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Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

1)
Für die Periodendauer eines Fadenpendels gilt näherungsweise $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$, wobei $l$ die Länge des Fadenpendels und $g$ die Fallbeschleunigung ist. Ein Pendel, bei dem eine halbe Schwingung eine Sekunde dauert, bezeichnet man als Sekundenpendel.

a)
Berechne die Pendellänge eines Sekundenpendels an einem Ort mit der Fallbeschleunigung $9,81\text{ms}^{-2}$.


Dieses Pendel befindet sich nun an einem anderen Ort mit der Fallbeschleunigung $g^*$. Es soll auch dort als Sekundenpendel dienen. Dazu muss der Faden um $2,0\text{mm}$ gekürzt werden.

b)
Berechne den Wert von $g^*$.


Für kleine Auslenkungen eines Fadenpendels gilt die Differenzialgleichung $\ddot{s}(t)=-\dfrac{g}{l}\cdot{s}(t)$.

c)
Leite mithilfe dieser Differenzialgleichung die oben angegebene Formel für die Periodendauer her.


Aus der oben angegebenen Formel leiten die beiden Schüler Judith und Sven die Hypothese ab, dass die Pendelmasse keinen Einfluss auf die Periodendauer eines Fadenpendels hat. In einem Experiment wollen sie diese Hypothese überprüfen. Dazu hängen sie an ein Fadenpendel der Länge $1,5\text{m}$ der Reihe nach zusätzliche Gewichtstücke von jeweils $50\text{g}$ (siehe Abbildung 1). Du erhälst folgende Messtabelle:

(9P)







Mithilfe dieses Pendels wird die Fallbeschleunigung ermittelt. Dazu wird die Pendellänge $l$ verändert und die Zeit $t$ bestimmt, die der Pendelkörper benötigt, um wieder in seine Ausgangslage zurückzukehren.

$l$ in $\text{m}$$0,50$$1,00$$1,50$$2,00$$2,50$
$t$ in $\text{s}$$0,71$$1,00$$1,22$$1,41$$1,58$


b)
Zeichne ein $l-t^2-$Diagramm.


c)
Begründe den Verlauf des Diagramms.


d)
Bestimme mithilfe aller Messwerte die Fallbeschleunigung.

(9P)







a)
Erkläre, warum auf der $x$-Achse Minima und Maxima zu sehen sind.


b)
Bestimme die Amplitude, mit der die Stifte schwingen.


c)
Bestimme die Wellenlänge der Wasserwellen.


d)
Zeige, dass es auf der $x$-Achse keine weiteren Maxima gibt.


Der Abstand der beiden Stifte wird nun halbiert.

e)
Beschreibe, wie sich das $x$-$s$-Diagramm verändert und begründe deine Antwort.


In einem neuen Experiment befinden sich die beiden Stifte wieder in ihrer Ausgangsposition wie in Abbildung 4. Bei $x=1,0\;\text{cm}$ wird nun ein Maximum registriert.

f)
Leite eine Formel für alle theoretisch möglichen Schwingungsfrequenzen der Stifte her.


(12P)


