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Aufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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1.
Gegeben sind die Punkte $P(2 \mid 0 \mid 5)$ und $Q(5 \mid 0 \mid 1).$
1.1
Weise nach, dass die Punkte $P$ und $Q$ den Abstand $5$ haben.
1.2
Bestimme eine Parametergleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $P$ und $Q.$
#geradengleichung
1.3
Auf der Geraden $g$ gibt es die Punkte, die von $P$ den Abstand $10$ besitzen. Gib die Koordinaten eines solchen Punktes an.
1.4
Zeige, dass es kein $k \in \mathbb{R}$ gibt, so dass $R_k(3 \mid k \mid 4)$ auf der Geraden $g$ liegt.
1.5
Prüfe, ob es Werte für $k \in \mathbb{R}$ gibt, so dass $R_k(3 \mid k \mid 4)$ von den Punkten $P$ und $Q$ denselben Abstand besitzt.
2.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0\mid 0\mid 1)$, $B(2\mid 6\mid 1)$, $C(-4\mid 8\mid 5)$ und $D(-6\mid 2\mid 5)$ gegeben. Der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks wird mit $M$ bezeichnet.
2.1
Begründe, dass die Gerade $AB$ parallel zur $x_1$-$x_2$-Ebene verläuft.
#parallel
2.2
Weise nach, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist. Gib die Koordinaten von $M$ an.
#rechteck
2.3
Das Rechteck $ABCD$ liegt in einer Ebene $e$. Ermittle eine Gleichung von $e$ in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: $3x_1-x_2+5x_3-5=0$)
#koordinatenform#ebenengleichung
2.4
2.4.1
Im Sinne eines möglichst großen Energieertrags sollte der Neigungswinkel $\phi$ der Modulfläche gegenüber der Horizontalen zwischen $30^{\circ}$ und $36^{\circ}$ liegen. Prüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist.
2.4.2
Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, senkrecht auf die Fläche der Solarmodule. Diese Fläche erzeugt auf dem horizontalen Untergrund einen rechteckigen Schatten.
Begründe unter Verwendung einer geeigneten beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms
$\left| \overrightarrow{AB}\right|\cdot \dfrac{\left| \overrightarrow{AD}\right|}{\cos \phi} \cdot (0,8\,\text{m})^2$
berechnet werden kann.
2.5
Um die Solarmodule während eines Tages ständig möglichst gut nach der Sonneneinstrahlung ausrichten zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Trägergestell um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Neigung des Trägergestells bleibt dabei unverändert.
2.5.1
Betrachtet wird der untere linke Eckpunkt der Modulfläche, der im Modell durch den Punkt $A$ dargestellt wird. Berechne den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt bei der Drehung des Metallrohrs bewegt.
2.5.2
Begründe ohne zu rechnen, dass der in Teilaufgabe 2.5.1 ermittelte Radius entsprechend auch für den unteren rechten Eckpunkt der Modulfläche gilt.
