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Aufgabe 3

Aufgaben
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a) Auf einem sogenannten Doppelschichtkondensator befindet sich die Aufschrift
„$5\,\text{V}; 1\,\text{F}$“.
  • Berechne die elektrische Ladung, die unter Beachtung der Herstellerangabe in einem solchen Kondensator maximal gespeichert werden kann.
  • Berechne die elektrische Energie, die diesem Kondensator maximal entnommen werden kann.
Der Doppelschichtkondensator entlädt sich mit der Zeit selbst. Der Hersteller hat in einem Langzeitexperiment die in Abbildung 1 dargestellte Selbstentladekurve aufgenommen.
Aufgabe 3 Abb.1
Aufgabe 3 Abb.1
  • Bestimme mithilfe von Abbildung 1 den Zeitpunkt, zu dem sich die anfangs gespeicherte Ladung halbiert hat.
  • Bestimme den Zeitpunkt, zu dem sich die anfangs gespeicherte elektrische Energie des Kondensators halbiert hat.
Ein luftgefüllter Plattenkondensator soll bei einem Plattenabstand von $1,0\,\text{cm}$ die gleiche Kapazität wie der Doppelschichtkondensator besitzen.
  • Berechne die Fläche, die dieser Plattenkondensator haben müsste.
  • Nenne zwei Möglichkeiten, einen Plattenkondensator mit gleicher Kapazität, aber geringerer Plattenfläche herzustellen.
(10P)
b) Zwei kreisförmige Platten mit dem Durchmesser $20\,\text{cm}$ befinden sich in der Anordnung von Abbildung 2.
In den Aufbau ist ein Kraftmesssystem integriert. Es ist so eingestellt, dass es bei ungeladenem Kondensator $0\,\text{N}$ anzeigt. Bei konstantem Plattenabstand von $2,0\,\text{mm}$ und angeschlossener Spannungsquelle ergibt sich folgende Messreihe:
Aufgabe 3 Abb.2
b) Zwei kreisförmige Platten mit dem Durchmesser $20\,\text{cm}$ befinden sich in der Anordnung von Abbildung 2.
In den Aufbau ist ein Kraftmesssystem integriert. Es ist so eingestellt, dass es bei ungeladenem Kondensator $0\,\text{N}$ anzeigt. Bei konstantem Plattenabstand von $2,0\,\text{mm}$ und angeschlossener Spannungsquelle ergibt sich folgende Messreihe:
Aufgabe 3 Abb.2
$U$ in $\text{kV}$ $1,0$ $1,5$ $2,0$ $2,5$ $3,0$
$F$ in $\text{mN}$ $32$ $80$ $135$ $221$ $319$
  • Zeige, dass die Messreihe den Zusammenhang $F\sim U^2$ bestätigt.
  • Bestimme diejenige Spannung, für die eine Kraft von $350\,\text{mN}$ angezeigt wird.
Für die Kraft zwischen den Platten gilt die folgende Beziehung:
$F=\dfrac{Q^2}{2\cdot\epsilon_{0}\cdot A}$
Dabei ist $Q$ die elektrische Ladung und $A$ die Plattenfläche des Kondensators.
  • Leite mithilfe dieser Beziehung einen Zusammenhang zwischen der Kraft und der Spannung her.
  • Berechne bei dem verwendeten Kondensator die Spannung für eine Kraft von $350\,\text{mN}$.
Zieht man die Platten eines Kondensators bei angeschlossener Spannungsquelle auseinander, so muss man Energie aufwenden. Trotzdem sinkt die Energie im elektrischen Feld des Kondensators.
  • Erkläre, wie sich dieser scheinbare Widerspruch auflösen lässt.
(10P)
c) Abbildung 3 zeigt drei dünne parallele Metallplatten mit je einer kleinen Bohrung im Mittelpunkt. Die Platten bilden zwei Plattenkondensatoren mit den Plattenabständen $d_{1}=2,5\,\text{cm}$ bzw. $d_{2}=4,5\,\text{cm}$.
Die angelegte Spannung $U_0$ beträgt $500\,\text{V}$. Die elektrischen Felder zwischen den Platten sind homogen. Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum.
Bei A treten Elektronen mit der Geschwindigkeit $1,2\cdot 10^{7}\,\text{ms}^{-1}$ senkrecht zu den Platten in die Anordnung ein.
Aufgabe 3 Abb.3
c) Abbildung 3 zeigt drei dünne parallele Metallplatten mit je einer kleinen Bohrung im Mittelpunkt. Die Platten bilden zwei Plattenkondensatoren mit den Plattenabständen $d_{1}=2,5\,\text{cm}$ bzw. $d_{2}=4,5\,\text{cm}$.
Die angelegte Spannung $U_0$ beträgt $500\,\text{V}$. Die elektrischen Felder zwischen den Platten sind homogen. Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum.
Bei A treten Elektronen mit der Geschwindigkeit $1,2\cdot 10^{7}\,\text{ms}^{-1}$ senkrecht zu den Platten in die Anordnung ein.
Aufgabe 3 Abb.3
  • Begründe, welches der vier folgenden Diagramme den Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie eines Elektrons und seiner Flugstrecke $s$ am besten wiedergibt.
  • Aufgabe 3 Abb.4a
    Aufgabe 3 Abb.4a
    Aufgabe 3 Abb.4b
    Aufgabe 3 Abb.4b
    Aufgabe 3 Abb.4c
    Aufgabe 3 Abb.4c
    Aufgabe 3 Abb.4d
    Aufgabe 3 Abb.4d
  • Berechne die maximale Geschwindigkeit der Elektronen in der Anordnung.
  • Berechne die Beschleunigung der Elektronen bei der Bewegung von A nach B.
  • Berechne die Flugdauer der Elektronen von A nach B.
(10P)
Elektrische Feldkonstante: $\epsilon_{0}=8,85\cdot 10^{-12}\text{CV}^{-1}\text{m}^{-1}$
Elementarladung: $e=1,60\cdot 10^{-19}\,\text{C}$
Elektronenmasse: $m_{e}=9,11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$
$1\,\text{eV}=1,60\cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Elektrische Feldkonstante:
$\epsilon_{0}=8,85\cdot 10^{-12}\text{CV}^{-1}\text{m}^{-1}$
Elementarladung:
$e=1,60\cdot 10^{-19}\,\text{C}$
Elektronenmasse:
$m_{e}=9,11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$
$1\,\text{eV}=1,60\cdot 10^{-19}\,\text{J}$
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a)   $\blacktriangleright$  Elektrische Ladung, die maximal gespeichert werden kann, berechnen
Laut Herstellerangaben besitzt ein gegebener Doppelschichtkondensator die Aufschrift „ 5 V; 1 F “. Diese Aufschrift steht dafür, dass der Kondensator eine Nennspannung (elektrische Spannung im Normalbetrieb) von $U=5\,\text{V}$ und eine elektrische Kapazität von $C=1\,\text{F}$ aufweist.
Mithilfe dieser Angabe sollst du die elektrische Ladung $Q$, welche maximal gespeichert werden kann, berechnen.
Dies kannst du über die Definition der elektrischen Kapazität $C$ eines homogenen Kondensators.
$\blacktriangleright$  Elektrische Energie, die dem Kondensator maximal entnommen werden kann, berechnen
Die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie ergibt sich laut Definition aus:
$\begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot Q \cdot U& \end{array}$
Mithilfe der eingangs verwendeten Formel zur Berechnung der elektrischen Ladung ($Q=C \cdot U$) lässt sich noch eine weitere Formel finden, in die die Herstellerangaben eingesetzt werden können:
$\begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2& \end{array}$
Nutze zur Berechnung der elektrischen Energie diese Formel, da die Eingabegrößen keine eventuellen Rechenfehler beinhalten.
