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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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1.1
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ durch:
  • $f(x)= 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}$
  • $g(x)=-3(x-1)^2+3$
Zur Funktion $f$ sind die Gleichungen der ersten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:
  • $f'(x)=-5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}$
  • $F(x)=-5\mathrm e^{-0,5x^2}$
$\,$
a)
Berechne die Nullstellen der Funktionen $f$ und $g.$
#nullstelle
$\,$
b)
Leite aus der Funktionsgleichung von $f$ die angegebene Funktionsgleichung von $f'$ her.
$\,$
c)
Zeige, dass $P(-1\mid f(-1))$ lokaler Extrempunkt des Graphen von $f4 ist.
Bestimme die Art des Extrempunktes.
#extrempunkt
$\,$
d)
Berechne $\displaystyle\int_{0}^{2}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
#integral
$\,$
e)
Beurteile folgende Aussage:
„Enthält der Funktionsterm einer beliebigen Funktion sowohl Potenzen der Argumente mit geradem als auch solche mit ungeradem Exponenten, so ist der zugehörige Graph nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung.“
1.2
$\,$
a)
Gib mithilfe der Abbildung die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125\,000$ Euro betragen.
$\,$
b)
Gib das Monotonieverhalten von $K$ an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.
#monotonie
$\,$
Die Funktion $E$ mit $E(x)=23x$ gibt für $0\leq x\leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt.
Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)= E(x)-K(x).$ Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
$\,$
c)
Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
$\,$
d)
Zeichne den Graphen von $E$ in Abbildung 1 ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
$\,$
e)
Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
$\,$
f)
Für jeden Wert von $b$ mit $b\in \mathbb{R},$ $b>0,$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $K_b$ mit $K_b(x) = x^3-bx^2+50x+20$ gegeben. Zeige, dass $K_b$ für $b< \sqrt{150}$ streng monoton wachsend ist.
#funktionenschar#monotonie
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Lösungen
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1.1
a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-0,5x^2}\neq 0 \\[5pt] 5x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
$ x = 0 $
Die einzige Nullstelle von $f$ ist $x =0.$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 0 \\[5pt] -3(x-1)^2+3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] -3(x-1)^2&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] (x-1)^2&=& 1 \\[5pt] x-1&=& \pm 1 \\[5pt] x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
Die Nullstellen von $g$ sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 2.$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Ableitung herleiten
Verwende die Produktregel und die Kettenregel, um die erste Ableitungsfunktion von $f$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[10pt] f'(x)&=& 5\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} + 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \cdot (-0,5\cdot 2\cdot x ) \\[5pt] &=& 5\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} - 5x^2\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt] &=& -5\cdot(x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)=-5\cdot(x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} $
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Lokelen Extrempunkt nachweisen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'(-1)&=& -5\cdot ((-1)^2 -1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (-1)^2} \\[5pt] &=& -5\cdot 0\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ f'(-1)=0 $
Das notwendige Kriterium für lokale Extremstellen von $f$ ist also an der Stelle $x=-1$ erfüllt.
