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Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeitstheorie

Aufgaben
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1.
Flugreisende in Berlin haben die Flughäfen Tegel und Schönefeld zur Auswahl. Aufgrund langjähriger Erfahrungen kann man davon ausgehen, dass von den Flugreisenden in Berlin
  • $71\,\%$ sich für den Flughafen Tegel entscheiden,
  • $26\,\%$ in Tegel starten und einen Inlandsflug antreten,
  • $28\,\%$ in Schönefeld starten und ein Ziel im Ausland anfliegen.
1.1
Erstelle für die beschriebene Situation eine vollständige Vierfeldertafel.
#vierfeldertafel
1.2
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fluggast einen Inlandsflug antritt.
1.3
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fluggast den Flughafen Tegel auswählt und ins Ausland fliegt.
1.4
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fluggast den Flughafen Schönefeld auswählt oder ins Inland fliegt.
2.
Man geht am Flughafen Schönefeld davon aus, dass in $1\,\%$ der ankommenden Koffer Rauschgift geschmuggelt wird. Der Zoll setzt einen Rauschgifthund ein. Dieser bellt mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$, wenn sich Rauschgift in einem Koffer befindet. Er bellt aber auch mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$, wenn kein Rauschgift im Koffer ist.
2.1
Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm. Verwende dazu die Bezeichnungen: $R:$ „Der Koffer enthält Rauschgifft.“ und $B:$ „Der Hund bellt.“.
#baumdiagramm
2.2
Bestätige durch eine Rechnung, dass der Hund mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $6\,\%$ bellt.
2.3
Der Hund hat gebellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält der Koffer Rauschgift?
2.4
Untersuche die Ereignisse $R$ und $B$ auf stochastische Unabhängigkeit.
#stochastischeunabhängigkeit
3.
Die deutsche Lufthansa zählt zu den zuverlässigsten Fluglinien der Welt. Bei ihr starten erfahrungsgemäß $85\,\%$ aller Flüge pünktlich.
3.1
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von $10$ Flügen
  • alle pünktlich sind,
  • mindestens neun pünktlich sind.
3.2
In einer Stichprobe werden $40$ Flüge genauer untersucht.
  • Welche Anzahl pünktlicher Flüge kann man in einer solchen Stichprobe erwarten?
  • Bestimme für eine solche Stichprobe die $\sigma$-Umgebung des Erwartungswertes.
#erwartungswert
3.3
Berechne die Anzahl Flüge, die zumindest untersucht werden müssen, damit man mit mindestens $99\,\%$ Wahrscheinlichkeit wenigstens einen pünktlichen Flug findet.
4.
Eine neu im Markt operierende Fluglinie wirbt mit der Pünktlichkeit ihrer Flüge von sogar $88\,\%.$ Ein Mitarbeiter der Verbraucherzentrale glaubt, dass dieser Wert zu hoch gegriffen ist (Gegenhypothese) und veranlasst einen Test bei $100$ Flügen.
4.1
Formuliere die Null- und die Gegenhypothese für diesen Test.
Bestimme den Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem $2,5\,\%$-Niveau (vorgegebene obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art).
#hypothesentest
4.2
Der Test liefert eine Zahl von $82$ pünktlichen Flügen. Interpretiere dieses Ergebnis.
4.3
Erläutere, was man in dem Sachzusammenhang unter dem Fehler 2. Art versteht.
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellen
Das Ereignis, dass sich ein Flugreisender für den Flughafen Tegel entscheidet kann mit $T$ und entsprechend für den Flughafen Schönefeld mit $S$ bezeichnet werden. Außerdem kann das Ereignis, dass ein Flugreisender einen Inlandsflug antritt mit $I$ und einen Auslandsflug mit $A$ bezeichnet werden.
Mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten und den entsprechenden Rechenregeln folgt für die Vierfeldertafel:
$T$$S$
$I$$0,26$$0,01$$0,27$
$A$$0,45$$0,28$$0,73$
$0,71$$0,29$$1$
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es ist die Wahrscheinlichkeit $P(I)$ gesucht. Mit der zuvor bestimmten Vierfeldertafel folgt $P(I)=0,27.$
Damit tritt ein Fluggast mit einer Wahrscheinlichkeit von $27\,\%$ einen Inlandsflug an.
