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Aufgabe 2

Aufgaben
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a) Laserlicht der Wellenlänge $633\,\text{nm}$ fällt senkrecht auf ein optisches Gitter mit der Gitterkonstanten $1,75\cdot 10^{-6}\,\text{m}$. Parallel zum Gitter befindet sich im Abstand von $30,0\,\text{cm}$ ein $50,0\,\text{cm}$ breiter Schirm.
Das Maximum nullter Ordnung befindet sich in der Mitte des Schirms.
  • Leite anhand einer Skizze eine Bedingung für die Winkel her, unter denen Maxima auf dem Schirm auftreten.
  • Berechne den Abstand zwischen dem Maximum nullter und dem Maximum erster Ordnung.
  • Bestimme die Anzahl der Maxima auf dem Schirm.
Nun füllt man den Raum zwischen Gitter und Schirm vollständig mit einer Flüssigkeit aus. Daraufhin verringert sich der Abstand benachbarter Maxima.
  • Erkläre diese Beobachtung.
(8P)
b) In einem neuen Experiment wird ein unbekanntes Beugungsobjekt mit Laserlicht der Wellenlänge $633\,\text{nm}$ senkrecht beleuchtet.
Auf einem $5,0$ Meter entfernten Schirm beobachtet man die Intensitätsverteilung aus Abbildung 1.
Aufgabe 2 Abb.1
Aufgabe 2 Abb.1
  • Gib an, um welches Beugungsobjekt es sich handelt und begründe deine Antwort.
  • Erläutere das Zustandekommen der Intensität an der Stelle $1,0\,\text{mm}$.
Man beobachtet in diesem Experiment, dass das Maximum 5. Ordnung ausfällt.
  • Zeige, dass unabhängig von der Wellenlänge des eingestrahlten Lichts jedes weitere 5. Maximum ausfällt.
(7P)
c) Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus einer Spule mit der Induktivität $47,0\,\mu\text{H}$ und einem Kondensator mit der Kapazität $2,86\,\text{nF}$.
  • Berechne die Eigenfrequenz des Schwingkreises.
  • Nenne zwei Möglichkeiten die Eigenfrequenz zu halbieren.
In einem Versuch wird ein Schwingkreis mit einem Kondensator veränderlicher Kapazität aufgebaut.
Zur Bestimmung der Induktivität werden die folgenden Messwerte aufgenommen:
$C$ in $\text{nF}$ $1,00$ $1,25$ $1,67$ $2,50$ $5,00$
$f$ in $\text{kHz}$ $728$ $666$ $576$ $458$ $329$
  • Stelle den $\dfrac{1}{C}-f^2-$Zusammenhang in einem Diagramm dar.
  • Beschreibe den Verlauf des Schaubildes und begründe den dargestellten Zusammenhang.
  • Bestimme mithilfe des Diagramms die Induktivität.
(10P)
d) Albert Einstein bekam den Nobelpreis für seine Erklärung des Fotoeffekts, bei dem unter bestimmten Bedingungen Elektronen aus einer Metalloberfläche austreten, wenn diese mit Licht bestrahlt wird.
  • Erläutere, ob die Intensität des verwendeten Lichts die Maximalgeschwindigkeit der ausgelösten Elektronen beeinflusst.
Eines der vier Diagramme in Abbildung 2 zeigt den Zusammenhang zwischen der Frequenz des Lichts und der Maximalgeschwindigkeit der ausgelösten Elektronen.
  • Gib an, welches Diagramm diesen Zusammenhang am besten darstellt und begründe deine Entscheidung.
  • Aufgabe 2 Abb.2a
    Aufgabe 2 Abb.2a
    Aufgabe 2 Abb.2b
    Aufgabe 2 Abb.2b
    Aufgabe 2 Abb.2c
    Aufgabe 2 Abb.2c
    Aufgabe 2 Abb.2d
    Aufgabe 2 Abb.2d
(5P)
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Tipps
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a)   $\blacktriangleright$  Bedingung für die Winkel, unter denen Maxima auf dem Schirm auftreten, herleiten
Im Folgenden sollst du mithilfe einer Skizze der Versuchsanordnung eine Bedingung für die Winkel, unter denen Maxima auf dem Schirm auftreten, herleiten. Diese Bedingung kannst du in Form einer Gleichung angegeben.
Tipp
Du sollst eine Bedingung in Form einer mathematischen Gleichung mithilfe einer geeigneten Skizze herleiten. Achte darauf, dass die Skizze klar beschriftet ist und die Herleitungen schnell nachvollziehbar sind. Hierzu kannst du möglichst viele Farben verwenden.
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen dem Maximum nullter und dem Maximum erster Ordnung berechnen
Der Abstand zwischen dem Maximum nullter und dem Maximum erster Ordnung entspricht laut obiger Skizze gerade dem Abstand $x_1$ des ersten Maximums von der Mitte des Schirms. Für die Ordnung folgt also $n = 1$.
Für den Beobachtungswinkel $\alpha_n$ folgt aus obiger Skizze weiterhin:
$\begin{array}[t]{rrlllllll} \tan(\alpha_n)&=&\dfrac{x_n}{a}& \end{array}$
Berechne den gesuchten Abstand mithilfe der hergeleiteten Formeln.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Maxima auf dem Schirm bestimmen
Der maximale Beobachtungswinkel unter dem noch ein Maximum auf dem Schirm beobachtet werden könnte, wird dann erreicht, wenn die Laserstrahlen genau die Kante des Schirms beleuchten. Daher überlegen wir uns zunächst wie breit der Schirm bzw. der maximal mögliche Abstand $x$ von der Mitte des Schirms ist. Aus diesem maximal möglichen Beobachtungswinkel $\alpha$ und der Gitterkonstanten $g$ kannst du den Gangunterschied $\delta$ und damit die Anzahl $n$ der Maxima bestimmen.
Da die Versuchsanordnung symmetrisch ist, kannst du doppelt so viele Maxima beobachten. Denn es sind immer zwei Maxima 1. Ordnung, 2. Ordnung, etc. sichtbar. Zudem kommt ein weiteres Maximum hinzu, das bei $\delta = 0$, also auf der Mittelachse entsteht. Das sogenannte Maximum nullter Ordnung.
Die Gesamtzahl $N$ der sichtbaren Maxima auf dem Schirm beträgt dann:
$N = 2\,n + 1$
$\blacktriangleright$  Beobachtung erklären
Nun wird der Raum zwischen Gitter und Schirm vollständig mit einer Flüssigkeit ausgefüllt. Als Folge verringert sich der Abstand der benachbarten Maxima.
Um diese Beobachtung zu erklären, kannst du dir zunächst überlegen, welche der physikalischen Größen der beiden Formeln überhaupt variieren können. Hast du eine gefunden, so kannst du überprüfen, ob durch eine Vergrößerung oder Verkleinerung des Betrages der Abstand der benachbarten Maxima $x$ kleiner wird. Diese Erkenntnis gilt es dann noch mithilfe deines physikalischen Wissen zu erläutern.
Die beiden Gleichungen sind über den Beobachtungswinkel $\alpha$ miteinander verknüpft und beinhalten die folgenden physikalischen Größen, von denen der Abstand auf dem Schirm $x$ durch die Flüssigkeit verkleinert wird.
