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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabe 2

1)
In einem Experiment fällt das Infrarotlicht einer Fernbedienung senkrecht auf ein Gitter mit $600$ vertikalen Spalten pro Millimeter. Eine Handy-Kamera wird auf einem Halbkreis um das Gitter geführt (siehe Abbildung 1). Sie registriert dabei die Intensität des Infrarotlichts. Der Winkel zwischen den beiden Maxima erster Ordnung beträgt $70^{\circ}$.

a)
Erläutere mithilfe einer Skizze, dass Maxima der Intensität nachgewiesen werden können.


b)
Berechne die Wellenlänge des Infrarotlichts.


Der Versuch wird mit einem Gitter mit $1200$ vertikalen Spalten pro Millimeter wiederholt.

c)
Begründe, weshalb man außer dem Maximum nullter Ordnung keine Maxima höherer Ordnung registriert.


d)
Bestimme die Anzahl der vertikalen Spalte pro Millimeter, die ein Gitter mindestens haben müsste, damit nur das Maximum nullter Ordnung zu registrieren ist.




(7P)



2)
Weißes Licht des Wellenlängenbereichs von $420\;\text{nm}$ bis $780\;\text{nm}$ fällt senkrecht auf ein Gitter. Auf einem parallel hinter dem Gitter angebrachten Schirm sind mehrere Spektren und ein weißer Streifen zu sehen.

a)
Erläutere diesen Sachverhalt.


Das Spektrum erster Ordnung wird ab einem minimalen Beugungswinkel von $4,50^{\circ}$ beobachtet.

b)
Berechne die Gitterkonstante.


c)
Zeige, dass die Spektren erster und zweiter Ordnung voneinander getrennt sind.


d)
Berechne die Wellenlänge im Spektrum zweiter Ordnung, ab der sich die Spektren zweiter und dritter Ordnung überlappen.


(9P)



3)
Ein Beugungsobjekt mit vier Spalten wird mit Laserlicht der Wellenlänge $630\;\text{nm}$ beleuchtet (siehe Abbildung 2). Die Spalte $S_1$ bis $S_4$ haben dieselbe Spaltbreite, benachbarte Spalte haben denselben Spaltmittenabstand.



Zunächst sind nur die Spalte $S_2$ und $S_3$ geöffnet. Abbildung 3 zeigt die zugehörige Verteilung der relativen Intensität.

a)
Berechne den Spaltmittenabstand und die Spaltbreite.


In einem neuen Experiment sind nur die Spalte $S_2$ und $S_4$ geöffnet.

b)
Beschreibe, wie sich die Verteilung der relativen Intensität gegenüber dem Diagramm in Abbildung 3 ändert und begründe deine Antwort.


In einem weiteren Experiment sind alle vier Spalte geöffnet

c)
Skizziere die zugehörige Verteilung der relativen Intensität im Bereich $-0,2^{\circ}\leq\alpha\leq0,2^{\circ}$.


(7P)



4)
Im Experiment aus Aufgabe 3 sind nun alle vier Spalte geöffnet. Die Lichtintensität wird so weit reduziert, dass immer nur ein Photon in der Anordnung ist. Ein Messwerterfassungssystem registriert und speichert die Nachweispositionen der Photonen in der Beobachtungsebene und stellt sie in einem Bild dar.

a)
Beschreibe die Entwicklung dieses Bildes im Lauf des Experiments und begründe deine Antwort.


Durch eine geeignete Apparatur kann nun sicher nachgewiesen werden, ob ein Photon den Spalt $S_1$ passiert hat.

b)
Erläutere, wie dies die Intensitätsverteilung beeinflusst.


Durch die Apparatur wird nun sicher nachgewiesen, ob ein Photon den Spalt $S_2$ passiert hat.

c)
Begründe, warum nun nicht die gleiche Intensitätsverteilung wie bei Teilaufgabe b.) zu erwarten ist.


