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1. Funktionsgraphen können durch orthogonale Affinität entlang der $y$-Achse gestreckt und durch Parallelverschiebung verschoben werden. Es entstehen Bildgraphen, die durch neue Funktionsterme beschrieben werden.
Weise für die nachfolgenden drei wichtigsten Funktionsklassen (Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen) folgendes nach:
a)  $f$: $y=x^n\;^{x\text{-Achse}\,k}_{---\longrightarrow}f^*$: $y=k\cdot x^n\;^{\vec{v}=\binom{c}{d}}_{---\longrightarrow}f'$: $y=k(x-c)^n+d$
b)  $f$: $y=a^x\;^{x\text{-Achse}\,k}_{---\longrightarrow}f^*$: $y=k\cdot a^x\;^{\vec{v}=\binom{c}{d}}_{---\longrightarrow}f'$: $y=k\cdot a^{x-c}+d$
c)  $f$: $y=\log_ax\;^{x\text{-Achse}\,k}_{---\longrightarrow}f^*$: $y=k\cdot\log_ax\;^{\vec{v}=\binom{c}{d}}_{---\longrightarrow}f'$: $y=k\cdot\log_a(x-c)+d$
Beschreibe in eigenen Worten, was die Parameter $k$, $c$ und $d$ mit den Graphen der Grundfunktionen machen.

2. Die Punkte $B_n(x\mid y)$ auf der Geraden $g$: $y=-0{,}5x+4$ sind Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken $AB_nC_n$. Der Eckpunkt $A$ hat die Koordinaten $A(0\mid 0)$. Alle Dreiecke haben den rechten Winkel in $A$, weiterhin gilt stets $\overline{AC_n}=2\cdot\overline{AB_n}$.
Mit den folgenden Überlegungen kannst du die Eckpunkte $C_n$ in Abhängigkeit von der $x$-Koordinate der Eckpunkte $B_n$ darstellen:
Die Eckpunkte $B_n$ können in zwei Schritten auf die Punkte $C_n$ abgebildet werden.
Da die Dreiecke $AB_nC_n$ bei $A$ rechtwinklig sind, müssen die Punkte $B_n$ zunächst um 90° um $A$ gedreht werden. Dies ergibt die Punkte $B_n^*(x^*\mid y^*)$:
Abbildungen Im Koordinatensystem: Vermischte Aufgaben
Abbildungen Im Koordinatensystem: Vermischte Aufgaben
$\dbinom{x^*}{y^*}=\biggl(\;\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{-0{,}5x+4}$.
Das heißt:
$\begin{array}[t]{rll} x^*&=&0{,}5x-4\\[5pt] y^*&=&x \end{array}$
Es folgt $B_n^*(0{,}5x-4\mid x)$.
Abbildungen Im Koordinatensystem: Vermischte Aufgaben
Abbildungen Im Koordinatensystem: Vermischte Aufgaben
Da die Katheten $[AC_n]$ doppelt so lang wie $[AB_n]$ sind, erhält man die Punkte $C_n(x'\mid y')$ nun durch eine zentrische Streckung von $B_n^*$ um $k=2$ mit $A(0\mid 0)$ als Zentrum:
$\begin{array}[t]{rlll} x'&=&2\cdot x^*&=&x-8\\[5pt] y'&=&2\cdot y^*&=&2x \end{array}$
Daraus folgt $C_n(x-8\mid 2x)$. Wir schreiben zusammenfassend $B_n\;^{A(0\mid 0);\;\alpha=90^{\circ}}_{------\longrightarrow}B_n^*\;^{A(0\mid 0);\;k=2}_{-----\longrightarrow}C_n$.
a) Zeige nun, dass die Punkte $C_n$ auf der Geraden $g'$: $y=2x+16$ wandern.
b) Berechne die Gleichung der Trägergeraden der Mittelpunkte $M_n$ von $[B_nC_n]$.
c) Für welches $x$ liegt die Hypotenuse $[B_1C_1]$ auf der Geraden $g$?
3.
a) Zeige, dass eine zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $O(0\mid 0)$ und dem Streckfaktor $k$ in Matrixform durch die Abbildungsgleichung
$\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}k&0\\0&k\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}$.
beschrieben wird. Zur Wiederholung: Die Schreibweise für die zentrische Streckung mit Streckungszentrum $Z(x_z\mid y_z)$ und dem Streckfaktor $k$ lautet $P\;^{Z(x_z\mid y_z);\;k}_{-----\longrightarrow}P'$.
b) Mit beliebigem Streckungszentrum $Z(x_z\mid y_z)$ gilt bei einer zentrischen Streckung weiterhin stets $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OZ}+ k\cdot\overrightarrow{ZP}$.
