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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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Pflichtaufgabe 1

In Thüringen wurden 2015 insgesamt $396$ Tonnen Strauchbeeren auf $162$ Hektar Anbaufläche geerntet.
a)
Ermittle den prozentualen Anteil der schwarzen Johannisbeeren an der Gesamtmenge der Strauchbeeren.
Messe dafür den entsprechenden Winkel im Kreisdiagramm.
(1 Punkt)
Auf schwarzen Holunder entfielen $48,5\,\%$ der Erntemenge.
b)
Wie viele Tonnen schwarzer Holunder wurden geerntet?
(1 Punkt)
Die gesamte Anbaufläche wurde 2015 gegenüber 2014 um $13\,\%$ vergrößert.
c)
Berechne die Größe der Anbaufläche für das Jahr 2014.
(1 P.)
#diagramm#prozent

Pflichtaufgabe 2

Für einen Kegel soll gelten, dass Radius und Körperhöhe gleich groß sind.
a)
Stelle einen solchen Kegel im Zweitafelbild dar.
(2 Punkte)
b)
Begründe, dass zur Berechnung des Volumens dieses Kegels auch gilt:
$V=\frac{1}{3} \pi h^3$
(1 Punkt)
#kegel#zweitafelbild

Pflichtaufgabe 3

Zwei Mitspieler erhalten jeweils $20$ Karten, auf denen die Zahlen $1$ bis $20$ stehen. Jeder Mitspieler legt seine gemischten Karten vor sich verdeckt auf einen Stapel.
Aufgedeckte Karten werden nicht zurückgelegt. Der Spieler $A$ deckt eine Karte mit der Zahl $7$ auf.
a)
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Spieler $B$ eine Karte mit einer größeren Zahl vom Stapel aufdeckt.
(1 Punkt)
Beide Spieler decken zuerst die Zahl $7$ auf. Dann deckt Spieler $A$ die Zahl $5$ auf. Spieler $B$ gewinnt, wenn er nun eine größere Zahl als $5$ aufdeckt.
b)
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Spieler $B$ gewinnt.
(1 Punkt)
#wahrscheinlichkeit

Pflichtaufgabe 4

Jonas misst sein neues Zimmer aus.
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Weise rechnerisch nach, dass das Zimmer nicht rechtwinklig ist.
(1 Punkt)

Pflichtaufgabe 5

Von einem Viereck $ABCD$ sind folgende Stücke bekannt:
Pflichtaufgaben
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
Pflichtaufgaben
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC.$
(3 Punkte)
#dreieck#viereck

Pflichtaufgabe 6

Gegeben ist eine Wertetabelle für die Potenzfunktion $y=f(x)$ mit $x\in \mathbb{R}$ und $x\neq 0.$
$x$$-2,5 $$-2 $$-1 $$-0,5 $$0,5 $$1 $$2 $$2,5 $
$y=f(x)$$0,16 $$0,25 $$1 $$4 $$4 $$1 $$0,25 $$0,16 $
$x$$y=f(x)$
$-2,5 $$0,16 $
$-2 $$0,25 $
$-1 $$1 $
$-0,5 $$4 $
$0,5 $$4 $
$1 $$1 $
$ 2$$0,25 $
$2,5 $$0,16 $
Eine weitere Funktion hat die Gleichung $y= h(x)=x^2-5x+1,25$ mit $x\in \mathbb{R}.$
a)
Stelle die Funktionen $f(x)$ und $h(x)$ in einem Koordinatensystem graphisch dar.
(2 Punkte)
b)
Gib die Gleichung der Funktion $f(x)$ an.
(1 Punkt)
c)
Berechne die Nullstellen der Funktion $h(x).$
(1 Punkt)
d)
Weise rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion $y=h(x)$ auch durch den Punkt $(-0,5\mid 4)$ verläuft.
(1 Punkt)
#nullstelle#funktionsgleichung

Pflichtaufgabe 7

Frau Pohl möchte eine Töpferwerkstatt eröffnen und Krüge herstellen.
Sie plant die zu erwartenden Kosten:
Festkosten pro Monat: $1.250,00\,€$
Meterialkosten pro Krug: $2,50\,€$
In einem Monat möchte Frau Pohl durch Herstellung und Verkauf von $350$ Krügen einen Gewinn von $850\,€$ erwirtschaften.
Ermittle den dafür notwendigen Verkaufspreis für einen Krug.
(2 Punkte)