  • Abstand $a$ zwischen Gitter und Schirm
  • Gitterkonstante $g$
  • Ordnung $n$ der Maxima
  • Wellenlänge $\lambda$ des Lasers
Da der Versuchsaufbau, abgesehen vom eingefüllten Wasser, gleich bleibt, muss damit auch der Abstand $a$ zwischen Gitter und Schirm und die Gitterkonstante $g$ konstant bleiben. Da wir die Lage der Maxima gleicher Ordnungen vergleichen, bleibt auch die Ordnung $n$ der Maxima konstant. Daraus folgt, dass sich durch das Einfüllen des Wassers die Wellenlänge $\boldsymbol{\color{#2b7580}{\lambda}}$ des Laserlichts verändert haben muss.
b)   $\blacktriangleright$  Angeben und begründen, um welches Beugungsobjekt es sich handelt
Im Folgenden sollst du angeben, welches Beugungsobjekt diese Intensitätsverteilung hervorgerufen haben kann und diese Auswahl begründen.
Tipp
Zu der gegebenen Intensitätsverteilung sollst du ein mögliches Beugungsobjekt angeben und deine Auswahl begründen. Es reicht bei dieser Fragestellung nicht aus, nur das mögliche Beugungsobjekt anzugeben, sondern du sollst deine Auswahl auf Regeln und Gesetzmäßigkeiten zurückführen oder mithilfe kausaler Beziehung von Ursache und Wirkung plausibel erklären.
Um eine Auswahl zu treffen, betrachtest du
  • die Intensität
  • die Breite
  • den Abstand der Hauptmaxima
  • Anzahl der Minima zwischen zwei Hauptmaxima
$\blacktriangleright$  Zustandekommen der Intensität an der Stelle $\boldsymbol{1,0}$ mm erläutern
An der Stelle $1,0\,\text{mm}$ befindet sich nach Abbildung 1 ein Intensitätsminimum. Das bedeutet die Intensität ist Null, an dieser Stelle trifft kein Laserlicht auf den Schirm. Diese Tatsache gilt es zu erklären.
Minima der Intensität entstehen immer dann, wenn alle Elementarwellen destruktiv miteinander interferieren. Destruktive Interferenz tritt dann ein, wenn die resultierende Amplitude gleich Null ist.
Du kannst dir nun die Einzelamplituden als drei rotierende gleichlange Zeiger vorstellen. Dann stellt die resultierende Amplitude gerade die Vektorsumme der Zeiger dar. Schwingen die Erreger gleichphasig, so ist der Winkel zwischen den Zeigern Null und die resultierende Amplitude ist dreifach so groß, wie die ursprüngliche (siehe unten links).
Ist dies nicht der Fall, so erhältst du zwischen den Zeigern Winkel, die die Phasenverschiebung wiedergeben und einen resultieren Vektor für die neue Amplitude, wie etwa im Beispiel unten Mitte angegeben.
Nun soll die Resultierende Null werden, damit die Wellen destruktiv interferieren. Dann müssen die Zeiger einen geschlossenen Zug ergeben. Wenn die Zeigerlänge gleich ist, ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck wie unten rechts:

Aufgabe 2
Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Zeigen, dass unabhängig von der Wellenlänge des eingestrahlten Lichts jedes weitere 5. Maximum ausfällt
In der Intensitätsverteilung in Abbildung 1 beobachtet man, dass das Maximum 5. Ordnung ausfällt. Dies ist der Fall, weil das Maximum 5. Ordnung des Dreifachspalts ($n_{3-Spalt}=5$) mit dem Intensitätsminimum 1. Ordnung eines der Spalte ($n_{1-Spalt}=1$) zusammenfällt.
Intensitätsmaxima des Dreifachspalts treten genau unter den Winkeln $\alpha$ auf, für die gilt:
$\begin{array}[t]{rrll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{n_{3-Spalt} \cdot \lambda}{g}& \end{array}$
Die Minima der Einzelspalte sind unter den Winkeln $\alpha$ beobachtbar, wenn gilt:
$\begin{array}[t]{rrll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{n_{1-Spalt} \cdot \lambda}{b}& \end{array}$
Die Größe $g$ steht für den Abstand der Spaltmitten und die Größe $b$ für die Breite der jeweiligen Spalte.
Wenn du eine Stelle des Schirms betrachtest, so beobachtest du das Licht unter einem bestimmten Beugungswinkel $\alpha$. Zur Beantwortung der Frage kannst du daher die beiden obigen Gleichungen gleichsetzen. Versuche damit ein Verhältnis zwischen den beiden Ordnungszahlen $n_{3-Spalt}$ und $n_{1-Spalt}$ herzustellen.
c)   $\blacktriangleright$  Eigenfrequenz des Schwingkreises berechnen
Die Periodendauer $T$ der elektromagnetischen Schwingung berechnet sich nach:
$\begin{array}[t]{rrll} T&=&2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}& \end{array}$
Die Eigenfrequenz des Schwingkreises wiederum erhältst du aus dem Kehrwert der Periodendauer.
$\blacktriangleright$  Zwei Möglichkeiten die Eigenfrequenz zu halbieren, nennen
Die Eigenfrequenz zu halbieren entspricht auf Grund des antiproportionalen Zusammenhangs damit die Periodendauer zu verdoppeln. Hierzu gibt es mehrere Möglichkeiten.
Dazu betrachten wir, was passiert, wenn wir die Variablen $L$ und $C$ bei halber Eigenfrequenz mit einer $2$ im Index definieren.
Für die neue, halb so große, Eigenfrequenz $f_2$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rrll} f_2&=&\dfrac{1}{2}\,f& \qquad (1) \end{array}$
Setzt du nun
$\begin{array}[t]{rrll} f_2&=&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L_2 \cdot C_2}}& \end{array}$
und
$\begin{array}[t]{rrll} f&=&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}& \end{array}$
in (1) entsprechend ein, erhältst du eine Gleichung, aus der du den Faktor ablesen kannst, um welchen die Variablen $L$ und $C$ vergrößert werden können, um die halbe Eigenfrequenz zu erhalten.
$\blacktriangleright$  Den $\boldsymbol{\frac{1}{C}-f^2}$-Zusammenhang in einem Diagramm darstellen
Um den Zusammenhang darzustellen, erweitern wir zunächst die Tabelle, um die Zeile der quadrierten Eigenfrequenz $f^2$ und dem Kehrwert der Kapazität $\frac{1}{C}$. Diese Werte werden dann gegeneinander aufgetragen.
Tipp
Die Ergebnisse der Messung sollst du in einem geeigneten Diagramm darstellen. Trage hierzu die Messwerte als Punkte in ein geeignetes Diagramm ein und verbinde diese, sodass der Zusammenhang zwischen diesen sichtbar wird. Vergiss dabei nicht, die Achsen des Diagramms vollständig zu beschriften.
Im Laufe des Versuchs wird die Kapazität $C$ des Kondensators verändert und die zugehörige Frequenz $f$ ermittelt. Somit ändert sich auch das Quadrat der Frequenz $f^2$ in Abhängigkeit vom Kehrwert der Kapazität $\frac{1}{C}$. Stelle daher den genannten Zusammenhang in einem $f^2 - \frac{1}{C} -$Diagramm dar.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Schaubildes beschreiben und den dargestellten Zusammenhang begründen
Im Folgenden gilt es den Verlauf des Schaubildes zu beschreiben und den dargestellten Zusammenhang zu begründen.
