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Regelmäßiges Vieleck
Eine Figur mit $n$-Ecken, bei der alle Winkel und Seitenlängen gleich groß sind, wird als ein regelmäßiges $n$-Eck bezeichnet. Bei regelmäßigen Drei- und Vierecken werden teilweise noch andere Formen wie z.B. Trapeze oder Parallelogramme unterschieden. Ab $5$ Ecken gibt es immer nur eine regelmäßige Form.
Diese Figuren haben einen Umkreisradius $r_u$ und einen Inkreisradius $r_i$. Der Umkreisradiusbezeichnet die Länge der Strecke vom Mittelpunkt zu einer Ecke. Der Inkreisradius ist die Länge der Strecke vom Mittelpunkt zum Mittelpunkt einer Seite. Ebenso gibt es zwei verschiedene Winkel. Der Mittelpunktswinkel $\varphi$ entspricht dem Winkel, den ein Dreieck am Mittelpunkt besitzt. Dabei beschreiben zwei benachbarte Umkreisradien und eine Seitenlänge $a$ das Dreieck. Der Innenwinkel $\alpha$ entspricht dem Winkel auf der Innenseite einer Ecke der Figur.
Mit den folgenden Formeln kannst du Größen in einem regelmäßigen $n$-Eck berechnen:
Mittelpunktswinkel $\varphi=\dfrac{360°}{n}$
Innenwinkel $\alpha=\dfrac{(n-2)}{n}\cdot 180°$
Umkreisradius $r_u=\dfrac{r_i}{\cos(\frac{\varphi}{2})}$
Inkreisradius $r_i=r_u\cdot\cos(\dfrac{\varphi}{2})$
Seitenlänge $a=2\cdot r_u\cdot \sin(\dfrac{\varphi}{2})$
Umfang $U_n=n\cdot a$
Flächeninhalt $A_n=\dfrac{n\cdot a\cdot r_i}{2}=n\cdot r_i^2\cdot \tan(\dfrac{\pi}{n})=\dfrac{n\cdot r_u^2}{2}\cdot \sin(\dfrac{2\pi}{n})$
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