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Aufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Funktion $f: D_{\text{max}} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=-\dfrac{2}{27}x^3+\dfrac{1}{2}x^2.$
1.1
Gib die maximale Definitionsmenge $D_{\text{max}}$ an und untersuche die Funktion auf einfache Symmetrie (zur $y$-Achse, zum Ursprung).
#definitionsbereich#symmetrie
1.2
Begründe anhand des Funktionsterms das Grenzwertverhalten für $x \rightarrow -\infty$ und für $x \rightarrow +\infty.$
#grenzwert
1.3
Berechne die Nullstellen der Funktion $f$ einschließlich ihrer jeweiligen Vielfachheit.
#nullstelle
1.4
Untersuche rechnerisch den Graphen von $f$ auf Extrempunkte und gib diese einschließlich ihrer Art an.
#extrempunkt
1.5
Skizziere unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen der Funktion $f$.
1.6
Der Graph von $f$ und die $x$-Achse schließen eine Fläche ein.
Zeige rechnerisch unter Angabe einer Stammfunktion, dass das Maß der Fläche ungefähr den $12,8\,\text{FE}$ beträgt.
#stammfunktion
1.7
Es gilt: $\displaystyle\int_{0}^{9}f(x)\;\mathrm dx=0.$
Deute dieses Ergebnis und beziehe dich dabei auf den Graphen der Funktion $f$.
Hinweis: Ein rechnerischer Nachweis ist nicht gefordert.
2.0
Durch eine Streckung der Funktion $f$ in $y$-Richtung um den Faktor $64$ und eine Verschiebung in $y$-Richtung um $200$ ergibt sich für $0 \leq x \leq 6$ die Funktion $g$ mit der Gleichung
$g(x)=-\dfrac{128}{27}x^3+32x^2+200.$
Mithilfe dieser Funktion soll die zeitliche Entwicklung des Wasserstandes der Saar am Pegel in St. Arnual in den ersten $6$ Tagen einer länger andauernden Hochwasserphase modelliert werden.
Die Variable $x$ beschreibt die seit Beobachtungsbeginn $(x=0)$ vergangene Zeit in Tagen, und $g(x)$ gibt die Höhe des Wasserstandes in der Einheit $\text{cm}$ zum Zeitpunkt $x$ an.
Normalerweise hat der Pegel in St. Arnual eine Höhe von ungefähr $200\,\text{cm}.$
Die Abbildung auf der nächsten Seite zeigt den Graphen der Funktion $g.$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph der Funktion $g$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph der Funktion $g$
2.1
Berechne mit Hilfe der Modellfunktion die Höhe des Wasserstandes einen Tag nach Beobachtungsbeginn und berechne die Höhe $36$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.
2.2
Bestimme, wann der Höchststand des Wassers erreicht wird, und berechne die maximale Höhe des Wasserstandes.
2.3
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Pegelstand am schnellsten ansteigt, und berechne die zugehörige Steiggeschwindigkeit in der Einheit $1\,\frac{\text{cm}}{\text{h}}.$
Zur Erweiterung des Modells soll ab dem Zeitpunkt $6$ Tage der Wasserstand durch die Funktion
$h(x)=\dfrac{128}{x-5} +200$ und $x \geq 6.$
beschrieben werden.
2.4
Zeige, dass an der Stelle $6$ (Zeitpunkt $6$ Tage) die Graphen von $g$ und $h$ knickfrei ineinander übergehen.
2.5
Bestimme das Monotonieverhalten des Graphen der Funktion $h.$
Zeichne den Graphen von $h$ in das obige Koordinatensystem.
Nenne zwei Voraussetzungen, die die Modellierung der Hochwasserphase mit Hilfe der Funktion $h$ nach dem Zeitpunkt $6$ Tage angemessen erscheinen lassen.
#monotonie
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Maximale Definitionsmenge angeben
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist für alle $x \in \mathbb{R}$ definiert. Somit folgt für die maximale Definitionsmenge:
$D_{\text{max}}=\mathbb{R}$
$\blacktriangleright$  Symmetrie angeben
In dem Funktionsterm der Funktion $f$ besitzt $x$ gerade und ungerade Exponenten. Somit besitzt der Graph der Funktion $f$ keine Symmetrie.