Tipp
Um eine Aussage über den Sachverhalt zu tätigen, musst du zunächst den Kurvenverlauf beschreiben. Du sollst diesen also mit eigenen Worten wiedergeben. Achte dabei auf Fachsprache und Struktur.
Nutze die bereits in den vorherigen Teilaufgaben vorgestellte Gleichung der Eigenfrequenz und forme diese nach den im Diagramm dargestellten Parametern so um, dass du Proportionalitäten erkennen kannst.
$\blacktriangleright$  Mithilfe des Diagramms die Induktivität bestimmen
Wie bereits erwähnt, ist die Gleichung
$\begin{array}[t]{rrll} f^2&=&\dfrac{1}{4\,\pi^2 \cdot L }\cdot \dfrac{1}{C}& \\[5pt] \end{array}$
die Funktionsgleichung der Trendlinie. Dabei entspricht der Term $\frac{1}{4\,\pi^2 \cdot L }$ gerade der Steigung $m$.
Um die Induktivität mithilfe des Diagramms zu bestimmen, kannst du aus dem Diagramm die Steigung ablesen, sie in den genannten Term einsetzen und die Induktivität $L$ berechnen.
d)   $\blacktriangleright$  Erläutern, ob die Intensität des verwendeten Lichts die Maximalgeschwindigkeit der ausgelösten Elektronen beeinflusst
Für die Erklärung des Fotoeffekts bekam Albert Einstein den Physiknobelpreis des Jahres 1921. Er erklärte dabei, unter welchen Bedingungen Elektronen aus einer Metalloberfläche austreten, wenn diese mit Licht bestrahlt wird.
Eine dieser Bedingungen ist die Intensität des Lichts. Im Folgenden sollst du erläutern, ob diese die Maximalgeschwindigkeit der ausgelösten Elektronen beeinflusst.
Tipp
Um den Sachverhalt zu erläutern machst du die Intensität von Licht verständlich. Du kannst sie ebenfalls mit zusätzlichen Informationen veranschaulichen.
$\blacktriangleright$  Angeben und begründen, welches Diagramm den Zusammenhang am besten darstellt
Nutze hierzu die Tatsache, dass mit der Energie eines auftreffenden Photons $W_{Photon}$ ein Elektron aus der Metalloberfläche herausgelöst wird. Die Energie des Photons wird dabei dazu verwendet, das Elektron abzulösen $W_{Ablöse}$ und es anschließend mit der kinetischen Energie $W_{kin}$ auf die Geschwindigkeit $v$ zu beschleunigen. Mit dem Ansatz des Energieerhaltungssatzes kannst du den korrekten Zusammenhang zwischen der Frequenz des Lichts $f$ und der Geschwindigkeit $v$ des Elektrons herstellen und das richtige Diagramm auswählen.
Ein Photon besitzt vor dem Auftreffen auf die Metalloberfläche die Energie:
$\begin{array}[t]{rrll} W_{Photon}&=&h \cdot f& \end{array}$
Beim Auftreffen löst das Photon mithilfe dieser Energie ein Elektron aus dem Metall heraus. Die Energie $W_{Photon}$ wird dabei dazu verwendet, die Ablösearbeit $W_{Ablöse}$ zu leisten und mit der übrigen Energie $W_{kin}$ das herausgelöste Elektron auf die Geschwindigkeit $v$ zu beschleunigen. Hierbei geht keine Energie verloren.
Daher gilt:
$\begin{array}[t]{rrll} W_{Photon}&=&W_{kin} + W_{Ablöse}& \end{array}$
Die Ablösearbeit $W_{Ablöse}$ ist konstant und vom Material, also dem Metall, abhängig.
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a)  $\blacktriangleright$  Bedingung für die Winkel, unter denen Maxima auf dem Schirm auftreten, herleiten
Im Folgenden sollst du mithilfe einer Skizze der Versuchsanordnung eine Bedingung für die Winkel, unter denen Maxima auf dem Schirm auftreten, herleiten. Diese Bedingung kannst du in Form einer Gleichung angegeben.
Tipp
Du sollst eine Bedingung in Form einer mathematischen Gleichung mithilfe einer geeigneten Skizze herleiten. Achte darauf, dass die Skizze klar beschriftet ist und die Herleitungen schnell nachvollziehbar sind. Hierzu kannst du möglichst viele Farben verwenden.
Der Abstand der Spaltmitten des Gitters wird durch die Gitterkonstante $g$ definiert. Da dieser Abstand sehr viel kleiner als der Abstand zwischen Schirm und Gitter ist ($g << a$), können die in der Skizze dargestellten Strahlen als parallel angesehen werden.
Ein Maximum $n$. Ordnung tritt genau unter dem Beobachtungswinkel $\alpha_n$ auf, wenn die benachbarten Laserstrahlen einen Gangunterschied von $\delta = n \cdot \lambda$ besitzen.
Eine geeignete Skizze könnte folgendermaßen aussehen:

Aufgabe 2
Aufgabe 2

Aus deiner Skizze kannst du entnehmen:
$\begin{array}[t]{rrlllllll} \sin(\alpha_n)&=&\dfrac{m \cdot \delta}{m \cdot g}&=&\dfrac{\delta}{g}&=&\dfrac{n \cdot \lambda}{g}& \end{array}$
$$\sin(\alpha_n)=\dfrac{n \cdot \lambda}{g} $$ $$…$$
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen dem Maximum nullter und dem Maximum erster Ordnung berechnen
Der Abstand zwischen dem Maximum nullter und dem Maximum erster Ordnung entspricht laut obiger Skizze gerade dem Abstand $x_1$ des ersten Maximums von der Mitte des Schirms. Für die Ordnung folgt also $n = 1$.
Für den Beobachtungswinkel $\alpha_n$ folgt aus obiger Skizze weiterhin:
$\begin{array}[t]{rrlllllll} \tan(\alpha_n)&=&\dfrac{x_n}{a}& \end{array}$
Berechne den gesuchten Abstand mithilfe der hergeleiteten Formeln.