Zeige, dass diese Vektorgleichung mit der Abbildungsgleichung
$\dbinom{x'}{y'}=\biggl(\;\begin{matrix}k&0\\0&k\end{matrix}\;\biggr)\odot\dbinom{x}{y}+(1-k)\dbinom{x_z}{y_z}$
identisch ist.
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1.  Nachweisen, dass die Bildgraphen die Funktionsterme $\boldsymbol{f^{*}}$ bzw. $\boldsymbol{f'}$ haben
Durch orthogonale Affinität wird eine Funktion entlang der $y$-Achse gestreckt und durch Parallelverschiebung verschoben. Weise nun nach, dass die neuen Funktionsterme $f'$ Bildgraphen der Funktion $f$ sind.
Bei der orthogonalen Affinität wird jeder Punkt $P(x\mid y)$ des Graphen von $f$ in $y$-Richtung gestreckt. Es wird also jeder Funktionswert um ein Vielfaches $k$ gestreckt. Es gilt:
$f^{*}(x)=k\cdot f(x)$
Bei der Parallelverschiebung gilt für alle Bildpunkte $P'(x'\mid y')$ der Punkte $P(x\mid f(x))$:
  1. $x'=x+x_0$
  2. $y'=f(x)+y_0$
Aus der ersten Gleichung folgt: $x=x'-x_0$. Setzt du dies nun in die zweite Gleichung ein, erhältst du den Funktionsterm $f'$ des Bildgraphen:
$f'(x)=f(x-x_0)+y_0$
In dieser Aufgabe wird der Graph mit dem Vektor $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ verschoben. Um nachzuweisen, dass die Funktion $f'$ ein Bildgraph von $f$ ist, setzt du nun jeweils diese Parameter $c$ und $d$ in den Funktionsterm $f'$ des Bildgraphen ein.
a)  Du hast die Funktion $f(x)=x^n$ gegeben.
Durch die orthogonale Verschiebung mit dem Faktor $k$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} f^{*}(x)&=&k\cdot f(x) \\[5pt] f^{*}(x)&=&k\cdot x^n \end{array}$
Setze nun den Vektor $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ in die allgemeine Funktionsgleichung $f'$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&f(x-x_0)+y_0 \\[5pt] f'(x)&=&f(x-c)+d\\[5pt] f'(x)&=&k\cdot (x-c)^n+d \end{array}$
b)  Du hast die Funktion $f(x)=a^x$ gegeben.
Durch die orthogonale Verschiebung mit dem Faktor $k$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} f^{*}(x)&=&k\cdot f(x) \\[5pt] f^{*}(x)&=&k\cdot a^x \end{array}$
Setze nun den Vektor $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ in die allgemeine Funktionsgleichung $f'$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&f(x-x_0)+y_0 \\[5pt] f'(x)&=&f(x-c)+d\\[5pt] f'(x)&=&k\cdot a^{x-c}+d \end{array}$
c)  Du hast die Funktion $f(x)=\log_a x$ gegeben.
Durch die orthogonale Verschiebung mit dem Faktor $k$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} f^{*}(x)&=&k\cdot f(x) \\[5pt] f^{*}(x)&=&k\cdot \log_a x \end{array}$
Setze nun den Vektor $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ in die allgemeine Funktionsgleichung $f'$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&f(x-x_0)+y_0 \\[5pt] f'(x)&=&f(x-c)+d\\[5pt] f'(x)&=&k\cdot \log_a (x-c)+d \end{array}$
$\blacktriangleright$  Die Auswirkung der Parameter $\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{c}$ und $\boldsymbol{d}$ auf die Funktion $\boldsymbol{f}$ beschreiben
Das $k$ gibt an, um welches Vielfaches jeder Punkt des Graphen gestreckt wird. Der Parameter wird auch Affinitätsmaßstab genannt.
Das $c$ gibt an, um welchen Faktor der Graph der Funktion in $x$-Richtung verschoben wird. Das $d$ gibt die Verschiebung in $y$-Richtung an.
