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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Gib eine Bezeichnung und die zugehörige Volumenformel für die in der Tabelle dargestellten geometrischen Körper an.
(3 P.)
a)
Zeichnung der Körper
Bezeichnung$\;$$\;$$\;$
Volumenformel$\;$$\;$$\;$
b)
  • i) Schreibe die Begriffe „Hypotenuse“, „Gegenkathete von $\alpha$ “ und „Ankathete von $\alpha$ “ an die entsprechenden Seiten des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.
    (2 P.)
  • Joline berechnet die Länge der Seite $x$ in dem folgenden Dreieck. Leider hat Joline zwei Fehler gemacht. Beschreibe die beiden Fehler von Joline.
    (2P.)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(40°)&=&\frac{7\;\text{cm}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7\;\text{cm} \\[5pt] 7\;\text{cm} \cdot \sin(40°)&=&x &\quad \scriptsize \\[5pt] 4,5\;\text{cm}&=&x \end{array}$
$1$. Fehler:

$2$. Fehler:

c)
  • i) Kreuze die beiden richtigen Lösungen der folgenden Gleichung an.
    (1 P.)
    $x^2-2x=3$
    -3$\;\;\;\;\;$
    -1$\;\;\;\;\;$
    0$\;\;\;\;\;$
    2$\;\;\;\;\;$
    3$\;\;\;$
  • ii) Begründe deine Auswahl in Aufgabenteil i).
    (1 P.)
d)
  • i) Die folgende Wertetabelle beschreibt einen Wachstumsvorgang. Erkläre, warum es sich hier um ein exponentielles Wachstum handelt.
    $x$$0 $$1 $$2 $$3 $$ 4$
    $f(x)$$12 $$24 $$48 $$96 $$192 $
    $x$$f(x)$
    $0 $$ 12$
    $1 $$24 $
    $ 2$$ 48$
    $3 $$ 96$
    $ 4$$192 $
  • ii) Ergänze die fehlenden Werte in der Wertetabelle, so dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt.
    (1 P.)
  • $x$$0 $$1 $$2 $$3 $
    $f(x)$$\; $$6 $$ 9$$ \;$
    $x$$f(x)$
    $0 $$\; $
    $1 $$ 6$
    $2 $$9 $
    $ 3$$\; $
e)
Gegeben ist die Funktion mir der Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt{x}$.
  • i) Berechne für die Funktion $f$ die fehlenden Werte in der Wertetabelle. Runde auf zwei Nachkommastellen.
    (1 P.)
    $x$$0 $$ 1$$2 $$ 3$$ 4$
    $f(x)$$0 $$1 $$1,41 $$ \;$$\; $
    $x$$y$
    $0 $$0 $
    $1 $$1 $
    $ 2$$1,41 $
    $3 $$\; $
    $4 $$\; $
  • ii) Skizziere den Graphen der Funktion $f$ in dem abgebildeten Koordinatensystem.
    (2 P.)
  • iii) Warum kann man aus einer negativen Zahl nicht die Quadratwurzel ziehen? Erkläre.
    (1 Pkt.)
f)
Stelle zu der folgenden Textaufgabe ein passendes Gleichungssystem auf. Gib außerdem die Bedeutung der von dir gewählten Variablen an. (Anmerkung: Du brauchst das Gleichungssystem nicht zu lösen!)
(3 P.)

„Vincenzo möchte sein Zimmer neu streichen und kauft deshalb $2$ Eimer blaue Farbe und $3$ Eimer weiße Farbe für insgesamt $109,75$ €. Zu Hause merkt er, dass er zu viel weiße Farbe und zu wenig blaube Farbe gekauft hat. Also gibt er einen Eimer weiße Farbe zurück und kauft einen weiteren Eimer blaue Farbe. Jetzt muss er noch $5$ € bezahlen. Wie viel kosten ein Eimer weiße Farbe, wie viel kostet ein Eimer blaue Farbe? “

g)
  • Hier ist das Netz eines Würfels abgebildet. Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der man bei einem Wurf eine $5$ würfelt.
    (1 P.)
  • ii) Man würfelt zweimal mit dem Würfel aus Aufgabenteil i). Welche Ergebnisse muss man in den beiden Würfen erzielen, so dass die Summe der beiden geworfenen Zahlen größer als $6$ ist?
  • Gib alle Möglichkeiten in der Tabelle an.
    (1 P.)
    $\;$$1$. Möglichkeit$2$. Möglichkeit$3$. Möglichkeit
    $1$. Wurf$\;$$\;$$\;$
    $2$. Wurf$\;$$\;$$\;$
#gleichungssystem#volumen#wachstum#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 2