Für den Beobachtungswinkel $\alpha_1$ unter dem das erste Maximum anzutreffen ist, ergibt sich nach:
$\begin{array}[t]{rrll} \sin(\alpha_1)&=&\dfrac{1 \cdot \lambda}{g}& \quad \scriptsize \mathrm{mit}\;\lambda = 633\,\text{nm} = 633 \cdot 10^{-9}\,\text{m}\; \text{und}\; g = 1,75\cdot 10^{-6}\,\text{m} \\[5pt] &=&\dfrac{633 \cdot 10^{-9}\,\color{#dc1400}{\text{m}}}{1,75\cdot 10^{-6}\,\color{#dc1400}{\text{m}}}&\\[5pt] &\approx&0,3617& \quad \mid\; \scriptsize \arcsin(\quad) \\[5pt] \alpha_1&=&\arcsin(0,3617)& \\[5pt] &\approx&21,2^\circ& \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} \sin(\alpha_1)&&\approx&21,2^\circ& \\ \end{array} $$ $$…$$
Obige Gleichung lässt sich nach der Lage des Maximums $n$. Ordnung $x_n$ umformen:
$\begin{array}[t]{rrll} \tan(\alpha_1)&=&\dfrac{x_n}{a}& \quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] a \cdot \tan(\alpha_1) &=&x_n& \end{array}$
Für die Lage des Maximums $1$. Ordnung und somit für den Abstand zwischen dem Maximum nullter und dem Maximum erster Ordnung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rrll} x_1&=&a \cdot \tan(\alpha_1)& \quad \scriptsize \mathrm{mit}\;a = 30,0\,\text{cm} \; \text{und}\; \alpha_1 \approx 21,2^\circ \\[5pt] &=&30,0\,\text{cm} \cdot \tan(21,2^\circ)& \\[5pt] &=&11,6\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} x_1&=&11,6\,\text{cm} \end{array} $$ $$…$$
Der Abstand zwischen dem Maximum nullter und dem Maximum erster Ordnung beträgt $11,6\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Maxima auf dem Schirm bestimmen
Der maximale Beobachtungswinkel unter dem noch ein Maximum auf dem Schirm beobachtet werden könnte, wird dann erreicht, wenn die Laserstrahlen genau die Kante des Schirms beleuchten. Daher überlegen wir uns zunächst wie breit der Schirm bzw. der maximal mögliche Abstand $x$ von der Mitte des Schirms ist. Aus diesem maximal möglichen Beobachtungswinkel $\alpha$ und der Gitterkonstanten $g$ kannst du den Gangunterschied $\delta$ und damit die Anzahl $n$ der Maxima bestimmen.
Da die Versuchsanordnung symmetrisch ist, kannst du doppelt so viele Maxima beobachten. Denn es sind immer zwei Maxima 1. Ordnung, 2. Ordnung, etc. sichtbar. Zudem kommt ein weiteres Maximum hinzu, das bei $\delta = 0$, also auf der Mittelachse entsteht. Das sogenannte Maximum nullter Ordnung.
Die Gesamtzahl $N$ der sichtbaren Maxima auf dem Schirm beträgt dann:
$N = 2\,n + 1$
Da der Schirm $b = 50,0\,\text{cm}$ breit ist, kann der maximale Abstand $x$ von der Mitte des Schirms zu einer der Kanten höchstens $x = 25,0\,\text{cm}$ sein. Für den maximalen Beobachtungswinkel $\alpha$, unter dem das Laserlicht noch gerade so auf die Kante trifft, gilt dann:
$\begin{array}[t]{rrll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{x}{a}& \quad \scriptsize \mathrm{mit}\; x = 25,0\,\text{cm} \; \text{und}\; a = 30,0\,\text{cm} \\[5pt] &=&\dfrac{25,0\,\color{#dc1400}{\text{cm}}}{30,0\,\color{#dc1400}{\text{cm}}}& \\[5pt] &\approx&0,8333 \\[5pt] \alpha&=&\arctan(0,8333) \\[5pt] &\approx&39,8^\circ \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} \tan(\alpha)&&\approx&39,8^\circ \\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Aus diesem maximalen Beobachtungswinkel $\alpha$ und der Gitterkonstanten $g$ folgt:
$\begin{array}[t]{rrll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\delta}{g}& \quad \scriptsize \mid\; \cdot g \\[5pt] g \cdot \sin(\alpha)&=&\delta& \end{array}$
Da Maxima bei Gangunterschieden von $\delta = n \cdot \lambda$ auftreten, können nur Maxima bis zur $n$. Ordnung auf dem Schirm sichtbar sein.
Es folgt somit:
$\begin{array}[t]{rrll} \delta &=&g \cdot \sin(\alpha)& \quad \scriptsize \mathrm{mit}\; \delta = n \cdot \lambda \\[5pt] n \cdot \lambda&=&g \cdot \sin(\alpha)& \quad \scriptsize \mid\; : \lambda \\[5pt] n &=&\dfrac{g}{\lambda} \cdot \sin(\alpha)& \quad \scriptsize \mathrm{mit}\;\lambda = 633\,\text{nm} = 633 \cdot 10^{-9}\,\text{m}\; \text{und}\; g = 1,75\cdot 10^{-6}\,\text{m} \; \text{und}\; \alpha \approx 39,8^\circ\\[5pt] &=&\dfrac{1,75\cdot 10^{-6}\,\color{#dc1400}{\text{m}}}{633 \cdot 10^{-9}\,\color{#dc1400}{\text{m}}} \cdot \sin(39,8^\circ)&\\[5pt] &\approx&1,8 \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} \delta &&\approx&1,8 \end{array} $$ $$…$$
Da es Maxima der $1,8$. Ordnung nicht gibt, treten auf dem Schirm höchstens zwei Maxima $1$. Ordnung auf. Zusammen mit dem Maximum $0$. Ordnung ergibt sich, dass drei Maxima auf dem Schirm sichtbar sind.
$\blacktriangleright$  Beobachtung erklären
Nun wird der Raum zwischen Gitter und Schirm vollständig mit einer Flüssigkeit ausgefüllt. Als Folge verringert sich der Abstand der benachbarten Maxima.
Um diese Beobachtung zu erklären, kannst du dir zunächst überlegen, welche der physikalischen Größen der beiden Formeln überhaupt variieren können. Hast du eine gefunden, so kannst du überprüfen, ob durch eine Vergrößerung oder Verkleinerung des Betrages der Abstand der benachbarten Maxima $x$ kleiner wird. Diese Erkenntnis gilt es dann noch mithilfe deines physikalischen Wissen zu erläutern.
Die beiden Gleichungen sind über den Beobachtungswinkel $\alpha$ miteinander verknüpft und beinhalten die folgenden physikalischen Größen, von denen der Abstand auf dem Schirm $x$ durch die Flüssigkeit verkleinert wird.
  • Abstand $a$ zwischen Gitter und Schirm
  • Gitterkonstante $g$
  • Ordnung $n$ der Maxima
  • Wellenlänge $\lambda$ des Lasers
Da der Versuchsaufbau, abgesehen vom eingefüllten Wasser, gleich bleibt, muss damit auch der Abstand $a$ zwischen Gitter und Schirm und die Gitterkonstante $g$ konstant bleiben. Da wir die Lage der Maxima gleicher Ordnungen vergleichen, bleibt auch die Ordnung $n$ der Maxima konstant. Daraus folgt, dass sich durch das Einfüllen des Wassers die Wellenlänge $\boldsymbol{\color{#2b7580}{\lambda}}$ des Laserlichts verändert haben muss.
Verringert sich der Abstand $x$ der benachbarten Maxima, so sind diese unter kleineren Beugungswinkeln $\alpha$ anzutreffen. Diese werden dann erreicht, wenn auch die Wellenlänge $\lambda$ des Lasers durch die Flüssigkeit kleiner wird: Dieses Phänomen ist unter dem Begriff der Dispersion bekannt
Licht breitet sich immer mit der konstanten Frequenz $f = \frac{c}{\lambda}$ aus, wobei die Wellenlänge $\lambda$ abhängig von der Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ ist. Tritt Licht nun in ein dichteres Medium als Luft (hier: Wasser) ein, so verringert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$, da die Photonen zeitweise mit den Molekülen der Flüssigkeit wechselwirken und sich somit langsamer ausbreiten.
b)  $\blacktriangleright$  Angeben und begründen, um welches Beugungsobjekt es sich handelt
Im Folgenden sollst du angeben, welches Beugungsobjekt diese Intensitätsverteilung hervorgerufen haben kann und diese Auswahl begründen.