$\blacktriangleright$  Mithilfe von Abbildung 1 den Zeitpunkt, zu dem sich die anfangs gespeicherte Ladung halbiert hat, bestimmen
Anhand der Abbildung 1 sollst du den Zeitpunkt $t$ bestimmen, bei dem sich die anfangs gespeicherte Ladung $Q_0$ halbiert hat. Achte darauf, dass die Spannung $U$ in Abhängigkeit der Zeit $t$ dargestellt ist.
Es gilt daher zunächst festzustellen, wie groß die Spannung $U$ bei halber Ladung $Q$ ist und diesen Zeitpunkt schließlich abzulesen.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt, zu dem sich die anfangs gespeicherte elektrische Energie des Kondensators halbiert hat, bestimmen
Wie in obiger Teilaufgabe gilt es hier ebenfalls festzustellen, wie groß die Spannung $U_1$ bei halber elektrischer Energie $E$ ist und diesen Zeitpunkt schließlich abzulesen.
$\blacktriangleright$  Fläche, die dieser Plattenkondensator haben müsste, berechnen
Für einen luftgefüllten Plattenkondensator ($\epsilon_r = 1$) berechnet sich die elektrische Kapazität $C$ nach:
$\begin{array}[t]{rrrl} C&=&\epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}&\quad \scriptsize \text{mit}\; \epsilon_r=1\\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Zwei Möglichkeiten, einen Plattenkondensator gleicher Kapazität, aber geringerer Plattenfläche herzustellen, nennen
Um zwei Möglichkeiten zu nennen, betrachten wir noch einmal die Gleichung der elektrischen Kapazität $C$ eines Plattenkondensators. Hierbei soll nach Aufgabenstellung die Kapazität $C$ konstant bleiben.
$\begin{array}[t]{rrrl} C&=&\epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}&\quad \scriptsize \text{mit}\; \epsilon_r=1\\[5pt] \end{array}$
Nun gilt es zwei Möglichkeiten zu finden, bei denen die Plattenfläche $A$ verringert werden kann und die Kapazität $C$ konstant bleibt. Da $\epsilon_r$ eine Naturkonstante ist, kannst du diese nicht ändern. Als variable physikalische Größen bleiben dir:
  • $\epsilon_r$: die Dielektrizitätszahl oder Permittivität
  • $d$: der Plattenabstand
b)   $\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Messreihe den Zusammenhang $\boldsymbol{F \sim U^2}$ bestätigt
Im Folgenden sollst du zeigen, dass die gegebene Messreihe bestätigt, dass sich die Kraft $F$ proportional zum Quadrat der Spannung $U$ verhält: $\quad F \sim U^2$
Tipp
Nun sollst du zeigen, dass dieser Zusammenhang von den Messwerten bestätigt wird. Weise also auf mathematische Weise nach, ob der obige Zusammenhang richtig ist. Nutze hierzu das konstante Verhältnis zweier proportionaler Größen aus.
Allgemein gilt, dass zwei proportionale physikalische Größen $a$ und $b$ immer im gleichen Verhältnis
$\begin{array}[t]{rrrl} \dfrac{a}{b}&=&konstant&=&k \end{array}$
zueinander stehen.
Um den vermuteten Zusammenhang zwischen $F$ und $U^2$ zu bestätigen, muss demnach dieses Verhältnis $k$ im Rahmen der Messgenauigkeit als konstant angesehen werden können. Um das Verhältnis $k$ berechnen zu können, erweiterst du zunächst die obige Tabelle um eine Zeile $U^2 \text{ in kV}^2$. Anschließend kannst du das Verhältnis berechnen.
$\blacktriangleright$  Diejenige Spannung, für die eine Kraft von $\boldsymbol{350\,}$mN angezeigt wird, bestimmen
In der vorherigen Teilaufgabe hast du das Verhältnis zwischen der Kraft $F$ und dem Quadrat der Spannung $U^2$ berechnet, welches im Rahmen der Messungenauigkeit als konstant angesehen werden kann:
$\begin{array}[t]{rrrl} k&=&\dfrac{F}{U^2}&=&konstant \end{array}$
Dieses Verhältnis bedeutet gleichzeitig, dass die eine Größe aus der anderen durch Multiplikation mit dem konstanten Faktor $k$ hervorgeht. Die Konstante $k$ kann dann auch als Proportionalitätskonstante bezeichnet werden.
Es folgt:
$\begin{array}[t]{rrll} \dfrac{F}{U^2}&=&\overline{k}&\quad \scriptsize \mid \; \cdot U^2\\[5pt] F&=&\overline{k} \cdot U^2 \end{array}$
Zunächst gilt es daher aus den in der vorherigen Teilaufgabe berechneten Verhätnissen den Mittelwert $\overline{k}$ zu bilden. Setze dann in diese Gleichung die Kraft $F = 350\,\text{mN}$ ein und bestimme die zugehörige Spannung $U$.
$\blacktriangleright$  Mithilfe der Beziehung einen Zusammenhang zwischen der Kraft und der Spannung herleiten
Mithilfe der, auf dem Aufgabenblatt gegebenen, Beziehung sollst du einen Zusammenhang zwischen der Kraft und der Spannung herleiten.
Tipp
Du sollst also einen mathematischen Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen herleiten. Solch ein Zusammenhang beschreibt die Möglichkeit, aus dem Wert von einer (oder mehreren) Größe(n) auf den Wert einer anderen (davon abhängigen) Größe zu schließen. Dieser Schluss gelingt mittels einer mathematischen Formel.
Leite also eine Formel für die Kraft $F$ mathematisch her, in der die Spannung $U$ vorkommt. Ersetze hierzu alle physikalischen Größen die von der Spannung $U$ abhängen. Durch anschließendes Umformen erhältst du eine Beziehung zwischen $F$ und $U$.
Da die Kraft $F$ mit größerer Spanung $U$ zunimmt, musst du eine Größe einsetzen, die in der obigen Beziehung nicht konstant ist. Laut Aufgabenstellung ist die Plattenfläche $A$ des Kondensators konstant. Die elektrische Feldkonstante ist eine Naturkonstante und daher ebenfalls konstant. Einzig die elektrische Ladung $Q$ auf dem Kondensator ändert sich bei variablen Spannungen $U$.
$\blacktriangleright$  Bei dem verwendeten Kondensator die Spannung für eine Kraft von $\boldsymbol{350\,}$mN berechnen
Der verwendete Kondensator besitzt laut Aufgabenstellung zwei kreisförmige Platten mit dem Durchmesser $20\,\text{cm}$, also dem Radius $r=10\,\text{cm}$. Der Plattenabstand $d = 2,0\,\text{mm}$ bleibt während des Versuchs konstant.
Mithilfe des gerade hergeleiteten Zusammenhangs zwischen der Kraft $F$ und der Spannung $U$, kannst du die Spannung für eine Kraft von $F= 350\,\text{mN}$ berechnen. Forme hierzu den Zusammenhang nach $U$ um.
$\blacktriangleright$  Wie sich der scheinbare Widerspruch auflösen lässt, erklären
Wenn man die Platten eines Kondensators bei angeschlossener Spannungsquelle auseinander zieht, so muss man Energie aufwenden bzw. Arbeit verrichten. Diese Energie wird dadurch scheinbar dem Kondensator zugeführt. Trotzdem sinkt die Energie im elektrischen Feld des Kondensators.
Diesen scheinbaren Widerspruch gilt es mithilfe einer Erklärung aufzulösen.
Mach dir klar, dass die Spannungsquelle angeschlossen bleibt und was dies für Auswirkungen hat. Überlege dir zunächst wieso du Energie aufwenden musst, um die Kondensatorplatten zu trennen. Anschließend gilt es zu erklären, was passiert, wenn die Kondensatorplatten auseinander gezogen werden. Überlege dir hierzu, welche physikalischen Größen konstant bleiben und welche sich ändern.
c)   $\blacktriangleright$  Welches der Diagramme den Zusammenhang am besten wiedergibt, begründen
Im Folgenden sollst du begründen, welches der vier auf dem Aufgabenblatt dargestellten Diagramme den Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie $W_{kin}$ eines Elektrons und seiner Flugstrecke $s$ am besten wiedergibt.