In einer Tüte Gummibärchen befinden sich $5$ grüne, $3$ gelbe und $2$ rote Gummibärchen. Tim nimmt sich nacheinander zwei Gummibärchen aus der Tüte, ohne dabei in die Tüte hineinzusehen.
a)
Zeichne ein Baumdiagramm zu der beschriebenen Situation und notiere die Wahrscheinlichkeiten.
(2 P.)

b)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der von Tim gezogenen Gummibärchen rot ist.
(3 Pkt.)

#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm

Aufgabe 3

Der abgebildete Kegel hat eine Höhe von $4\;\text{cm}$ und der Radius seiner Grundfläche beträgt $3\;\text{cm}$.
a)
Berechne den Oberflächeninhalt des abgebildeten Kegels.
(3 P.)

b)
Berechne das Volumen des abgebildeten Kegels.
(1 P.)
c)
Gib an, um welchen Faktor sich das Volumen verändert, wenn sich der Radius der Grundfläche des abgebildeten Kegels verdoppelt.
(1 P.)
d)
In einem Mathematik-Buch findet man folgende Aussage: „Verdreifacht man den Radius der Grundfläche eines Kegels, dann verneunfacht sich das Volumen des Kegels.“
Erkläre, warum diese Aussage für jeden Kegel gilt.
(1 P.)
#kegel#volumen

Aufgabe 4

Die länge der Strecke $\overline{AE}$ beträgt in dem abgebildeten Drachenviereck $5\;\text{cm}$. Der Winkel $\alpha$ hat eine Größe von $25°$.
Pflichtteil
Abb. 9: Skizze nicht maßstäblich
Pflichtteil
Abb. 9: Skizze nicht maßstäblich
a)
Zeige durch Rechnung, dass die Strecke $\overline{BD}$ ungefähr $4,7\;\text{cm}$ lang ist.
(2 P.)
b)
Die Strecke $\overline{AC}$ ist $15\;\text{cm}$ lang. Berechne die Größe des Winkels $\beta$.
(2,5 P.)
c)
Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks.
(1,5 P.)

#winkel#drachenviereck

Aufgabe 5

a)
Kreuze die Funktionsgleichung an, die jeweils zu dem abgebildeten Graphen der quadratischen Funktion passt.
(1,5 P.)
Graph $1$Graph $2$Graph $3$
$f(x) =(x-2)^2+1$$h(x) =-(x-1)^2+4$$j(x) =2x^2$
$g(x) =(x+1)^2+2$$i(x) =-(x-1)^2+4$$k(x) =3x^2$
b)
Begründe deine Auswahl für jeden Graphen.
(1,5 P.)

c)
Eine Firma produziert Sektgläser mit einem Parabelförmigen Querschnitt.
Pflichtteil
Abb. 13: Skizze nicht maßstäblich
Pflichtteil
Abb. 13: Skizze nicht maßstäblich
Zeichne ein Koordinatensystem in die Abbildung ein und bestimme eine Funktionsgleichung dieser Parabel.
(3 P.)

#graph#funktionsgleichung#parabel

Aufgabe 6

Am Ende des Jahres $2016$ lebten in Deutschland ungefähr $17$ Millionen Senioren. Das Statistische Bundesamt geht davon aus, dass diese Anzahl jährlich um durchschnittlich $1,5\;\%$ wachsen wird.
a)
Gib an, wie viele Senioren nach dem Modell des Statistischen Bundesamt am Ende des Jahres $2017$ in Deutschland leben würden.
(1 P.)

b)
Gib eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion an, mit der die Entwicklung der Anzahl der Senioren nach dem Modell des Statistischen Bundesamtes beschrieben werden kann.
(1 P.)
c)
Berechne, wie viele Senioren nach dem Modell des Statistischen Bundesamtes am Ende des Jahres $2030$ in Deutschland leben würden.
(1 P.)
d)
Berechne, wie viele Senioren nach dem Model des Statistischen Bundesamtes bereits am Ende des Jahres $2015$ in Deutschland gelebt haben.
(1 P.)
e)
Das Statistische Bundesamt geht davon aus, dass die Anzahl der Jugendlichen in Zukunft abnehmen wird. Das Bundesamt rechnet damit, dass die Anzahl der Jugendlichen jährlich um durchschnittlich $0,4\;\%$ abnehmen wird.
Am Ende des Jahres $2016$ lebten $7,5$ Millionen Jugendliche in Deutschland. Berechne, wie viele Jugendliche nach diesem Modell am Ende des Jahres $2020$ in Deutschland leben würden.
(2 P.)