(7P)



Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Skizze für Nachweis von Maxima anfertigen
Das optische Gitter hat $600$ vertikale Spalte. Die Spalte sind Ausgangspunkte einer Elementarwelle, die sich, je nach Gangunterschied $\Delta\; g$, unterschiedlich überlagern. Immer wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist, kommt es zur konstruktiven Interferenz, es tritt also ein Maximum auf. Vorraussetzung für den Versuch ist ebenfalls, dass der Abstand zwischen Gitter und Schirm viel größer ist als der Gangunterschied. Überlege dir, ob das der Fall ist.
b)
$\blacktriangleright$  Wellenlänge des Infrarotlichts berechnen
Du sollst die Wellenlänge des Infrarotlichtes berechnen. Dazu brauchst du zum einen den Winkel $\alpha$ zwischen dem Maximum nullter Ordnung und dem erster Ordnung. Es ist gegeben, dass zwischen den beiden Maxima erster Ordnung ein Winkel von $70°$ zu messen ist. Demnach beträgt der gesuchte Winkel genau die Hälfte, also $\alpha=35°$. Es ist außerdem die Gitterkontante gesucht: In der Aufgabenstellung wird beschrieben, dass das Gitter $600$ Spalte pro Millimeter hat. Mit dieser Angabe kannst du $g$ bestimmen.
Der Beugungswinkel $\alpha$ in Abhängigkeit von der Wellenlänge $\lambda$ wird durch folgende Formel beschrieben:
Beugungswinkel:
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Beugungswinkel:
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Durch Einsetzen und Umformen erhältst du die gesuchte Größe.
c)
$\blacktriangleright$  Auftreten des Maximums nullter Ordnung als einziges registriertes Maximum begründen
Erkläre, dass außer dem Maximum nullter Ordnung keine Maxima höherer Ordnung registriert werden. Das Gitter hat in diesem Versuch nun $1200$ Spalte pro Millimeter. Damit kannst du die Gitterkonstante $g$ bestimmen. Vergleiche diesen Wert mit der angegebenen Wellenlänge des verwendeten Lichts. Es kann kein Maximum mit $n\geq1$ registriert werden, wenn gilt $g$ $<$ $\lambda$.
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl vertikaler Spalte bestimmen
Um die minimale Anzahl der vertikalen Spalte pro Millimeter zu bestimmen, sodass nur das Maximum nullter Ordnung registriert wird, musst du dir überlegen, wie groß $g$ werden muss. Damit nur das Maximum nullter Ordnung registriert wird, muss die Gitterkonstante $g$ kleiner sein als die Wellenlänge $\lambda$ des verwendeten Lichtes. Zeige, dass dies gilt.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt erläutern
Es sind mehrere Spektren zu sehen, da Licht aus dem Wellenlängenbereich von $420\;\text{nm}$ bis $780\;\text{nm}$ ausgesendet wird. Jede Wellenlänge hat einen unterschiedlichen Beugungswinkel bei dem ein Maximum am Schirm zu sehen ist. Da der Wellenlängenbereich durchgängig ist, ist auch vollständiges Spektrum zu erkennen. Die Formel $sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$ zeigt den Beugungswinkel in Abhängigkeit von der Wellenlänge. Überlege, wie sich der Winkel bei steigender Wellenlänge ändert und wo sich das Licht welcher Wellenlänge befindet.
Damit weißes Licht zu erkennen ist, muss sich das komplette Licht eines Spektrums überlagern. Denke darüber nach, bei welchem Winkel dies der Fall ist.
b)
$\blacktriangleright$  Gitterkonstante berechnen
Du sollst die Gitterkonstante berechnen. Es ist angegeben, dass der minimale Beugungswinkel für das Maximum erster Ordnung $\alpha = 4,5°$ ist. Im Aufgabenteil a) wurde bereits erwähnt, dass bei steigender Wellenlänge auch der Beugungswinkel zunimmt. Wenn wir hier also vom minimalen Winkel ausgehen, muss auf dem Schirm auch zuerst das Maximum des Lichts mit der kleinsten Wellenlänge auftauchen, also $\lambda\; = 450\;\text{nm}$. Der Beugungswinkel wird durch folgende Formel beschrieben:
