3 \cdot 3^0 \\[5pt] &=& 3 & \neq 2 \end{array}$
Somit stimmen die gegebenen Werte aus der Tabelle nicht mit den Funktionswerten der Funktionsterme überein und somit sind beide Funktionsterme nicht richtig.
#funktionswert
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Tage bestimmen
Für die Anzahl der Tage $x$, nach denen mehr als $10.000$ Nutzer erwartet werden, folgt mit $f(x)=10.000$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 10.000 \\[5pt] 2 \cdot 3^x&=& 10.000 &\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] 3^x&=& 5.000 &\quad \scriptsize \mid\;\log(\,)\\[5pt] x \cdot \log(3)&=& \log(5.000) &\quad \scriptsize \mid\;:\log(3)\\[5pt] x &=& \dfrac{\log(5.000)}{\log(3)} \\[5pt] &\approx& 7,75 \end{array}$
$x \approx 7,75 $
Somit beträgt die erwartete Anzahl der Nutzer nach ungefähr $8$ Tagen mehr als $10.000$.
c)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Die Anzahl der Nutzer nimmt am fünften und sechsten Tag jeweils nur um $170$ zu. Somit folgt für die Anzahl der Nutzer nach $5$ Tagen:
$\begin{array}[t]{rll} n_5&=& 162+170 \\[5pt] &=& 332 \end{array}$
Für die Anzahl der Nutzer nach $6$ Tagen folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} n_6&=& 332+170 \\[5pt] &=& 502 \end{array}$
Somit folgt für die vollständige Tabelle:
Anzahl der Tage
ab Upload
Anzahl der Nutzer
$4$$162$
$5$$332$
$6$$502$
$\blacktriangleright$  Bedeutung erläutern
Die Steigung der linearen Funktion beträgt $m=170$. Das bedeutet, dass die Anzahl der Nutzer täglich um $170$ zunimmt.
$\blacktriangleright$  Achsenbschnitt berechnen
Mit $m=170$ und $g(4)=162$ folgt für den Achsenabschnitt $b$:
$\begin{array}[t]{rll} g(4)&=& 170 \cdot 4 +b \\[5pt] 162 &=& 680 +b &\quad \scriptsize \mid\; -680\\[5pt] -518&=& b \end{array}$
$ b= -518 $
Der Achsenabschnitt beträgt somit $b=-518$.
d)
$\blacktriangleright$  Grund nennen
Sowohl die exponentielle als auch die lineare Zunahme sind auf Dauer nicht beschränkt. Da es aber insgesamt nur eine beschränkte Anzahl an Menschen gibt können die Nutzerzahlen nicht unbeschränkt zunehmen.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen interpretieren
Der Graph besitzt ab dem 10. Tag die Steigung Null. Somit bleibt die Anzahl der Nutzer konstant.

Wahlteil zu B3

e)
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Für die Nullstellen der Funktion $h(x)$ folgt mit $h(x)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 0 \\[5pt] -20x^2+400x-1.178 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :(-20)\\[5pt] x^2-20x+58,9&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& 10\pm \sqrt{(-10)^2-58,9} \\[5pt] &=& 10\pm \sqrt{100-58,9} \\[5pt] &\approx& 10 \pm 6,41 \\[5pt] x_1&\approx& 16,41 \\[5pt] x_2&\approx& 3,59 \\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2} \approx \dotsc $
Somit lauten die Nullstellen ungefähr $x_1 \approx 16,41$ und $x_2 \approx 3,59.$
$\blacktriangleright$  Nullstellen einzeichnen und Parabel skizzieren
Für die Nullstellen und die Parabel folgt die Darstellung:
Aufgabe 3
Abb. 1: Nullstellen und Parabel
Aufgabe 3
Abb. 1: Nullstellen und Parabel
$\blacktriangleright$  Lage des Scheitelpunktes nachweisen
Für den Funktionsterm in Scheitelpunktform folgt:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& -20x^2+400x-1.178 \\[5pt] &=& -20 \cdot (x^2-20x+58,9) \\[5pt] &=& -20 \cdot (x^2-20x+100-41,1) \\[5pt] &=& -20 \cdot (x^2-20x+100) +822 \\[5pt] &=& -20 \cdot (x-10)^2 +822 \\[5pt] \end{array}$
$h(x)=\dotsc $
Somit besitzt die Funktion $h$ die Scheitelpunktform $h(x)=-20 \cdot (x-10)^2+822$. Damit besitzt der Scheitelpunkt die Koordinaten $S(10 \mid 822).$
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nutzer bestimmen
Aus der oberen Teilaufgabe ist gegeben, dass $10$ Tage nach dem Upload insgesamt $822$ Nutzer erwartet werden. Für die erwartete Anzahl an Nutzern nach $9$ Tagen folgt mit dem gegebenen Funktionsterm:
$\begin{array}[t]{rll} h(9)&=& -20 \cdot 9^2+400 \cdot 9-1.178 \\[5pt] &=& 802 \\[5pt] \end{array}$
$h(9)=802 $
Dadurch folgt für die erwartete Anzahl $n_{10}$ an Nutzern am 10. Tag
$\begin{array}[t]{rll} n_{10}&=& 822-802 \\[5pt] &=& 20 \\[5pt] \end{array}$
Somit werden am 10. Tag $20$ Nutzer erwartet.
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