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Aufgabe 4

Aufgaben
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B4 Statistik und Wahrscheinlichkeit

Summenbingo
Summenbingo wird mit zwei normalen Spielwürfeln (einem weißen und einem schwarzen Spielwürfel) und einem Bingofeld gespielt.
Jeder Spieler trägt zunächst in sein leeres Bingofeld vier verschiedene Augensummen ein.
Beide Würfel werden gleichzeitig geworfen und deren Augensumme wird gebildet. Taucht diese Augensumme auf dem Bingofeld auf, darfst du sie durchstreichen. Das Bingofeld, auf dem zuerst alle Zahlen gestrichen wurden, hat gewonnen.
Aufgabe 4
Abb. 1: Koordinatensystem
Aufgabe 4
Abb. 1: Koordinatensystem
a)
Der weiße Würfel zeigt eine $4$ und der schwarze Würfel eine $3.$
$\blacktriangleright$
Trage das entsprechende Kreuz in das Koordinatensystem an der richtigen Stelle ein.
(1 P.)
Es wurde bereits dreimal gewürfelt.
$\blacktriangleright$
Entnimm dem Koordinatensystem alle vier gewürfelten Augensummen und trage sie in das untenstehende Bingofeld ein.
Aufgabe 4
Abb. 2: Bingofeld
Aufgabe 4
Abb. 2: Bingofeld
(3 P.)
b)
Es gibt $36$ Möglichkeiten, die Augenzahlen zweier Würfel als Zahlenpaar aufzuschreiben. Alle Zahlenpaare sind gleich wahrscheinlich.
$\blacktriangleright$
Gib die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme $4$ an.
(2 P.)
Wenn beide Würfel dieselbe Augenzahl zeigen, wird von einem Pasch gesprochen.
$\blacktriangleright$
Trage die Kreuze für alle Ergebnisse des Ereignisses „Pasch“ in das Koordinatensystem ein.
Aufgabe 4
Abb. 3: Koordinatensystem
Aufgabe 4
Abb. 3: Koordinatensystem
(3 P.)
#wahrscheinlichkeit
c)
Vor dir liegt das abgebildete Bingofeld.
Aufgabe 4
Abb. 4: Bingofeld
Aufgabe 4
Abb. 4: Bingofeld
$\blacktriangleright$
Entscheide, für welche Augensumme im Bingofeld die größte Wahrscheinlichkeit besteht, dass sie nach dem nächsten Wurf gestrichen wird.
Begründe deine Entscheidung.
(2 P.)
Du darfst eine der Zahlen in diesem Bingofeld durch eine andere Augensumme ersetzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim nächsten Wurf eine Zahl gestrichen wird, soll dabei erhöht werden.
$\blacktriangleright$
Erläutere deine Vorgehensweise.
(3 P.)
#wahrscheinlichkeit

Wahlteil zu B4

Bitte ankreuzen! Dieser Wahlteil soll gewertet werden (du musst insgesamt zwei Wahlteile bearbeiten):
nein
d)
Du möchtest beim Bingospiel unbedingt gewinnen. Dazu empfiehlt es sich für das Bingofeld solche Zahlen zu wählen, die mit hoher Wahrscheinlichkeit bei den nächsten Würfen gestrichen werden.
$\blacktriangleright$
Wähle geeignete Zahlen aus, trage sie in das Bingofeld ein und begründe deine Entscheidung.
Aufgabe 4
Abb. 5: Bingofeld
Aufgabe 4
Abb. 5: Bingofeld
(4 P.)
Jan hat sein Bingofeld optimal ausgefüllt.
Johanna sagt zu ihm: „Schau dir das an! Ich habe nicht genau die gleichen Zahlen wie du, aber mein Bingofeld ist auch optimal.“
$\blacktriangleright$
Zeige, dass Johanna recht hat.
(2 P.)
Bildnachweise [nach oben]
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B4 Statistik und Wahrscheinlichkeit