2.
a)  Zeigen, dass die Punkte $\boldsymbol{C_n}$ auf der Geraden $\boldsymbol{g'}$ liegen
Du hast die Koordinaten der Punkte $C_n$ gegeben. Diese lauten: $C_n(x-8\mid 2x)$
Damit die Punkte $C_n$ auf der Geraden $g'(x)=2x+16$ wandern, müssen die Punkte auf der Geraden liegen. Um dies zu überprüfen, setzt du die $x$- und die $y$-Koordinate in die Funktionsgleichung von $g'$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x+16 \\[5pt] 2x&=&2\cdot(x-8)+16\\[5pt] 2x&=&2x-16+16\\[5pt] 2x&=&2x \end{array}$
Die Punkte $C_n$ wandern auf der Gerade $g'$.
b)  Die Gleichung der Trägergeraden $\boldsymbol{t}$ der Mittelpunkte $\boldsymbol{M_n}$ berechnen
Um die Gleichung der Trägergeraden $t$ der Mittelpunkte $M_n$ aufzustellen, kannst du beispielhaft das Dreieck betrachten das durch den Punkt $A(0\mid0)$ und den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen entsteht. Den $y$-Achsenabschnitt kannst du aus der Geradengleichung $g=-0,5x+4$ ablesen. Dieser liegt bei $y=4$. Der Punkt $B$ hat demnach die Koordinaten $B(0\mid4)$. Die Koordinaten des Punktes $C$ erhältst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden $g'$ mit der $x$-Achse berechnest.
Du kannst folgendermaßen vorgehen.
  1. Berechne die Koordinaten des Punktes $C$
  2. Berechne den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{BC}$
  3. Stelle mit Hilfe der Zweipunkteform eine Gerade $AM$ auf. Diese Gerade entspricht der Trägergerade $t$.
Der Mittelpunkt zweier Punkte $P(x_1\mid y_1)$ und $Q(x_2\mid y_2)$ hat die Koordinaten $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\mid\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
Die Zweipunkteform lautet:
$\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
1. Schritt: Die Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{C}$ berechnen
Um den Schnittpunkt der Geraden $g'$mit der $x$-Achse zu berechnen, setzt du die Funktionsgleichung gleich null.
$\begin{array}[t]{rlll} g'(x)&=&0 \\[5pt] 2x+16&=&0&\quad \scriptsize \mid\;-16\\[5pt] 2x&=&-16&\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] x=-8 \end{array}$
Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $C(-8\mid0)$.
2. Schritt: Den Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$ der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen
Setze jeweils die $x$- und $y$-Werte der Punkte $B(0\mid4)$ und $C(-8\mid0)$ in die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ ein.
x-Wert:
$\begin{array}[t]{rll} x_M&=& \dfrac{x_1+x_2}{2} \\[5pt] x_M&=& \dfrac{0+(-8)}{2}\\[5pt] x_M&=& -4 \end{array}$
y-Wert:
$\begin{array}[t]{rll} y_M&=& \dfrac{y_1+y_2}{2} \\[5pt] y_M&=& \dfrac{4+0}{2}\\[5pt] y_M&=& 2 \end{array}$
Der Mittelpunkt hat die Koordinaten $M(-4\mid2)$.
3. Schritt: Die Funktionsgleichung der Trägergeraden $\boldsymbol{t}$ berechnen
Die Trägergerade verläuft durch die Punkte $A(0\mid0)$ und $M(-4\mid2)$. Stelle mit Hilfe der Koordinaten der Punkte und der Zweipunktform die Geradengleichung der Trägergerade $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y-y_1}{x-x_1}&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\[5pt] \dfrac{y-0}{x-0}&=&\dfrac{2-0}{-4-0} \quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] y&=&\dfrac{2}{-4}\cdot x\\[5pt] y&=&-\dfrac{1}{2}\cdot x\\ \end{array}$
Die Trägergerade der Mittelpunkte $M_n$ hat folgende Funktionsgleichung:
$t(x)=-\frac{1}{2}\cdot x$
c)  $\boldsymbol{x}$ bestimmen
Nun sollst du bestimmen, für welches $x$ die Hypotenuse $[B_1C_1]$ auf der Geraden $g$ liegt. Die Gerade $g$ hat die Funktionsgleichung: $g:y=-\frac{1}{2}x+4$
Damit die Hypotenuse auf der Geraden $g$ liegt, muss die Hypotenuse die selbe Steigung als die Gerade $g$ haben. Die Gerade $g$ hat die Steigung $-\frac{1}{2}$.