Bildnachweise [nach oben]
[1]
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[2]
© 2016 – SchulLV.
[3a]
© 2016 – SchulLV.
[3b]
© 2016 – SchulLV.
[3c]
© 2016 – SchulLV.
[3d]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
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Tipps
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Pendellänge $\boldsymbol{l}$ bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Formel $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ die Pendellänge $l$ bestimmen. Dabei hast du die Werte für $T$ (es handelt sich um ein Sekundenpendel) und $g$ gegeben, d.h. deine Aufgabe besteht darin diese Formel nach $l$ umzuformen und die entsprechenden Werte einzusetzen.
b)
$\blacktriangleright$ Fallbeschleunigung $\boldsymbol{g^*}$ berechnen
Das Fadenpendel aus Teilaufgabe a) wird nun an einen anderen Ort gebracht. Dabei soll es erneut als Sekundenpendel fungieren, d.h. es gilt wieder $T = 2 \text{ s.}$ Da sich aber nun die Fallbeschleunigung verändert hat, muss die Länge des Pendels angepasst werden. Verändere also die Pendellänge $l$ und forme die Gleichung $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ nach $g$ um.
c)
$\blacktriangleright$ Formel für die Periodendauer herleiten
In diesem Fall sollst du die obige Formel für die Periodendauer $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ aus der Differenzialgleichung $\ddot{s}(t) = - \dfrac{g}{l} \cdot s(t)$ herleiten.
Verwende die Formel der harmonischen Schwingung , die eine Lösung der Differenzialgleichung darstellt.
$s(t) = \hat{s} \cdot \sin( \omega \cdot t + \varphi_{0}). $
Tipp
Text
Hierbei kannst du für die Amplitude $\hat{s} = \alpha \cdot l$ verwenden, da es sich in diesem Fall um einen kleinen Auslenkungswinkel $\alpha$ handelt. Außerdem weißt du, dass für $\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$ gilt.
Als nächstes leitest du $s(t)$ zweimal nach der Zeit $t$ ab, dabei benutzt du die Kettenregel, die du aus der Mathematik kennst. Nun kannst du dein Ergebnis für $\ddot{s}(t)$ und die Formel für die harmonische Schwingung $s(t)$ in $\ddot{s}(t) = - \dfrac{g}{l} \cdot s(t)$ einsetzen und nach $\omega$ umformen.
Im letzten Schritt setzt du dein Ergebnis für $\omega$ mit der Definition $\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$ gleich.
d)
$\blacktriangleright$ Hypothese von Judith und Sven überprüfen
Betrachte zur Überprüfung der Hypothese die Formel $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ und stelle dir folgende Fragen: Welche Werte müssen sich in der Formel vergrößern bzw. verkleinern damit die Periodendauer $T$ größer wird? Ändern sich eventuell die Werte in der Formel, wenn man ein schwereres Gewichtstück an den Faden hängt?

