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Kinematik

Skripte
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Einführung

Die Kinematik ist ein Teilgebiet der Mechanik und ist die Lehre der Bewegung von Punkten und Körpern im Raum.
Die Bezeichnung kommt von dem altgriechischen Wort $\kappa\iota\nu\eta\mu\alpha$ [kinema] für Bewegung.
Welche Kräfte wie auf die Masse oder den Körper wirken, spielt in der Kinematik keine Rolle. Ursachen der Bewegung, also zum Beispiel beschleunigende Kräfte, werden erst in der Dynamik, einer weiteren Teildisziplin der Mechanik, betrachtet.

Größen und ihre Einheiten

Um die geradlinige Bewegung eines Körpers zu beschreiben, sind drei Größen erforderlich:

  • Anfangsposition
  • Anfangsgeschwindigkeit
  • Beschleunigung

Anfangsposition

Die Position, an der sich ein Körper oder eine Punktmasse zu Beginn der Betrachtung befindet, wird durch den sogenannten Positionsvektor beschrieben. Ein solcher Vektor zeigt von einem festen Bezugspunkt auf die Position des Körpers.
Ist der Bezugspunkt der Ursprung des Koordinatensystems, spricht man vom sogenannten Ortsvektor.

Abb. 2: Ein Vektor im Koordinatensystem dargestellt.
Abb. 2: Ein Vektor im Koordinatensystem dargestellt.

Ein Ortsvektor gibt an, um wie viele Längeneinheiten man vom Ursprungspunkt in $x$-, um wie viele in $y$- und um wie viele Einheiten man in $z$-Richtung laufen muss, um zur gesuchten Position zu gelangen.
In der rechts abgebildeten zweidimensionalen Skizze zeigt der Vektor $\overrightarrow{B}$ vom Ursprung zum Punkt $B$. Diesen Punkt erlangt man, indem man 6,5 LE in $x$- und 3 LE in $y$-Richtung läuft.
Der Vektor $\overrightarrow{B}$ wird geschrieben als $\overrightarrow{B}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6,5\\3\end{pmatrix}$

Anfangsgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit wird in der Physik meist mit der Variablen $v$ bezeichnet. Die Anfangsgeschwindigkeit wird häufig als $v_0$ bezeichnet.
Die Variable $v$ kommt vom lateinischen Wort für Geschwindigkeit Velocitas.
Die Geschwindigkeit $=$ Durchschnittsgeschwindigkeit ist definiert als:

$\boldsymbol{v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}}$

$\Delta s$ ist dabei die zurückgelegte Strecke, $\Delta t$ die dafür benötigte Zeit.

Ist die Geschwindigkeit konstant, gilt $v=\dfrac{s}{t}$
Möchte man nicht nur die Durchschnittsgeschwindigkeit, sondern die Momentangeschwindigkeit berechnen, betrachtet man nur eine ganz kurze Strecke und eine ganz kurze Zeit! Sind diese Abschnitte infinitesimal klein, schreibt man die Geschwindigkeit als:

$v=\dfrac{\text{d}s}{\text{d}t}$

Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Strecke nach der Zeit: $v=\dot{s}$$=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}$

Nach dem Internationalen Einheitensystem wird die Geschwindigkeit mit folgender Einheit angegeben.

$[v]=\dfrac{[s]}{[t]}$$=\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$=\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

Im Alltag wird meistens die Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ verwendet. Beachte, dass du diese Einheit beim Rechnen in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ umwandelst.

Merke:

$\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \boldsymbol{\leadsto}$ $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$$\quad \cdot3,6$ $\quad \quad$ $\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \boldsymbol{\leadsto}$ $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$\quad :3,6$

Merke:

$\dfrac{m}{s} \boldsymbol{\Rightarrow}$ $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$$\quad \cdot3,6$

$\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \boldsymbol{\Rightarrow}$ $\dfrac{m}{s}$$\quad :3,6$

In der Luft- und Seefahrt verwendet man eine andere Einheit: Knoten. Diese Einheit gibt nicht die zurückgelegten Meter oder Kilometer pro Zeit, sondern die zurückgelegten Seemeilen pro Stunde.

Es gilt: $1\,\text{Knoten}=1 \,\text{kn}=\dfrac{1\,\text{Seemeile}}{1\,\text{Stunde}}$ $=\dfrac{\text{sm}}{\text{h}}$$=1,852\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Beschleunigung

Abb. 3: Beschleunigung spielt bei jeder
Rennsportart eine wichtige Rolle.
Abb. 3: Beschleunigung spielt bei jeder
Rennsportart eine wichtige Rolle.

Die Beschleunigung $a$ gibt in der Physik die Änderung der Geschwindigkeit an.