Nutze hierzu dir bekannte physikalische Gleichungen und die Tatsache, dass die kinetische Energie $W_{kin}$ aus der Umwandlung von elektrischer Energie $W_{el}$ entsteht.
Tipp
Du sollst begründen, welches Diagramm den Zusammenhang am besten wiedergibt. Es reicht bei dieser Fragestellung nicht aus, nur das mögliche Diagramm anzugeben, sondern du sollst deine Auswahl auf Regeln und Gesetzmäßigkeiten zurückführen oder mithilfe kausaler Beziehung von Ursache und Wirkung plausibel erklären.
$\blacktriangleright$  Maximale Geschwindigkeit der Elektronen in der Anordnung berechnen
Wie in obiger Teilaufgabe erwähnt, erreichen die Elektronen gerade beim Durchfliegen der Platte $B$ die maximale Geschwindigkeit $v_{max}$. Im ersten Kondensator werden die Teilchen aus der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ auf diese Geschwindigkeit $v_{max}$ beschleunigt. Die zur Beschleunigung nötige elektrische Energie wird dabei durch das elektrische Feld geliefert und in kinetische Energie umgewandelt.
Bis zur Platte $B$ erhöht sich die anfängliche kinetische Energie $W_{kin,0}$ um den Betrag $\Delta W_{kin}$, welcher gerade der zur Beschleunigung aufgewendeten elektrischen Energie $\Delta W_{el} = e \cdot U_0$ entspricht.
$\blacktriangleright$  Beschleunigung der Elektronen bei der Bewegung von A nach B berechnen
Die Elektronen werden im ersten Kondensator durch die elektrische Kraft $F_{el}$ beschleunigt. Setze diese also mit dem zweiten Newtonschen Gesetz gleich und berechne die Beschleunigung $a$.
$\blacktriangleright$  Flugdauer der Elektronen von A nach B berechnen
Um die Flugdauer der Elektronen von A nach B zu bestimmen, kannst du dir das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu nutze machen und nach der Zeit auflösen.
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz lautet:
$\begin{array}[t]{rrll} v_{max}&=& a \cdot t + v_0 \end{array}$
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a)   $\blacktriangleright$  Elektrische Ladung, die maximal gespeichert werden kann, berechnen
Laut Herstellerangaben besitzt ein gegebener Doppelschichtkondensator die Aufschrift „ 5 V; 1 F “. Diese Aufschrift steht dafür, dass der Kondensator eine Nennspannung (elektrische Spannung im Normalbetrieb) von $U=5\,\text{V}$ und eine elektrische Kapazität von $C=1\,\text{F}$ aufweist.
Mithilfe dieser Angabe sollst du die elektrische Ladung $Q$, welche maximal gespeichert werden kann, berechnen.
Dies kannst du über die Definition der elektrischen Kapazität $C$ eines homogenen Kondensators:
A $\begin{array}[t]{rrll} C&=&\dfrac{Q}{U}& \end{array}$
Setze die Herstellerangaben ein und forme diese Gleichung nach der elektrischen Ladung $Q$ um, um diese zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rrll} \dfrac{Q}{U}&=&C& \quad \scriptsize \mid\; \cdot U \\[5pt] Q&=& C \cdot U& \quad \scriptsize \text{mit}\; C=1\,\text{F}=1\,\dfrac{\text{C}}{\text{V}} \;\text{und}\; U=5\,\text{V} \\[5pt] &=& 1\,\dfrac{\text{C}}{\color{#dc1400}{\text{V}}} \cdot 5\,\color{#dc1400}{\text{V}} \\[5pt] &=&5\,\text{C} \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} \dfrac{Q}{U}&=&C& \\[5pt] &=&5\,\text{C} \end{array} $$ $$…$$
Die unter Beachtung der Herstellerangaben in solch einem Kondensator maximal gespeicherte elektrische Ladung beträgt $5\,\text{C}$.
$\blacktriangleright$  Elektrische Energie, die dem Kondensator maximal entnommen werden kann, berechnen
Die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie ergibt sich laut Definition aus:
$\begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot Q \cdot U& \end{array}$
Mithilfe der eingangs verwendeten Formel zur Berechnung der elektrischen Ladung ($Q=C \cdot U$) lässt sich noch eine weitere Formel finden, in die die Herstellerangaben eingesetzt werden können:
$\begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2& \end{array}$
Nutze zur Berechnung der elektrischen Energie diese Formel, da die Eingabegrößen keine eventuellen Rechenfehler beinhalten.
Für die elektrische Energie, die dem Kondensator maximal entnommen werden kann, folgt dann:
$\begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2&\quad \scriptsize \text{mit}\; C=1\,\text{F}=1\,\dfrac{\text{C}}{\text{V}} \;\text{und}\; U=5\,\text{V} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 1\,\dfrac{\text{C}}{\color{#dc1400}{\text{V}}} \cdot 5^2\,\color{#dc1400}{\text{V}}^2&\\[5pt] &=&12,5\,\text{C}\text{V}&\quad \scriptsize \text{mit}\; 1\,\text{V}=1\,\dfrac{\text{J}}{\text{C}} \\[5pt] &=&12,5\,\text{J} \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2\\[5pt] &=&12,5\,\text{J} \end{array} $$ $$…$$
Die elektrische Energie, die dem Kondensator maximal entnommen werden kann, liegt bei $12,5\,\text{J}$.
Mithilfe dieser Angabe sollst du die elektrische Ladung $Q$, welche maximal gespeichert werden kann, berechnen.
Dies kannst du über die Definition der elektrischen Kapazität $C$ eines homogenen Kondensators:
A $\begin{array}[t]{rrll} C&=&\dfrac{Q}{U}& \end{array}$
Setze die Herstellerangaben ein und forme diese Gleichung nach der elektrischen Ladung $Q$ um, um diese zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rrll} \dfrac{Q}{U}&=&C& \quad \scriptsize \mid\; \cdot U \\[5pt] Q&=& C \cdot U& \quad \scriptsize \text{mit}\; C=1\,\text{F}=1\,\dfrac{\text{C}}{\text{V}} \;\text{und}\; U=5\,\text{V} \\[5pt] &=& 1\,\dfrac{\text{C}}{\color{#dc1400}{\text{V}}} \cdot 5\,\color{#dc1400}{\text{V}} \\[5pt] &=&5\,\text{C} \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} \dfrac{Q}{U}&=&C& \\[5pt] &=&5\,\text{C} \end{array} $$ $$…$$
Die unter Beachtung der Herstellerangaben in solch einem Kondensator maximal gespeicherte elektrische Ladung beträgt $5\,\text{C}$.
$\blacktriangleright$  Elektrische Energie, die dem Kondensator maximal entnommen werden kann, berechnen
Die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie ergibt sich laut Definition aus:
$\begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot Q \cdot U& \end{array}$
Mithilfe der eingangs verwendeten Formel zur Berechnung der elektrischen Ladung ($Q=C \cdot U$) lässt sich noch eine weitere Formel finden, in die die Herstellerangaben eingesetzt werden können:
$\begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2& \end{array}$
Nutze zur Berechnung der elektrischen Energie diese Formel, da die Eingabegrößen keine eventuellen Rechenfehler beinhalten.
