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Wahlaufgaben

Aufgaben
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8.
Rennsteigtunnel
Der Rennsteigtunnel besteht aus zwei unterschiedlich langen Tunnelröhren.
In Richtung Schweinfurt beträgt die Länge $7~916~\text{m}$, in entgegengesetzter Richtung nach Erfurt nur $7~878~\text{m}$.
a)
Überprüfe die Aussage „Die Tunnellängen unterscheiden sich um weniger als ein Prozent.“ rechnerisch.
(2 Punkte)
In einer Tunnelröhre sind auf einer Strecke von $7~800~\text{m}$ in $50$ gleich großen Abständen Notrufsäulen installiert.
b)
Gebe den Abstand zwischen zwei Notrufsäulen an.
(1 Punkt)
Frau Schmidt fährt mit konstanter Geschwindigkeit durch den Tunnel in Richtung Schweinfurt. Sie benötigt $5$ Minuten.
c)
Ermittle rechnerisch, ob Frau Schmidt die zulässige Höchstgeschwindigkeit von $80$ Kilometern pro Stunde im gesamten Tunnel eingehalten hat.
(2 Punkte)
#geschwindigkeit#prozent
9.
Gartenschlauch
Ein $25$ Meter langer Gartenschlauch mit einem Innendurchmesser con einem halben Zoll soll nach dem Gebrauch vollständig enrleert werden.
Ein Zoll entspricht $2,54~\text{cm}$.
a)
Berechne das maximale Volumen des auslaufenden Wassers und gebe es in Litern an.
( 4 Punkte)
b)
Auf das Wievielfache verändert sich das Volumen des Wassers im Gartenschlauch, wenn er den doppelten Innendurchmesser hat?
(1 Punkt)
#volumen
10.
Energieverbrauch
Im Diagramm ist der tatsächliche Energieverbrauch einer Gefriertruhe in Wattstunden ($\text{Wh}$) in Abhängigkeit von der Uhrzeit dargestellt.
Wahlaufgaben
Abb. 1: Energieverbrauch
Wahlaufgaben
Abb. 1: Energieverbrauch
a)
Gebe den höchsten Energieverbrauch und die zugehörige Zeitspanne an.
( 2 Punkte)
b)
Berechne den durchschnittlichen Energieverbrauch für die Zeitspanne von $13:00~\text{Uhr}~-~14:00~\text{Uhr}$.
(1 Punkt)
Der gemessene Energieverbrauch der Gefriertruhe für einen ganzen Tag betrüg $243~\text{Wh}$. Ein Stromanbieter berechnet für eine Kilowattstunde ($\text{kWh}$) Energie $28,0~\text{ct}$.
c)
Ermittle die Energiekosten der Gefriertruhe für diesen Tag.
(2 Punkt)
#diagramm
11.
Fit in Mathe
a)
In einer Pralinenschachtel befinden sich $16$ Pralinen.
Drei Pralinen haben einen Energiewert von $411$ Kilojoule ($\text{kJ}$).
Berechne den Energiewert für acht Pralinen.
(1 Punkt)
b)
Löse die Gleichung.
$6x-23=19$
(1 Punkt)
c)
Welche der Abbildungen $A$, $B$ oder $C$ stellt keine Würfelnetz dar?
ABC
Wahlaufgaben
Abb. 2: Würfelnetz A
Wahlaufgaben
Abb. 2: Würfelnetz A
Wahlaufgaben
Abb. 3: Würfelnetz B
Wahlaufgaben
Abb. 3: Würfelnetz B
Wahlaufgaben
Abb. 4: Würfelnetz C
Wahlaufgaben
Abb. 4: Würfelnetz C
(1 Punkt)
d)
Es stehen $3~\text{cm}$ und $5~\text{cm}$ lange Holzstäbchen zur Verfügung. Vier Holzstäbchen sollen so angeordnet werden, dass ein Viereck mit genau zwei Symmetrieachsen entsteht.
Zeichne ein solches Viereck.
(1 Punkt)
e)
Gebe aus der graphischen Darstellung die Energieart an, die etwa einem Fünftel der gesamten erneuerbaren Energie entspricht.
Wahlaufgaben
Abb. 5: Nach Daten des Bundesumweltamtes, Anfang 2016.