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Passende Abbildung für Fadenpendel bestimmen
Die $x$-Achse aller vier Abbildungen ist mit der Zeit $t$ beschriftet. Die $y$-Achse kann entweder für die Auslenkung $s$ oder die Geschwindigkeit $v$ zum Zeitpunkt $t$ stehen. Deine Aufgabe besteht nun darin ein passendes $s$-$t$-Diagramm und $v$-$t$-Diagramm aus den vier auszuwählen.
1.Schritt: $\boldsymbol{s}$-$\boldsymbol{t}$-Diagramm
Die Bewegungsgleichung eines Pendels ist stets stetig, d.h. die Funktion, die $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschreibt, darf keine Sprungstellen haben. Weiterhin startet das Fadenpendel im Hochpunkt, was im Diagramm ersichtlich sein muss.
2.Schritt: $\boldsymbol{v}$-$\boldsymbol{t}$-Diagramm
Zum Zeitpunkt $t=0 \text{ s}$ hat das Fadenpendel die Geschwindkeit $v = 0$. Die Geschwindigkeit nimmt ab dem Loslassen des Pendels zu. Sobald der Gummiball gegen die Wand stößt, ändert sich die Geschwindigkeit abrupt und es findet eine Richtungsänderung statt, d.h. beim gesuchten Diagramm muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden.
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{l}$-$\boldsymbol{t^2}$-Diagramm zeichnen
Bevor du das Schaubild zeichnest, beachte, dass es sich um ein $l$-$t^2$-Diagramm handelt, d.h. auf der $x$-Achse wird die Länge $l$ in m abgebildet und auf der $y$-Achse $t^2$ in $s^2$. Lege also zuerst eine neue Wertetabelle an.
$l$ in m0,51,01,52,02,5
$t^2$ in $s^2$0,50411,01,48841,98812,4964
$l$-$t^2$-Wertetabelle
c)
$\blacktriangleright$ Verlauf des Diagramms begründen
Untersuche anhand des Schaubildes und der Formel für die Schwingungsdauer wie $t^2$ und $l$ zusammenhängen.
d)
$\blacktriangleright$ Fallbeschleunigung mithilfe aller Messwerte bestimmen (1.Möglichkeit)
Berechne für jedes einzelne Wertepaar $g$ und bilde anschließend den Mittelwert.
$\blacktriangleright$ Fallbeschleunigung mithilfe aller Messwerte bestimmen (2.Möglichkeit)
Du weißt aus der Teilaufgabe 2c), dass die Steigung des $l$-$t^2$-Diagramm ca. $m = 1,0 \text{ s}^2 \text{m}^{-1}$ beträgt. Forme die Formel für die Periodendauer nach $g$ um und setze $m$ ein.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Maxima und Minima erklären
Die beiden Stifte erzeugen Wellen, die miteinander interferieren, d.h. sie überlagern sich und es kommt zur sogenannten destruktiven und konstruktiven Interferenz.
Beschreibe den Gangunterschied $\delta$ bei einem Maximum und Minimum.
b)
$\blacktriangleright$ Amplitude bestimmen
Du kannst die Amplitude anhand der Abbildung ablesen, beachte dabei, dass es sich um zwei interferierende Wellen handelt.
c)
$\blacktriangleright$ Wellenlänge $\lambda$ bestimmen
Um die Wellenlänge $\lambda$ zu bestimmen, überlegst du dir was beim ersten auftretenden Minimum passiert, zeichnest dir eine entsprechende Skizze dazu und bestimmst mithilfe des Satzes von Pythagoras die Wellenlänge.
1.Schritt: Gangunterschied beim ersten Minimum
Tritt bei einer Interferenz ein Minimum auf, so weißt du, dass an dieser Stelle ein Wellenberg auf ein Wellental trifft und sich diese zu einem Minimum auslöschen. D.h. es tritt ein Gangunterschied von
$\delta = \dfrac{2n +1 }{2} \cdot \lambda = \dfrac{2 \cdot 0 +1 }{2} \cdot \lambda = \dfrac{\lambda}{2},$
also von einer halben Wellenlänge auf.
2.Schritt: Skizze erstellen
Aufgabe 1
Abb. 4: Minimum 1. Ordnung
Aufgabe 1
Abb. 4: Minimum 1. Ordnung
Das erste Minimum ist $1,5$ cm von $0$ entfernt.
3.Schritt: Gangunterschied beim ersten Minimum
Nun kannst du $a$ und $b$ mit Hilfe des Satzes von Pythagoras herausbekommen, um anschließend die Differenz zu bilden, die dem Gangunterschied an dieser Stelle gleich ist.
4.Schritt: Wellenlänge bestimmen
