Pflichtteil

Bestimme die Werte für $a$ und $b.$

Gib eine Gleichung einer Geraden $h$ an, die ebenfalls in $E$ liegt, und senkrecht zur Geraden $g$ verläuft.

Begründe, dass die Spurpunkte von $E$ die Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks bilden.

Die Ebene schneidet die Ebene $E.$ Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei verschiedene Augenzahlen fallen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine „1“ und eine „2“?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigen die Würfel zwei aufeinanderfolgende Zahlen?

$f$ besitzt an den Stellen Extremstellen, an denen $f'$ Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Da $f'$ nur in zwei der drei Nullstellen im angegebenen Bereich das Vorzeichen wechselt, besitzt $f$ nur zwei Extremstellen im angegebenen Bereich.
Die Aussage ist also falsch.

Zeichnet man die Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{1}{2}x$ in die Abbildunng ein, so erhält man genau zwei Schnittpunkt mit dem Graphen von $f'.$
Die Aussage ist also wahr.

Der Graph von $f'$ besitzt an der Stelle $x=-3$ einen Hochpunkt. An dieser Stelle wechselt also die Steigung von positiv zu negativ. Da die Steigung des Graphen von $f'$ durch $f''$ beschrieben wird, muss also $f''$ in dieser Stelle das Vorzeichen von positiv zu negativ wechseln.
Die Aussage ist also wahr.

$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen Damit $g$ in $E$ liegt, muss der Aufpunkt von $g$ in $E$ liegen und der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor von $E$ stehen. Einsetzen der Koordinaten des Aufpunkts in die Ebenengleichung liefert: Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor muss Null betragen:

$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben Als Aufpunkt für $h$ kann der von $g$ verwendet werden. Der Richtungsvektor $\pmatrix{x\\y\\z}$ muss sowohl zum Richtungsvektor von $g$ als auch zum Normalenvektor von $E$ senkrecht stehen.
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: Die erste Gleichung kann man nun in $\text{II}$ einsetzen und dann eine der beiden Variablen festsetzen, beispielsweise $y=1:$ Daraus folgt wiederum $x = -\frac{4}{5}.$ Eine mögliche Geradengleichung ist also beispielsweise:

$\blacktriangleright$  Gleichschenkliges Dreieck begründen Der erste Spurpunkt ist also $S_1(4\mid 0\mid 0).$ Der zweite Spurpunkt ist $S_2(0\mid 2\mid 0).$ Der dritte Spurpunkt ist $S_3(0 \mid 0 \mid -4).$ Den Koordinaten der drei Punkte kann man direkt entnehmen, dass $S_1$ und $S_3$ den gleichen Abstand zum Punkt $S_2$ haben. Die drei Punkte bilden also ein gleichschenkliges Dreieck.

$\blacktriangleright$  Schnittgerade bestimmen Für die Punkte in der Ebene $F$ gilt: $\overrightarrow{OF} = \pmatrix{-2+2r+s\\ -2+3r+2s\\ 8r}.$ Einsetzen in die Ebenengleichung von $E$ liefert: Einsetzen in die Ebenengleichung von $F$ liefert eine Gleichung der Schnittgerade:

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen Zeigt der erste Würfel eine der beiden Zahlen an, muss der zweite die andere anzeigen. Also ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel: Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{18}$ erhält man eine „1“ und eine „2“.

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen Es gibt $5$ Paare aufeinanderfolgender Zahlen. Diese haben jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit wie das Ereignis aus b). Mit der Pfadadditionsregel folgt also: Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{18}$ fallen zwei aufeinanderfolgende Zahlen.