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Durch Umstellen und Einsetzten erhältst du $g$.
c)
$\blacktriangleright$  Trennung der Spektren erster und zweiter Ordnung zeigen
Es soll gezeigt werden, dass die Spektren erster und zweiter Ordnung voneinander getrennt sind. Damit dies der Fall ist, musst du dir überlegen wie sich die Spektren auf dem Schirm verteilen. Den kleinsten Beugungswinkel des Spektrums erster Ordnung hat das Licht mit der kleinsten Wellenlänge, violettes Licht. Den größten Beugungswinkel hat das Licht mit der größten Wellenlänge, rotes Licht. Gleiches gilt, nur nach oben versetzt, für das Spektrum zweiter Ordnung. Damit sich die Spektren also nicht berühren muss man das rote Licht des Spektrums erster Ordnung betrachten. Dieses musst du mit dem violetten Licht des Spektrums zweiter Ordnung vergleichen. Es soll gelten:
$\alpha_{\text{1.Ord}} < \alpha _{\text{2.Ord}}$ und somit auch: $sin(\alpha_{\text{1.Ord}})<sin(\alpha _{\text{2.Ord}})$.
Versuche dies mit Hilfe der Formel:
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
zu zeigen.
d)
$\blacktriangleright$  Wellenlänge der Spektrenüberlappung von zweiter und dritter Ordnung berechnen
Um zu berechnen, bei welcher Wellenlänge im Spektrum zweiter Ordnung sich das Spektrum zweiter und dritter Ordnung überlappen, musst du dir überlegen, was für $\alpha$ gelten soll. Damit es zur Überlappung kommt, muss $\alpha_{2; \lambda} = \alpha_{3;\lambda\; violett}$ und somit auch sin($\alpha_{2; \lambda}) = sin(\alpha_{3;\lambda\; violett})$ sein. Du kannst $sin(\alpha)$ durch folgende Formel ersetzen:
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Durch Umstellen nach $\lambda$ erhältst du deine Lösung.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Spaltmittenabstand und Spaltbreite berechnen
In einem Gitterexperiment sind vier Spalte vorhanden, die mit Licht der Wellenlänge $630\;\text{nm}$ beleuchtet werden. Zunächst sind nur die Spalte $S_2$ und $S_3$ geöffnet. Du sollst den Spaltmittenabstand und die Spaltbreite bestimmen. Um den Spaltmittenabstand $g$ zu bestimmen, brauchst du die Formel:
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$.
Die Werte, die du benötigst, kannst du in Abb.3 auf dem Aufgabenblatt ablesen.
Im nächsten Schritt sollst du die Spaltbreite bestimmen. Dazu musst du das Experiment als Einzelspaltexperiment betrachten. Die Formel:
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{b}$
beschreibt die Beugung am Einzelspalt. Der Winkel $\alpha_n$ sagt hier allerdings nicht aus wo ein Maximum am Schirm auftrifft, sondern wo sich das Minimum befindet. Das $n$ steht weiterhin für die Ordnung und $b$ für die Spaltbreite, die hier gesucht ist. Um den Winkel $\alpha_n$ zu erhalten, musst du in $\text{Abb.}3$ auf dem Aufgabenblatt ablesen, wo sich das Minimum erster Ordnung des Einzelspaltexperiments befindet. Du kannst diesen Wert in die Formel für den Beugungswinkel einsetzen und nach $g$ auflösen.
b)
$\blacktriangleright$  Verteilung der relativen Intensität im Vergleich zu $\boldsymbol{Abb.3}$ beschreiben
Wenn in einem neuen Experiment die Spalte $S_2$ und $S_4$ geöffnet werden, verdoppelt sich der Spaltmittenabstand $g$. Wenn du dies in der Formel für die Beugung einsetzt, erkennst du dass eine Verdopplung des Spaltmittenabstandes $g$ für kleine Winkel ca. zu einer Halbierung des Beugungswinkels $\alpha$ führt. Überlege, wie sich das auf den Graphen auswirkt.