Beschleunigung kennst du aus dem Alltag: fährst du mit dem Fahrrad in die Schule und willst den langsamen Radfahrer vor dir überholen, musst du schneller fahren als bisher, du musst kräftiger in die Pedale treten und dadurch dein Fahrrad beschleunigen.
Kommst du allerdings an eine rote Ampel, musst du anhalten, also dein Fahrrad bis auf die Geschwindigkeit $v=0\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ abbremsen. Auch hier handelt es sich um eine Beschleunigung, da sich deine Geschwindigkeit ändert. Hier spricht man allerdings von einer sogenannten negativen Beschleunigung.
Die durchschnittliche Beschleunigung ist definiert als:

$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$
$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

Um die momentane Beschleunigung zu berechnen, verwendest du wie bei der Momentangeschwindigkeit infinitesimal kleine Größen.
Es gilt:

$a=\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}$
$a=\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}$

Die Einheit der Beschleunigung kannst du dir aus der Definition dieser Größe herleiten.

$[a]=\dfrac{[v]}{[t]}$$=\dfrac{\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{\text{s}}$$=\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$[a]=\dfrac{[v]}{[t]}$$=\dfrac{\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{\text{s}}$$=\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit $v$ und die zweite Ableitung der zurückgelegten Strecke $s$ nach der Zeit $t$: $ \quad a=\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}$$=\dot{v}$$=\dfrac{\text{d}^2s}{\text{d}t^2}$$=\ddot{s}$

#beschleunigung

Erdbeschleunigung

Abb. 4: Ohne Gravitation fällt kein Regen.
Abb. 4: Ohne Gravitation fällt kein Regen.

Regen, reife Äpfel und leider ab und zu auch das Marmeladenbrot… Warum fallen diese Gegenstände zu Boden?
Ursache hierfür ist die Erdbeschleunigung! Im PhysikLV-Skript „Dynamik“ lernst du, dass sich zwei Massen nach dem Gravitationsgesetz anziehen. Je größer diese Massen sind, desto stärker ist die gegenseitige Anziehungskraft.
Die Erde mit ihren $5,9736\cdot 10^{24}\,\text{kg}$ übt auf jeden Körper in ihrem Umfeld, also auf das aus der Hand fallende Marmeladenbrot, auf einen Apfel und sogar auf den Mond, die sogenannte Gravitationskraft aus. Diese Kraft bewirkt eine Beschleunigung in Richtung des Erdmittelpunktes.

Jeder Körper, der also nicht befestigt oder festgehalten wird, wird von der Erde angezogen und mit der sogenannten Erdbeschleunigung $g$ zu ihrem Mittelpunkt beschleunigt.
Für $g$ gilt:

$g=9,81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Beispielaufgabe:

Im Jahre 1666 saß einer Legende nach der junge Physiker Isaac Newton unter einem Apfelbaum und dachte über verschiedene physikalische Gesetze nach. Plötzlich schreckte ihn ein herunterfallender Apfel auf, der ihm auf den Kopf fiel. Der Apfel hing bisher 12 m über dem Kopf von Isaac.
Wie lange ist der Apfel gefallen, bis er den Kopf des Physikers traf?

Lösung:

Vernachlässige zunächst den Luftwiderstand. Nutze dann die Formel für den freien Fall:

$s=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$ $\quad \Rightarrow \quad$ $t=\sqrt{\dfrac{2 \cdot s}{a}}$

In dieser Aufgabe wird der Apfel durch die Erdanziehung beschleunigt. Es gilt also $a=g$.
Damit ergibt sich durch Einsetzen der gegebenen Werte:

$t=\sqrt{\dfrac{2 \cdot s}{a}}=\sqrt{\dfrac{2 \cdot 12\,\text{m}}{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \approx 1,56 \text{ s}$

Der Apfel fi el ca. 1,56 Sekunden lange, bis er auf Isaacs Kopf aufschlug.

Parabelwurf

Abb. 5: Du kannst deinen Korbwurf
mit der Physik beschreiben.
Abb. 5: Du kannst deinen Korbwurf mit der Physik beschreiben.

Bestimmt hast du im Sport bemerkt, dass der Ball weiter fliegt, wenn du ihn stärker wirfst, er also schneller durch die Sporthalle fliegt!
Die Flugbahn des Balls folgt im Idealfall, also bei Vernachlässigung des Luftwiderstands, dem Graphen einer Parabel. Aus diesem Grund wird der waagrechte Wurf (du wirfst den Ball in waagrechte Richtung) auch Parabelwurf genannt.
Die Parabelbahn kannst du mathematisch belegen, wenn du die Bewegung in $x$- und in $y$-Richtung getrennt voneinander betrachtest.

Die Geschwindigkeit des Balls in $x$-Richtung ändert sich nur vor dem Abwurf, während du ihn von dir wegstößt. Sobald der Ball aber deine Hände verlässt, ändert sich seine Geschwindigkeit in $x$-Richtung nicht mehr, da keine beschleunigende Kraft mehr in $x$-Richtung auf ihn wirkt.
In $x$-Richtung legt er in der Zeit $t$ die Strecke $x(t)=v_x\cdot t$ zurück.