#radius
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Abstand nachweisen
Für den Richtungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ folgt mit den ensprechenden Ortsvektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}&=&\overrightarrow{OQ} -\overrightarrow{OP} \\[5pt] &=&\pmatrix{5\\0\\1} - \pmatrix{2\\0\\5} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\-4}\\[5pt] \end{array}$
Für die Länge des Richtungsvektors folgt damit:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{PQ} \right| &=& \sqrt{3^2 +0^2 +(-4)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{25} \\[5pt] &=& 5 \\[5pt] \end{array}$
Somit beträgt der Abstand zwischen den Punkten $P$ und $Q$ genau $5\,\text{LE}.$
#richtungsvektor
1.2
$\blacktriangleright$  Parametergleichung bestimmen
Mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ aus der vorherigen Teilaufgabe und dem Ortsvektor des Punktes $P$ folgt für die Parametergleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $P$ und $Q$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OP} + t \cdot \overrightarrow{PQ} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\0\\5} + t \cdot \pmatrix{3\\0\\-4} \\[5pt] \end{array}$
Damit lautet eine mögliche Parametergleichung $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\0\\5} + t \cdot \pmatrix{3\\0\\-4}.$
1.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes bestimmen
Der Abstand zwischen dem Punkt $P$ und $Q$ beträgt $5\,\text{LE}$. Somit folgt mit $t=2$ für die Koordinaten des Punktes $A$, welcher einen Abstand von $10\,\text{LE}$ zum Punkt $P$ besitzt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=&\pmatrix{2\\0\\5} + 2 \cdot \pmatrix{3\\0\\-4} \\[5pt] \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\0\\5} + \pmatrix{6\\0\\-8} \\[5pt] &=&\pmatrix{8\\0\\-3} \\[5pt] \end{array}$
Mögliche Koordinaten lauten somit $A(8 \mid 0 \mid -3).$
1.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes bestimmen
Durch eine Punktprobe folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{3\\k\\4} &=&\pmatrix{2\\0\\5} + t \cdot \pmatrix{3\\0\\-4} & \quad \scriptsize \mid \, - \pmatrix{2\\0\\5} \\[5pt] \pmatrix{1\\k\\-1} &=& t \cdot \pmatrix{3\\0\\-4} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{1\\k\\-1}= \dotsc $
Somit folgt das Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 1 &=& t \cdot 3 \\ \text{II}\quad& k&=& 0 \\ \text{III}\quad& -1&=& t \cdot (-4) \\ \end{array}$
Mit der Gleichung $\text{I}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=& t \cdot 3&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] \dfrac{1}{3}&=& t \end{array}$
Durch Einsetzen in die Gleichung $\text{III}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} -1&=& t \cdot (-4)\\[5pt] -1&=& \dfrac{1}{3} \cdot (-4)\\[5pt] -1&=& -\dfrac{4}{3} \end{array}$
Somit besitzt das Gleichungsystem keine Lösung und damit ist die Punktprobe für kein $k \in \mathbb{R}$ erfüllt.
#punktprobe
1.5
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Mit der Länge der Richtungsvektoren folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{PR_k} \right|&=& \left| \overrightarrow{QR_k} \right| \\[5pt] \left| \overrightarrow{OR_k} - \overrightarrow{OP} \right|&=& \left|\overrightarrow{OR_k} - \overrightarrow{OQ} \right|\\[5pt] \left|\pmatrix{3\\k\\4} - \pmatrix{2\\0\\5} \right|&=& \left|\pmatrix{3\\k\\4} - \pmatrix{5\\0\\1} \right| \\[5pt] \left|\pmatrix{1\\k\\-1} \right|&=& \left|\pmatrix{-2\\k\\3} \right|&\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] \sqrt{1^2+k^2+(-1)^2} &=& \sqrt{(-2)^2+k^2+3^2}&\quad \scriptsize \mid\;(\,)^2 \\[5pt] 1+k^2+1 &=& 4+k^2+9 \\[5pt] k^2+2 &=& k^2+13 &\quad \scriptsize \mid\;-k^2\\[5pt] 2&=& 13 \end{array}$
$2=13 $
Damit ist die Gleichung für kein $k \in \mathbb{R}$ erfüllt und somit gibt es keinen Wert für $k$, sodass $R_k$ den gleichen Abstand von den Punkten $P$ und $Q$ besitzt.
2.1
$\blacktriangleright$  Parallelität begründen
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{2\\6\\0}$
Die $x_3$-Koordinate des Richtungsvektors $\overrightarrow{AB}$ der Gerade ist null. Alle Punkte auf der Gerade besitzen also die gleiche $x_3$-Koordinate. Damit verläuft die Gerade parallel zur $x_1$-$x_2$-Ebene.