Nun weißt du aus dem ersten Schritt, dass die Wellenlänge $\delta = \dfrac{\lambda}{2}$ ist. Formst du diese Gleichung nach $\lambda$ um und setzt den ausgerechneten Wert ein, so erhältst du die gesuchte Wellenlänge.
d)
$\blacktriangleright$ Zeige, dass es keine weiteren Maxima gibt
Maxima auf der $x$-Achse entstehen dadurch, dass zwei Maxima der zwei Wasserwellen aufeinandertreffen. Physikalisch ausgedrückt, bedeutet das nach Aufgabe 3a), dass der Gangunterschied $\delta = n \cdot \lambda,$ $n \in \mathbb{N}_0$ beträgt.
Weiterhin ist der Gangunterschied der beiden Wellen immer kleiner als der Abstand der beiden schwingenden Stifte, d.h. $\delta = n \cdot \lambda < 4,0$ cm.
Forme diese Ungleichung nach $n$ um und beschreibe das Ergebnis.
e)
$\blacktriangleright$ Veränderung des Diagramms bei halbiertem Abstand beschreiben
Der Abstand der beiden Stifte wird nun halbiert, d.h. er beträgt jetzt nur noch $2$ cm. Bestimme mit Hilfe der Formel aus Aufgabe 3d) wie viele Maxima nun vorhanden sind und ob sich das Diagramm entlang der $x$-Achse staucht oder streckt.
f)
$\blacktriangleright$ Formel für alle möglichen Schwingungsfrequenzen herleiten
Die Frequenz $f$ von Wasserwellen hängt von deren Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ und deren Wellenlänge $\lambda $ ab,
$f = \dfrac{c}{\lambda}.$
$f = \dfrac{c}{\lambda}.$
Außerdem weißt du, dass bei konstruktiver Interferenz , der Gangunterschied $\delta$ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge $\lambda$ sein muss, d.h. $\delta = n \cdot \lambda.$, umgeformt nach $\lambda = \dfrac{\delta}{n}$.
Somit ist $f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{c}{\frac{\delta}{n}} = \dfrac{n \cdot c}{\delta}$.
Deine Aufgabe besteht also nun darin mithilfe der Vorgabe, dass das Maximum $1.$ Ordnung bei $x = 1,0$ cm liegt, den Gangunterschied zu bestimmen.
Du berechnest analog zur Aufgabe 3c) $a$ und $b$ und bildest anschließend die Differenz, sodass du den Gangunterschied $\delta$ berechnest, um $\delta$ anschließend in $f = \dfrac{n \cdot c}{\delta}$ einzusetzen.
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Pendellänge $\boldsymbol{l}$ bestimmen
Mit Hilfe der Formel $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ sollst du die Pendellänge $l$ bestimmen. Dabei hast du die Werte für $T$ und $g$ gegeben, d.h. deine Aufgabe besteht darin, diese Formel nach $l$ umzuformen und die entsprechenden Werte einzusetzen.
$\begin{array}[t]{rll} T &=& 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} &\quad \scriptsize \mid\ : 2 \pi \\[5pt] \dfrac{T}{2 \pi}&=& \sqrt{\dfrac{l}{g}} &\quad \scriptsize \mid\ (\cdot)^2 \\[5pt] \dfrac{T^2}{4 \pi^2}&=& \dfrac{l}{g} &\quad \scriptsize \mid\ \cdot g \\[5pt] l &=& \dfrac{T^2 \cdot g}{4 \pi^2} \end{array}$
Nun weißt du, dass eine halbe Schwingung eine Sekunde dauert, also $\dfrac{T}{2} = 1 \text{ s}$ ist und somit $T = 2 \text{ s.}$ Weiterhin hast du für $g = 9,81 \text{ ms}^{-2}$ gegeben. Einsetzen der Werte ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} l &=& \dfrac{(2 \text{ s})^2 \cdot 9,81 \text{ ms}^{-2}}{4 \pi^2} \\[5pt] &\approx& 0,994 \text{ m.} \end{array}$
Die Länge des Fadenpendels beträgt ungefähr $l\approx1\text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$ Fallbeschleunigung $\boldsymbol{g^*}$ berechnen
Das Fadenpendel aus Teilaufgabe a) wird nun an einen anderen Ort gebracht. Dabei soll es erneut als Sekundenpendel fungieren, d.h. es gilt wieder $T = 2 \text{ s.}$ Da sich aber nun die Fallbeschleunigung verändert hat, muss die Länge des Pendels angepasst werden. Die neue Pendellänge beträgt nun $l^* = 0,994 \text{ m} - 0,002 \text{ m} = 0,992 \text{ m}. $ Nun besteht deine Aufgabe darin, die Gleichung $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ nach $g$ umzuformen und die entsprechenden Werte einzusetzen. Da du in Teilaufgabe a) schon einen Großteil der Umformungen gemacht hast, kannst du auch direkt die Gleichung $l = \dfrac{T^2 \cdot g}{4 \pi^2}$ zur Umformung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} l^* &=& \dfrac{T^2 \cdot g}{4 \pi^2} &\quad \scriptsize \mid\ :\dfrac{T^2}{4 \pi^2} \\[5pt] g &=& \dfrac{l^* \cdot 4 \pi^2}{T^2} \end{array}$