Tipp
Zu der gegebenen Intensitätsverteilung sollst du ein mögliches Beugungsobjekt angeben und deine Auswahl begründen. Es reicht bei dieser Fragestellung nicht aus, nur das mögliche Beugungsobjekt anzugeben, sondern du sollst deine Auswahl auf Regeln und Gesetzmäßigkeiten zurückführen oder mithilfe kausaler Beziehung von Ursache und Wirkung plausibel erklären.
Um eine Auswahl zu treffen, betrachtest du
  • die Intensität
  • die Breite
  • den Abstand der Hauptmaxima
  • Anzahl der Minima zwischen zwei Hauptmaxima
Zwischen den Hauptmaxima, deren Intensität nach außen hin abnimmt, lässt sich ein Nebenmaximum erkennen. Diese treten auf, wenn Licht durch mehr als zwei Spalte tritt. Daneben sind zwei Intensitätsminima zu beobachten, deren Anzahl einen Hinweis auf die Zahl der Spalten gibt. Das Interferenzbild des Doppelspaltes besitzt beispielsweise ein Minimum zwischen zwei Maxima. Also genau ein Minimum weniger als Anzahl der Spalten.
Dies gilt auch allgemein:
Bei einem Mehrfachspalt mit $n$ beleuchteten Spalten lassen sich $n-1$ Intensitätsminima zwischen zwei Hauptmaxima finden.
Abbildung 1 kannst du entnehmen, dass sich zwischen zwei Hauptmaxima zwei Intensitätsminima befinden. Das bedeutet, dass diese Intensitätsverteilung durch einen Dreifachspalt als Beugungsobjekt hervorgerufen wurde.
$\blacktriangleright$  Zustandekommen der Intensität an der Stelle $\boldsymbol{1,0}$ mm erläutern
An der Stelle $1,0\,\text{mm}$ befindet sich nach Abbildung 1 ein Intensitätsminimum. Das bedeutet die Intensität ist Null, an dieser Stelle trifft kein Laserlicht auf den Schirm. Diese Tatsache gilt es zu erklären.
Minima der Intensität entstehen immer dann, wenn alle Elementarwellen destruktiv miteinander interferieren. Destruktive Interferenz tritt dann ein, wenn die resultierende Amplitude gleich Null ist.
Du kannst dir nun die Einzelamplituden als drei rotierende gleichlange Zeiger vorstellen. Dann stellt die resultierende Amplitude gerade die Vektorsumme der Zeiger dar. Schwingen die Erreger gleichphasig, so ist der Winkel zwischen den ZeigernNull und die resultierende Amplitude ist dreifach so groß, wie die ursprüngliche (siehe unten links).
Ist dies nicht der Fall, so erhältst du zwischen den Zeigern Winkel, die die Phasenverschiebung wiedergeben und einen resultieren Vektor für die neue Amplitude, wie etwa im Beispiel unten Mitte angegeben.
Nun soll die Resultierende Null werden, damit die Wellen destruktiv interferieren. Dann müssen die Zeiger einen geschlossenen Zug ergeben. Wenn die Zeigerlänge gleich ist, ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck wie unten rechts:

Aufgabe 2
Aufgabe 2

In einem gleichseitigen Dreieck muss man die Zeiger jeweils um $120^\circ$ im Uhrzeigersinn oder $240^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn drehen und anschließend aneinander setzen. Die Phasenverschiebung $\varphi$ entspricht dann diesem Winkel in Radianten:
Aufgabe 2
$\begin{array}[t]{rrll} \varphi_1 &=&120^\circ&=&\dfrac{2}{3}\,\pi \\[5pt] \varphi_2 &=&240^\circ&=&\dfrac{4}{3}\,\pi \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} \varphi_1 &=&120^\circ&=&\dfrac{2}{3}\,\pi \\[5pt] \varphi_2 &=&240^\circ&=&\dfrac{4}{3}\,\pi \\[5pt] \end{array}$
Man kann diese Phasenverschiebung über folgendes Verhältnis bestimmen:
$\begin{array}[t]{rrll} \dfrac{\delta}{\lambda} &=&\dfrac{\varphi}{2\,\pi} \\[5pt] \end{array}$
Aufgabe 2
Löse diese Gleichung nach $\delta$ auf und bestimme den Gangunterschied der einzelnen Wellen in Abhängigkeit der Wellenlänge:
$\begin{array}[t]{rrll} \delta &=&\dfrac{\varphi \cdot \lambda}{2 \,\pi}& \quad \scriptsize \text{mit} \; \varphi_1 = \dfrac{2}{3}\,\pi \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{\color{#dc1400}{2}}{3}\,\color{#dc1400}{\pi} \cdot \lambda}{\color{#dc1400}{2}\,\color{#dc1400}{\pi}}& \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\,\lambda& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} \delta &=&\dfrac{\varphi \cdot \lambda}{2 \,\pi}& \quad \scriptsize \text{mit} \; \varphi_2 = \dfrac{4}{3}\,\pi \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{4}{3}\,\color{#dc1400}{\pi} \cdot \lambda}{2\,\color{#dc1400}{\pi}}& \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\,\lambda& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} \delta &=&\dfrac{\varphi \cdot \lambda}{2 \,\pi}& \quad \scriptsize \text{mit} \; \varphi_1 = \dfrac{2}{3}\,\pi \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{\color{#dc1400}{2}}{3}\,\color{#dc1400}{\pi} \cdot \lambda}{\color{#dc1400}{2}\,\color{#dc1400}{\pi}}& \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\,\lambda& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} \delta &=&\dfrac{\varphi \cdot \lambda}{2 \,\pi}& \quad \scriptsize \text{mit} \; \varphi_2 = \dfrac{4}{3}\,\pi \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{4}{3}\,\color{#dc1400}{\pi} \cdot \lambda}{2\,\color{#dc1400}{\pi}}& \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\,\lambda& \end{array}$
Wenn der Gangunterschied $\delta$ der einzelnen Wellen zueinander $\dfrac{1}{3}\,\lambda$ oder $\dfrac{2}{3}\,\lambda$ beträgt, löschen sie sich gegenseitig aus.
Wenn dies nicht der Fall ist, ist der resultierende Zeiger nicht mehr Null. Es entstehen Haupt- und Nebenmaxima.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass unabhängig von der Wellenlänge des eingestrahlten Lichts jedes weitere 5. Maximum ausfällt
In der Intensitätsverteilung in Abbildung 1 beobachtet man, dass das Maximum 5. Ordnung ausfällt. Dies ist der Fall, weil das Maximum 5. Ordnung des Dreifachspalts ($n_{3-Spalt}=5$) mit dem Intensitätsminimum 1. Ordnung eines der Spalte ($n_{1-Spalt}=1$) zusammenfällt.
Intensitätsmaxima des Dreifachspalts treten genau unter den Winkeln $\alpha$ auf, für die gilt:
$\begin{array}[t]{rrll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{n_{3-Spalt} \cdot \lambda}{g}& \end{array}$
Die Minima der Einzelspalte sind unter den Winkeln $\alpha$ beobachtbar, wenn gilt:
$\begin{array}[t]{rrll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{n_{1-Spalt} \cdot \lambda}{b}& \end{array}$
Die Größe $g$ steht für den Abstand der Spaltmitten und die Größe $b$ für die Breite der jeweiligen Spalte.