2.2
$\blacktriangleright$  Rechteck nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BC}&=& \pmatrix{2\\6\\0}\circ \pmatrix{-6\\2\\4} \\[5pt] &=& 2\cdot (-6) + 6\cdot 2 + 0\cdot 4 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{CD}&=& \pmatrix{-6\\2\\4}\circ \pmatrix{-2\\-6\\0} \\[5pt] &=& (-6)\cdot (-2) + 2\cdot (-6) + 4\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DA}&=& \pmatrix{-2\\-6\\0}\circ \pmatrix{6\\-2\\-4} \\[5pt] &=& (-2)\cdot 6 + (-6)\cdot (-2) + 0\cdot (-4) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{DA}&=& \pmatrix{2\\6\\0}\circ \pmatrix{6\\-2\\-4} \\[5pt] &=& 2\cdot (-6) + 6\cdot 2 + 0\cdot 4 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BC}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{CD}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DA}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{DA}&=& 0 \\[10pt] \end{array}$
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren Null ist, stehen diese senkrecht aufeinander. Alle Paare nebeneinander liegender Seiten des Vierecks $ABCD$ schließen also einen rechten Winkel ein. Daher handelt es sich um ein Rechteck.
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Gesucht sind die Koordinaten des Schnittpunkts $M$ der Diagonalen von $ABCD.$ Da es sich bei $ABCD$ um ein Rechteck handelt, halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. $M$ ist also der Mittelpunkt der Strecken $[AC]$ und $[BD].$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\4\\3} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{OM}\\[5pt] =& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] =& \pmatrix{-2\\4\\3} \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes $M$ lauten $M(-2\mid 4\mid 3).$
#skalarprodukt
2.3
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_1&=& \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\6\\0} \times \pmatrix{-6\\2\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\cdot 4 -2\cdot 0 \\0\cdot (-6)- 2\cdot 4 \\ 2\cdot 2 - 6\cdot (-6)} \\[5pt] &=& \pmatrix{24\\-8\\40}\\[5pt] &=& 8\cdot \pmatrix{3\\-1\\5} \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_1 = 8\cdot \pmatrix{3\\-1\\5} $
$\begin{array}[t]{rll} n_1 \cdot x_1+n_2 \cdot x_2+n_3 \cdot x_3 -d &=& 0 \\[5pt] 3\cdot (-6)-1\cdot 2 + 5\cdot 5-d&=& 0\\[5pt] 5-d&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +d\\[5pt] 5&=&d \end{array}$
$ 5 = d $
Eine mögliche Gleichung der Ebene $e$ in Normalenform lautet $e: \;3x_1-x_2+5x_3 -5 = 0.$
[Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten. Deine Lösung ist richtig, wenn die Ebenengleichung durch Multiplikation mit einem Faktor in die Musterlösung umgeformt werden kann.]
2.4.1
$\blacktriangleright$  Bedingung prüfen
Das Solarmodul wird im Modell durch das Viereck $ABCD$ dargestellt, das in der Ebene $e$ liegt. Die Horizontale wird durch die $x_1$-$x_2$-Ebene beschrieben. Der betrachtete Winkel $\phi$ kann also über den Schnittwinkel von $e$ mit der $x_1$-$x_2$-Ebene berechnet werden.
Ein Normalenvektor von $e$ ist beispielsweise $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{3\\-1\\5}$. Ein möglicher Normalenvektor der $x_1$-$x_2$-Ebene ist $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{0\\0\\1}.$
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\phi)&=&\dfrac{\left| \pmatrix{3\\-1\\5}\circ \pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left|\pmatrix{3\\-1\\5} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos(\phi)&=&\dfrac{5}{\sqrt{3^2+(-1)^2+ 5^2}\cdot 1} \\[5pt] \cos(\phi)&=& \dfrac{5}{\sqrt{35}}&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \phi&\approx& 32,31^{\circ} \end{array}$
$ \phi\approx 32,31^{\circ} $
Das Solarmodul ist gegenüber der Horizontalen um ca. $32,31^{\circ}$ geneigt. Die Bedingung ist daher erfüllt.
2.4.2
$\blacktriangleright$  Formel für den Flächeninhalt zeigen
Der Schatten ist ebenfalls ein Rechteck, das von den Schattenpunkten $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ gebildet wird.