Für die elektrische Energie, die dem Kondensator maximal entnommen werden kann, folgt dann:
$\begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2&\quad \scriptsize \text{mit}\; C=1\,\text{F}=1\,\dfrac{\text{C}}{\text{V}} \;\text{und}\; U=5\,\text{V} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 1\,\dfrac{\text{C}}{\color{#dc1400}{\text{V}}} \cdot 5^2\,\color{#dc1400}{\text{V}}^2&\\[5pt] &=&12,5\,\text{C}\text{V}&\quad \scriptsize \text{mit}\; 1\,\text{V}=1\,\dfrac{\text{J}}{\text{C}} \\[5pt] &=&12,5\,\text{J} \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} W_K&=&\dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2\\[5pt] &=&12,5\,\text{J} \end{array} $$ $$…$$
Die elektrische Energie, die dem Kondensator maximal entnommen werden kann, liegt bei $12,5\,\text{J}$.
$\blacktriangleright$  Mithilfe von Abbildung 1 den Zeitpunkt, zu dem sich die anfangs gespeicherte Ladung halbiert hat, bestimmen
Anhand der Abbildung 1 sollst du den Zeitpunkt $t$ bestimmen, bei dem sich die anfangs gespeicherte Ladung $Q_0$ halbiert hat. Achte darauf, dass die Spannung $U$ in Abhängigkeit der Zeit $t$ dargestellt ist.
Es gilt daher zunächst festzustellen, wie groß die Spannung $U$ bei halber Ladung $Q$ ist und diesen Zeitpunkt schließlich abzulesen.
Da die Kapazität des Kondensators $C$ auch während des Entladevorgangs konstant bleibt, sind die Ladung $Q$ und die Spannung $U$ proportional zueinander:
$\begin{array}[t]{rrrl} \underbrace{C}_{konstant} \cdot U&=&Q&\\[5pt] U&\sim& Q& \end{array}$
Das bedeutet, dass zu dem Zeitpunkt, zu dem sich die Spannung $U_0$ halbiert hat, ebenfalls die Ladung $Q_0$ halbiert ist.
Du liest also den Zeitpunkt $t$, zu dem $U = 0,5 \cdot U_0 = 2,5\,\text{V}$ beträgt, wie folgt aus in Abbildung 1 ab:

Aufgabe 3
Aufgabe 3

Du kannst ablesen: $\quad t = 750\,\text{h}$
Nach etwa $750\,\text{h}$ hat sich die Spannung $U$ und damit auch die Ladung $Q$ halbiert.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt, zu dem sich die anfangs gespeicherte elektrische Energie des Kondensators halbiert hat, bestimmen
Wie in obiger Teilaufgabe gilt es hier ebenfalls festzustellen, wie groß die Spannung $U_1$ bei halber elektrischer Energie $E$ ist und diesen Zeitpunkt schließlich abzulesen.
Zu Beginn ist folgende Energie im Kondensator gespeichert:
$\begin{array}[t]{rrrl} W_0&=&\dfrac{1}{2}\cdot C \cdot U_{0}^2&=& 12,5\,\text{J}\\[5pt] \end{array}$
Zum Zeitpunkt $t_1$, zu dem sich die anfangs enthaltene elektrische Energie des Kondensators halbiert hat, gilt:
$\begin{array}[t]{rrrl} W_1&=&\dfrac{1}{2}\cdot C \cdot U_{1}^2&\quad \scriptsize \text{mit}\; W_1=\dfrac{1}{2}\,W_0 \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot W_0&=&\dfrac{1}{2}\cdot C \cdot U_{1}^2&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] W_0&=&C \cdot U_{1}^2&\\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrrl} W_1&=&\dfrac{1}{2}\cdot C \cdot U_{1}^2\\[5pt] W_0&=&C \cdot U_{1}^2&\\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
$\color{#2b7580}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Bestimmung über $\boldsymbol{W_0}$ und $\boldsymbol{C}$
$\begin{array}[t]{rrrl} W_0&=&C \cdot U_{1}^2&\quad \scriptsize \text{mit}\; W_0=12,5\,\text{J} \; \text{und} \; C=1\,\text{F} \\[5pt] 12,5\,\text{J}&=&1\,\text{F} \cdot U_{1}^2&\quad \scriptsize \mid\; :1\,\text{F} \\[5pt] 12,5\,\text{V}^2&=&U_{1}^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\quad} \\[5pt] \sqrt{12,5\,\text{V}^2}&=&U_{1}& \\[5pt] 3,5\,\text{V}&\approx&U_{1}& \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrrl} W_0&=&C \cdot U_{1}^2&\quad \scriptsize\\[5pt] 3,5\,\text{V}&\approx&U_{1}& \\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
$\color{#2b7580}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Allgemeine Bestimmung ohne Einsetzen berechneter Größen
$\begin{array}[t]{rrrl} W_0&=&C \cdot U_{1}^2&\quad \scriptsize \text{mit}\; W_0=\dfrac{1}{2}\cdot C \cdot U_{0}^2 \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot C \cdot U_{0}^2&=&C \cdot U_{1}^2&\quad \scriptsize \mid\; :C \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot U_{0}^2&=& U_{1}^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\quad} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot U_{0}&=& U_{1}&\quad \scriptsize \text{mit}\; U_0=5\,\text{V} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot 5\,\text{V}&=& U_{1}& \\[5pt] 3,5\,\text{V}&\approx&U_{1}& \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrrl} W_0&=&C \cdot U_{1}^2&\quad \scriptsize\\[5pt] 3,5\,\text{V}&\approx&U_{1}& \\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Für eine Spannung $U_1 = 3,5\,\text{V}$ kannst du in Abbildung 1 $t_1$ folgendermaßen ablesen:

Aufgabe 3
Aufgabe 3

Du kannst ablesen: $\quad t_1 = 400\,\text{h}$
Nach etwa $400\,\text{h}$ hat sich die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie halbiert.
$\blacktriangleright$  Fläche, die dieser Plattenkondensator haben müsste, berechnen
Für einen luftgefüllten Plattenkondensator ($\epsilon_r = 1$) berechnet sich die elektrische Kapazität $C$ nach:
$\begin{array}[t]{rrrl} C&=&\epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}&\quad \scriptsize \text{mit}\; \epsilon_r=1\\[5pt] \end{array}$
Setze den Plattenabstand $d$, die elektrische Feldkonstante $\epsilon_0$ und die Kapazität $C$ des Doppelschichtkondensators ein und forme die Gleichung nach der Plattenfläche $A$ um, um diese zu berechnen.
Es folgt:
$\begin{array}[t]{rrll} \epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}&=&C&\quad \scriptsize \text{mit}\; \epsilon_r=1\\[5pt] \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}&=&C&\quad \scriptsize \mid\; :\epsilon_0 \;\text{und}\; \cdot d \\[5pt] A&=&\dfrac{C \cdot d}{\epsilon_0}&\quad \scriptsize \text{mit}\; C=1\,\text{F}=1\,\dfrac{\text{C}}{\text{V}},\; d=1,0\,\text{cm}=0,010\,\text{m} \;\text{und}\; \epsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}\,\dfrac{\text{C}}{\text{V}\,\text{m}}\\[5pt] &=&\dfrac{1\,\dfrac{\color{#dc1400}{\text{C}}}{\color{#dc1400}{\text{V}}} \cdot 0,010\,\text{m}}{8,85\cdot 10^{-12}\,\dfrac{\color{#dc1400}{\text{C}}}{\color{#dc1400}{\text{V}}\,\text{m}}}&\\[5pt] &=&1,13 \cdot 10^{9}\,\text{m}^2&\\[5pt] &\mathrel{\widehat{=}}&1.130 \,\text{km}^2&\\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} \epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}&=&C&\\[5pt] &\mathrel{\widehat{=}}&1.130 \,\text{km}^2&\\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Ein luftgefüllter Plattenkondensator mit einem Plattenabstand von $1,0\,\text{cm}$ und gleicher Kapazität wie der Doppelschichtkondensator müsste eine Plattenfläche $A$ von ungefähr $1.130\,\text{km}^2$ aufweisen.