Pflichtaufgabe 8

In einer Zeitung stand: „$160\,000$ Bällchen müssen aus dem See gefischt werden.“
Diese Bällchen dienen der Franken-Therme im Winter als Wärmeisolation des beheizten Sees. Damit werden $90\,%$ der Fläche des Sees abgedeckt. Jedes Bällchen hat einen Durchmesser von $6\,\text{cm}.$
Auf dem See schwimmen $100\,000$ blaue und $60\,000$ grüne Bällchen.
Nach: Windsheimer Zeitung, 1. April 2016, Seite 1.
a)
Berechne den Flächeninhalt der Wasseroberfläche des Sees. Gib diesen in Quadratmeter an.
(3 Punkte)
Zum Einsammeln der Bällchen im Frühjahr holen sich die Mitarbeiter der Franken-Therme Hilfe. Es werden zehn Teams mit jeweils vier Personen gebildet, die innerhalb von $15$ Minuten alle Bällchen einsammeln.
b)
Wie viel Zeit würden nur zwei Mitarbeiter für diese Tätigkeit benötigen?
(1 Punkt)
c)
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das erste zufällig herausgefischte Bällchen grün ist.
(1 Punkt)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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Pflichtaufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil berechnen
1. Schritt: Winkel messen
Mit dem Geodreieck ergibt sich für den Winkel für die schwarzen Johannisbeeren: $150^{\circ}$
2. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
Der prozentuale Anteil der schwarzen Joannisbeeren an den gesamten Strauchbeeren entspricht dem prozentualen Anteil des zugehörigen Winkels am gesamten Kreis mit $360^{\circ}.$
$\frac{150^{\circ}}{360^{\circ}} \approx 0,417 = 41,7\,\%$
Die schwarzen Johannisbeeren nehmen $41,7\,\%$ der Gesamtmenge der Strauchbeeren ein.
b)
$\blacktriangleright$  Menge des geernteten Holunders bestimmen
Insgesamt wurden $396$ Tonnen Strauchbeeren geerntet. Davon waren $48,5\,\%$ schwarzer Holunder.
$:100$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &100\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&396\,\text{Tonnen}\\[5pt] &1\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&3,96\,\text{Tonnen}\\[5pt] &48,5\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&192,06\,\text{Tonnen}& \end{array}$ Pflichtaufgaben
$:100$
$\cdot 48,5$
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
$\cdot 48,5$
$ 48,5\,\% $ $\mathrel{\widehat{=}}$ $192,06\,\text{Tonnen} $
Es wurden ca. $192$ Tonnen schwarzer Holunder geerntet.
c)
$\blacktriangleright$  Größe der Anbaufläche berechnen
Die Anbaufläche betrug 2015 $162$ Hektar. Dies entspricht $113\,\%$ der Anbaufläche in 2014. Die Anbaufläche in 2014 sind $100\,\%.$
$:113$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &113\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&162\,\text{Hektar}\\[5pt] &1\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&\frac{162}{133}\,\text{Hektar}\\[5pt] &100\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 143\,\text{Hektar}& \end{array}$ Pflichtaufgaben
$:113$
$\cdot 100$
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
$\cdot 100$
$ 100\,\%$ $\mathrel{\widehat{=}}$ $143\,\text{Hektar} $
2014 war die Anbaufläche ca. $143$ Hektar groß.
#dreisatz

Pflichtaufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Zweitafelbild erstellen
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Zweitafelbild
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Zweitafelbild
b)
$\blacktriangleright$  Volumenformel begründen
Für einen allgemeinen Kegel mit Radius $r$ und Höhe $h$ gilt folgende Formel für das Volumen:
$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$
Wenn Radius und Höhe gleich groß sind, ist $r = h.$ Durch Einsetzen erhält man dann:
$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h^2 \cdot h =\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h^3$

Pflichtaufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
Die Zahlen $8$ bis $20$ sind größer als $7.$ Unter den $20$ Karten befinden sich also $13$ Karten mit einer größeren Zahl als $7.$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{13}{20}$ deckt Spieler $B$ eine Karte mit einer größeren Zahl von seinem Stapel auf.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
Auf dem Stapel von Spieler $B$ liegen noch $19$ Karten, von denen $14$ größer als $5$ sind.
$p = \frac{14}{19} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{14}{19}$ gewinnt Spieler $B.$