Setze die Werte in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} g &=& \dfrac{0,992 \text{ m} \cdot 4 \pi^2}{(2 \text{ s})^2} \\[5pt] &\approx& 9,79 \text{ ms}^{-2} \end{array}$
Die Fallbeschleunigung an dem neuen Ort beträgt $g^*\approx9,79 \text{ ms}^{-2}.$
c)
$\blacktriangleright$ Formel für die Periodendauer herleiten
In diesem Fall sollst du die obige Formel für die Periodendauer $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ aus der Differenzialgleichung $\ddot{s}(t) = - \dfrac{g}{l} \cdot s(t)$ herleiten.
Eine mögliche Lösung der Differenzialgleichung ist die Formel der harmonischen Schwingung
$s(t) = \hat{s} \cdot \sin( \omega \cdot t + \varphi_{0}). $
$s(t) = \hat{s} \cdot \sin( \omega \cdot t + \varphi_{0}). $
Hierbei kannst du für die Amplitude $\hat{s} = \alpha \cdot l$ verwenden, da es sich um einen kleinen Auslenkungswinkel $\alpha$ handelt. Außerdem weißt du, dass für $\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$ gilt.
Als nächstes leitest du $s(t)$ zweimal nach der Zeit $t$ ab. Dabei verwendest du die Kettenregel, die du aus der Mathematik kennst.
$\begin{array}[t]{rll} \dot{s}(t) &=& \hat{s} \cdot \omega \cdot cos(\omega \cdot t + \varphi_{0}) \\[5pt] \ddot{s}(t)&=& -\hat{s} \cdot \omega^2 \cdot sin(\omega \cdot t+ \varphi_{0}) \end{array}$
Jetzt kannst du für $\ddot{s}(t)$ und $s(t)$ in die Differenzialgleichung $\ddot{s}(t) = - \dfrac{g}{l} \cdot s(t)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \ddot{s}(t) &=& - \dfrac{g}{l} \cdot s(t) \\[5pt] -\hat{s} \cdot \omega^2 \cdot sin(\omega \cdot t+ \varphi_{0}) &=& - \dfrac{g}{l} \cdot \hat{s} \cdot \sin( \omega \cdot t + \varphi_{0}) &\quad \scriptsize \mid\; : (-\hat{s}) \; : sin(\omega \cdot t+ \varphi_{0}) \\[5pt] \omega^2 &=& \dfrac{g}{l} \\[5pt] \omega &=& \sqrt{\dfrac{g}{l}} \end{array}$
$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$
Im letzten Schritt setzt du die beiden Gleichungen $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$ und $\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$ gleich und formst sie nach der Periodendauer $T$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\dfrac{g}{l}} &=& \dfrac{2 \pi}{T} &\quad \scriptsize \mid\ \cdot T \; :\sqrt{\dfrac{g}{l}} \\[5pt] T &=& 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}.} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Hypothese von Judith und Sven überprüfen
Judith und Sven hängen an ein Fadenpendel verschiedene Gewichtsstücke. Dabei stellen sie fest, dass bei höherem Gewicht die Periodendauer $T$ minimal größer wird. Somit könnte man fälschlicherweise zu der Vermutung gelangen, dass $T$ von dem aufgehängten Gewicht abhängt. Anhand der Formel $T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ erkennst du, dass die Periodendauer $T$ nur von der Pendellänge $l$ sowie der Fallbeschleunigung $g$ abhängig ist. Die Masse $m$ kommt in der Formel nicht vor, weshalb die Periodendauer unabhängig von der Masse ist. Das Experiment von Judith und Sven ist nicht geeignet um die Hypothese zu überprüfen, da hier zusätzlich zur Masse $m$ durch die Anordnung der Gewichtsstücke auch die Pendellänge $l$ verändert wird.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Passende Abbildung für Fadenpendel bestimmen