1.2
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktion angeben
Da es sich bei $f$ mit $f(x)=-\dfrac{2}{27}x^3+\dfrac{1}{2}x^2$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit negativem Vorzeichen vor der höchsten Potenz $x^3$ handelt gilt:
$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty $
$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = +\infty$
1.3
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Für die Nullstelle der Funktion $f$ folgt mit $f(x)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] -\dfrac{2}{27}x^3 +\dfrac{1}{2} x^2&=& 0 \\[5pt] -\dfrac{2}{27}x^2 \cdot \left(x- \dfrac{27}{4}\right)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit den Satz vom Nullprodukt folgt, dass $x_1=0$ eine doppelte Nullstelle ist und $x_2=\dfrac{27}{4}$ eine einfache Nullstelle.
#satzvomnullprodukt
1.4
$\blacktriangleright$  Extrempunkte untersuchen
Für die Ableitungsfunktionen der Funktion $f$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -\dfrac{2}{27}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 \\[5pt] f'(x)&=& -\dfrac{2}{27} \cdot 3 \cdot x^2 + \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot x \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{9} \cdot x^2 + x \\[5pt] f''(x)&=& -\dfrac{2}{9} \cdot 2 \cdot x +1 \\[5pt] &=& -\dfrac{4}{9} \cdot x +1\\[5pt] \end{array}$
$f'(x)= \dotsc$
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $f'(x_E)=0$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] -\dfrac{2}{9} \cdot x^2 + x&=& 0 \\[5pt] -\dfrac{2}{9} \cdot x \cdot \left(x-\dfrac{9}{2} \right)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgen für mögliche Extremstellen:
$x_1=0$ und $x_2=\dfrac{9}{2}$
Weiter folgt für $f''(0)$:
$\begin{array}[t]{rll} f''(0)&=& -\dfrac{4}{9} \cdot 0 +1 \\[5pt] &=& 1 \quad > 0\\[5pt] \end{array}$
Damit ist das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt.
Für den Funktionswert $f(0)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& -\dfrac{2}{27} \cdot 0^3 + \dfrac{1}{2} \cdot 0^2 \\[5pt] &=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit lauten die Koordinaten des Tiefpunktes $T(0 \mid 0).$
Für $f''\left(\dfrac{9}{2}\right)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(\dfrac{9}{2}\right)&=& -\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{9}{2} +1 \\[5pt] &=& -1 \quad < 0 \\[5pt] \end{array}$
Dadurch ist das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt erfüllt.
Für den Funktionswert $f\left(\dfrac{9}{2}\right)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\dfrac{9}{2}\right)&=& -\dfrac{2}{27} \cdot \left(\dfrac{9}{2}\right)^3 + \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{9}{2}\right)^2 \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{27} \cdot \dfrac{729}{8}+ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{81}{4} \\[5pt] &=& -\dfrac{27}{4} + \dfrac{81}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{27}{8} \\[5pt] \end{array}$
$f\left(\dfrac{9}{2}\right)=\dfrac{27}{8}$
Somit besitzt der Hochpunkt die Koordinaten $H\left(\dfrac{9}{2} \Big| \dfrac{27}{8} \right).$
#hinreichendeskriteriumfürextrema#notwendigeskriteriumfürextrema
1.5
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Für den Graphen der Funktion $f$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse folgt:
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph der Funktion $f$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph der Funktion $f$
1.6
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Für den Flächeninhalt folgt mit den Grenzen aus den zuvor berechneten Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{27}{4}}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{27}{4}} \left(-\dfrac{2}{27}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-\dfrac{2}{108} x^4 + \dfrac{1}{6}x^3 \right]_0^{\frac{27}{4}} \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{108} \cdot \left(\dfrac{27}{4} \right)^4 + \dfrac{1}{6} \cdot \left( \dfrac{27}{4} \right)^3 -\left(-\dfrac{2}{108} \cdot 0^4 + \dfrac{1}{6} \cdot 0^3 \right)\\[5pt] &\approx& 12,8 \\[5pt] \end{array}$
$A \approx 12,8 $
Somit beträgt das Maß der Fläche etwa $12,8\,\text{FE}.$
#integral
1.7
$\blacktriangleright$  Ergebnis deuten
Aus der vorherigen Aufgabe gilt $\displaystyle\int_{0}^{\frac{27}{4}}f(x)\;\mathrm dx \approx 12,8$. Mit $\displaystyle\int_{0}^{9}f(x)\;\mathrm dx =0$ folgt somit $\displaystyle\int_{\frac{27}{4}}^{9} f(x)\;\mathrm dx \approx -12,8.$ Damit ist das Maß der Fläche, welche die $x$-Achse und der Graph von $f$ zwischen $\dfrac{27}{4}$ und $9$ einschließt, gleich das Maß der Fläche mit den Grenzen $0$ und $\dfrac{27}{4}.$
Der Graph der Funktion $f$ liegt außerdem im Bereich von $\dfrac{27}{4}$ bis $9$ unterhalb der $x$-Achse.