$\blacktriangleright$  Zwei Möglichkeiten, einen Plattenkondensator gleicher Kapazität, aber geringerer Plattenfläche herzustellen, nennen
Um zwei Möglichkeiten zu nennen, betrachten wir noch einmal die Gleichung der elektrischen Kapazität $C$ eines Plattenkondensators. Hierbei soll nach Aufgabenstellung die Kapazität $C$ konstant bleiben.
$\begin{array}[t]{rrrl} C&=&\epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}&\quad \scriptsize \text{mit}\; \epsilon_r=1\\[5pt] \end{array}$
Nun gilt es zwei Möglichkeiten zu finden, bei denen die Plattenfläche $A$ verringert werden kann und die Kapazität $C$ konstant bleibt. Da $\epsilon_0$ eine Naturkonstante ist, kannst du diese nicht ändern. Als variable physikalische Größen bleiben dir:
  • $\epsilon_r$: die Dielektrizitätszahl oder Permittivität
  • $d$: der Plattenabstand
$\color{#2b7580}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Fall A: Dielektrizitätszahl oder Permittivität $\boldsymbol{\epsilon_r}$ vergrößern
Bei gleichbleibender elektrischer Kapazität $C$ kann eine Verringerung der Plattenfläche $A$ erreicht werden, wenn die Dielektrizitätszahl oder Permittivität $\epsilon_r$ vergrößert wird. Dies kann durch Einführen eines Dielektrikums, in das elektrische Feld zwischen den Kondensatorplatten, erreicht werden.
$\color{#2b7580}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Fall B: Plattenabstand $\boldsymbol{d}$ verkleinern
Durch eine Verkleinerung des Plattenabstands $d$ kann eine Verringerung der Plattenfläche $A$, bei gleichbleibender elektrischer Kapazität $C$, erreicht werden.
b)   $\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Messreihe den Zusammenhang $\boldsymbol{F \sim U^2}$ bestätigt
Im Folgenden sollst du zeigen, dass die gegebene Messreihe bestätigt, dass sich die Kraft $F$ proportional zum Quadrat der Spannung $U$ verhält: $\quad F \sim U^2$
Tipp
Nun sollst du zeigen, dass dieser Zusammenhang von den Messwerten bestätigt wird. Weise also auf mathematische Weise nach, ob der obige Zusammenhang richtig ist. Nutze hierzu das konstante Verhältnis zweier proportionaler Größen aus.
Allgemein gilt, dass zwei proportionale physikalische Größen $a$ und $b$ immer im gleichen Verhältnis
$\begin{array}[t]{rrrl} \dfrac{a}{b}&=&konstant&=&k \end{array}$
zueinander stehen.
Um den vermuteten Zusammenhang zwischen $F$ und $U^2$ zu bestätigen, muss demnach dieses Verhältnis $k$ im Rahmen der Messgenauigkeit als konstant angesehen werden können. Um das Verhältnis $k$ berechnen zu können, erweiterst du zunächst die obige Tabelle um eine Zeile $U^2 \text{ in V}^2$. Anschließend kannst du das Verhältnis berechnen. Rechne hier mit $\text{V}$, anstatt $\text{kV}$, da du sonst beim Quadrieren und späteren Wurzelziehen Fehler machst.
Wenn du die Spannung $U$ quadrierst, erhältst du folgende Tabelle:
$U$ in $\text{V}$ $1~000$ $1~500$ $2~000$ $2~500$ $3~000$
$U^2$ in $\text{V}^2$ $1~000~000$ $2~250~000$ $4~000~000$ $6~250~000$ $9~000~000$
$F$ in $\text{mN}$ $32$ $80$ $135$ $221$ $319$
$U$ in $\text{V}$ $U^2$ in $\text{V}^2$$F$ in $\text{mN}$
$1~000$ $1~000~00$ $32$
$1~500$ $2~250~000$ $80$
$2~000$ $4~000~000$ $135$
$2~500$ $6~250~000$ $221$
$3~000$ $9~000~000$ $319$
Berechne nun das Verhältnis $k$ aus der Kraft $F$ und dem Quadrat der Spannung $U^2$ über folgende Beziehung
$\begin{array}[t]{rrrl} k&=&\dfrac{F}{U^2} \end{array}$
für jedes Messpaar und trage das Ergebnis ebenfalls als eigenen Zeile in der Tabelle auf.
Es folgt somit:
$U$ in $\text{V}$ $1~000$ $1~500$ $2~000$ $2~500$ $3~000$
$U^2$ in $\text{V}^2$ $1~000~000$ $2~250~000$ $4~000~000$ $6~250~000$ $9~000~000$
$F$ in $\text{mN}$ $32$ $80$ $135$ $221$ $319$
$k$ in $\dfrac{\text{mN}}{\text{V}^2}$ $0,000032$ $0,000035$ $0,000034$ $0,000035$ $0,000035$
$U$ in $\text{kV}$ $U^2$ in $\text{kV}^2$$F$ in $\text{mN}$$k$ in $\dfrac{\text{mN}}{\text{kV}^2}$
$1~000~000$ $32$ $0,000032$
$2~250~000$ $80$ $0,000035$
$4~000~000$ $135$ $0,000034$
$6~250~000$ $221$ $0,000035$
$9~000~000$ $319$ $0,000035$
Da das Verhältnis $k$ im Rahmen der Messungenauigkeit als konstant angesehen werden kann, gilt der eingangs vermutete Zusammenhang $F \sim U^2$.
$\blacktriangleright$  Diejenige Spannung, für die eine Kraft von $\boldsymbol{350\,}$mN angezeigt wird, bestimmen
In der vorherigen Teilaufgabe hast du das Verhältnis zwischen der Kraft $F$ und dem Quadrat der Spannung $U^2$ berechnet, welches im Rahmen der Messungenauigkeit als konstant angesehen werden kann:
$\begin{array}[t]{rrrl} k&=&\dfrac{F}{U^2}&=&konstant \end{array}$
Dieses Verhältnis bedeutet gleichzeitig, dass die eine Größe aus der anderen durch Multiplikation mit dem konstanten Faktor $k$ hervorgeht. Die Konstante $k$ kann dann auch als Proportionalitätskonstante bezeichnet werden.
Es folgt:
$\begin{array}[t]{rrll} \dfrac{F}{U^2}&=&\overline{k}&\quad \scriptsize \mid \; \cdot U^2\\[5pt] F&=&\overline{k} \cdot U^2 \end{array}$
Zunächst gilt es daher aus den in der vorherigen Teilaufgabe berechneten Verhätnissen den Mittelwert $\overline{k}$ zu bilden. Setze dann in diese Gleichung die Kraft $F = 350\,\text{mN}$ ein und bestimme die zugehörige Spannung $U$.
Die Proportionalitätskonstante $\overline{k}$ bestimmst du als Mittelwert aus den einzelnen Werten für $k$ der vorherigen Teilaufgabe. Hierzu addierst du alle Werte von $k$ und teilst sie durch deren Anzahl.