Laut Aufgabenteil 2.1 verläuft die Gerade $AB$ parallel zur $x_1$-$x_2$-Ebene. Die Seitenlänge $\left|[AB] \right|$ bleibt daher auch im Schatten erhalten: $\left|[A'B'] \right| = \left|[AB]\right|.$
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze
Gesucht ist nun die Länge der Strecke $[A'D'].$ Diese entspricht auch der Länge der Strecke $[AS].$ Das Dreieck $ADS$ besitzt einen rechten Winkel bei $D.$ Die Größe des Winkels $\phi$ ist bereits bekannt. Die Strecke $[AD]$ ist die Ankathete zu $\phi$ im Dreieck $ADS.$
Gesucht ist die Länge der Hypotenuse $[AS]$. Diese kann mit dem Kosinus berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\phi)&=& \dfrac{\left|[AD] \right|}{\left|[AS] \right|} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left|[AS] \right|\\[5pt] \cos(\phi) \cdot \left|[AS] \right|&=& \left|[AD] \right|&\quad \scriptsize \mid\; :\cos(\phi) \\[5pt] \left|[AS] \right|&=& \dfrac{ \left|[AD] \right|}{\cos(\phi)} \\[5pt] \end{array}$
$ \left|[AS] \right| = \dfrac{ \left|[AD] \right|}{\cos(\phi)} $
Bei beiden Seitenlängen des Rechtecks $A'B'C'D'$ muss der Maßstab beachtet werden. Eine Längeneinheit im Modell entspricht $0,8\,\text{m}$ in der Realität. Zudem können die Seitenlängen durch die Beträge der entsprechenden Verbindungsvektoren dargestellt werden. Der Flächeninhalt des Schattens ergibt sich damit zu:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Schatten}}&=& \left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot (0,8\,\text{m}) \cdot \left|\overrightarrow{A'D'} \right|\cdot (0,8\,\text{m}) \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AS} \right| \cdot (0,8\,\text{m})^2\\[5pt] &=&\left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \dfrac{ \left|\overrightarrow{AD} \right|}{\cos(\phi)} \cdot (0,8\,\text{m})^2\\[5pt] \end{array}$
$A_{\text{Schatten}} = … $
#kosinus
2.5.1
$\blacktriangleright$  Radius berechnen
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 2: Skizze
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 2: Skizze
$\begin{array}[t]{rll} r&=& \left| \overrightarrow{AM'} \right|\cdot (0,8\,\text{m}) \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{-2\\4\\0} \right|\cdot (0,8\,\text{m}) \\[5pt] &=& \sqrt{(-2)^2 + 4^2 +0^2}\cdot (0,8\,\text{m})\\[5pt] &=& \sqrt{20}\cdot (0,8\,\text{m}) \\[5pt] &\approx& 3,58\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
$ r \approx 3,58\,\text{m} $
Der Radius des Kreises, auf dem sich der Eckpunkt des Solarmoduls bewegt, beträgt ca. $3,58\,\text{m}.$
2.5.2
$\blacktriangleright$  Radius begründen
Aus Teilaufgabe 2.1 ist bekannt, dass die Gerade $AB$ parallel zur $xy$-Ebene verläuft. Die untere Kante des Solarmoduls, die im Modell durch die Strecke $[AB]$ dargestellt wird, liegt daher parallel zur Horizontalen. Das Metallrohr steht vertikal und ändert dies auch während der Drehung nicht. Ebenso bleibt der Neigungswinkel des Solarmoduls erhalten. Der Kreis, auf dem sich der untere linke Eckpunkt, der im Modell durch $A$ dargestellt wird, bewegt, ist also parallel zur Horizontalen. Da die untere Modulkante ebenfalls parallel zur Horizontalen liegt, muss damit der untere rechte Eckpunkt ebenso auf diesem Kreis liegen. Der Radius gilt also auch für diesen Eckpunkt.
Bildnachweise [nach oben]
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