In $y$-Richtung wirkt zu jeder Zeit die Erdbeschleunigung Richtung Boden, diese bleibt während der ganzen Betrachtung konstant. Die Geschwindigkeitskomponente in $y$-Richtung dagegen wird durch die ständige Beschleunigung immer größer.

Da die Beschleunigung, aber nicht die Geschwindigkeit, konstant ist, gilt für den zurückgelegten Weg $y(t)=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2$.
Das Minuszeichen zeigt an, dass der Ball nach unten beschleunigt wird, seine Höhe also immer geringer wird.

Aus diesen beiden Gleichungen kannst du die Variable $t$ eliminieren. So erhältst du den Funktionsterm für die gesamte Bewegung, da du beide Bewegungen immer zum gleichen Zeitpunkt betrachtest.

1. Schritt: Beide Gleichungen nach $t^2$ umformen

$\begin{array}{lrll} 1.& x(t)& =v_x\cdot t& \mid\; :v_x\\ &t&=\dfrac{x(t)}{v_x}&\mid \; \scriptsize{} \text{beide Seiten quadrieren}\\ &t^2&=\dfrac{x^2(t)}{v^2_x}&\\ \end{array}$
$\begin{array}{lrlll} 2.&y(t)&=-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2& \mid\;\cdot (-2) \mid\; :g\\ &t^2&=-\dfrac{2\cdot y(t)}{g}&\\ \end{array}$

$\begin{array}{l@r@{\;=\;}l} 1.&x(t)&=v_x\cdot t\\ &t&=\dfrac{x(t)}{v_x}\\ &t^2&=\dfrac{x^2(t)}{v^2_x}\\ \end{array}$

$\begin{array}{l@r@{\;=\;}l} 2.&y(t)&=-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2\\ &t^2&=-\dfrac{2\cdot y(t)}{g}\\ \end{array}$

2. Schritt: Gleichungen gleichsetzen

$\begin{array}{rlll} \dfrac{x^2}{v^2_x}&=-\dfrac{2\cdot y}{g}&\mid\; \cdot g &\mid\; :(-2)\\ y&=-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot\dfrac{x^2}{v^2_x}&\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} \dfrac{x^2}{v^2_x}&=-\dfrac{2\cdot y}{g}\\ y&=-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot\dfrac{x^2}{v^2_x}&\\ \end{array}$

Beispielaufgabe:

Florian will vom 7,5-Meter-Turm im Freibad springen. Weil er die Mädchen aus seiner Klasse unten am Beckenrand beeindrucken möchte, nimmt er vorher sogar noch Anlauf und springt mit $v_x=7,2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ vom Brett ab.
In welcher Entfernung zum Beckenrand trifft er auf? Weitere Werte kannst du der Skizze entnehmen.
Da Florians Geschwindigkeit in $x$-Richtung nach dem Absprung konstant bleibt, er in $y$-Richtung aber durch die Erdanziehung beschleunigt wird, ist dieser Fall mit dem waagrechten Wurf vergleichbar: Florian springt entlang einer Parabel, deren Graph mit dem allgemeinen Funktionsterm $y=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot\frac{x^2}{v^2_x}$ beschrieben werden kann.

Die gegebene Geschwindigkeit musst du in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ umrechnen.

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} v_x&=7,2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}& \mid\; :3,6 \dfrac{\frac{m}{s}}{\frac{km}{h}}\\ &=2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ \end{array}$

Da er aus einer Höhe von $7,5\,\text{m}$ springt, musst du die Parabel um diesen Wert nach oben verschieben.
Nun erhältst du folgenden Term für Florians Flugbahn :

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} y&=-\dfrac{1}{2}\cdot 9,81\cdot\dfrac{x^2}{2^2}+7,5 \\ &=-1,23\cdot x^2+7,5 \\ \end{array}$

Um zu ermitteln, wo Florian auf der Wasseroberfläche auftrifft, musst du die Nullstelle der Parabel bestimmen, an der gilt $y=0$:

$\begin{array}{rll} y&=-1,23\cdot x^2+7,5\\ 0&=-1,23\cdot x^2+7,5& \mid\; -7,5\\ -7,5&=-1,23\cdot x^2& \mid\; \cdot (-1)\\ 7,5&=1,23\cdot x^2& \mid\; :1,23\\ 6,1&=x^2& \mid\; \sqrt{\;\;}\\ x&=2,47\\ \end{array}$

Addiert man zum Ergebnis die $2\,\text{m}$, die der Sprungturm laut Skizze über den Beckenrand herausragt, erhält man die gesuchte Antwort: Florian trifft $4,47\,\text{m}$ vom Beckenrand entfernt auf die Wasseroberfläche auf.

Die Mädchen am Beckenrand sind begeistert!

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