Es ergibt sich somit:
$\begin{array}[t]{rrll} \overline{k}&=&\frac{1}{5} \cdot \left( 0,000032 + 0,000035 + 0,000034 + 0,000035 + 0,000035 \right)\,\frac{\text{mN}}{\text{V}^2} \\[5pt] &\approx&0,000034\,\dfrac{\text{mN}}{\text{V}^2}& \end{array}$
$ k\approx 0,000034~\dfrac{\text{mN}}{\text{V}^2} $
Setze diese Proportionalitätskonstante $\overline{k}$ und die Kraft $F = 350\,\text{mN}$ in obige Gleichung ein und du kannst die zugehörige Spannung $U$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rrll} \overline{k}=\dfrac{F}{U^2}&\quad \scriptsize \mid \; \cdot U^2 \;\text{und}\; :\overline{k}\\[5pt] U^2&=&\dfrac{F}{\overline{k}} &\quad \scriptsize \mid \; \sqrt{\quad} \\[5pt] U&=&\sqrt{\dfrac{F}{\overline{k}}} &\quad \scriptsize \text{mit}\; F=350\,\text{mN} \;\text{und}\; \overline{k}=0,000034\,\dfrac{\text{mN}}{\text{V}^2}\\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{350\,\color{#dc1400}{\text{mN}}}{0,000034\,\dfrac{\color{#dc1400}{\text{mN}}}{\text{V}^2}}} \\[5pt] &=&\sqrt{10~294~117\,\text{V}^2} \\[5pt] &\approx&3~200\,\text{V} \\[5pt] &=&3,2 ~\text{kV} \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} \overline{k}&=&\dfrac{F}{U^2}\\[5pt] &\approx&3,2\,\text{kV} \\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Für eine Kraft von $350\,\text{mN}$ wird ungefähr eine Spannung von $3,2\,\text{kV}$ angezeigt.
$\blacktriangleright$  Mithilfe der Beziehung einen Zusammenhang zwischen der Kraft und der Spannung herleiten
Mithilfe der, auf dem Aufgabenblatt gegebenen, Beziehung sollst du einen Zusammenhang zwischen der Kraft und der Spannung herleiten.
Tipp
Du sollst also einen mathematischen Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen herleiten. Solch ein Zusammenhang beschreibt die Möglichkeit, aus dem Wert von einer (oder mehreren) Größe(n) auf den Wert einer anderen (davon abhängigen) Größe zu schließen. Dieser Schluss gelingt mittels einer mathematischen Formel.
Leite also eine Formel für die Kraft $F$ mathematisch her, in der die Spannung $U$ vorkommt. Ersetze hierzu alle physikalischen Größen die von der Spannung $U$ abhängen. Durch anschließendes Umformen erhältst du eine Beziehung zwischen $F$ und $U$.
Da die Kraft $F$ mit größerer Spanung $U$ zunimmt, musst du eine Größe einsetzen, die in der obigen Beziehung nicht konstant ist. Laut Aufgabenstellung ist die Plattenfläche $A$ des Kondensators konstant. Die elektrische Feldkonstante ist eine Naturkonstante und daher ebenfalls konstant. Einzig die elektrische Ladung $Q$ auf dem Kondensator ändert sich bei variablen Spannungen $U$.
In einem homogenen Plattenkondensator gilt für die Ladung $Q$ der folgende Zusammenhang:
$\begin{array}[t]{rrll} Q&=&C \cdot U \end{array}$
Ersetzt du also die Ladung $Q$ in der genannten Beziehung, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rrll} F&=&\dfrac{Q^2}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot A} &\quad \scriptsize \text{mit}\; Q=C \cdot U\\[5pt] &=&\dfrac{C^2 \cdot U^2}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot A} \\[5pt] &=&\underbrace{\dfrac{C^2}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot A}}_{= \; k} \cdot U^2 \\[5pt] \end{array}$
Dieser Zusammenhang zeigt ebenfalls, dass die Kraft $F$ proportional zum Quadrat der Spannung $U^2$ ist: $\quad F \sim U^2$
Dabei entspricht der Term $\frac{C^2}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot A}$ gerade der Proportionalitätskonstante $k$.
Ein Zusammenhang zwischen der Kraft $F$ und der Spannung $U$ wird definiert durch: $\quad F = \dfrac{C^2}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot A} \cdot U^2$
$\blacktriangleright$  Bei dem verwendeten Kondensator die Spannung für eine Kraft von $\boldsymbol{350\,}$mN berechnen
Der verwendete Kondensator besitzt laut Aufgabenstellung zwei kreisförmige Platten mit dem Durchmesser $20\,\text{cm}$, also dem Radius $r=10\,\text{cm}$. Der Plattenabstand $d = 2,0\,\text{mm}$ bleibt während des Versuchs konstant.
Mithilfe des gerade hergeleiteten Zusammenhangs zwischen der Kraft $F$ und der Spannung $U$, kannst du die Spannung für eine Kraft von $F= 350\,\text{mN}$ berechnen. Forme hierzu den Zusammenhang nach $U$ um.
Drei physikalische Größen gilt es hierbei noch zu bestimmen:
  • $\epsilon_0$ die elektrische Feldkonstante, deren Wert auf dem Aufgabenblatt angegeben ist
  • $A$ die Plattenfläche des Kondensators
  • $C$ die Kapazität des Kondensators
Da die Platten kreisförmig sind, berechnet sich die Plattenfläche $A$ des Kondensators über die Formel der Kreisoberfläche:
$\begin{array}[t]{rrll} A&=&\pi \cdot r^2 \end{array}$
Die Kapazität des Kondensators kannst du über folgende Formel ermitteln, bei der die Permittivität bzw. Dielektrizitätszahl $\epsilon_r = 1 $ ist, da der Kondensator luftgefüllt ist:
$\begin{array}[t]{rrll} C&=&\epsilon_0 \cdot \underbrace{\epsilon_r}_{=\;1} \cdot \dfrac{A}{d} \end{array}$
Versuche zunächst den Zusammenhang zwischen $F$ und $U$ umzuformen und erst ganz am Schluss die Werte der physikalischen Größen einzusetzen, um etwaige Rundungsfehler zu vermeinden.
Der Zusammenhang zwischen der Kraft $F$ und der Spannung $U$ lautet:
$\begin{array}[t]{rrll} \dfrac{C^2}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot A} \cdot U^2&=&F&\quad \scriptsize \mid \; \cdot \dfrac{2 \cdot \epsilon_0 \cdot A}{C^2} \\[5pt] U^2&=&\dfrac{2 \cdot F \cdot \epsilon_0 \cdot A}{C^2}&\quad \scriptsize \mid \; \sqrt{\quad} \\[5pt] U&=&\sqrt{\dfrac{2 \cdot F \cdot \epsilon_0 \cdot A}{C^2}}&\quad \scriptsize \text{mit}\; C= \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{2 \cdot F \cdot \epsilon_0 \cdot A}{\epsilon_0^2 \cdot \dfrac{A^2}{d^2}}}& \\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{2 \cdot F \cdot d^2}{\epsilon_0 \cdot A}}&\quad \scriptsize \text{mit}\; A= \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{2 \cdot F \cdot d^2}{\epsilon_0 \cdot \pi \cdot r^2}}&\\[5pt] &=&\dfrac{d}{r} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot F}{\epsilon_0 \cdot \pi}}&\\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} \dfrac{C^2}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot A} \cdot U^2&=&F\\[5pt] =\dfrac{d}{r} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot F}{\epsilon_0 \cdot \pi}}&\\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Setzt du nun die Werte für den Plattenabstand $d = 2,0\,\text{mm} = 0,002\,\text{m}$, den Plattenradius $r = 10\,\text{cm} = 0,1\,\text{m}$, die elektrische Feldkonstante $\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}\,\dfrac{\text{C}}{Vm}$ und die Kraft $F=350\,\text{mN} = 350 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$ ein, so erhältst du die Spannung zur zugehörigen Kraft:
$\begin{array}[t]{rrll} U=&\dfrac{d}{r} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot F}{\epsilon_0 \cdot \pi}}&\quad\\[5pt] &\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] =&\dfrac{0,002\,\color{#dc1400}{\text{m}}}{0,1\,\color{#dc1400}{\text{m}}} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot 350 \cdot 10^{-3}\,\text{N}}{8,85 \cdot 10^{-12}\,\dfrac{\text{C}}{Vm} \cdot \pi}}&\\[5pt] =&0,02 \cdot 158\,\text{kV}\\[5pt] \approx&3,2\,\text{kV}\\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} U=&\dfrac{d}{r} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot F}{\epsilon_0 \cdot \pi}}&\quad\\[5pt] \approx&3,2\,\text{kV}\\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Mit dem verwendeten Kondensator ergibt sich bei einer Kraft von $350\,\text{mN}$ für die Spannung ungefähr $3,2\,\text{kV}$.