#exponentialfunktion#prozent#wachstum

Aufgabe 7

Im folgenden Diagramm werden für verschiedene Berufe die monatlichen Vergütungen im ersten Lehrjahr dargestellt:
Pflichtteil
Abb. 14: monatliche Vergütung im ersten Lehrjahr [€]
Pflichtteil
Abb. 14: monatliche Vergütung im ersten Lehrjahr [€]
a)
Florian möchte eine Lehre als Bäcker anfangen, seine Freundin Marie macht demnächst eine Ausbildung als zahnmedizinische Fachangestellte. Gib an, wie viel Euro Florian und Marie im ersten Lehrjahr pro Monat erhalten werden.
(1 P.)
Florian:€ pro Monat $\;\;\;\;$ Marie:€ pro Monat
b)
Marie und Florian entdecken die Vergütungstabelle im Internet. Florian schaut nur kurz drüber und beschwert sich dann, dass Marie im Monat drei mal so viel verdienen wird wie er. Marie erklärt ihm, dass das nicht stimmt. Worauf hat Florian beim Ablesen der Vergütungstabelle nicht geachtet? Erkläre.
(1 P.)
c)
Marie rechnet Florian vor, dass er im Monat nur ungefähr $66\;\%$ von ihrer Vergütung erhält. Hat Marie richtig gerechnet? Überprüfe durch eine eigene Rechnung.
(1 P.)
d)
Florian möchte wissen, wie viel Euro die Auszubildenden der oben dargestellen Berufe durchschnittlich im Monat als Vergütung erhalten. Erkläre, wie Florian die durchschnittliche monatliche Vergütung ausrechnen kann.
(1 P.)
e)
Im folgenden Diagramm findest du einen Vergleich zwischen den monatlichen Vergütungen der oben dargestellten Berufe im $1$. und $2$. Lehrjahr.
Entscheide, ob folgende Aussagen wahr, falsch oder nicht aus dem Diagramm ablesbar sind. Begründe jeweils deine Antwort.
(2 P.)
Aussage $1$: „Sowohl im $1$. Lehrjahr als auch im $2$. Lehrjahr erhält die Hälfte der Auszubildenden eine Vergütung von weniger als $750$ €.“
Aussage $2$: „Die Friseurlehre wird im $2$. Lehrjahr mit ungefähr $100$ € mehr vergütet als im $1$. Lehrjahr.“
#diagramm#median#boxplot
Bildnachweise [nach oben]
[1-15]
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen
  • In Abbildung $1$ ist ein Kegel dargestellt. Das Volumen eines Kegels lässt sich mit folgender Formel berechnen:
    $V_K=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
  • Bei dem Körper aus Abbildung $2$ handelt es sich um ein Zylinder. Das Volumen des Zylinders lässt sich mit folgender Formel berechnen:
    $V_Z=G\cdot h$
  • In Abbildung $3$ ist eine, auf dem Kopf stehende, Pyramide abgebildet. Das Volumen einer Pyramide lässt sich mit folgender Formel berechnen:
    $V_P=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
b)
$\blacktriangleright$ Dreieck vervollständigen
$\blacktriangleright$ Fehler beschreiben
Die Sinusbeziehung lautet:
$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Joline hat in ihrer Rechnung die Ankathete mit der Gegenkathete verwechselt. Richtig wäre es die Kosinusbeziehung anzuwenden.
Den zweiten Fehler mach Joline bei der Termumformung. Um nach $x$ aufzulösen muss nicht mit $7$ Multipliziert werden. Ein richtiger Lösungsweg lautet:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(40°)&=&\frac{7\;\text{cm}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x \\[5pt] \cos(40°)\cdot x&=&7\;\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; : \cos(40°) \\[5pt] x&=&\frac{7\;\text{cm}}{\cos(40°) } &\quad \scriptsize \\[5pt] x&\approx&9,14 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Richtige Lösungen ankreuzen
Die richtigen Lösungen sind $x_1=3$ und $x_2=-1$.
$\blacktriangleright$ Auswahl begründen
Durch Einsetzen der $x$-Werte in die Gleichung ergibt sich:
$3^2-2 \cdot 3 =3$
$(-1)^2-2 \cdot (-1) =3$
Die Gleichung ist für $x_1=3$ und $x_2=-1$ erfüllt.
d)
$\blacktriangleright$ Exponentielles Wachstum erklären
Man spricht von exponentiellem Wachstum, wenn die betrachtete Größe in gleichen Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor wächst. Dies ist in der Tabelle auch zu beobachten. Der Wert von $f(x)$ wächst in gleichen Zeitintervallen immer um den Faktor $2$.
$\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen
Anhand der vorgegebenen Zahlenpaare lässt sich ein Wachstumsfaktor von $1,5$ bestimmen. Mit diesem Faktor lassen sich auch die fehlenden Werte aus der Tabelle ermitteln:
$x$$0 $$1 $$2 $$3 $
$f(x)$$4 $$6 $$ 9$$13,5$
$x$$f(x)$
$0 $$4 $
$1 $$ 6$
$2 $$9 $
$ 3$$13,5$
e)
$\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen
Durch Einsetzen der vorgegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung, ergibt sich der zugehörige Funktionswert:
$x$$0 $$ 1$$2 $$ 3$$ 4$
$f(x)$$0 $$1 $$1,41 $$ 1,73$$2$
$x$$y$
$0 $$0 $
$1 $$1 $
$ 2$$1,41 $
$3 $$1,73 $
$4 $$2 $
$\blacktriangleright$ Graphen skizzieren
$\blacktriangleright$ Erklären, warum aus einer negativen Zahl nicht die Quadratwurzel gezogen werden kann
Quadriert man eine Zahl, so ist das Ergebnis immer positiv. Somit ist es auch nicht möglich aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen.
f)
$\blacktriangleright$ Gleichungssystem aufstellen
Es wird eine Variable $B$ eingeführt, die die Kosten für einen Eimer blaue Farbe beschreibt. Die Kosten für einen Eimer weiße Farbe werden durch die Variable $W$ ausgedrückt.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2B&+&3W&=& 109,75 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&B&-&W&=& 5 &\quad \\ \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$ Gleichungssystem aufstellen
Von insgesamt $6$ Feldern sind $2$ mit der Zahl Fünf beschriftet. Somit ergibt sich:
$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{3}$ eine $5$ zu würfeln.
$\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen
Damit die geworfene Augenzahl größer als $6$ ist, gibt es drei Möglichkeiten:
$\;$$1$. Möglichkeit$2$. Möglichkeit$3$. Möglichkeit
$1$. Wurf$5$$2$$5$
$2$. Wurf$5$$5$$2$
#kathete#dreieck#hypotenuse#wahrscheinlichkeit#wachstum