2.1
$\blacktriangleright$  Höhe des Wasserstandes berechnen
Für die Höhe des Wasserstandes nach einem Tag folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(1)&=& -\dfrac{128}{27}\cdot 1^3 +32 \cdot 1^2 +200 \\[5pt] &=& -\dfrac{128}{27}+32 +200 \\[5pt] &\approx& 227,26 \\[5pt] \end{array}$
$g(1) \approx 227,26 $
Damit beträgt die Höhe des Wasserstandes nach einem Tag etwa $227,26\,\text{cm}.$
Für die Höhe des Wasserstandes nach $36$ Stunden, also nach $1,5$ Tagen, folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(1,5)&=& -\dfrac{128}{27}\cdot 1,5^3 +32 \cdot 1,5^2 +200 \\[5pt] &=& 256 \\[5pt] \end{array}$
$g(1,5)=256 $
Somit beträgt die Höhe des Wasserstandes nach $36$ Stunden $256\,\text{cm}.$
#funktionswert
2.2
$\blacktriangleright$  Höchstwasserstand berechnen
Der Höchstwasserstand entspricht der $y$-Koordinate des Hochpunktes des Graphen der Funktion $g$. Die Funktion $g$ ergibt sich aus einer Streckung und Verschiebung der Funktion $f$ in $y$-Richtung. Dadurch ändert sich die $x$-Koordinate des Hochpunktes nicht.
Aus der vorherigen Teilaufgabe folgt somit, dass der Graph der Funktion $g$ an der Stelle $x=\dfrac{9}{2}$ einen Hochpunkt besitzt.
Für den Funktionswert $g\left(\dfrac{9}{2}\right)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g\left(\dfrac{9}{2}\right)&=& -\dfrac{128}{27} \cdot \left(\dfrac{9}{2}\right)^3 + 32 \cdot \left(\dfrac{9}{2}\right)^2 +200\\[5pt] &=& 416 \\[5pt] \end{array}$
$g\left(\dfrac{9}{2}\right)=416$
Somit besitzt der Hochpunkt die Koordinaten $H\left(\dfrac{9}{2} \Big| 416 \right).$ Damit folgt, dass der Höchststand des Wassers nach $\dfrac{9}{2}$ Tagen erreicht wird und $416\,\text{cm}$ beträgt.
2.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen
Gesucht sind die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen der Ableitungsfunktion $g'$. Für die Ableitungsfunktionen der Funktion $g$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& -\dfrac{128}{27}\cdot x^3 + 32 \cdot x^2 +200\\[5pt] g'(x)&=& -\dfrac{128}{27} \cdot 3 \cdot x^2 + 64 \cdot x\\[5pt] &=& -\dfrac{128}{9} \cdot x^2 + 64x\\[5pt] g''(x)&=& -\dfrac{128}{9}\cdot 2 \cdot x + 64 \\[5pt] &=& -\dfrac{256}{9}\cdot x + 64\\[5pt] g'''(x)&=& -\dfrac{256}{9}\\[5pt] \end{array}$
$g'(x)=\dotsc $
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $g''(x_E)=0$ der Ableitungsfunktion folgt für die möglichen Extremstellen von $g':$
$\begin{array}[t]{rll} g''(x)&=& 0 \\[5pt] -\dfrac{256}{9}\cdot x + 64&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, -64\\[5pt] -\dfrac{256}{9}\cdot x&=& -64 & \quad \scriptsize \mid \, \cdot \left(-\dfrac{9}{256}\right)\\[5pt] x&=& \dfrac{9}{4} \\[5pt] \end{array}$
$x= \dfrac{9}{4} $
Weiter folgt für $g'''\left(\dfrac{9}{4}\right)$:
$\begin{array}[t]{rll} g'''\left(\dfrac{9}{4}\right)&=& -\dfrac{256}{9} \quad < 0\\[5pt] \end{array}$
Damit ist das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt des Graphen der Ableitungsfunktion $g'$ erfüllt. Somit steigt der Wasserstand nach $2$ Tagen und $6$ Stunden am schnellsten.