$\blacktriangleright$  Wie sich der scheinbare Widerspruch auflösen lässt, erklären
Wenn man die Platten eines Kondensators bei angeschlossener Spannungsquelle auseinander zieht, so muss man Energie aufwenden bzw. Arbeit verrichten. Diese Energie wird dadurch scheinbar dem Kondensator zugeführt. Trotzdem sinkt die Energie im elektrischen Feld des Kondensators.
Diesen scheinbaren Widerspruch gilt es mithilfe einer Erklärung aufzulösen.
Mach dir klar, dass die Spannungsquelle angeschlossen bleibt und was dies für Auswirkungen hat. Überlege dir zunächst wieso du Energie aufwenden musst, um die Kondensatorplatten zu trennen. Anschließend gilt es zu erklären, was passiert, wenn die Kondensatorplatten auseinander gezogen werden. Überlege dir hierzu, welche physikalischen Größen konstant bleiben und welche sich ändern.
Da die Spanungsquelle angeschlossen bleibt, bleibt die Spannung $U$ konstant. Diese gibt an, wie viel Arbeit $W_{el}$ bzw. Energie nötig ist, ein geladenes Objekt innerhalb eines elektrischen Feldes zu verschieben. Trennst du dabei die Ladungen noch weiter voneinander, indem du die Kondensatorplatten auseinander ziehst, so musst du Arbeit bzw. Energie aufwenden.
Doch ziehst du die Platten bei angeschlossener Spannungsquelle auseinander, so verkleinert sich die Kapazität des Kondensators, wenn in der folgenden Gleichung die Distanz $d$ der Platten, bei gleich bleibender Plattenfläche $A$, vergrößert wird:
$\begin{array}[t]{rrll} C&=&\underbrace{\epsilon_0}_{konstant} \cdot \dfrac{\overbrace{A}^{konstant}}{d} \end{array}$
Nach der Formel $Q = C \cdot \underbrace{U}_{konstant}$ verringert sich damit auch die Ladung $Q$ auf den Kondensatorplatten.
Diese Ladungen fließen vom Kondensator ab, wodurch auch die im Kondensator gespeicherte Energie $W = \dfrac{1}{2} \cdot Q \cdot \underbrace{U}_{konstant}$ abnimmt.
Die beim Auseinanderziehen aufgewendete Energie wird also nicht dem Kondensator zugeführt, sondern wird dazu verwendet, die Ladungen von den Kondensatorplatten zu entfernen. Hierdurch fließt die Energie zurück zur Spannungsquelle.
c)   $\blacktriangleright$  Welches der Diagramme den Zusammenhang am besten wiedergibt, begründen
Im Folgenden sollst du begründen, welches der vier auf dem Aufgabenblatt dargestellten Diagramme den Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie $W_{kin}$ eines Elektrons und seiner Flugstrecke $s$ am besten wiedergibt.
Nutze hierzu dir bekannte physikalische Gleichungen und die Tatsache, dass die kinetische Energie $W_{kin}$ aus der Umwandlung von elektrischer Energie $W_{el}$ entsteht.
Tipp
Du sollst begründen, welches Diagramm den Zusammenhang am besten wiedergibt. Es reicht bei dieser Fragestellung nicht aus, nur das mögliche Diagramm anzugeben, sondern du sollst deine Auswahl auf Regeln und Gesetzmäßigkeiten zurückführen oder mithilfe kausaler Beziehung von Ursache und Wirkung plausibel erklären.
Die Elektronen treten mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und der zugehörigen anfänglichen kinetischen Energie $W_{kin,0} = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v_0^2$ in den Kondensator ein. Diese Energie entspricht dem $y$-Achsenabschnitt in allen vier Diagrammen.
1. Kondensator
Im ersten Kondensator werden die Elektronen zur Platte $B$ hin beschleunigt. Dabei erhöht sich die anfängliche kinetische Energie $W_{kin,0}$ um den Betrag $\Delta W_{kin} = F_{el,1} \cdot s$ in Abhängigkeit des Weges $s$:
$\begin{array}[t]{rrll} W_{kin}&=&\Delta W_{kin} + W_{kin,0} &\quad \scriptsize \text{mit}\; \Delta W_{kin} = F_{el,1} \cdot s \\[5pt] &=&\underbrace{F_{el,1}}_{konstant} \cdot s + W_{kin,0} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} W_{kin}=\Delta W_{kin} + W_{kin,0} \\[5pt] =\underbrace{F_{el,1}}_{konstant} \cdot s + W_{kin,0}\\[5pt] {mit}\; \Delta W_{kin} = F_{el,1} \cdot s \end{array}$
Da die elektrische Kraft $F_{el,1} = e \cdot E = e \cdot \frac{U_0}{d_1}$ konstant ist, entspricht diese Gleichung einer Geradengleichung mit positiver Steigung $m=F_{el,1}$ und dem $y$-Achsenabschnitt $W_{kin,0}$. Da der Graph in Abbildung 4c keinen linearen Verlauf besitzt, kann diese Abbildung den Zusammenhang nicht korrekt darstellen.
An der Platte $B$, also nach dem Weg $s = d_1$, beträgt dann die kinetische Energie $W_{kin,1}$:
$\begin{array}[t]{rrll} W_{kin,1}&=&F_{el,1} \cdot s + W_{kin,0} &\quad \scriptsize \text{mit}\; s= d_1 \\[5pt] &=&F_{el,1} \cdot d_1 + W_{kin,0} &\quad \scriptsize \text{mit}\; F_{el,1}= e \cdot \dfrac{U_0}{d_1} = konstant \\[5pt] &=&e \cdot \dfrac{U_0}{\color{#dc1400}{d_1}} \cdot \color{#dc1400}{d_1} + W_{kin,0}\\[5pt] &=&e \cdot U_0 + W_{kin,0}\\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} W_{kin,1}&=&F_{el,1} \cdot s + W_{kin,0}\\[5pt] &=&e \cdot U_0 + W_{kin,0}\\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
2. Kondensator
Im zweiten Kondensator liegt die Spannung $U_0$ gerade umgekehrt an. Daher besitzt sie ein negatives Vorzeichen. Hierdurch werden die Elektronen abgebremst, was eine Verringerung der kinetischen Energie nach sich zieht. Die maximale kinetische Energie wird also an der Platte $B$ erreicht. Da dies in Abbildung 4a nicht der Fall ist, kann auch diese Abbildung den Zusammenhang nicht korrekt darstellen.
Die kinetische Energie $W_{kin,1}$ der Elektronen an der Platte $B$ ändert sich innerhalb des zweiten Kondensators um den Betrag $\Delta W_{kin} = F_{el,2} \cdot s$. Für die elektrische Kraft $F_{el,2}$ im zweiten Kondensator gilt auf Grund der umgekehrten Spannung:
$\begin{array}[t]{rrll} F_{el,2}&=&e \cdot \dfrac{-U_0}{d_2}\\[5pt] &=&- e \cdot \dfrac{U_0}{d_2} \end{array}$
Die elektrische Kraft $F_{el,2}$ im zweiten Kondensator besitzt also ein negatives Vorzeichen. Daher ist die Steigung der Geraden nach Durchfliegen der Platte $B$ negativ.
Da der Abstand der zweiten Kondensatorplatten $d_2$ größer ist als der Abstand $d_1$, und dieser im Nenner der obigen Gleichung steht, ist die elektrische Kraft im zweiten Kondensator $F_{el,2}$ kleiner als die im ersten:
$\begin{array}[t]{rrll} F_{el,2}& < &F_{el,1} \end{array}$
Dies wiederum bedeutet, dass die Steigung des Graphen der kinetischen Energie im zweiten Kondensator kleiner ist als im ersten.