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[10pt] f''(x)&=& -5\cdot 2x \cdot \mathrm e^{-0,5x^2} -5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}\cdot (-0,5\cdot 2\cdot x) \\[5pt] &=& -10x \cdot \mathrm e^{-0,5x^2} -5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}\cdot (- x) \\[5pt] &=& -10x \cdot \mathrm e^{-0,5x^2} +5x\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}\\[5pt] &=& -5x\cdot (2-(x^2-1))\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt] &=& -5x\cdot (3-x^2)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt] \end{array}$
$ f''(x)=… $
Einsetzen von $x=-1$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f''(-1)&=& -5\cdot (-1)\cdot (3-(-1)^2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (-1)^2} \\[5pt] &=& 5\cdot 2\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] &=& 10\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] &>& 0 \end{array}$
$ f''(-1) > 0 $
Mit dem hinreichenden Kriterium für lokale Extremstellen folgt, dass es sich bei dem Punkt $P(-1\mid f(-1))$ um einen lokalen Tiefpunkt handelt.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
1. Schritt: Stammfunktion von $\boldsymbol{g}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& -3(x-1)^2+3 \\[5pt] &=& -3\cdot (x^2-2x+1)+3 \\[5pt] &=& -3x^2+6x-3+3 \\[5pt] &=& -3x^2+6x \\[10pt] G(x)&=& -\frac{3}{3}x^3+\frac{6}{2}x^2 \\[5pt] &=& -x^3+3x^2 \\[5pt] \end{array}$
$ G(x)= -x^3+3x^2$
2. Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{2}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx &=& \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx -\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F(2)-F(0)-\left(G(2)-G(0) \right) \\[5pt] &=& -5\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2^2} +5\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0^2} - \left(-2^3+3\cdot 2^2 - (-0^3+3\cdot 0^2) \right) \\[5pt] &=& -5\cdot \mathrm e^{-2} + 5 - \left(-8+12 \right) \\[5pt] &=& -5\cdot \mathrm e^{-2} +1 \end{array}$
$ … = -5\cdot \mathrm e^{-2} +1 $
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Damit der Graph einer Funktion $f$ mit dem Argument $x$ symmetrisch zum Koordinatenursprung ist, muss für alle $x$ im Definitionsbereich gelten:
$f(-x) = -f(x)$
Bei ganzrationalen Funktionen gilt bei geraden Exponenten $k$ aber immer $(-x)^k = x^k$ und nicht $(-x)^k = -x^k.$ Sobald also das Argument auch mit geraden Exponenten im Funktionsterm vorkommt, kann nicht mehr $f(-x)= -f(x)$ gelten und der Graph damit nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung sein.
Betrachtet man aber die gebrochenrationale Funktion $f(x)= \dfrac{x^3}{x^2+1},$ so erhält man:
$f(-x)= \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2+1} = \dfrac{-x^3}{x^2+1} = -f(x)$
Obwohl hier das Argument also sowohl in einer geraden als auch in einer ungeraden Potenz vorkommt, ist der zugehörige Graph symmetrisch zum Koordinatenursprung.
Insgesamt gilt die Aussage also nicht für jede beliebige Funktion, sondern müsste beispielsweise auf ganzrationale Funktionen eingeschränkt werden, und ist damit in dieser Form falsch.
1.2
a)
$\blacktriangleright$  Produktionsmenge angeben
In der Abbildung ist die Schnittstelle des Graphen mit der Gerade $y= 125$ gesucht. Diese lässt sich zu $x\approx 7$ ablesen.
Bei einer Produktionsmenge von ca. $7$ Kubikmetern der Flüssigkeit fallen $125\,000$ Euro Kosten an.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass $K$ für $0\leq x \leq 9$ monoton steigt.