1.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es ist die Wahrscheinlichkeit $P(T \cap A)$ gesucht. Mit der zuvor bestimmten Vierfeldertafel folgt $P(T \cap A)=0,45.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fluggast den Flughafen Tegel auswählt und ins Ausland fliegt beträgt $45\,\%.$
1.4
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es ist die Wahrscheinlichkeit $P(S \cup I)$ gesucht. Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und der Vierfeldertafel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(S \cup I)&=& P(S \cap I) + P(S \cap A) + P(I \cap T) \\[5pt] &=& 0,01 + 0,28 + 0,26 \\[5pt] &=& 0,55 \\[5pt] \end{array}$
$P(S \cup I)=0,55 $
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fluggast den Flughafen Schönefeld auswählt oder ins Inland fliegt $55\,\%.$
#satzdertotalenwahrscheinlichkeit
2.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen
Für das Baumdiagramm folgt mit den gegebenen Bezeichnungen:
Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeitstheorie
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeitstheorie
Abb. 1: Baumdiagramm
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestätigen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(B)$. Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(R \cap B) + P\left(\overline{R} \cap B \right) \\[5pt] &=& 0,01 \cdot 0,9 + 0,99 \cdot 0,05 \\[5pt] &=& 0,0585 \\[5pt] &\approx& 6\,\% \\[5pt] \end{array}$
$P(B) \approx 6\,\% $
Damit bellt der Hund ungefähr mit einer Wahrscheinlichkeit von $6\,\%.$
#pfadregeln#satzdertotalenwahrscheinlichkeit
2.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass der Koffer Rauschgift enthält unter der Voraussetzung, dass der Hund gebellt hat. Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(R)$ gesucht. Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit und der zuvor bestimmten Wahrscheinlichkeit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_B(R)&=& \dfrac{P(R \cap B)}{P(B)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,01 \cdot 0,9}{0,0585} \\[5pt] &\approx& 0,1538 \\[5pt] \end{array}$
Somit enthält der Koffer etwa mit einer Wahrscheinlichkeit von $15,38\,\%$ Rauschgift unter der Bedingung, dass der Hund gebellt hat.
#bedingtewahrscheinlichkeit
2.4
$\blacktriangleright$  Stochastische Unabhängigkeit prüfen
Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(R \cap B)&=& P(R) \cdot P(B) \\[5pt] 0,01 \cdot 0,9&=& 0,01 \cdot 0,0585 \\[5pt] 0,009&=& 0,000585 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $P(R \cap B) \neq P(R) \cdot P(B) $ und damit sind die Ereignisse $R$ und $B$ stochastisch abhängig.
3.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Bezeichne beispielsweise die Anzahl der Flüge, welche pünktlich sind, mit der Zufallsvariablen $X$. Damit folgt, dass die Zufallsvariable $X$ mit dem Stichprobenumfang $n=10$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p=0,85$ binomialverteilt ist.
Für die Wahrscheinlichkeit $P(X=10)$ folgt somit mit der Formel zur Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=10)&=&\binom{10}{10} \cdot 0,85^{10} \cdot (1-0,85)^{10-10} \\[5pt] &=& 0,85^{10} \\[5pt] &\approx& 0,1969 \\[5pt] \end{array}$
$P(X=10) \approx 0,1969$
Somit sind mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $19,69\,\%$ alle Flüge pünkltich.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit der gleichen Vorgehensweise wie zuvor folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 9):$
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 9)&=& P(X=9) +P(X=10)\\[5pt] &=& \binom{10}{9} \cdot 0,85^{9} \cdot (1-0,85)^{10-9}+P(X=10)\\[5pt] &=& 10 \cdot 0,85^{9} \cdot 0,15 +P(X=10)\\[5pt] &\approx& 0,3474 +0,1969\\[5pt] &\approx& 0,5443\\[5pt] \end{array}$
$P(X \geq 9) \approx 0,5443 $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens neun Züge pünktlich sind beträgt ungefähr $54,43\,\%.$
#binomialverteilung
3.2
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
Für den Erwartungswert der binomialverteilten Zufallsgröße folgt mit $n=40$:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n \cdot p \\[5pt] &=& 40 \cdot 0,85 \\[5pt] &=& 34 \\[5pt] \end{array}$
Somit können $34$ pünktliche Flüge in dieser Stichprobe erwartet werden.