c)
$\blacktriangleright$  Verteilung der Intensität im Bereich $\boldsymbol{-0,2° \leq \alpha \leq 0,2°}$
Die Hauptmaxima sind an der gleichen Stelle zu erwarten, wie beim Doppelspaltexperiment. Es sind zwischen den Hauptmaxima allerdings noch zwei weitere Nebenmaxima zu sehen, die durch die zusätzlich geöffneten Spalte entstehen.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Entwicklung des Bildes beschreiben
Es trifft nacheinander jeweils ein Photon auf der Platte auf. Es sind zunächst nur einzelne Punkte verteilt auf dem Schirm zu erkennen, die zufällig verteilt zu sein scheinen. Man kann nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vorhersagen wo das Photon auftrifft. Diese Wahrscheinlichkeit wird mit der Wellenfunktion beschrieben. Überlege, was nach längerer Zeit passiert. Beachte dabei, dass sich die Auftreffwahrscheinlichkeit zum vorherigen Versuch nicht ändert.
b)
$\blacktriangleright$  Beeinflussung des nachgewiesenen Photons auf die Intensitätsverteilung erklären
Die Photonen werden am Spalt $S_1$ nachgewiesen. Sobald eine Information über den Weg der Photonen vorliegt, tragen sie nicht mehr zum Beugungsbild bei. Dieser Effekt wird als Komplementarität bezeichnet. Um eine Aussage über die Intensitätsverteilung zu machen, musst du überlegen, welche Auswirkungen dies auf das Muster auf dem Schirm hat.
c)
$\blacktriangleright$  Veränderte Intensitätsverteilung begründen
In diesem Fall wird der Spalt $S_2$ überwacht. Somit tragen diese Photonen nicht mehr zum Beugungsbild bei (Komplementarität). Es ergibt sich ein Beugungsbild der Spalte $S_1, S_3$ und $S_4$, welches mit dem Einzelspaltbeugungsbild des überwachten Spaltes ($S_2$), überlagert wird. Überlege dir, welchen Unterschied der Dreifachspalt dieser Aufgabe zu dem aus Aufgabe b) hat.
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Skizze für Nachweis von Maxima anfertigen
Das optische Gitter hat $600$ vertikale Spalte. Jeder Punkt, der von der Wellenfront erreicht wird, ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle. Diese interferieren miteinander und es ergeben sich, je nach Gangunterschied $\Delta\; g$, Maxima und Minima. Immer wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist, kommt es zur konstruktiven Interferenz, es tritt also ein Maximum auf. Vorraussetzung für den Versuch ist ebenfalls, dass der Abstand zwischen Gitter und Schirm, in diesem Fall Gitter und Handy, viel größer ist als der Gangunterschied. So können die Wellen, welche zur Interferenzr am Ort der Kamera beitragen, als parallel betrachtet werden. Da dies der Fall ist, kann Interferenz stattfinden und somit können auch Maxima registriert werden.
Aufgabe 2
Abb. 1: Interferenz erklären
Aufgabe 2
Abb. 1: Interferenz erklären
b)
$\blacktriangleright$  Wellenlänge des Infrarotlichts berechnen
Du sollst die Wellenlänge des Infrarotlichtes berechnen. Dazu brauchst du zum einen den Winkel $\alpha$ zwischen dem Maximum nullter Ordnung und dem erster Ordnung. Es ist gegeben, dass zwischen den beiden Maxima erster Ordnung ein Winkel von $70°$ beträgt. Demnach gilt: $\alpha=35°$ . Es ist außerdem die Gitterkontante gesucht: In der Aufgabenstellung wird beschrieben, dass das Gitter $600$ Spalte pro Millimeter hat. Somit ergibt sich für $g$:
$g=\frac{1}{600}\cdot 10^{-3}m$.
Der Beugungswinkel $\alpha$ in Abhängigkeit von der Wellenlänge $\lambda$ wird durch folgende Formel beschrieben:
Beugungswinkel:
