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Extrempunkt
Der Extrempunkt ($x \mid y$) ist auf dem Funktionsgraphen ein Punkt, der in einer Umgebung ein Maximum (Hochpunkt) oder ein Minimum (Tiefpunkt) darstellt.
Der Extremwert ist der $y$-Wert. Der zugehörige $x$-Wert heißt Extremstelle.
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt lautet, dass die Ableitung der Funktion an dieser Stelle eine Nullstelle hat, also:
$f'(x_0)=0$.
Zur Überprüfung der hinreichenden Bedingung für eine Extremstelle gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Wert der zweiten Ableitung
  • $f''(x_E) < 0$ $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt des Graphen von $f$
  • $f''(x_E) > 0$ $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt des Graphen von $f$
2. Möglichkeit: Vorzeichenwechselkriterium
Wechselt das Vorzeichen des Funktionswertes der ersten Ableitung von $f$ an der Stelle $x_E$ von Plus nach Minus, so befindet sich an der Stelle $x_E$ ein Hochpunkt des Funktionsgraphen.
Wechselt das Vorzeichen des Funktionswertes der ersten Ableitung von $f$ an der Stelle $x_E$ von Minus nach Plus, so befindet sich an der Stelle $x_E$ ein Tiefpunkt des Funktionsgraphen.
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