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Aufgabe A

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1.
(5 BE)
#graphischesableiten#extrempunkt#ableitung
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2x$ $(x \in \mathrm{R})$.
Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$, der bei $x=1$ den Wendepunkt $W$ hat.
#tangente#schnittpunkt#zentraleraufgabenpool#geradengleichung
3.
Aus einem Tank fließt Wasser langsam ab. Die Abflussrate kann für eine bestimmte Zeit durch die Funktion $f$ mit $f(t)=-\dfrac{1}{10}t^2+2t+10$ beschrieben werden.
($t$: Zeit in Stunden, $f(t)$: Abflussrate in $\frac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$)
a)
Gib eine Stammfunktion der Funktion $f$ an und erläutere deren Bedeutung für den gegebenen Sachverhalt.
(2 BE)
b)
Der Mittelwert $m$ einer ganzrationalen Funktion im Intervall $a \leq x \leq b$ kann mit
$m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm dx$
berechnet werden.
Berechne die mittlere Abflussrate an diesem Tag in den ersten zehn Stunden
(3 BE)
#mittelwert#änderungsrate#stammfunktion
4.
#gebrochenrationalefunktion#abstand#tangente
5.
In den Abbildungen ist die Gerade $g$ mit $g:\vec{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \vec{a}$ ($r \in \mathrm{R}$).
a)
Veranschauliche die folgenden Punkte in den Abbildungen:
(2) $r\leq 0$; $r\in \mathrm{R}$
(3 BE)
Für $r=2$ erhält man den Ortsvektor des Punktes $B$.
b)
Ein Punkt $P$ teilt die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis 1:3.
Gib den zu $T$ gehörenden Wert des Parameters $r$ an.
(1 BE)
c)
$B'$ ist das Bild von $B$ bei Spiegelung an $A$.
Gib den zu $B'$ gehörenden Wert des Parameters $r$ an.
(1 BE)
#gerade#vektoren#spiegelung
6.
Der Punkt $P(0\mid1\mid5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g:\vec{x}=\pmatrix{5\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in\mathrm{R}$.
a)
Begründe, dass das Quadrat in der $yz$-Ebene liegt.
(2 BE)
b)
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g$, der Punkt $Q(0\mid8\mid4)$ in der $yz$-Ebene.
Zeige, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#vektoren#ebenengleichung#gerade
7
a)
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Gib die beiden Abbildungen an, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nicht darstellen. Begründe deine Entscheidung.
(3 BE)
b)
Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n$ und $p$.
Es gilt:
  • Der Erwartungswert von $Y$ ist 8
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ ist symmetrisch
Ermittle den Wert von $n$.
#erwartungswert#binomialverteilung#zentraleraufgabenpool#wahrscheinlichkeit
8.
Es sei $X$ eine normalverteilte Zufallsgröße mit $\sigma=3$ mit der dargestellten Dichtefunktion:
a)
Gib den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ an.
(1 BE)
b)
Bestimme mit Hilfe der graphischen Darstellung die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
  • $P(X\leq2)=$
  • $P(X\geq5)=$
  • $P(X\geq-1)=$
  • $P(2-\sigma\leq X\leq2+\sigma)=$
(4 BE)
#normalverteilung#wahrscheinlichkeit#sigmaregeln
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