Pflichtaufgabe 4

Die eingezeichnete Diagonale teilt den viereckigen Grundriss in zwei kongruente Dreiecke.
Wenn diese rechtwinklig sind, müssen die zugehörigen Maße den Satz des Pythagoras erfüllen.
Für die beiden möglichen Katheten gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 3,80^2+ 4,70^2&=&36,53 \\[5pt] \end{array}$
Für die mögliche Hypotenuse gilt:
$6,19^2 = 38,3161$
Es ist also $3,80^2+ 4,70^2 \neq 6,19^2,$ der Satz des Pythagoras ist also nicht erfüllt. Das Zimmer kann nicht rechtwinklig sein, da jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und mindestens zwei Winkel nicht rechtwinklig sind.
#satzdespythagoras

Pflichtaufgabe 5

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen
Mithilfe des Kosinussatzes im Dreieck $ACD$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2&=& \overline{CD}^2 +\overline{AD}^2 -2\cdot \overline{CD}\cdot\overline{AD}\cdot \cos \delta \\[5pt] \overline{AC}^2&=& 4,5^2+3,3^2 -2\cdot 4,5\cdot 3,3 \cdot \cos 120^{\circ} \\[5pt] \overline{AC}^2&=& 45,99 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{AC} &\approx& 6,8 \end{array}$
$ \overline{AC} \approx 6,8 $
2. Schritt: Winkelgröße berechnen
Mithilfe des Sinussatzes kann die Größe des Winkels $\sphericalangle CAB$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}&=& \dfrac{\sin\sphericalangle CAB}{\sin\beta} \\[5pt] \dfrac{5,0}{6,8}&=& \dfrac{\sin\sphericalangle CAB}{\sin 40^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\sin 40^{\circ} \\[5pt] \dfrac{5,0}{6,8}\cdot \sin 40^{\circ} &=& \sin\sphericalangle CAB &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] 28,2^{\circ}&\approx& \sphericalangle CAB \\[5pt] \end{array}$
$ 28,2^{\circ}\approx \sphericalangle CAB $
Mithilfe der Winkelsumme ergibt sich die Größe des Winkels $\sphericalangle BCA:$
$\begin{array}[t]{rll} \sphericalangle BCA &=& 180^{\circ} - 40^{\circ} - 28,2^{\circ} \\[5pt] &=& 111,8^{\circ} \end{array}$
$\sphericalangle BCA =111,8^{\circ} $
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Mithilfe des Sinus kann nun der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \overline{BC} \cdot \overline{AC}\cdot \sin \sphericalangle BCA\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 5,0 \cdot 6,8\cdot \sin 111,8^{\circ} \\[5pt] &\approx& 15,78 \\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 15,78$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt ca. $15,78\,\text{cm}^2.$
#sinussatz#kosinussatz

Pflichtaufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Funktionen graphisch darstellen
Eine Wertetabelle für $f$ ist bereits angegeben. Für $h$ kannst du ebenfalls eine anlegen.
$x$$-0,5 $$0,5 $$1 $$2 $$2,5 $$3 $$4 $$4,5 $
$y=h(x)$$4 $$-1 $$-2,75 $$-4,75 $$-5 $$-4,75 $$-2,75 $$-1 $
$x$$y=h(x)$
$-0,5 $$4 $
$0,5 $$-1 $
$1 $$-2,75 $
$ 2$$-4,75 $
$2,5 $$-5 $
$3 $$-4,75 $
$4 $$-2,75 $
$4,5 $$-1 $
Zeichnest du zunächst die Punkte ein und legst dann einen Graphen hindurch erhältst du in etwa folgendes Schaubild:
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Graphische Darstellung
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Graphische Darstellung
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Das Schaubild und die Wertetabelle gehören zur Funktion $y=f(x)=\frac{1}{x^2}.$
c)
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Mithilfe der $pq$-Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 0 \\[5pt] x^2-5x+1,25&=& 0 \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-5}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2} \right)^2 -1,25} \\[5pt] &=& 2,5\pm \sqrt{5} \\[5pt] x_1&=& 2,5 - \sqrt{5} \\[5pt] x_2&=& 2,5 + \sqrt{5} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 2,5 - \sqrt{5} \\[5pt] x_2&=& 2,5 + \sqrt{5} \end{array}$
Die Nullstellen von $h(x)$ sind $x_1 =2,5 - \sqrt{5} \approx 0,26 $ und $x_2 = 2,5+\sqrt{5}\approx 5,59.$
d)
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen durch den Punkt nachweisen
Der Graph von $h(x)$ verläuft durch den Punkt $(-0,5\mid 4),$ wenn $h(-0,5)=4$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} h(-0,5)&=& (-0,5)^2 -5\cdot (-0,5)+1,25 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$ h(-0,5)= … = 4$
Der Graph der Funktion $h(x)$ verläuft also ebenfalls durch den Punkt $(-0,5\mid 4).$
#pq-formel