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Beugungswinkel:
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Durch einsetzten in die Formel und umstellen nach $\lambda$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} sin (\alpha_n)&=&\frac{n\cdot \lambda}{g} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot g \;\mid\; :n\\[5pt] \lambda&=&\frac{sin (\alpha_n)\cdot g}{n}&\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda&=&\frac{sin (35°)\cdot \frac{1}{600}\cdot 10^{-3}m}{1}&\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda&\approx& 956 \; nm \end{array}$
Die Wellenlänge beträgt also ungefähr $956\;nm$.
c)
$\blacktriangleright$  Auftreten des Maximums nullter Ordnung als einziges registriertes Maximum begründen
Erkläre, dass außer dem Maximum nullter Ordnung keine Maxima höherer Ordnung registriert werden. Das Gitter hat in diesem Versuch nun $1200$ Spalte pro Millimeter. Es ergibt sich also eine Gitterkontante von $g=\frac{1}{1200}\cdot 10^{-3}\text{m} = 833\text{nm}.$ Dieser Wert ist kleiner als die Wellenlänge des verwendeten Lichts: $833\;\text{nm}<956 \; \text{nm}$. Es kann also kein Maximum mit $n\geq1$ registriert werden, denn eine konstruktive Interferenz kann nicht mehr erreicht werden ($g$ $<$ $\lambda$).
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl vertikaler Spalte bestimmen
Um die minimale Anzahl der vertikalen Spalte pro Millimeter zu bestimmen, sodass nur das Maximum nullter Ordnung registriert wird, musst du dir überlegen, wie groß $g$ mindestens werden muss. Damit nur das Maximum nullter Ordnung registriert wird, muss die Gitterkonstante $g$ kleiner sein als die Wellenlänge $\lambda$ des verwendeten Lichtes.
Wenn $g< \lambda$, dann ist auch $\frac{1}{\text{Spaltanzahl}}< \lambda$. Durch Umstellen erhältst du: $\frac{1}{\lambda}< \text{Spaltanzahl}$.
Wenn du die Wellenlänge aus Aufgabenteil b) ($\lambda=956 \text{nm}$) in die Formel einsetzt, ergibt sich:
$\frac{1}{956 \text{nm}}< 1046 \frac{1}{\text{mm}}$
Es müssen also mindestens $1046$ Spalte pro Millimeter vorliegen, damit nur das Maximum nullter Ordnung registriert wird.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt erläutern
Es sind mehrere Spektren zu betrachten, da Licht aus dem Wellenlängenbereich von $420\;\text{nm}$ bis $780\;\text{nm}$ ausgesendet wird. Jede Wellenlänge hat einen unterschiedlichen Beugungswinkel bei dem ein Maximum am Schirm zu sehen ist. Da der Wellenlängenbereich durchgängig ist, ist auch vollständiges Spektrum zu erkennen. Die Formel $sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$ zeigt den Beugungswinkel in Abhängigkeit von der Wellenlänge. Du kannst sehen, dass bei steigender Wellenlänge der Winkel $\alpha$ ebenlfalls zunimmt. Das Maximum vom Licht mit der Wellenlänge $\lambda = 420 \; \text{nm}$ ist also eher in der Mitte des Schirms zu erwarten, während Licht der Wellenlänge $\lambda =780\;\text{nm}$ weiter außen auftaucht. Dazwischen sind die Maxima des Lichtes mit aufsteigender Wellenlänge zu sehen. Dies gilt nicht für das Maximum nullter Ordnung, denn dafür ist der Brechungswinkel $\alpha=0$ und damit unabhängig von der Wellenlänge. Das Maximum 0.ter Ordnung jeder Wellenlänge tritt an der gleichen Stelle auf dem Schirm auf, überlagert sich und ergibt weißes Licht.
b)
$\blacktriangleright$  Gitterkonstante berechnen