Wahlaufgaben
Abb. 5: Nach Daten des Bundesumweltamtes, Anfang 2016.
(1 Punkt)
#diagramm#körpernetz#gleichung
12.
Schablone
Für Unterrichtszwecke werden Schablonen hergestellt. Dazu werden aus einer rechteckigen Kuststoffplatte geometriesche Figuren ausgestanzt.
Wahlaufgaben
Abb. 6: Schablonen
Wahlaufgaben
Abb. 6: Schablonen
a)
Zeichne zwei der vier ausgestanzten Figuren auf weißes Papier.
Ermittle die benötigten Maße in der Abbildung.
(2 Punkte)
b)
Berechne die Flächeninhalte der von dir nicht gezeichneten geometrischen Figuren.
Ermittle die benötigten Maße aus der Abbildung.
(2 Punkte)
c)
Gebe die Dreiecksart der Figur $2$ an.
(1 Punkt)
#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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8.
a)
$\blacktriangleright$  Die Differenz der Tunnellängen in Prozent ermitteln
Berechne zuerst die Längendifferenz der beiden Tunnel:
$\begin{array}[t]{rll} 7916\,\text{m}- 7878\,\text{m}&=&38\,\text{m} & \end{array}$
Berechne jetzt den prozentualen Anteil dieser Differenz von der längeren Tunnellänge mithilfe eines Dreisatzes:
$:7~916$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &7~916&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &1&\mathrel{\widehat{\approx}}&0,012…~\%\\[5pt] &38&\mathrel{\widehat{=}}&0,48~\%& \end{array}$ Wahlaufgaben
$:7~916$
$\cdot 38$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 38$
$ \begin{array}{rrcll} &7~916&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &1&\mathrel{\widehat{\approx}}&0,012…~\%\\[5pt] &38&\mathrel{\widehat{=}}&0,48~\%& \end{array} $
Die Aussage, dass die Tunnellängen sich um weniger als ein Prozent unterscheiden, ist somit richtig.
b)
$\blacktriangleright$  Abstand ausrechnen
Der $7800\,\text{m}$ lange Tunnel ist in $50$ Abschnitte unetrteilt. Die länge jedes Abstandes ist also:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7800\,\text{m} }{50}&=&156\,\text{m} & \\[5pt] \end{array}$
Der Abstand zwischen zwei Notrufsäulen beträgt $156\,\text{m}$.
c)
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit ermitteln
Du musst hier auf die Fahrtrichtung achten. Frau Schmidt fährt durch den Tunnel in Richtung Schweinfurt, der eine Länge von $7916\,\text{m}$ hat. Für diese Strecke benötigt sie $5$ Minuten. Sie fährt also:
$\dfrac{7916~\text{m}}{5~\text{min}}=1583,2~\dfrac{\text{m}}{\text{min}}$
Dein Ergebnis musst du jetzt in $~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ umrechnen, damit du es mit der Höchstgeschwindigkeit vergleichen kannst.
$1000~\text{m}$ sind gerade $1~\text{km}$. Damit gilt:
$\dfrac{1538,2~\dfrac{\text{m}}{\text{min}}}{1000~\dfrac{\text{m}}{\text{km}}}=1,5382~\dfrac{\text{km}}{\text{min}}$
Eine Stunde hat $60$ Minuten, also gilt:
$1,5382~\dfrac{\text{km}}{\text{min}}\cdot 60~\dfrac{\text{min}}{\text{h}}\approx 95~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
Frau Schmidt fuhr also schneller als die erlaubten $80~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
#dreisatz
9.