Die Kosten steigen also mit der Menge der produzierten Flüssigkeit.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Ausbleibenden Gewinn zeigen
Für die Gewinnfunktion gilt:
$\begin{array}[t]{rll} G(4)&=& E(4)-K(4) \\[5pt] &=& 23\cdot 4 - \left(4^3-12\cdot 4^2 +50\cdot 4 +20 \right) \\[5pt] &=& 92-92 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ G(4)=0 $
Bei einem Verkauf von $4$ Kubikmetern der Flüssigkeit beträgt der Gewinn $0\,€.$ Das Unternehmen erzielt also keinen Gewinn.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Erlös einzeichnen und den Bereich für Gewinn bestimmen
Erlösfunktion
Abb. 1: Graph von $E$
Erlösfunktion
Abb. 1: Graph von $E$
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Menge für den maximalen Gewinn berechnen
Gesucht ist die Maximalstelle $x_M$ von $G$ im Bereich $0\leq x\leq 9.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} G(x)&=& 23x -\left(x^3-12x^2 +50x +20\right) \\[5pt] &=& -x^3 + 12x^2 - 27x - 20 \\[10pt] G'(x)&=& -3x^2+24x-27 \\[10pt] G''(x)&=& -6x+24\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] 0&=& -3x^2+24x-27 &\quad \scriptsize \mid\; abc-\text{Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-24\pm \sqrt{24^2-4\cdot (-3) \cdot(-27) }}{2\cdot (-3)} \\[5pt] &=& \dfrac{-24\pm \sqrt{252}}{-6} \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] … \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right)&=& -6\cdot \left( 4-\sqrt{7}\right)+24 \\[5pt] &=& +6\sqrt{7} > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -6 \cdot \left( 4 + \sqrt{7}\right) + 24 \\[5pt] &=& -6\sqrt{7} <0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right) > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)<0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x= 4+\sqrt{7} $ besitzt der Graph von $G$ einen Hochpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte vergleichen
Vergleiche die Funktionswerte an den Intervallrändern mit dem im Hochpunkt:
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -0^3 + 12\cdot 0^2 - 27\cdot 0 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -9^3 + 12\cdot 9^2 - 27\cdot 9 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -\left(4+\sqrt{7}\right)^3 + 12\cdot \left(4+\sqrt{7}\right)^2 - 27\cdot \left(4+\sqrt{7}\right) - 20 \\[5pt] &\approx& 37,04 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&\approx& 37,04 \end{array}$
Es müssen $4+\sqrt{7}\approx 6,6$ Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Monotonie zeigen
Überprüfe die erste Ableitungsfunktion von $K_b.$
$\begin{array}[t]{rll} K_b(x) &=& x^3-bx^2+50x+20 \\[10pt] K_b'(x) &=& 3x^2 -2bx + 50 \\[5pt] \end{array}$
Ist $K_b'(x) > 0$ für alle $x\in \mathbb{R},$ so ist $K_b$ streng monoton wachsend. Berechne also zunächst die Nullstellen von $K_b'$ in Abhängigkeit von $b:$
$\begin{array}[t]{rll} K_b'(x)&=& 0 \\[5pt] 3x^2 -2bx + 50&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x^2 -\frac{2}{3}bx +\frac{50}{3}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-\frac{2}{3}b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{2}{3}b}{2}\right)^2-\frac{50}{3} } \\[5pt] &=& \frac{1}{3}b \pm \sqrt{\frac{1}{9}b^2-\frac{50}{3}} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1/2} = \frac{1}{3}b \pm \sqrt{\frac{1}{9}b^2-\frac{50}{3}} $
Da $K_b'$ stetig ist, gilt $K_b'(x) > 0$ für alle $x,$ wenn $K_b'$ keine Nullstelle besitzt und es ein $x$ gibt mit $K_b'(x)>0.$
Keine Nullstelle besitzt $K_b',$ wenn der Radikand, also der Teil unter der Wurzel, negativ ist:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{9}b^2-\frac{50}{3} &<& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{50}{3} \\[5pt] \frac{1}{9}b^2 &<& \frac{50}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 9\\[5pt] b^2 &< & 150 &\quad \scriptsize \mid\;b>0 \text{ ist vorausgesetzt} \\[5pt] b&<& \sqrt{150} \end{array}$
$ b< \sqrt{150} $
Für $b< \sqrt{150}$ besitzt $K_b'$ also keine Nullstelle, sodass entweder $K_b'(x)<0$ oder $K_b'(x)>0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} K_b'(1)&=& 3\cdot 1^2 -2b\cdot1 + 50 \\[5pt] &=& 53-2b \end{array}$
$ K_b'(1) = 53-2b $
Von 53 wird maximal $2\cdot \sqrt{150} \approx 24,5$ abgezogen, es ist also $53-2b >0.$
Da $K_b'$ für $b< \sqrt{150}$ keine Nullstelle besitzt, stetig ist und $K_b'(1)>0$ ist, gilt insgesamt $K_b'(x) >0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$
Daher ist $K_b$ streng monoton wachsend.
Bildnachweise [nach oben]
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