a)
$\blacktriangleright$  Kreuz eintragen
Durch Eintragen des Kreuzes folgt:
Aufgabe 4
Abb. 1: Koordinatensystem
Aufgabe 4
Abb. 1: Koordinatensystem
$\blacktriangleright$  Augensumme eintragen
Für das Bingofeld folgt mit den gegebenen Augenzahlen:
Aufgabe 4
Abb. 2: Bingofeld
Aufgabe 4
Abb. 2: Bingofeld
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
Insgesamt gibt es von diesen $36$ Möglichkeiten genau drei Möglichkeiten, bei denen die Augensumme $4$ beträgt. Diese Möglichkeiten sind $(1 \mid 3)$, $(3 \mid 1)$ und $(2 \mid 2).$ Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P(„\text{Augensumme ist } 4 “)&=& \dfrac{3}{36} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{12} \end{array}$
$P( \dotsc $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme $4$ angezeigt wird beträgt somit $\dfrac{1}{12}.$
$\blacktriangleright$  Kreuze eintragen
Durch Eintragen der entsprechenden Kreuze folgt:
Aufgabe 4
Abb. 3: Koordinatensystem
Aufgabe 4
Abb. 3: Koordinatensystem
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
In der vorherigen Teilaufgabe ist gegeben, dass es insgesamt $36$ Möglichkeiten gibt die Augenzahlen zweier Würfel als Zahlenpaar aufzuschreiben und alle Zahlenpaare gleich wahrscheinlich sind.
Für die Augensumme $2$ gibt es hierbei nur die Möglichkeit $(1 \mid 1)$ und für die Augensumme $12$ nur die Möglichkeit $(6 \mid 6)$. Entsprechend gibt es für die Augensumme $3$ die Möglichkeiten $(1 \mid 2)$ und $(2 \mid 1)$ und für die Augensumme $5$ die Möglichkeiten $(1 \mid 4)$, $(4 \mid 1)$, $(2 \mid 3)$ und $(3 \mid 2).$
Somit gibt es für die Augensumme $5$ die größte Anzahl an Möglichkeiten sie zu würfeln und somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach dem ersten Wurf die Augensumme $5$ gestrichen wird, am größten.
$\blacktriangleright$  Vorgehensweise erläutern
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim nächsten Wurf eine Zahl gestrichen wird, wird größer, falls eine Augensumme mit kleiner Auftrittswahrscheinlichkeit durch eine Augensumme mit gößerer Auftrittswahrscheinlichkeit ausgetauscht wird.
Tausche beispielsweise die Augensumme $2$ durch die Augensumme $7$ aus, da es mehrere Möglichkeiten gibt die Augensumme $7$ zu würfeln und somit die Wahrscheinlichkeit dafür größer ist, dass diese Zahl gestrichen wird.

Wahlteil zu B4

d)
$\blacktriangleright$  Geeignete Zahlen angeben und begründen
Für die jeweiligen Augensummen folgen die möglichen Zahlenpaare:
AugensummeMöglichkeiten
$2$$(1\mid 1)$
$3$$(1 \mid 2)$, $(2 \mid 1)$
$4$$(1\mid 3)$, $(3\mid 1)$, $(2\mid 2)$
$5$$(1 \mid 4)$, $(4 \mid 1)$, $(2 \mid 3)$, $(3 \mid 2)$
$6$$(1\mid 5)$, $(5 \mid 1)$, $(2\mid 4), (4 \mid 2)$, $(3 \mid 3)$
$7$$(1\mid 6)$, $(6 \mid 1)$, $(2\mid 5), (5 \mid 2)$, $(3 \mid 4)$, $(4 \mid 3)$
$8$$(2\mid 6)$, $(6 \mid 2)$, $(3\mid 5), (5 \mid 3)$, $(4 \mid 4)$
$9$$(3 \mid 6)$, $(6 \mid 3)$, $(4 \mid 5)$, $(5 \mid 4)$
$10$$(4\mid 6)$, $(6\mid 4)$, $(5\mid 5)$
$11$$(5 \mid 6)$, $(6 \mid 5)$
$12$$(6\mid 6)$
Da in der vorherigen Teilaufgabe gegeben ist, dass alle Zahlenpaare mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten, folgt für ein mögliches Bingofeld:
Aufgabe 4
Abb. 4: Bingofeld
Aufgabe 4
Abb. 4: Bingofeld
$\blacktriangleright$  Behauptung zeigen
Aus der oberen Teilaufgabe wird deutlich, dass die Augensumme $5$ und die Augensumme $9$ die gleiche Anzahl an Möglichkeiten besitzen, dass sie gewürfelt werden. Somit ist es gleich wahrscheinlich, dass die Augennsumme $5$ oder die Augensumme $9$ gewürfelt wird.
Dadurch kann in dem obigen Bingofeld die Zahl $5$ auch durch die Zahl $9$ ersetzt werden und das Bingofeld ist trotzdem noch optimal. Somit hat Johanna recht.
Bildnachweise [nach oben]
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