In Abbildung 4d ist der Betrag der Steigung des Graphen der kinetischen Energie in beiden Kondensator gleich groß. In Abbildung 4b jedoch im zweiten Kondensator kleiner. Daher gibt Abbildung 4b den Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie eines Elektrons und seiner Flugstrecke $s$ am besten wieder.
$\blacktriangleright$  Maximale Geschwindigkeit der Elektronen in der Anordnung berechnen
Wie in obiger Teilaufgabe erwähnt, erreichen die Elektronen gerade beim Durchfliegen der Platte $B$ die maximale Geschwindigkeit $v_{max}$. Im ersten Kondensator werden die Teilchen aus der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ auf diese Geschwindigkeit $v_{max}$ beschleunigt. Die zur Beschleunigung nötige elektrische Energie wird dabei durch das elektrische Feld geliefert und in kinetische Energie umgewandelt.
Bis zur Platte $B$ erhöht sich die anfängliche kinetische Energie $W_{kin,0}$ um den Betrag $\Delta W_{kin}$, welcher gerade der zur Beschleunigung aufgewendeten elektrischen Energie $\Delta W_{el} = e \cdot U_0$ entspricht.
An der Platte $B$, also nach dem Weg $s = d_1$, hat sich der Betrag der kinetischen Energie dann auf den Wert $W_{kin,1}$ erhöht:
$\begin{array}[t]{rrll} W_{kin,1}&=&\Delta W_{kin} + W_{kin,0} &\quad \scriptsize \text{mit}\; \Delta W_{kin}= \Delta W_{el} =e \cdot U_0 \\[5pt] &=&e \cdot U_0 + W_{kin,0} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} W_{kin,1}&=&\Delta W_{kin} + W_{kin,0} \\[5pt] &=&e \cdot U_0 + W_{kin,0} \end{array}$
Setzt du in diese Gleichung die Definition der kinetischen Energie ein, so kannst du durch Umformen eine Gleichung für die Geschwindigkeit an der Platte $B$, welcher der maximalen Geschwindigkeit $v_{max}$ entspricht, berechnen.
$\begin{array}[t]{rrll} W_{kin,1}&=&e \cdot U_0 + W_{kin,0} & \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot v_{max}^2&=&e \cdot U_0 + \dfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot v_{0}^2 &\quad \scriptsize \mid \; \cdot \dfrac{2}{m_e} \\[5pt] v_{max}^2&=&\dfrac{2 \cdot e \cdot U_0}{m_e} +v_{0}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\quad}\\[5pt] v_{max}&=&\sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_0}{m_e} +v_{0}^2} \\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} W_{kin,1}&=&e \cdot U_0 + W_{kin,0} & \\[5pt] v_{max}&=&\sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_0}{m_e} +v_{0}^2} \\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Setzt du in diese Gleichung die Werte der Spannung $U_0 = 500\,\text{V}$, der Elementarladung $e = 1,60\cdot 10^{-19}\,\text{C}$, der Elektronenmasse $m_e = 9,11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ sowie die Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 1,2\cdot 10^7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ ein, so erhältst du die gesuchte maximale Geschwindigkeit $v_{max}$:
$\begin{array}[t]{rrll} v_{max}&=&\sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_0}{m_e} +v_{0}^2}&\quad \scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,60\cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 500\,\text{V}}{9,11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}} + \left(1,2\cdot 10^7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{1,60\cdot 10^{-19}\,\color{#dc1400}{\text{A}}\,\text{s} \cdot 1000\,\frac{\color{#dc1400}{\text{kg}}\,\text{m}^2}{\color{#dc1400}{\text{A}}\,\text{s}^3}}{9,11 \cdot 10^{-31}\,\color{#dc1400}{\text{kg}}} + \left(1,2\cdot 10^7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{1,60\cdot 10^{-16}\,\text{m}^2}{9,11 \cdot 10^{-31}\,\text{s}^2} + \left(1,2\cdot 10^7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}\\[5pt] &\approx&\sqrt{3,2 \cdot 10^{14}\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}\\[5pt] &\approx&1,8\cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} v_{max}&=&\sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_0}{m_e} +v_{0}^2}\\[5pt] &\approx&1,8\cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Die maximale Geschwindigkeit der Elektronen in der Anordnung beträgt $1,8\cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
$\blacktriangleright$  Beschleunigung der Elektronen bei der Bewegung von A nach B berechnen
Die Elektronen werden im ersten Kondensator durch die elektrische Kraft $F_{el}$ beschleunigt. Setze diese also mit dem zweiten Newtonschen Gesetz gleich und berechne die Beschleunigung $a$.
$\begin{array}[t]{rrll} F&=&F_{el}&\quad \scriptsize \text{mit}\; F = m_e \cdot a \;\text{und}\; F_{el} = e \cdot \dfrac{U_0}{d_1}\\[5pt] m_e \cdot a&=&e \cdot \dfrac{U_0}{d_1}&\quad \scriptsize \mid\; : m_e \\[5pt] a&=& \dfrac{e \cdot U_0}{m_e \cdot d_1} \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} F&=&F_{el} a&=& \dfrac{e \cdot U_0}{m_e \cdot d_1} \end{array} $$ $$…$$
Durch Einsetzen der Elementarladung $e = 1,60\cdot 10^{-19}\,\text{C}$, der Elektronenmasse $m_e = 9,11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$, der Spannung $U_0 = 500\,\text{V}$ und des Plattenabstands $d_1 = 2,5 \,\text{cm} = 0,025\,\text{m}$ kannst du den Betrag der Beschleunigung $a$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rrll} a&=& \dfrac{e \cdot U_0}{m_e \cdot d_1}&\quad \scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] &=& \dfrac{1,60\cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 500\,\text{V}}{9,11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \cdot 0,025\,\text{m}}&\\[5pt] &\approx& 3,5 \cdot 10^{15}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}&\\[5pt] \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} a&=& \dfrac{e \cdot U_0}{m_e \cdot d_1}\\[5pt] &\approx& 3,5 \cdot 10^{15}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}&\\[5pt] \end{array} $$ $$…$$
Der Betrag der Beschleunigung der Elektronen bei der Bewegung von A nach B ist ungefähr $3,5 \cdot 10^{15}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
$\blacktriangleright$  Flugdauer der Elektronen von A nach B berechnen
Um die Flugdauer der Elektronen von A nach B zu bestimmen, kannst du dir das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu nutze machen und nach der Zeit auflösen.
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz lautet:
$\begin{array}[t]{rrll} v_{max}&=& a \cdot t + v_0 \end{array}$
Formst du diese Gleichung nach der Zeit $t$ um und setzt in die Gleichung die berechnete maximale Geschwindigkeit $v_{max} = 1,8\cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$, die Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 1,2\cdot 10^7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und die eben berechnete Beschleunigung $a = 3,5 \cdot 10^{15}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ein, so erhältst du die Flugdauer der Elektronen von A nach B.
$\begin{array}[t]{rrll} a \cdot t + v_0 &=& v_{max} &\quad \scriptsize \mid\; - v_0 \\[5pt] a \cdot t &=& v_{max} - v_0 &\quad \scriptsize \mid\; : a \\[5pt] t &=& \dfrac{v_{max} - v_0}{a} &\quad \scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] &=& \dfrac{1,8\cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} - 1,2\cdot 10^7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{3,5 \cdot 10^{15}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,6\cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{3,5 \cdot 10^{15}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\[5pt] &=& 1,7 \cdot 10^{-9}\,\text{s} \\[5pt] &=& 1,7 \,\text{ns} \end{array}$
$$ \begin{array}[t]{rrll} a \cdot t + v_0 &=& v_{max}\\[5pt] &=& 1,7 \,\text{ns} \end{array} $$ $$…$$
Die Flugdauer der Elektronen von A nach B beträgt etwa $1,7\,\text{ns}$.
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