Die $x$-Achse aller vier Abbildungen ist mit der Zeit $t$ beschriftet. Die $y$-Achse kann entweder für die Auslenkung $s$ oder die Geschwindigkeit $v$ zum Zeitpunkt $t$ stehen. Deine Aufgabe besteht nun darin ein passendes $s$-$t$-Diagramm und $v$-$t$-Diagramm aus den vier auszuwählen.
1.Schritt: $\boldsymbol{s}$-$\boldsymbol{t}$-Diagramm
Die Bewegungsgleichung eines Pendels ist stets stetig, d.h. die Funktion, die $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschreibt, darf keine Sprungstellen haben. Da alle anderen Diagramme Unstetigkeiten aufweisen, bleibt nur das vierte Diagramm übrig. Zu Beginn hat das Pendel eine maximale Auslenkung. Wird das Pendel losgelassen, bewegt es sich bis zur Gleichgewichtslage und hat an der Wand die Auslenkung Null. Danach wird es wegen des Aufpralls des Balls auf die Begrenzung wieder zurückgefedert und hat wieder eine positive Auslenkung. Somit beschreibt das vierte Diagramm 3d) den zeitlichen Verlauf der Auslenkung am besten.
Aufgabe 1
Abb. 1: $s$-$t$-Diagramm
Aufgabe 1
Abb. 1: $s$-$t$-Diagramm
2.Schritt: $\boldsymbol{v}$-$\boldsymbol{t}$-Diagramm
Zum Zeitpunkt $t=0 \text{ s}$ hat das Fadenpendel die Geschwindkeit $v = 0$, somit steht die dritte Abbildung nicht mehr zur Wahl, da die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt größer Null ist. Die Geschwindigkeit nimmt ab dem Zeitpunkt des Loslassen des Pendels zu. Sobald der Gummiball gegen die Wand stößt, ändert sich die Geschwindigkeit abrupt und es findet eine Richtungsänderung statt, d.h. beim gesuchten Diagramm muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden.
Somit eignet sich die Abbildung 3b) am besten.
Aufgabe 1
Abb. 2: $v$-$t$-Diagramm
Aufgabe 1
Abb. 2: $v$-$t$-Diagramm
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{l}$-$\boldsymbol{t^2}$-Diagramm zeichnen
Bevor du das Schaubild zeichnest, beachte, dass es sich um ein $l$-$t^2$-Diagramm handelt, d.h. auf der $x$-Achse wird die Länge $l$ in m abgebildet und auf der $y$-Achse $t^2$ in $s^2$. Lege also zuerst eine neue Wertetabelle an.
$l$ in m0,501,001,502,002,50
$t^2$ in $s^2$0,501,001,491,992,50
$l$-$t^2$-Wertetabelle
Nun kannst du die Werte in das Koordinatensystem übernehmen.
Aufgabe 1
Abb. 3: $l$-$t^2$-Diagramm
Aufgabe 1
Abb. 3: $l$-$t^2$-Diagramm
c)
$\blacktriangleright$ Verlauf des Diagramms begründen
Die Punkte liegen ungefähr auf einer Ursprungsgeraden, somit ist $t^2$ poportional zu $l$. Das musst du jetzt theoretisch begründen.
Für die Periodendauer eines Fadenpendels gilt: $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$. Da in unserem Versuch nur die halbe Periodendauer gemessen wurde, gilt $t= 0,5\cdot T$ und damit $t = \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$. Quadrieren ergibt $t^2 = \pi^2 \dfrac{l}{g}=\dfrac{\pi^2}{g}\cdot l$. Es gilt wie im Diagramm zu sehen $t^2 \propto l$ mit der Proportionalitätskonstanten $\frac{\pi^2}{g}$
d)
$\blacktriangleright$ Fallbeschleunigung mithilfe aller Messwerte bestimmen (1.Möglichkeit)
Um alle Messwerte bei der Berechnung der Fallbeschleunigung $g$ miteinzubeziehen, kannst du für jedes einzelne Wertepaar $g$ berechnen und dann den Mittelwert bilden.
Aus dem vorherigen Aufgabenteil ist bekannt: $t^2 =\dfrac{\pi^2}{g}\cdot l$ . Nach $g$ aufgelöst ergibt sich: $g = \dfrac{\pi^2 \cdot l}{t^2}.$
1.Schritt: Berechnung von $g$ für jedes einzelne Wertepaar
Benutze die oben genannte Formel für die Berechnung von $g$. In der nachfolgenden Tabelle sind die Werte für $g$ auf die zweite Nachkommastelle gerundet.
$l$ in m$t$ in s$g$ in ms$^{-2}$
$0,5$$0,71$$9,79$
$1,0$$1,00$$9,87$
$1,5$$1,22$$9,95$
$2,0$$1,41$$9,93$
$2,5$$1,58$$9,89$
2.Schritt: Mittelwert von $g$ berechnen
Nun hast du $5$ verschiedene Werte für $g$ berechnet, die du nun addierst und durch die Gesamtanzahl $5$ teilst.
$9,79 + 9,87 + 9,95 + 9,93 + 9,89 = 49,42$