a)
$\blacktriangleright$  Volumen des Wassers berechnen
Der Gartenschlauch hat die Form eines Zylinders. Das Volumen eines Zylinders kannst du mit
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
berechnen. Wobei die Höhe $h$ in diesem Fall die Länge des Schlauches ist. Den Durchmesser kannst du mit der Angabe eines Zolles berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} d&=&\dfrac{2,54~\text{cm}}{2} &=&1,27~\text{cm} \end{array}$
Damit gilt für den Radius:
$r=\dfrac{1,27~\text{cm}}{2}=0,635~\text{cm}$
Jetzt kannst du alle Angaben in die Formel für das Volumen einsetzen und dieses berechnen. Beachte dabie, dass du die gleichen Einhieten für den Radius und die Länge benutzt. Da $1~\text{m}=100~\text{cm}$ entspricht, kannst du $24~\text{m}=2400~\text{cm}$ verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi \cdot (0,635~\text{cm})^2 \cdot 2400~\text{cm} \\[5pt] &\approx& 3167~\text{cm}^3 \end{array}$
Zum Schluss musst du dein Ergebnis in Litern angeben. Da $1~l=1~\text{cm}^3$ ist, musst du dein Ergebnis also in $\text{dm}^3$ umrechnen. Es gilt $1~\text{dm}^3=1000~\text{cm}^3$. Damit erhätst du:
$V=\dfrac{3167~\text{cm}^3}{1000~\dfrac{\text{cm}^3}{\text{dm}^3}}\approx 3,2~\text{dm}^3$
Im Schlauch befinden sich maximal $3,2~l$.
b)
$\blacktriangleright$  Veränderung des Volumens bestimmen
Wenn sich der Innendurchmesser verdoppelt, gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{neu}&=&\pi \cdot (2\cdot r)^2 \cdot h \\[5pt] &=&\pi 2^2 \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h^2 \\[5pt] &=& 4\cdot V_{alt} \end{array}$
Das Volumen vergrößert sich auf das $4$-Fache.
#zylinder
10.
a)
$\blacktriangleright$  Höchsten Energieverbrauch und Zeitspanne angeben
Jede Stunde ist in $4$ Teile unterteilt. Da eine Stunde Stunde $60$ Minuten hat, gilt jeder Teil für $\dfrac{60~\text{min}}{4}=15~\text{min}$ (eine viertel Stunde). Suche jetzt die höchste Säule. Diese ist von $12:00$ bis $12:15~\text{Uhr}$ und hat einen Wert von $6,0~\text{Wh}$.
b)
$\blacktriangleright$  Durchschnittlichen Energieverbrauch berechnen
Um den Durchschnitt berechnen zu können, musst du zunächst alle Werte im gegebenen Zeitraum zusammenrechnen:
$5~\text{Wh}+1~\text{Wh}+5~\text{Wh}+1~\text{Wh}=12~\text{Wh}$
$ …=12~\text{Wh} $
Teile diesen Wert jetzt durch die Anzahl der Messwerte, also $4$:
$\dfrac{12~\text{Wh}}{4}=3~\text{Wh}$
Im Durchschnitt hat die Gefriertruhe $3~\text{Wh}$ pro viertel Stunde verbraucht.
c)
$\blacktriangleright$  Energiekosten ermitteln
Der Preis für die Energie ist in Kilowattstunden ($\text{kWh}$) angegeben. Die Gefriertruhe verbraucht jedoch nur $243$ Wattstunden ($\text{Wh}$). Du musst also zunächst den Energieverbrauch in Kilowattstunden umrechnen. „Kilo“ bedeutet immer „tausend“, also sind $1000~\text{Wh}=1~\text{kWh}$ (genauso wie Meter und Kilometer). Für den Verbrauch gilt demnach:
$\dfrac{243~\text{Wh}}{1000~\dfrac{\text{Wh}}{\text{kWh}}}=0,243~\text{kWh}$
Jetzt kannst du den Preis berechnen. Da $1~\text{kWh}$ $28,0~\text{ct}$ kostet, gilt für $0.243~\text{kWh}$:
$0,243~\text{kWh}\cdot 28,0~\dfrac{\text{ct}}{\text{kWh}}\approx 6,8~\text{ct}$
Die Energiekostet für einen Tag betragen $6,8~\text{ct}$.
11.
a)
$\blacktriangleright$ Energiewert für $8$ Pralinen berechnen
Gegeben ist der Energiewert für 3 Pralinen: $411\,\text{kJ}$. Mithilfe eines Dreisatzes kannst du den Energiewert für $8$ Parlinen berechnen:
$:3$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &3&\mathrel{\widehat{=}}&411~\text{kJ}\\[5pt] &1&\mathrel{\widehat{=}}&137~\text{kJ}\\[5pt] &8&\mathrel{\widehat{=}}&1096~\text{kJ}& \end{array}$ Wahlaufgaben
$:3$
$\cdot 8$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 8$
$\begin{array}{rrcll} &3&\mathrel{\widehat{=}}&411~\text{kJ}\\[5pt] &1&\mathrel{\widehat{=}}&137~\text{kJ}\\[5pt] &8&\mathrel{\widehat{=}}&1096~\text{kJ}& \end{array} $
Acht Pralinen haben einen Energiewert von $1096\,\text{kJ}$.
