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Parameterwerte bestimmen
Damit $g$ in $E$ liegt, muss der Aufpunkt von $g$ in $E$ liegen und der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor von $E$ stehen.
Einsetzen der Koordinaten des Aufpunkts in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll}
2\cdot 1 +2\cdot b +1\cdot 1 &=& 5 \\[5pt]
3+2b&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt]
2b&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt]
b&=& 1
\end{array}$
$ b = 1 $
$\begin{array}[t]{rll}
2\cdot 1 +2\cdot b +1\cdot 1 &=& 5 \\[5pt]
3+2b&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt]
2b&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt]
b&=& 1
\end{array}$
Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor muss Null betragen:
$\begin{array}[t]{rll}
\pmatrix{2\\2\\1}\circ \pmatrix{1\\0\\a}&=& 0 \\[5pt]
2\cdot 1 +2\cdot 0 + 1\cdot a&=& 0 \\[5pt]
2+a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt]
a&=& -2
\end{array}$
$ a = -2 $
$\begin{array}[t]{rll}
\pmatrix{2\\2\\1}\circ \pmatrix{1\\0\\a}&=& 0 \\[5pt]
2\cdot 1 +2\cdot 0 + 1\cdot a&=& 0 \\[5pt]
2+a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt]
a&=& -2
\end{array}$
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Geradengleichung angeben
Als Aufpunkt für $h$ kann der von $g$ verwendet werden. Der Richtungsvektor $\pmatrix{x\\y\\z}$ muss sowohl zum Richtungsvektor von $g$ als auch zum Normalenvektor von $E$ senkrecht stehen.
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll}
\text{I}\quad&0&=& \pmatrix{x\\y\\z}\circ \pmatrix{1\\0\\-2} \\[5pt]
&0&=& x-2z \\[5pt]
&2z&=& x \\[10pt]
\text{II}\quad&0&=& \pmatrix{x\\y\\z}\circ \pmatrix{2\\2\\1} \\[5pt]
&0&=& 2x+2y+z \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}{lrll}
\text{I}\quad&0&=& x-2z \\[5pt]
&2z&=& x \\[10pt]
\text{II}\quad&0&=& 2x+2y+z \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}{lrll}
\text{I}\quad&0&=& \pmatrix{x\\y\\z}\circ \pmatrix{1\\0\\-2} \\[5pt]
&0&=& x-2z \\[5pt]
&2z&=& x \\[10pt]
\text{II}\quad&0&=& \pmatrix{x\\y\\z}\circ \pmatrix{2\\2\\1} \\[5pt]
&0&=& 2x+2y+z \\[5pt]
\end{array}$
Die erste Gleichung kann man nun in $\text{II}$ einsetzen und dann eine der beiden Variablen festsetzen, beispielsweise $y=1:$
$\begin{array}[t]{rll}
0&=&2x+2y+z &\quad \scriptsize \mid\; y=1 \\[5pt]
0&=&2x+2+z &\quad \scriptsize \mid\; x=2z \\[5pt]
0&=&2\cdot 2z + 2 + z \\[5pt]
0&=&5z +2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt]
-2&=&5z &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt]
-\frac{2}{5}&=& z
\end{array}$
$ z= -\frac{2}{5} $
$\begin{array}[t]{rll}
0&=&2x+2y+z &\quad \scriptsize \mid\; y=1 \\[5pt]
0&=&2x+2+z &\quad \scriptsize \mid\; x=2z \\[5pt]
0&=&2\cdot 2z + 2 + z \\[5pt]
0&=&5z +2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt]
-2&=&5z &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt]
-\frac{2}{5}&=& z
\end{array}$
Daraus folgt wiederum $x = -\frac{4}{5}.$ Eine mögliche Geradengleichung ist also beispielsweise:
$h: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\1\\1}+ t\cdot \pmatrix{-\frac{4}{5} \\ 1\\ - \frac{2}{5}}.$
$ h: \quad \overrightarrow{x} = … $
$h: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\1\\1}+ t\cdot \pmatrix{-\frac{4}{5} \\ 1\\ - \frac{2}{5}}.$