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Gummibärchen grün sind, lässt sich mit der Pfadmuliplikationsregel berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P&=&\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9}= &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,2222&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&22,22\;\%&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $22,22\;\%$.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Damit mindestens ein Gummibärchen rot ist, gibt es die $5$ möglichen Ergebnisse
$\Omega=\{Grün-Rot;\; Gelb-Rot;\; Rot-Rot;\; Rot-Grün,\; Rot-Gelb \}$
.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich mit den Pfadregeln bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P&=&\frac{5}{10}\cdot \frac{2}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} + \frac{2}{10} \cdot \frac{5}{9} + \frac{2}{10} \cdot \frac{2}{9}+ \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{32}{90} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,3555 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&35,55\;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $35,55\;\%$.
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Oberflächeninhalt des abgebildeten Kegels berechnen
Die Oberfläche des Kegels setzt sich aus der Mantel- und der Grundfläche zusammen. Die Grundfläche lässt sich mit folgender Rechnung bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] G&=&\pi \cdot (3\;\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&28,27\;\text{cm}^2 \end{array}$
Die Mantelfläche des Kegels lässt sich berechnen, wenn die Höhe des Mantels, also die Seitenlinie bekannt ist.
Die Seitenlinie des Mantels lässt sich mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} s^2&=&a^2 +h^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] s&=&\sqrt{a^2 +h^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] s&=&\sqrt{(3\;\text{cm})^2 +(4\;\text{cm})^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&5\;\text{cm} \end{array}$
Für den Oberflächeninhalt gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A_O&=&\pi \cdot r \cdot s + 28,27\;\text{cm}^2&\quad \scriptsize \\[5pt] A_O&=&\pi \cdot 3\;\text{cm} \cdot 5\;\text{cm} + 28,27\;\text{cm}^2&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&75,39\;\text{cm}^2 \end{array}$
Der Kegel hat eine Oberfläche von ca. $75,39\;\text{cm}^2$.
b)
$\blacktriangleright$ Volumen des abgebildeten Kegels berechnen
Das Volumen des Kegels lässt sich mit folgender Formel bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3} \cdot G \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\frac{1}{3} \cdot 28,27\;\text{cm}^2 \cdot 4\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&37,69\;\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des abgebildeten Kegels beträgt ca. $37,69\;\text{cm}^3$.
c)
$\blacktriangleright$ Faktor angeben, um den sich das Volumen verändert
Setzt man $r=2r$ in die allgemeine Volumenformel ein, ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3} \cdot G \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (2r)^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4\cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&4 \cdot \frac{1}{3} \cdot G \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen verändert sich um den Faktor $4$, wenn der Radius verdoppelt wird.
d)
$\blacktriangleright$ Aussage begründen
Setzt man $r=3r$ in die allgemeine Volumenformel ein, ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3} \cdot G \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3r)^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&9 \cdot \frac{1}{3} \cdot G \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Aussage kann rechnerisch bestätigt werden.
#flächeninhalt#volumen#satzdespythagoras

