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Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion

f

$f$ mit

f (x) = (5 x + 1) \cdot \sin (x^{2})

$f(x)=(5x + 1) \cdot \sin (x^2)$ .

(2P)

#ableitung #sinusfunktion

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion

f

$f$ mit

f (x) = \frac{48}{(2 x - 4)^{3}}

$f(x)=\dfrac {48} {(2x - 4)^3}$ .
Bestimme diejenige Stammfunktion

F

$F$ von

f

$f$ mit

F (3) = 1

$F(3)=1$ .

(2P)

#stammfunktion

Aufgabe 3

Löse die Gleichung

3 - e^{x} = \frac{2}{e^{x}}

$3 - \mathrm e^x = \dfrac{2}{\mathrm e^x}$ .

(3P)

Aufgabe 4

Der Graph der Funktion

f

$f$ mit

f (x) = - \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} - x

$f(x)= - \dfrac{1}{6}x^3 + x^2 - x$ besitzt einen Wendepunkt.
Zeige, dass

y = x - \frac{4}{3}

$y=x-\dfrac{4}{3}$ eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt ist.

(3P)

#tangente #wendepunkt

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion

F

$F$ einer Funktion

f

$f$ .
Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründe jeweils deine Entscheidung.

$f(1)=F(1)$
$\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx=4$
$f'$ besitzt im Bereich $-1 \leq x \leq 1$ eine Nullstelle.
$f(F(-2)) > 0$

Abb. 1

(5P)

#nullstelle

Aufgabe 6

Gegeben ist die Gerade

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

$g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{3\\0\\1} + r \cdot \pmatrix{1\\4\\3}$ .

Untersuche, ob es einen Punkt auf

g

$g$ gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind.

Die Gerade

h

$h$ verläuft durch

Q (8 ∣ 5 ∣ 10)

$Q (8\mid5\mid10)$ und schneidet

g

$g$ orthogonal.
Bestimme eine Gleichung von

h

$h$ .

(5P)

#geradengleichung

Aufgabe 7

Gegeben ist die Ebene

E

$E$ :

4 x_{1} + 4 x_{2} + 7 x_{3} = 28

$4x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 28$ .
Es gibt zwei zu

E

$E$ parallele Ebenen

F

$F$ und

G

$G$ , die vom Ursprung den Abstand

2

$2$ haben.
Bestimme jeweils eine Gleichung

F

$F$ und

G

$G$ .

(3P)

#ebenengleichung

Aufgabe 8

Bei einem Glücksrad werden die Zahlen

1

$1$ ,

2

$2$ ,

3

$3$ und

4

$4$ bei einmaligem Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt:

Zahl	1	2	3	4
Wahrscheinlichkeit	0,4	0,1	0,3	0,2

Das Glücksrad wird einmal gedreht.
Gib zwei verschiedene Ereignisse an, deren Wahrscheinlichkeit jeweils

0, 7

$0,7$ beträgt.

An dem Glücksrad sollen nur die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen

1

$1$ und

2

$2$ so verändert werden, dass das folgende Spiel fair ist:
Für einen Einsatz von

2, 50

$2,50$

€

$€$ darf man einmal am Glücksrad drehen.
Die angezeigte Zahl gibt den Auszahlungsbetrag in Euro an.
Bestimme die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen

1

$1$ und

2

$2$ .

(4P)

#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 9

Von zwei Kugeln

K_{1}

$K_1$ und

K_{2}

$K_2$ sind die Mittelpunkte

M_{1}

$M_1$ und

M_{2}

$M_2$ sowie die Radien

r_{1}

$r_1$ und

r_{2}

$r_2$ bekannt. Die Kugeln berühren einander von außen im Punkt

B

$B$ .
Beschreibe ein Verfahren, mit dem man

B

$B$ bestimmen kann.

(3P)

#kugel

Bildnachweise [nach oben]

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