Pflichtaufgabe 7

Frau Pohl hat monatliche Fixkosten von $1.250\,€$ und möchte jeden Monat $350$ Krüge herstellen, für die jeweils $2,50\,€$ Materialkosten anfallen. Sie möchte $850\,€$ Gewinn machen.
$1.250\,€ +350\cdot 2,50\,€ +850\,€= 2.975\,€$
$ … = 2.975\,€$
Frau Pohl muss also die $350$ Krüge so verkaufen, dass sie damit $2.975\,€$ einnimmt.
$2.975\,€ : 350 = 8,50\,€$
Ein Krug muss für $8,50\,€$ verkauft werden.

Pflichtaufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Sees berechnen
Die $160\, 000$ Bällchen decken gemeinsam $90\,\%$ des Sees ab. Jedes Bällchen deckt einen kreisförmigen Teil des Sees ab, der einen Durchmesser von $6\,\text{cm},$ also einen Radius von $3\,\text{cm}$ hat.
1. Schritt: Abgedeckte Fläche für ein Bällchen berechnen
Mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A_{B_1}&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx& 28,3\,\text{cm}^2 \end{array}$
2. Schritt: Abgedeckte Fläche aller Bällchen berechnen
Insgesamt befinden sich $160\,000$ Bällchen auf dem See.
$\begin{array}[t]{rll} A_B&=& 160\,000 \cdot 28,3\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 4\,528\,000\,\text{cm}^2\\[5pt] &=& 452,8\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A_B = 452,8\,\text{m}^2$
3. Schritt: Fläche des Sees berechnen
Die Fläche, die von den Bällchen bedeckt ist, entspricht $90\,\%$ der Seeoberfläche.
$:90$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &90\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&452,8\,\text{m}^2\\[5pt] &1\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&5,03\,\text{m}^2\\[5pt] &100\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&503\,\text{m}^2& \end{array}$ Pflichtaufgaben
$:90$
$\cdot 100$
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
$\cdot 100$
$ 100\,\%$ $\mathrel{\widehat{=}}$ $503\,\text{m}^2$
Die Oberfläche des Sees ist ca. $503\,\text{m}^2$ groß.
b)
$\blacktriangleright$  Benötigte Zeit berechnen
Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung, da weniger Mitarbeiter mehr Zeit benötigen. $40$ Personen benötigen $15$ Minuten.
$:40$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &40\,\text{Personen}&\mathrel{\widehat{=}}& 15\,\text{Minuten}\\[5pt] &1\,\text{Person}&\mathrel{\widehat{=}}&600\,\text{Minuten}\\[5pt] &2\,\text{Personen}&\mathrel{\widehat{=}}&300\,\text{Minuten} \end{array}$ Pflichtaufgaben
$\cdot 40$
$\cdot 2$
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
$:2$
$ 2\,\text{Personen}$ $\mathrel{\widehat{=}}$ $300\,\text{Minuten}$
Zwei Mitarbeiter würden für diese Tätigkeit $300\,\text{Minuten} = 5 \,\text{Stunden}$ benötigen.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
Von den $160\,000$ Bällchen sind $60\,000$ Bällchen grün.
$\frac{60\,000}{160\,000} = 0,375 = 37,5\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37,5\,\%$ ist das erste zufällig herausgefischte Bällchen grün.
#kreis#dreisatz#umgekehrtproportionalefunktion
Bildnachweise [nach oben]
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