Wenn du eine Stelle des Schirms betrachtest, so beobachtest du das Licht unter einem bestimmten Beugungswinkel $\alpha$. Zur Beantwortung der Frage kannst du daher die beiden obigen Gleichungen gleichsetzen. Versuche damit ein Verhältnis zwischen den beiden Ordnungszahlen $n_{3-Spalt}$ und $n_{1-Spalt}$ herzustellen.
Betrachten wir die Stelle des Schirms, also den Beugungswinkel $\alpha$, an der das 5. Maximum ausfällt, so können wir obige Gleichungen gleichsetzen. Das 5. Dreifachspaltmaximum trifft also auf das 1. Einzelspaltminimum wenn gilt:
$\begin{array}[t]{rrll} \dfrac{n_{3-Spalt}\cdot \lambda}{g}&=&\dfrac{n_{1-Spalt} \cdot \lambda}{b}& \quad \scriptsize \mid\; : \lambda \\[5pt] \dfrac{n_{3-Spalt}}{g}&=&\dfrac{n_{1-Spalt} }{b}& \quad \scriptsize \text{mit}\; n_{3-Spalt}=5 \;\text{und}\; n_{1-Spalt}=1 \\[5pt] \dfrac{5}{g}&=&\dfrac{1}{b}& \\[5pt] 5\,b&=&g& \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} \dfrac{n_{3-Spalt}\cdot \lambda}{g}&=&g& \end{array} $$ $$…$$
Der Abstand $g$ der Spaltmitten ist demnach genau fünf mal so groß wie die Einzelspalte breit sind.
Betrachtest du die obige Gleichung für beliebige Ordnungen und setzt die gerade gefundene Tatsache ein, so erhältst du ein Verhältnis der Ordnungen.
$\begin{array}[t]{rrll} \dfrac{n_{3-Spalt}\cdot \lambda}{g}&=&\dfrac{n_{1-Spalt} \cdot \lambda}{b}& \quad \scriptsize \mid\; : \lambda \\[5pt] \dfrac{n_{3-Spalt}}{g}&=&\dfrac{n_{1-Spalt} }{b}& \quad \scriptsize \text{mit}\; 5\,b=g \\[5pt] \dfrac{n_{3-Spalt}}{g}&=&\dfrac{5 \cdot n_{1-Spalt}}{g}& \quad \scriptsize \mid\; \cdot g \\[5pt] n_{3-Spalt}&=&5 \cdot n_{1-Spalt}& \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} \dfrac{n_{3-Spalt}\cdot \lambda}{g}&=&5 \cdot n_{1-Spalt}& \end{array} $$ $$…$$
An der Stelle des 1. Einzelspaltminimums liegt also wie beobachtet das 5. Dreifachspaltmaximum, an der Stelle des 2. Einzelspaltminimums wiederum das $2 \cdot 5 = 10$. Dreifachspaltmaximum, etc.
Unabhängig von der Wellenlänge des eingestrahlten Lichts fällt jedes 5. Maximum aus.
c)  $\blacktriangleright$  Eigenfrequenz des Schwingkreises berechnen
Die Periodendauer $T$ der elektromagnetischen Schwingung berechnet sich nach:
$\begin{array}[t]{rrll} T&=&2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}& \end{array}$
Die Eigenfrequenz des Schwingkreises wiederum erhältst du aus dem Kehrwert der Periodendauer:
$\begin{array}[t]{rrll} f&=&\dfrac{1}{T}& \end{array}$
Es ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rrll} f&=&\dfrac{1}{T}& \quad \scriptsize \text{mit}\; T=2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}& \quad \scriptsize \text{mit}\; L=47,0\, \mu \text{H} = 47,0 \cdot 10^{-6}\,\text{H} \ \\ &&&\text{und}\; C=2,86\,\text{nF}=2,86\cdot 10^{-9}\,\text{F} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{47,0 \cdot 10^{-6}\,\text{H} \cdot 2,86\cdot 10^{-9}\,\text{F}}}& \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{47,0 \cdot 10^{-6}\,\dfrac{\color{#dc1400}{\text{V}}\,\text{s}}{\color{#dc1400}{\text{A}}} \cdot 2,86\cdot 10^{-9}\,\dfrac{\color{#dc1400}{\text{A}}\,\text{s}}{\color{#dc1400}{\text{V}}}}}& \\[5pt] &\approx&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{1,34\cdot 10^{-13}\,\text{s}^2}}& \\[5pt] &\approx&434.098\,\dfrac{1}{\text{s}} \quad \mathrel{\widehat{=}} \quad 434\,\text{kHz}& \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} f\approx434.098\,\dfrac{1}{\text{s}} \\ \quad \mathrel{\widehat{=}} 434\,\text{kHz} \end{array} $$ $$…$$
$\blacktriangleright$  Zwei Möglichkeiten, die Eigenfrequenz zu halbieren, nennen
Die Eigenfrequenz zu halbieren entspricht auf Grund des antiproportionalen Zusammenhangs damit die Periodendauer zu verdoppeln. Hierzu gibt es mehrere Möglichkeiten.
Dazu betrachten wir, was passiert, wenn wir die Variablen $L$ und $C$ bei halber Eigenfrequenz mit einer $2$ im Index definieren.
Für die neue, halb so große, Eigenfrequenz $f_2$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rrll} f_2&=&\dfrac{1}{2}\,f& \qquad (1) \end{array}$
Setzt du nun
$\begin{array}[t]{rrll} f_2&=&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L_2 \cdot C_2}}& \end{array}$
und
$\begin{array}[t]{rrll} f&=&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}& \end{array}$
in (1) entsprechend ein, erhältst du eine Gleichung, aus der du den Faktor ablesen kannst, um welchen die Variablen $L$ und $C$ vergrößert werden können, um die halbe Eigenfrequenz zu erhalten.
Es ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rrll} \dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L_2 \cdot C_2}}&=&\dfrac{1}{2}\,\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\[5pt] 2\,\pi \cdot \sqrt{L_2 \cdot C_2}&=&2 \cdot 2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}& \quad \scriptsize \mid\; : 2\,\pi \\[5pt] \sqrt{L_2 \cdot C_2}&=&2 \cdot \sqrt{L \cdot C}& \\[5pt] &=&\sqrt{4} \cdot \sqrt{L \cdot C}& \\[5pt] &=&\ \sqrt{4 \cdot L \cdot C}& \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} \dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L_2 \cdot C_2}}=\ \sqrt{4 \cdot L \cdot C} \\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Die Eigenfrequenz halbiert sich also gerade dann, wenn sich der Radikand vervierfacht. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn die Induktivität $L$ oder die Kapazität $C$ vervierfacht wird:
$\color{#2b7580}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Fall 1: Vierfache Induktivität
Du benutzt eine andere Spule mit der vierfachen Induktivität $L$.
Aus der Formel
$\begin{array}[t]{rrll} L&=&\mu_0 \cdot \mu_r \cdot \dfrac{n^2}{l} \cdot A& \end{array}$
kannst du erkennen, dass dass du dies erreichen kannst, wenn durch die neue Spule die Windungszahl $n$ verdoppelt, die Querschnittsfläche $A$ oder die Permeabilitätszahl $\mu_r$ vervierfacht oder die Länge der Spule $l$ um den Faktor $4$ verkleinert wird.