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BD}}$ angeben
Die Strecke $\overline{BD}$ ist doppelt so lang wie die Strecke $\overline{DE}$. Die Länge der Strecke $\overline{DE}$ lässt sich mit der Tangensbeziehung bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\frac{\overline{DE}}{\overline{AE}} &\quad \scriptsize \;\mid \cdot \overline{AE} \\[5pt] \tan(\alpha) \cdot \overline{AE}&=&\overline{DE} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan(25°) \cdot 5\;\text{cm}&=&\overline{DE} &\quad \scriptsize \\[5pt] 2,33\;\text{cm}&\approx&\overline{DE} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Da die Strecke $\overline{BD}$ doppelt so lang ist wie die Strecke $\overline{DE}$, gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}&=&2 \cdot \overline{DE} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{BD}&=&2 \cdot 2,33\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{BD}&\approx&4,7\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{BD}$ ist ca. $4,7\;\text{cm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$ Größe von $\boldsymbol{\beta}$ berechnen
Die Strecke $\overline{EC}$ ist $15\;\text{cm}-5\;\text{cm}=10\;\text{cm}$ lang. Mit der Tangensbeziehung lässt sich $\beta$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)&=&\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)&=&\frac{\overline{DE}}{\overline{EC}} &\quad \scriptsize \;\mid \tan^{-1} \\[5pt] \left(\frac{\beta}{2}\right)&=&\tan\left(\frac{\overline{DE}}{\overline{EC}}\right)^{-1} &\quad \scriptsize \;\mid \cdot 2 \\[5pt] \beta&=&\tan\left(\frac{\overline{DE}}{\overline{EC}}\right)^{-1} \cdot 2&\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&=&\tan\left(\frac{2,33\;\text{cm}}{10\;\text{cm}}\right)^{-1} \cdot 2&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&26,23° &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Es ergibt sich ein Winkel von ca. $\beta=26,23°$.
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Der Drache lässt sich in zwei Dreiecke unterteilen. Der Flächeninhalt lässt sich mit folgender Rechnung bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&A_{klein}+A_{groß} &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&\frac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AE} + \frac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{EC} &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&\frac{1}{2} \cdot 4,7\;\text{cm} \cdot 5\;\text{cm}+ \frac{1}{2} \cdot 4,7\;\text{cm} \cdot 10\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&35,25\;\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $35,25\;\text{cm}$.
#flächeninhalt#winkel#tangens