$\blacktriangleright$  Umgebung bestimmen
Für die Standardabweichung $\sigma$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=&\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{40 \cdot 0,85 \cdot (1-0,85)} \\[5pt] &\approx& 2,26\\[5pt] \end{array}$
Damit lautet die $\sigma$-Umgebung:
$\begin{array}[t]{rll} [ \mu -\sigma; \mu + \sigma ]&\approx& [ 34 -2,26; 34 + 2,26 ] \\[5pt] &\approx& [ 31,74 ;\, 36,26 ] \\[5pt] \end{array}$
$ [ \mu -\sigma; \mu + \sigma ] \approx \dotsc$
Die $\sigma$-Umgebung lautet damit etwa $[ 31,74 ;\, 36,26 ].$
#standardabweichung
3.3
$\blacktriangleright$  Anzahl der Flüge berechnen
Mit den zuvor eingeführten Bezeichnungen muss $P(X \geq 1) \geq 0,99$ gelten. Somit folgt mit der Gegenwahrscheinlichkeit und der Formel für eine Binomialverteilung für die Anzahl $n$ der Flüge, welche untersucht werden müssen, mit $p=0,85$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 1)& \geq & 0,99 \\[5pt] 1-P(X = 0)& \geq & 0,99 & \quad \scriptsize \, \mid +P(X=0) \\[5pt] 1& \geq & 0,99+ P(X=0) & \quad \scriptsize \, \mid -0,99 \\[5pt] 0,01& \geq & P(X=0) \\[5pt] 0,01& \geq & \binom{n}{0} \cdot 0,85^0 \cdot (1-0,85)^n \\[5pt] 0,01& \geq & 0,15^n & \quad \scriptsize \, \log(\,)\\[5pt] \log(0,01) & \geq & n \cdot \log(0,15) & \quad \scriptsize \, \mid :\log(0,15) < 0\\[5pt] \dfrac{\log(0,01)}{\log(0,15)} & \leq & n \\[5pt] 2,43 & \leq & n \\[5pt] \end{array}$
$ n \geq 2,43 $
Damit müssen mindestens drei Flüge untersucht werden, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von $99\,\%$ wenigstens einen pünktlichen Flug findet.
#binomialverteilung
4.1
$\blacktriangleright$  Hypothesen formulieren
Die Nullhypothese für diesen Test lautet:
$H_0: p=0,88$
Hierbei handelt es sich um einen linksseitigen Test. Somit folgt für die Gegenhypothese:
$H_1: p < 0,88$
$\blacktriangleright$  Ablehnungsbereich bestimmen
Für den Erwartungswert $\mu$ der binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=100$ und $p=0,88$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n \cdot p \\[5pt] &=& 100 \cdot 0,88 \\[5pt] &=& 88 \\[5pt] \end{array}$
Für die Standardabweichung $\sigma$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=& \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{100 \cdot 0,88 \cdot (1-0,88)} \\[5pt] &\approx& 3,25 \\[5pt] \end{array}$
Hierbei gilt $\sigma > 3$. Damit ist die Laplace-Bedingung erfüllt. Somit kann eine binomialverteilte Zufallsgröße durch eine Normaleverteilung approximiert werden.
Da es sich hierbei um einen linksseitigen Test handelt besitzt der Ablehnungsbereich die Darstellung $\overline{A}=[0;k-1]$.
Für den Ablehnungsbereich folgt die Skizze:
Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeitstheorie
Abb. 2: Skizze
Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeitstheorie
Abb. 2: Skizze
Mit der Sigma-Regel für eine Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ folgt somit für $k$:
$\begin{array}[t]{rll} k&\approx&\mu -1,96 \cdot \sigma \\[5pt] &\approx& 88 -1,96 \cdot 3,25 \\[5pt] &\approx& 81,63 \\[5pt] \end{array}$
Damit lautet der Ablehnungsbereich $\overline{A}=\{0; 1; \dotsc; 80\}$.
4.2
$\blacktriangleright$  Ergebnis interpretieren
$82$ pünktliche Flüge liegen im Annahmebereich der Nullhypothese. Damit wird die Nullhypothese nicht verworfen.
4.3
$\blacktriangleright$  Fehler interpretieren
Der Fehler 2. Art bedeutet, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie in Wahrheit nicht zutrifft. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass der Test bestätigt das $88\,\%$ der Flüge pünktlich sind, obwohl die Wahrscheinlichkeit in Wahrheit geringer ist.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
[2]
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