$\color{#2b7580}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Fall 2: Vierfache Kapazität
Du benutzt einen anderen Kondensator mit vierfacher Kapazität $C$.
Die hierfür relevante Formel wäre:
$\begin{array}[t]{rrll} C&=&\epsilon_o \cdot \epsilon_r \cdot \dfrac{A}{d} & \end{array}$
Eine vierfacher Kapazität $C$ erreicht man also genau dann, wenn die Dielektrizitätszahl $\epsilon_r$ bzw. die Plattenflächen $A$ vervierfacht oder der Abstand der Platten $d$ um den Faktor $4$ verkleinert wird.
$\blacktriangleright$  Den $\boldsymbol{\frac{1}{C}-f^2}$-Zusammenhang in einem Diagramm darstellen
Um den Zusammenhang darzustellen, erweitern wir zunächst die Tabelle, um die Zeile der quadrierten Eigenfrequenz $f^2$ und dem Kehrwert der Kapazität $\frac{1}{C}$. Diese Werte werden dann gegeneinander aufgetragen.
Tipp
Die Ergebnisse der Messung sollst du in einem geeigneten Diagramm darstellen. Trage hierzu die Messwerte als Punkte in ein geeignetes Diagramm ein und verbinde diese, sodass der Zusammenhang zwischen diesen sichtbar wird. Vergiss dabei nicht, die Achsen des Diagramms vollständig zu beschriften.
Als erweitere Tabelle ergibt sich dann:
$C$ in $\text{nF}$ $1,00$ $1,25$ $1,67$ $2,50$ $5,00$
$f$ in $\text{kHz}$ $728$ $666$ $576$ $458$ $329$
$\dfrac{1}{C}$ in $(\text{nF})^{-1}$ $1,00$ $0,80$ $0,60$ $0,40$ $0,20$
$f^2$ in 1000 $(\text{kHz})^2$ $530$ $444$ $332$ $210$ $108$
$C$ in $\text{nF}$ $f$ in $\text{kHz}$ $\dfrac{1}{C}$ in $(\text{nF})^{-1}$ $f^2$ in 1000 $(\text{kHz})^2$
$1,00$ $728$ $1,00$ $530$
$1,25$ $666$ $0,80$ $444$
$1,67$ $576$ $0,60$ $332$
$2,50$ $458$ $0,40$ $210$
$5,00$ $329$ $0,20$ $108$
Im Laufe des Versuchs wird die Kapazität $C$ des Kondensators verändert und die zugehörige Frequenz $f$ ermittelt. Somit ändert sich auch das Quadrat der Frequenz $f^2$ in Abhängigkeit vom Kehrwert der Kapazität $\frac{1}{C}$. Stelle daher den genannten Zusammenhang in einem $f^2 - \frac{1}{C} -$Diagramm dar.
Ein solches Diagramm kann folgendermaßen aussehen:

Aufgabe 2
Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Verlauf des Schaubildes beschreiben und den dargestellten Zusammenhang begründen
Im Folgenden gilt es den Verlauf des Schaubildes zu beschreiben und den dargestellten Zusammenhang zu begründen.
Tipp
Um eine Aussage über den Sachverhalt zu tätigen, musst du zunächst den Kurvenverlauf beschreiben. Du sollst diesen also mit eigenen Worten wiedergeben. Achte dabei auf Fachsprache und Struktur.
Nutze die bereits in den vorherigen Teilaufgaben vorgestellte Gleichung der Eigenfrequenz und forme diese nach den im Diagramm dargestellten Parametern so um, dass du Proportionalitäten erkennen kannst.
1. Schritt: Verlauf des Schaubildes beschreiben
Im gezeichneten Diagramm kannst du erkennen, dass die Messwerte größtenteils linear verteilt sind und die Trendlinie eine Ursprungsgerade mit positiver Steigung ist.
2. Schritt: dargestellten Zusammenhang begründen
Die bereits bekannte Gleichung der Eigenfrequenz lautet:
$\begin{array}[t]{rrll} f&=&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}& \end{array}$
Für die quadrierte Eigenfrequenz ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rrll} f&=&\dfrac{1}{2\,\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}& \quad \scriptsize \mid\; ^2 \\[5pt] f^2&=&\dfrac{1}{4\,\pi^2 \cdot L \cdot C}& \\[5pt] \end{array}$
Löst du die rechte Seite noch nach $\dfrac{1}{C}$ auf, so erhältst du die Funktionsgleichung der Trendlinie.
$\begin{array}[t]{rrll} f^2&=&\dfrac{1}{4\,\pi^2 \cdot L \cdot C}& \\[5pt] &=&\dfrac{1}{\underbrace{4\,\pi^2 \cdot L }_{=\; konstant}}\cdot \dfrac{1}{C}& \\[5pt] \end{array}$
Wie du erkennen kannst, verhält sich die quadrierte Eigenfrequenz proportional zum Kehrwert der Kapazität $\frac{1}{C}$. Dies wiederum entspricht dem Verlauf des Schaubildes. Die positiv konstante Steigung entspricht $\frac{1}{4\,\pi^2 \cdot L }$.
$\blacktriangleright$  Mithilfe des Diagramms die Induktivität bestimmen
Wie bereits erwähnt, ist die Gleichung
$\begin{array}[t]{rrll} f^2&=&\dfrac{1}{4\,\pi^2 \cdot L }\cdot \dfrac{1}{C}& \\[5pt] \end{array}$
die Funktionsgleichung der Trendlinie. Dabei entspricht der Term $\frac{1}{4\,\pi^2 \cdot L }$ gerade der Steigung $m$.
Um die Induktivität mithilfe des Diagramms zu bestimmen, kannst du aus dem Diagramm die Steigung ablesen, sie in den genannten Term einsetzen und die Induktivität $L$ berechnen.
Die Steigung $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\Delta f^2}{\Delta \frac{1}{C}}$ kannst du aus dem Diagramm wie folgt ablesen:

Aufgabe 2
Aufgabe 2

Als Steigung $m$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rrll} m&=&\dfrac{\Delta f^2}{\Delta \frac{1}{C}}& \\[5pt] &=&\dfrac{f_{E}^2 - 0}{\frac{1}{C}_{E}-0}& \quad \scriptsize \text{Koordinaten des Punkts}\; E \; \text{einsetzen} \\[5pt] &=&\dfrac{108.000\,(\text{kHz})^2}{0,20\,\frac{1}{\text{nF}}}& \\[5pt] &=&\dfrac{108.000 \cdot 10^6\,\text{Hz}^2}{0,20 \cdot 10^9\,\frac{1}{\text{F}}}& \\[5pt] &=&540\,\dfrac{\text{F}}{\text{s}^2}& \\[5pt] &=&540\,\dfrac{\frac{\text{A}\,\text{s}}{\text{V}}}{\text{s}^2}& \\[5pt] &=&540\,\dfrac{\text{A}}{\text{V}\,\text{s}} \qquad \mathrel{\widehat{=}} \qquad 540\,\text{H}^{-1} & \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} m=540\,\dfrac{\text{A}}{\text{V}\,\text{s}} \\ \quad \mathrel{\widehat{=}} 540\,\text{H}^{-1} \end{array} $$ $$…$$
Setzt du dies mit dem obigen Term gleich, so erhältst du einen ungefähren Wert für die Induktivität $L$ der Spule.