$9,79 + … + 9,89 = 49,42$
$49,42 \text{ ms}^{-2} : 5 \approx 9,88 \text{ ms}^{-2}.$
Somit beträgt die gemittelte Fallbeschleunigung $g \approx 9,88 \text{ ms}^{-2}.$
$\blacktriangleright$ Fallbeschleunigung mithilfe aller Messwerte bestimmen (2.Möglichkeit)
Du weißt aus der Teilaufgabe 2c), dass die Steigung des $l$-$t^2$-Diagramm ca. $m = 1,0 \text{ s}^2 \text{m}^{-1}$ beträgt. Dabei gilt aufgrund der Proportionalität für $m = \dfrac{\pi^2}{g}.$ Stellst du diese Gleichung nach $g$ um, so erhältst du
$g = \dfrac{\pi^2}{m} = \dfrac{\pi^2}{1,0 \text{ s}^2 \text{m}^{-1}} \approx 9,9 \text{ ms}^{-2}.$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Maxima und Minima erklären
Die beiden Stifte erzeugen Wellen, die miteinander interferieren, d.h. sie überlagern sich und es kommt zu konstruktiver und destruktiver Interferenz.
Konstruktive Intergerenz entsteht, wenn sich die Amplituden der auftreffenden Wellen verstärken, z.B. ein Maximum der einen Welle auf ein Maximum der anderen Welle trifft. Physikalisch ausgedrückt bedeutet das, dass die Wellen an einem Ort $x$ einen Gangunterschied von $\delta = n \cdot \lambda,$ $n \in \mathbb{N}_0$ haben. Das $1.$ Maximum liegt bei $n=0.$
Destruktive Interferenz entsteht, wenn sich die auftreffenden Wellen gegenseitig auslöschen, also z.B. ein Maximum auf ein Minimum trifft. Das geschieht, wenn an einem Ort $x$ ein Gangunterschied von $\delta = \dfrac{2n +1 }{2} \cdot \lambda$, $n \in \mathbb{N}_0$ vorliegt.
b)
$\blacktriangleright$ Amplitude bestimmen
In der Abbildung $5$ siehst du, dass die Amplitude der Schwingungen $4$ cm beträgt. Hierbei handelt es sich aber um die resultierenden Wellen, die nach der Überlagerung entstehen. Da es sich um gleichphasige, mit gleicher Amplitude erzeugte Wellen handelt, musst du die Amplitude von $4$ cm halbieren, um die Amplitude der einzelnen Wellen zu bestimmen.
Somit ist die Amplitude der ursprünglichen Welle, die von $S_1$ bzw. $S_2$ erzeugt wird, gleich $2$ cm.
c)
$\blacktriangleright$ Wellenlänge $\lambda$ bestimmen
Um die Wellenlänge $\lambda$ zu bestimmen, überlegst du dir was beim ersten auftretenden Minimum passiert, zeichnest dir eine entsprechende Skizze dazu und bestimmst mithilfe des Satzes des Pythagoras die Wellenlänge.
1.Schritt: Gangunterschied beim ersten Minimum
Tritt bei einer Interferenz ein Minimum auf, so weißt du, dass an dieser Stelle ein Wellenberg auf ein Wellental trifft und sich diese zu einem Minimum auslöschen. D.h. es tritt ein Gangunterschied von
$\delta = \dfrac{2n +1 }{2} \cdot \lambda = \dfrac{2 \cdot 0 +1 }{2} \cdot \lambda = \dfrac{\lambda}{2},$
also von einer halben Wellenlänge auf. Für das $1.$Minimum gilt $n=0$, weil der Gangunterschied $\delta = \dfrac{2n +1 }{2}$ gewählt ist und du die erste Zahl von $\mathbb{N}_0$ gleich $0$ ist.
2.Schritt: Skizze erstellen
Aufgabe 1
Abb. 4: Minimum 1. Ordnung
Aufgabe 1
Abb. 4: Minimum 1. Ordnung
Das erste Minimum ist $1,5$ cm von $0$ entfernt.
3.Schritt: Gangunterschied beim ersten Minimum
Nun kannst du $a$ und $b$ mit Hilfe des Satzes des Pythagoras herausbekommen, um anschließend die Differenz zu bilden, die dem Gangunterschied an dieser Stelle gleich ist.
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \sqrt{(0,035\text{ m})^2 + (0,08\text{ m})^2} \\ &=& \sqrt{0,001225\text{ m}^2 + 0,0064\text{ m}^2} \\ &=& \sqrt{0,007625\text{ m}^2 } \\ &\approx& 0,087 \text{ m} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b &=& \sqrt{(0,005\text{ m})^2 + (0,08\text{ m})^2} \\ &=& \sqrt{0,000025\text{ m}^2 + 0,0064\text{ m}^2} \\ &=& \sqrt{0,006425\text{ m}^2 } \\ &\approx& 0,080 \text{ m} \end{array}$
Der Gangunterschied beträgt beim ersten Minimum $a -b = 0,007 $ m.
4.Schritt: Wellenlänge bestimmen