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung zuordnen
Graph $1$: $f(x)$
Graph $2$: $h(x)$
Graph $3$: $i(x)$
b)
$\blacktriangleright$ Zuordnung begründen
Der Graph $1$ ist um eine Einheit in negative $x$ Richtung verschoben und um zwei Einheiten in positive $y$-Richtung verschoben. Die passende Funktionsgleichung ist deshalb $f(x)$.
Der Graph $2$ ist um eine Einheit in positive $x$ Richtung verschoben und um vier Einheiten in positive $y$-Richtung verschoben. Außerdem ist der Graph an der $x$-Achse gespiegelt. Die passende Funktionsgleichung ist deshalb $h(x)$.
Der Graph $3$ ist nicht verschoben. Er wurde um den Faktor $2$ gestreckt. Die passende Funktionsgleichung ist deshalb $j(x)$.
c)
$\blacktriangleright$ Koordinatensystem einzeichnen
Die Parabel ist nicht verschoben. Die Streckung lässt sich ermitteln, indem die Koordinaten eines Punktes eingesetzt werden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&a \cdot x^2 &\quad \scriptsize \mid\; (2\;|\;10)\;\text{einsetzen} \\[5pt] 10&=&a \cdot (2)^2 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \frac{10}{4}&=&a &\quad \scriptsize \\[5pt] 2,5&=&a &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die passende Funktionsgleichung lautet $y=2,5\cdot x^2$.
#graph#funktionsgleichung

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Senioren im Jahr $\boldsymbol{2017}$ angeben
Der Zuwachs an Senioren beträgt $1,5\;\%$. Somit ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} &\;&17 \cdot 10^6 \cdot 1,015 =17.255.000 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Am Ende des Jahres $2017$ leben ca. $17.255.000$ Senioren in Deutschland.
b)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet $C(t)=17.000.000 \cdot 1,015^t$
Dabei steht $t$ für die Anzahl der Jahre seit Beginn der Betrachtung im Jahr $2016$.
c)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Senioren im Jahr $\boldsymbol{2030}$ angeben
Bis zum Jahr $2030$ vergehen $14$ Jahre.
$\begin{array}[t]{rll} C_{30}&=&17.000.000 \cdot 1,015^{14} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&20.939.847 \end{array}$
Im Jahr $2030$ leben vorausichtlich ca. $20.939.847$ Senioren in Deutschland.
d)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Senioren im Jahr $\boldsymbol{2015}$ angeben
Um die Anzahl der Senioren im Jahr $2015$ zu bestimmen, wird ein neuer Startwert bestimmt:
$\begin{array}[t]{rll} C(t)&=&C_0 \cdot 1,015^t &\quad \scriptsize \;\mid :1,015^t \\[5pt] \frac{C(t)}{1,015^t}&=&C_0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{17.000.000}{1,015^1}&=&C_0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 16.748.768&\approx&C_0 \end{array}$
Im Jahr $2015$ lebten ca. $16.748.768$ Senioren in Deutschland.
e)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Jugendlichen im Jahr $\boldsymbol{2020}$ angeben
$\begin{array}[t]{rll} C(t)&=&7.500.000 \cdot 0,96^t &\quad \scriptsize\\[5pt] C(4)&=&7.500.000 \cdot 0,96^4 &\quad \scriptsize\\[5pt] C(4)&=&6.370.099 &\quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Die Anzahl der Jugendlichen im Jahr $2020$ beträgt voraussichtlich ca. $6.370.099$.
#exponentialfunktion#wachstum

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$ Werte ablesen
Aus dem Diagramm lässt sich ablesen, dass Florian im Monat $470$ € und Marie $710$ € verdient.
b)
$\blacktriangleright$ Aussage erklären
Das Diagramm beginnt erst bei einer Vergütung von $350$ €. Deshalb bedeuter ein dreimal so langer Balken nicht, dass das Gehalt dreimal so hoch ist.
c)
$\blacktriangleright$ Aussage durch eine Rechnung überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} &=&0,66\;\% \cdot 710 € &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&468,6\;€ \end{array}$
Marie hat Recht, dass Florian ca. $66\;\%$ von ihrer Vergütung erhält.
d)
$\blacktriangleright$ Erklären, wie sich der Durchschnittswert berechnen lässt
Der Durchschnittswert lässt sich berechnen, indem alle Vergütungen addiert werden. Anschließend muss durch die Anzahl der aufgeführten Berufe geteilt werden.
e)
$\blacktriangleright$ Aussagen beurteilen
Die Aussage $1$ ist richtig. Der Meridian der Boxplots liegt in beiden Fällen unter $750$ €. Die Aussage $2$ kann mit diesem Diagramm nicht beurteilt werden, da nicht zwischen den einzelnen Berufen unterschieden wird.
#durchschnitt#boxplot
Bildnachweise [nach oben]
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