$\begin{array}[t]{rrll} m&=&\dfrac{1}{4\,\pi^2 \cdot L}& \quad \scriptsize \mid\; \cdot L \;\text{und}\; :\,m \\[5pt] L&=&\dfrac{1}{4\,\pi^2 \cdot m}& \quad \scriptsize m = 540\,\frac{1}{\text{H}}\; \text{einsetzen} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4\,\pi^2 \cdot 540\,\frac{1}{\text{H}}}& \\[5pt] &=&4,69 \cdot 10^{-5}\,\text{H} \qquad \mathrel{\widehat{=}} \qquad 46,9\,\mu\text{H}& \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} m=\dfrac{1}{4\,\pi^2 \cdot L} \\ L\mathrel{\widehat{=}} 147\,\mu\text{H} \end{array} $$ $$…$$
Die Induktivität der verwendeten Spule beträgt ungefähr $47\,\mu\text{H}$.
d)  $\blacktriangleright$  Erläutern, ob die Intensität des verwendeten Lichts die Maximalgeschwindigkeit der ausgelösten Elektronen beeinflusst
Für die Erklärung des Fotoeffekts bekam Albert Einstein den Physiknobelpreis des Jahres 1921. Er erklärte dabei, unter welchen Bedingungen Elektronen aus einer Metalloberfläche austreten, wenn diese mit Licht bestrahlt wird.
Eine dieser Bedingungen ist die Intensität des Lichts. Im Folgenden sollst du erläutern, ob diese die Maximalgeschwindigkeit der ausgelösten Elektronen beeinflusst.
Tipp
Um den Sachverhalt zu erläutern machst du die Intensität von Licht verständlich. Du kannst sie ebenfalls mit zusätzlichen Informationen veranschaulichen.
Die Intensität des verwendeten Lichts ist als Quotient aus der Energie $E$, die in einem Zeitintervall $\Delta t$ auf eine Fläche $A$ auftrifft, definiert:
$\begin{array}[t]{rrll} I&=&\dfrac{W}{A \cdot \Delta t}& \end{array}$
Die Physiker am Anfang des 20. Jahrhunderts erwarteten daher, dass bei höherer Lichtintensität mehr Energie auf die Elektronen übertragen und damit die Maximalgeschwindigkeit erhöht wird.
Albert Einstein jedoch fand heraus, dass die Energie von Licht gequantelt ist und in kleinen Päckchen, den Photonen, übertragen wird. Die Intensität des Lichts kann daher beim Fotoeffekt viel eher als die Anzahl auftreffender Photonen pro Zeiteinheit auf die Metalloberfläche beschrieben werden. Jedes dieser Photonen reagiert mit den Elektronen der Metalloberfläche in Einzelprozessen.
Einzelprozess bedeutet hierbei: Genau ein Photon kann immer nur genau ein Elektron auslösen. Ein Photon kann nicht mehrere Elektronen auslösen und man kann nicht mehrere Photonen dazu verwenden, um ein Elektron auslösen. Die Zahl der Photonen im Lichtstrahl, und damit die Intensität, spielt also keine Rolle für die Maximalgeschwindigkeit der ausgelösten Elektronen.
Auswirkungen auf die Maximalgeschwindigkeit der Elektronen hat somit nicht die Anzahl der Photonen im Lichtstrahl, und damit die Intensität, sondern die Energie jedes einzelnen Photons, welche durch das Produkt der Lichtfrequenz $f$ mit dem Planckschen Wirkungsquantum $h$ definiert ist:
$\begin{array}[t]{rrll} W_{Photon}&=&h \cdot f& \end{array}$
$\blacktriangleright$  Angeben und begründen, welches Diagramm den Zusammenhang am besten darstellt
Nutze hierzu die Tatsache, dass mit der Energie eines auftreffenden Photons $W_{Photon}$ ein Elektron aus der Metalloberfläche herausgelöst wird. Die Energie des Photons wird dabei dazu verwendet, das Elektron abzulösen $W_{Ablöse}$ und es anschließend mit der kinetischen Energie $W_{kin}$ auf die Geschwindigkeit $v$ zu beschleunigen. Mit dem Ansatz des Energieerhaltungssatzes kannst du den korrekten Zusammenhang zwischen der Frequenz des Lichts $f$ und der Geschwindigkeit $v$ des Elektrons herstellen und das richtige Diagramm auswählen.
Ein Photon besitzt vor dem Auftreffen auf die Metalloberfläche die Energie:
$\begin{array}[t]{rrll} W_{Photon}&=&h \cdot f& \end{array}$
Beim Auftreffen löst das Photon mithilfe dieser Energie ein Elektron aus dem Metall heraus. Die Energie $W_{Photon}$ wird dabei dazu verwendet, die Ablösearbeit $W_{Ablöse}$ zu leisten und mit der übrigen Energie $W_{kin}$ das herausgelöste Elektron auf die Geschwindigkeit $v$ zu beschleunigen. Hierbei geht keine Energie verloren.
Daher gilt:
$\begin{array}[t]{rrll} W_{Photon}&=&W_{kin} + W_{Ablöse}& \end{array}$
Die Ablösearbeit $W_{Ablöse}$ ist konstant und vom Material, also dem Metall, abhängig.
Setze in die genannte Gleichung die Definitionen der Photonenenergie $W_{Photon}$ sowie der kinetischen Energie $W_{kin}$ ein und forme die Gleichung so um, dass du einen Zusammenhang zwischen der Frequenz $f$ des Lichts und der Geschwindigkeit $v$ des ausgelösten Elektrons erhältst.
$\begin{array}[t]{rrll} W_{Photon}&=&W_{kin} + W_{Ablöse}& \quad \scriptsize \mid\; - W_{Ablöse} \\[5pt] W_{Photon} - W_{Ablöse}&=&W_{kin} & \quad \scriptsize \text{mit} \; W_{Photon}= h \cdot f \;\text{und}\; W_{kin} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\[5pt] h \cdot f - W_{Ablöse}&=&\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 & \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \;\text{und}\, :m \\[5pt] \dfrac{2 \left(h \cdot f - W_{Ablöse}\right)}{m}&=&v^2 & \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\quad} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2 \left(h \cdot f - W_{Ablöse}\right)}{m}}&=&v & \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}{cccccc} W_{Photon}&=&v & \end{array} $$ $$…$$
Da in dieser Gleichung das Plancksche Wirkungsquantum $h$, die Ablösearbeit $W_{Ablöse}$ und die Masse $m$ des Elektrons konstant sind, gilt als Zusammenhang:
$\begin{array}[t]{rrll} v&\sim&\sqrt{f}& \end{array}$
Physikalisch betrachtet kann durch Licht höherer Frequenz und damit immer höherer Energie, nicht immer höhere Maximalgeschwindigkeiten erreicht werden.
Die Funktion der Maximalgeschwindigkeit $v$ der ausgelösten Elektronen ist eine Wurzelfunktion. Da lediglich Abbildung 2d den Verlauf einer Wurzelfunktion aufweist, gibt diese Abbildung den Zusammenhang zwischen der Frequenz $f$ des Lichts und der Maximalgeschwindigkeit $v$ korrekt wieder.
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