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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

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Lösungen PLUS
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1.1
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ durch:
  • $f(x)= 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}$
  • $g(x)=-3(x-1)^2+3$
Zur Funktion $f$ sind die Gleichungen der ersten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:
  • $f'(x)=-5\dot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}$
  • $F(x)=-5\mathrm e^{-0,5x^2}$
$\,$
a)
Berechne die Nullstellen der Funktionen $f$ und $g.$
#nullstelle
$\,$
b)
Leite aus der Funktionsgleichung von $f$ die angegebene Funktionsgleichung von $f'$ her.
$\,$
c)
Zeige, dass $P(-1\mid f(-1))$ lokaler Extrempunkt des Graphen von $f4 ist.
Bestimme die Art des Extrempunktes.
#extrempunkt
$\,$
d)
Berechne $\displaystyle\int_{0}^{2}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
#integral
$\,$
e)
Beurteile folgende Aussage:
„Enthält der Funktionsterm einer beliebigen Funktion sowohl Potenzen der Argumente mit geradem als auch solche mit ungeradem Exponenten, so ist der zugehörige Graph nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung.“
1.2
$\,$
a)
Gib mithilfe der Abbildung die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125\,000$ Euro betragen.
$\,$
b)
Gib das Monotonieverhalten von $K$ an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.
#monotonie
$\,$
Die Funktion $E$ mit $E(x)=23x$ gibt für $0\leq x\leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt.
Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)= E(x)-K(x).$ Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
$\,$
c)
Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
$\,$
d)
Zeichne den Graphen von $E$ in Abbildung 1 ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
$\,$
e)
Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
$\,$
f)
Für jeden Wert von $b$ mit $b\in \mathbb{R},$ $b>0,$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $K_b$ mit $K_b(x) = x^3-bx^2+50x+20$ gegeben. Zeige, dass $K_b$ für $b< \sqrt{150}$ streng monoton wachsend ist.
#funktionenschar#monotonie
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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