Um das $x$ zu bestimmen, bildest du zunächst den Vektor $\overrightarrow{B_1C_1}$. Der Punkt $B_1$ liegt auf der Geraden $g$ und hat die Koordinaten $B_1(x\mid-\frac{1}{2}x+4)$. Der Punkt $C_1$ hat die Koordinaten $C_1(x-8\mid2x)$.
Nachdem du den Vektor $\overrightarrow{B_1C_1}$ gebildet hast, bestimmst du das $x$ so, dass die Hypotenuse die Steigung $-\frac{1}{2}$ hat.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{B_1C_1}&=& \begin{pmatrix}x-8\\2x\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{2}x+4\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{B_1C_1}&=& \begin{pmatrix}x-8-x\\2x-\left(-\frac{1}{2}x+4\right)\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{B_1C_1}&=& \begin{pmatrix}-8\\\frac{5}{2}x-4\end{pmatrix} \end{array}$
Um die Steigung der Hypotenuse zu bestimmen, setzt du $\frac{5}{2}x$ gleich $-\frac{1}{2}$ und löst nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rlll} \dfrac{5}{2}x&=& -\dfrac{1}{2}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{5}\\[5pt] x&=& -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{5}\\[5pt] x&=& -\dfrac{1}{5} \end{array}$
Für $x=-\frac{1}{5}$ liegt die Hypotenuse $[B_1C_1]$ auf der Geraden $g$.
3.
a)  Zeigen, dass sich eine zentrische Streckung durch die Abbildungsgleichung beschrieben lässt
Nun sollst du zeigen, dass eine zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $O(0\mid0)$ und dem Streckfaktor $k$ in folgender Abbildungsgleichung beschrieben werden kann:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\ \end{array}$
Bei der zentrischen Streckung eines Punktes $P(x\mid y)$ wird sowohl die $x$-Koordinate, als auch die $y$-Koordinate um einen Streckfaktor $k$ gestreckt. Der Bildpunkt $P'$ hat demnach die Koordinaten $P'(kx\mid ky)$.
Um nachzuweisen, dass die Abbildungsgleichung eine zentrische Streckung beschreibt, berechnest du die Matrix.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}k\cdot x&+&0\cdot y\\0\cdot x&+&k\cdot y\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix} \end{array}$
Der Bildpunkt $P'$ hat die Koordinaten $P'(kx\mid ky)$. Die Abbildungsgleichung beschreibt eine zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $O(0\mid0)$ und dem Streckfaktor $k$.
b)  Zeigen, dass die Vektorgleichung mit der Abbildungsgleichung identisch sind
Bei einer zentrischen Streckung gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP'}&=& \overrightarrow{OZ}+k\cdot\overrightarrow{ZP}\\ \end{array}$
Dabei ist der Punkt $Z(x_z\mid y_z)$ das Streckungszentrum.
Du sollst nun zeigen, dass folgende Abbildungsgleichung mit der Vektorgleichung identisch ist.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+(1-k)\begin{pmatrix}x_z\\y_z\end{pmatrix} \\ \end{array}$
Setze nun die Koordinaten der Punkte $Z(x_z\mid y_z)$ und $P(x\mid y)$ in die Vektorgleichung ein und berechne die Koordinaten des Punktes $P'$. Anschließend kannst du die Abbildungsgleichung ausmultiplizieren.
Vektorgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP'}&=& \overrightarrow{OZ}+k\cdot\overrightarrow{ZP}\\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x_z\\y_z\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}x&-&x_z\\y&-&y_z\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x_z\\y_z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}kx&-&kx_z\\ky&-&ky_z\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x_z&+&kx&-&kx_z\\y_z&+&ky&-&ky_z\end{pmatrix} \end{array}$
Abbildungsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+(1-k)\begin{pmatrix}x_z\\y_z\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}k\cdot x&0\cdot y\\0\cdot x&k\cdot y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_z&-&kx_z\\y_z&-&ky_z\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_z&-&kx_z\\y_z&-&ky_z\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}kx&+&x_z&-&kx_z\\ky&+&y_z&-&ky_z\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes $P'$ sind identisch. Somit ist die Abbildungsgleichung auch identisch mit der Vektorgleichung.
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