Du sollst die Gitterkonstante berechnen. Es ist angegeben, dass der minimale Beugungswinkel für das Maximum erster Ordnung $\alpha = 4,5°$ ist. Im Aufgabenteil a) wurde bereits erwähnt, dass bei steigender Wellenlänge auch der Beugungswinkel zunimmt. Wenn wir hier also vom minimalen Winkel ausgehen, muss auf dem Schirm auch zuerst das Maximum des Lichts mit der kleinsten Wellenlänge auftauchen, also $\lambda\; = 420\;\text{nm}$. Mit diesen Angaben kannst du nun die Gitterkonstante berechnen:
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
$\begin{array}[t]{rll} sin (\alpha_n)&=&\frac{n\cdot \lambda}{g}\quad \scriptsize \mid\; \cdot g \mid\;:sin (\alpha_n) \\[5pt] g&=&\frac{n\cdot \lambda}{sin(\alpha_n)} \\[5pt] g&=&\frac{1\cdot 420\;\text{nm}}{sin(4,5°)} \\[5pt] g&\approx& 5,35\cdot 10^{-6}\text{m} \end{array}$
Die Gitterkonstante beträgt also $g\approx5,35\cdot 10^{-6}\text{m}$.
c)
$\blacktriangleright$  Trennung der Spektren erster und zweiter Ordnung zeigen
Es soll gezeigt werden, dass die Spektren erster und zweiter Ordnung voneinander getrennt sind. Dazu musst du dir überlegen, wie sich die Spektren auf dem Schirm verteilen. Den kleinsten Beugungswinkel des Spektrums erster Ordnung hat das Licht mit der kleinsten Wellenlänge: violettes Licht. Den größten Beugungswinkel hat das Licht mit der größten Wellenlänge: rotes Licht. Gleiches gilt, nur nach oben versetzt, für das Spektrum zweiter Ordnung. Damit sich die Spektren also nicht berühren muss man das rote Licht des Spektrums erster Ordnung betrachten. Dieses musst du mit dem violetten Licht des Spektrums zweiter Ordnung vergleichen. Es soll gelten:
$\alpha_{\text{1.Ord}} < \alpha _{\text{2.Ord}}$. Es gilt also auch: $sin(\alpha_{\text{1.Ord}})<sin(\alpha _{\text{2.Ord}})$.
Wenn du $sin(\alpha)$ durch die Formel:
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
ersetzt, erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1\cdot \lambda_{rot}}{g}&<& \frac{2\cdot \lambda_{violett}}{g}& \scriptsize \mid\; \cdot g \\[5pt] 1\cdot \lambda_{rot}&<& 2\cdot \lambda_{violett} \end{array}$
Du kannst nun die Werte für $\lambda$ einsetzten.
$\begin{array}[t]{rll} 1\cdot 780&<& 2\cdot 420&\quad \scriptsize \\[5pt] 780&<&840 \end{array}$
Da dies laut Voraussetzung erfüllt ist, hast du gezeigt, dass die beiden Spektren voneinander getrennt sind.
d)
$\blacktriangleright$  Wellenlänge der Spektrenüberlappung von zweiter und dritter Ordnung berechnen
Um zu berechnen, bei welcher Wellenlänge im Spektrum zweiter Ordnung sich das Spektrum zweiter und dritter Ordnung überlappen, musst du dir überlegen, was für $\alpha$ gelten soll. Damit es zur Überlappung kommt, muss $\alpha_{2; \lambda} = \alpha_{3;\lambda\; violett}$ und somit auch sin($\alpha_{2; \lambda}) = sin(\alpha_{3;\lambda\ violett})$ sein. Du kannst $sin(\alpha)$ durch folgende Formel ersetzen und nach $\lambda$ umstellen:
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
Beugungswinkel
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{n_2\cdot \lambda_2}{g}&=&\frac{n_3\cdot \lambda_{3;violett}}{g} & \scriptsize \mid\; \cdot g \\[5pt] n_2\cdot \lambda_2&=& n_3\cdot \lambda_{3;violett} & \scriptsize \mid\; :n_2 \\[5pt] \lambda_2&=&\frac{n_3\cdot \lambda_{3;violett}}{n_2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda_2&=&\frac{3\cdot 420\text{nm}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda_2&=& 630\text{nm} \end{array}$
Ab einer Wellenlänge von $\lambda=630\;\text{nm}$ überlappen sich die Spektren zweiter und dritter Ordnung.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Spaltmittenabstand und Spaltbreite berechnen