$\blacktriangleright$  Steiggeschwindigkeit angeben
Für den Funktionswert der Ableitungsfunktion folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g'\left(\dfrac{9}{4}\right)&=& -\dfrac{128}{9} \cdot \left(\dfrac{9}{4}\right)^2 + 64 \cdot \dfrac{9}{4} \\[5pt] &=& -\dfrac{128}{9} \cdot \dfrac{81}{16} + 144 \\[5pt] &=& -72 + 144 \\[5pt] &=& 72\\[5pt] \end{array}$
$ g'\left(\dfrac{9}{4}\right) = 72 $
Somit beträgt die maximale Steiggeschwindigkeit $72\,\dfrac{\text{cm}}{\text{d}}.$ Dies entspricht der Steiggeschwindigkeit von $3\,\dfrac{\text{cm}}{\text{h}}.$
#hinreichendeskriteriumfürextrema#notwendigeskriteriumfürextrema
2.4
$\blacktriangleright$  Knickfreier Übergang nachweisen
Für einen knickfreien Übergang der Graphen an der Stelle $6$ muss $g(6)=h(6)$ und $g'(6)=h'(6)$ gelten.
Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(6)&=& h(6) \\[5pt] -\dfrac{128}{27} \cdot 6^3 + 32 \cdot 6^2 +200&=& \dfrac{128}{6-5} +200 &\quad \scriptsize \mid\; -200\\[5pt] -\dfrac{128}{27} \cdot 216 + 32 \cdot 36 +200 &=& 128 +200\\[5pt] 328&=& 328\\[5pt] \end{array}$
$328 =328 $
Dies ist eine wahre Aussage und somit gilt $g(6)=h(6).$
Für die Ableitungsfunktion der Funktion $h$ folgt mit der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{128}{x-5} +200\\[5pt] h'(x)&=& -\dfrac{128}{(x-5)^2} \\[5pt] \end{array}$
Mit der Ableitungsfunktion der Funktion $g$ aus der vorherigen Teilaufgabe folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g'(6)&=& h'(6) \\[5pt] -\dfrac{128}{9} \cdot 6^2 +64 \cdot 6 &=& - \dfrac{128}{(6-5)^2} \\[5pt] -\dfrac{128}{9} \cdot 36 +64 \cdot 6 &=& - 128 \\[5pt] -128 &=& -128 \\[5pt] \end{array}$
$ -128=-128 $
Somit ist auch diese Bedingung erfüllt und damit gehen die Graphen der Funktionen $g$ und $h$ an der Stelle $6$ knickfrei ineinander über.
2.5
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten bestimmen
Für die Ableitungsfunktion der Funktion $h$ gilt $h'(x)=-\dfrac{128}{(x-5)^2}.$ Somit gilt $h'(x) < 0$ für alle $x\geq 6.$
Damit folgt, dass der Graph der Funktion $h$ für alle $x\geq 6$ streng monoton fallend ist.
$\blacktriangleright$  Graph einzeichnen
Durch Einzeichnen des Graphs der Funktion $h$ folgt:
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 2: Graph der Funktion $h$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 2: Graph der Funktion $h$
$\blacktriangleright$  Voraussetzungen nennen
Eine mögliche Voraussetzung lautet, dass die Graphen der Funktionen $g$ und $h$ knickfrei ineinander übergehen müssen.
Außerdem muss sich der Graph von $h$ nach der Hochwasserphase wieder an den normalen Pegelstand von ungefähr $200\,\text{cm}$ annähern.
Bildnachweise [nach oben]
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