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 6x-23&=&19 &\quad \scriptsize \mid\;+23 \\[5pt] 6x&=&42 &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] x&=&7 \end{array}$
Du kannst dein Ergebnis durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung überprüfen:
$\begin{array}[t]{rll} 6x-23&=&19 &\quad \scriptsize \\[5pt] 6\cdot7-23&=&19\quad \scriptsize \\[5pt] 42-23&=&19\quad \scriptsize \\[5pt] 19&=&19\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Würfel legen
Versuche die Würfelnetze in deinem Kopf zusammenzubauen. Du wirst feststellen, dass Netz $(C)$ nicht möglich ist. Dies kannst du auch an den $4$ Flächen direkt nebeneinander erkennen. Diese lassen sich nicht zu einem Würfel falten.
d)
$\blacktriangleright$ Viereck mit zwei Symmetrieachsen legen
Unter den Vierecken haben nur Quadrate und Rauten genau $2$ Symmetrieachsen. Ein Quadrat hat allerdings $4$ Symmetrieachsen und kommt damit nicht in Frage. Du kannst also entweder ein Quadrat mit den Seitenlängen $3~\text{cm}$ und $5~\text{cm}$ zeichnen oder du Zeichnest eine Raute mit den Seitenlängen $3~\text{cm}$ oder $5~\text{cm}$:
Wahlaufgaben
Abb. 1: Vierecke mit $2$ Symmetrieachsen
Wahlaufgaben
Abb. 1: Vierecke mit $2$ Symmetrieachsen
e)
$\blacktriangleright$ Energieart angeben, die einem Fünftel entspricht
Berechne, wie viel Prozent ein Fünftel ist:
$\dfrac{1}{5}=\dfrac{20}{100}=20~\%$
Im Diagramm erkennst du, dass die Solarenergie mit $21~\%$ etwa einem Fünftel der Gesmatenergie entspricht.
#dreisatz
12.
a)
$\blacktriangleright$  Figuren zeichnen
Immer $2$ Kästchen entsprechne $1~\text{cm}$. Zähle also die Kästchen ab, um die besuchten Längen zu erhalten.
Suche die zwei der folgenden Figuren aus:
Wahlaufgaben
Abb. 2: Skizze der $4$ Figuren
Wahlaufgaben
Abb. 2: Skizze der $4$ Figuren
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalte berechnen
Mit den Maßen aus Aufgabenteil a) erhältst du folgenden Flächeninhalte:
  1. Rechteck:
    $\begin{array}[t]{rll} A_1&=&a\cdot b \\[5pt] &=&8~\text{cm}\cdot 4~\text{cm} \\[5pt] &=&32~\text{cm}^2 \end{array}$
  2. kleines Dreieck:
    $\begin{array}[t]{rll} A_2&=&\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 4~\text{cm}\cdot 2,5~\text{cm} \\[5pt] &=&5~\text{cm}^2 \end{array}$
  3. großes Dreieck:
    $\begin{array}[t]{rll} A_3&=&\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot b \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 3~\text{cm}\cdot 7~\text{cm} \\[5pt] &=&10,5~\text{cm}^2 \end{array}$
  4. Kreis:
    $\begin{array}[t]{rll} A_4&=&\pi\cdot r^2 \\[5pt] &=&\pi \cdot (2~\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx&6,8~\text{cm}^2 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Dreieckart angeben
Die Figur $(2)$ ist ein gleichschenkliges Dreieck, da zwei Seiten (Schenkel) gleich lang sind.
Außerdem ist das Dreieck ein spitzwinkliges Dreieck, da kein Winkel größer als $90^{\circ}$ ist.
Jede, der beiden Antworten, ist richtig.
#dreieck#rechteck#kreis
Bildnachweise [nach oben]
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