In einem Gitterexperiment sind vier Spalte vorhanden, die mit Licht der Wellenlänge $630\;\text{nm}$ beleuchtet werden. Zunächst sind nur die Spalte $S_2$ und $S_3$ geöffnet. Du sollst den Spaltmittenabstand und die Spaltbreite bestimmen. Um den Spaltmittenabstand $g$ zu bestimmen, brauchst du die Formel für konstruktive Interferenz:
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{g}$.
Die Werte, die du benötigst, kannst du in Abb.3 auf dem Aufgabenblatt ablesen. Du kannst erkennen, dass sich das Maximum erster Ordnung ($n=1$) bei einem Beugungswinkel von $\alpha_1=0,1°$ befindet.
Durch Umformen der Formel nach $g$ und einsetzen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} sin (\alpha_n)&=& \frac{n\cdot \lambda}{g} \;\; \scriptsize \mid\; \cdot g \; \mid\; :sin(\alpha_n) \\[5pt] g&=&\frac{n\cdot \lambda}{sin (\alpha_n)} &\quad \scriptsize \\[5pt] g&=&\frac{1\cdot 630 \;\text{nm}}{sin (0,1°)} &\quad \scriptsize \\[5pt] g&\approx& 3,61 \cdot 10^{-4} \text{m} \end{array}$
Der Spaltmittenabstand beträgt demnach $g\approx3,61 \cdot 10^{-4} \text{m}$.
Im nächsten Schritt sollst du die Spaltbreite bestimmen. Dazu musst du das Experiment als Einzelspaltexperiment betrachten. Die Formel:
$sin (\alpha_n)=\frac{n\cdot \lambda}{b}$
beschreibt die Beugung am Einzelspalt. Der Winkel $\alpha_n$ sagt hier allerdings nicht aus wo ein Maximum am Schirm auftrifft, sondern wo sich das Minimum befindet. Das $n$ steht weiterhin für die Ordnung und $b$ für die Spaltbreite, die hier gesucht ist. Um den Winkel $\alpha_n$ zu erhalten, musst du in $\text{Abb.}3$ auf dem Aufgabenblatt ablesen, wo sich das Minimum erster Ordnung des Einzelspaltexperiments befindet. Bei einem Winkel von $\alpha=0,4°$ siehst du, dass das kein Maximum auftaucht, obwohl wir es vom Doppelspaltexperiment erwarten würden. Dies lässt sich damit erklären, dass das Minimum des Einzelspaltexperiments sich mit dem Maximum des Doppelspaltexperiments überlagert. Um die Spaltbreite zu berechnen, kannst du deswegen als Minimum erster Ordnung ($n=1$), $\alpha=0,4°$ in die Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} sin (\alpha_n)&=& \frac{n\cdot \lambda}{b} \;\;\; \scriptsize \mid\; \cdot b \; \mid\; :sin(\alpha_n) \\[5pt] b&=&\frac{n\cdot \lambda}{sin (\alpha_n)} &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&\frac{1\cdot 630 \text{nm}}{sin (0,4°)} &\quad \scriptsize \\[5pt] b&\approx& 9,02 \cdot 10^{-5} \text{m} \end{array}$
Die Spaltbreite beträgt $b\approx 9,02 \cdot 10^{-5} \text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$  Verteilung der relativen Intensität im Vergleich zu $\boldsymbol{Abb.3}$ beschreiben
Wenn nur die Spalte $S_2$ und $S_4$ geöffnet werden, verdoppelt sich der Spaltmittenabstand $g$. Wenn du dies in der Formel für die Beugung einsetzt, erkennst du, dass eine Verdopplung des Spaltmittenabstandes $g$ für kleine Winkel zu einer Halbierung des Beugungswinkels $\alpha$ führt:
$sin (\alpha_n)=\frac{1}{2}\frac{n\cdot \lambda}{ g}$
Der Graph erscheint deswegen, im Vergleich zu $\text{Abb.}3$, gestaucht.
c)
$\blacktriangleright$  Verteilung der Intensität im Bereich $\boldsymbol{-0,2° \leq \alpha \leq 0,2°}$
Jetzt sind alle Spalte geöffnet. Die Hauptmaxima sind an der gleichen Stelle zu erwarten, wie beim Doppelspaltexperiment, da der Vierfachspalt denselben Spaltmittenabstand wie der Doppelspalt hat. Es sind zwischen den Hauptmaxima allerdings noch zwei weitere Nebenmaxima zu sehen, die durch die zusätzlich geöffneten Spalte entstehen.
Aufgabe 2
Abb. 2: Intensitätsverteilung beim Öffnen von aller Spalte
Aufgabe 2
Abb. 2: Intensitätsverteilung beim öffnen von $S_1$ - $S_4$