Nun weißt du aus dem ersten Schritt, dass die Wellenlänge $\delta = \dfrac{\lambda}{2}$ ist. Formst du diese Gleichung nach $\lambda$ um und setzt den ausgerechneten Wert ein, so erhältst du die gesuchte Wellenlänge.
$\lambda = 2 \cdot \delta = 2 \cdot 0,007 \text{ m} = 0,014 \text{ m.}$
Die Wellenlänge der Wasserwelle beträgt also $1,4$ cm.
d)
$\blacktriangleright$ Zeige, dass es keine weiteren Maxima gibt
Maxima auf der $x$-Achse entstehen dadurch, dass zwei Maxima der zwei Wasserwellen aufeinandertreffen. Physikalisch ausgedrückt, bedeutet das nach Aufgabe 3a), dass der Gangunterschied $\delta = n \cdot \lambda,$ $n \in \mathbb{N}_0$ beträgt.
Weiterhin ist der Gangunterschied der beiden Wellen immer kleiner als der Abstand der beiden schwingenden Stifte, d.h. $\delta = n \cdot \lambda < 4,0$ cm.
Formst du die Ungleichung nach $n$ um
$n < \dfrac{4,0 \text{ cm}}{\lambda} = \dfrac{4,0 \text{ cm}}{1,4 \text{ cm}} \approx 2,9,$
so stellst du fest, dass es nur $5$ Maxima geben kann. Denn das Ergebnis bedeutet, dass es $2$ Maxima auf jeder Seite, also insgesamt $4$, gibt. Zusätzlich muss noch das Maximum $0.$ Ordnung miteinberechnen werden, sodass es $5$ Maxima gibt, die auch alle im Schaubild zu sehen sind.
e)
$\blacktriangleright$ Veränderung des Diagramms bei halbiertem Abstand beschreiben
Der Abstand der beiden Stifte wird nun halbiert, d.h. er beträgt jetzt nur noch $2$ cm. Aus der Aufgabe 3d) weißt du, dass der maximale Abstand zwischen zwei Maxima der Abstand zwischen den beiden Stiften, also in diesem Fall $2$ cm, ist. Folglich fallen die beiden Maxima $2.$ Ordnung weg. Somit sind nur noch $3$ Maxima zu sehen.
Der Abstand der beiden Quellen, die Wasserwellen aussenden, verkleinert sich, d.h. du musst dich auf der $x$-Achse weiter vom Nullpunkt entfernen bis sich der Gangunterschied zu einem Maximum summiert. Das bedeutet, dass die Kurve aus der Aufgabe 3d) in $x$-Richtung gestreckt wird, also sowohl die Minima und die Maxima weiter vom Nullpunkt entfernt sind.
f)
$\blacktriangleright$ Formel für alle möglichen Schwingungsfrequenzen herleiten
Die Frequenz $f$ von Wasserwellen hängt von deren Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ und deren Wellenlänge $\lambda $ ab,
$f = \dfrac{c}{\lambda}.$
$f = \dfrac{c}{\lambda}.$
Außerdem weißt du, dass bei konstruktiver Interferenz , der Gangunterschied $\delta$ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge $\lambda$ sein muss, d.h. $\delta = n \cdot \lambda.$, umgeformt nach $\lambda = \dfrac{\delta}{n}$.
Somit ist $f_n = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{c}{\frac{\delta}{n}} = \dfrac{n \cdot c}{\delta}$.
Deine Aufgabe besteht also nun darin mithilfe der Vorgabe, dass das Maximum $1.$ Ordnung bei $x = 1,0$ cm liegt, den Gangunterschied zu bestimmen.
Du berechnest analog zur Aufgabe 3c) $a$ und $b$ und bildest anschließend die Differenz, sodass du den Gangunterschied $\delta$ erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \sqrt{(0,03\text{ m})^2 + (0,08\text{ m})^2} \\ &=& \sqrt{0,0009\text{ m}^2 + 0,0064\text{ m}^2} \\ &=& \sqrt{0,0073\text{ m}^2 } \\ &\approx& 0,085 \text{ m} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b &=& \sqrt{(0,01\text{ m})^2 + (0,08\text{ m})^2} \\ &=& \sqrt{0,0001\text{ m}^2 + 0,0064\text{ m}^2} \\ &=& \sqrt{0,0065\text{ m}^2 } \\ &\approx& 0,081 \text{ m} \end{array}$
An der Stelle $x = 1,0$ cm beträgt der Gangunterschied also $a-b = 0,004$ m. Einsetzen in die Formel für $f_n$ ergibt:
$f_n = \dfrac{n \cdot c}{\delta} \approx \dfrac{n \cdot 0,15 \text{ ms}^{-1}}{0,004 \text{ m}} = n \cdot 37,5 $ Hz, $n \in \mathbb{N}$.
Alle möglichen Frequenzen sind ein ganzzahliges Vielfaches von ca. $37,5$ Hz.
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