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Entwicklung des Bildes beschreiben
Es trifft nacheinander jeweils ein Photon auf der Platte auf. Es sind zunächst nur einzelne Punkte verteilt auf dem Schirm zu erkennen, die zufällig verteilt zu sein scheinen. Man kann nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vorhersagen wo das Photon auftrifft. Diese Wahrscheinlichkeit wird mit der Wellenfunktion beschrieben. Nach einiger Zeit lässt sich auf dem Schirm ein Muster erkennen, bei dem hellere und dunklere Streifen zu sehen sind. Es handelt sich um Maxima und Minima, genau wie in Aufgabe 3 (Vierfachspaltexperiment). Die Intensitätsverteilung entspricht der Nachweiswahrscheinlichkeit für ein Teilchen an einem bestimmten Ort der Beobachtungsebene. Wenn nun also viele Photonen abgeschossen werden, ist das gleiche Muster zu erwarten, wie in Aufgabe 3. Die Tatsache, dass eine Welle und ein Teilchen ein gleiches Muster am Schirm verursachen lässt auf den Wellen-Teilchen-Dualismus schließen. Er besagt, dass Photonen sowohl als Wellen, als auch als Teilchen beschrieben werden können.
b)
$\blacktriangleright$  Beeinflussung des nachgewiesenen Photons auf die Intensitätsverteilung erklären
Die Photonen werden am Spalt $S_1$ nachgewiesen. Sobald eine Information über den Weg der Photonen vorliegt, tragen sie nicht mehr zum Beugungsbild des Vierfachspalts bei. Dieser Effekt wird als Komplementarität bezeichnet. Somit ergibt sich eine Überlagerung eines Einzelspaltbeugungsbildes und eines Dreifachspaltbeugungsbildes.
c)
$\blacktriangleright$  Veränderte Intensitätsverteilung begründen
Jetzt wird nicht mehr der außenliegene Spalt $S_1$, sondern der Spalt $S_2$, welcher innen liegt, überwacht. Damit tragen Photonen, die $S_2$ passieren, nicht mehr zum Beugungsbild bei (Komplementarität). Es ergibt sich also wieder eine Überlagerung eines Einzelspaltbeugungsbildes und eines Dreifachspaltbeugungsbildes. Der Dreifachspalt hat jetzt aber andere Spaltabstände, wie der in Aufgabe b), weshalb sich eine andere Intensitätsverteilung ergibt. Die Spalte $S_1$ und $S_3$ haben einen Abstand von $2g$, die Spalte $S_3$ und $S_4$ einen Abstand von $g$. In Aufgabenteil b) waren beide Spaltabstände $g$.
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
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