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Fixelemente und Invarianten

Spickzettel
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Ein Fixpunkt oder eine Fixgerade ist ein Punkt beziehungsweise eine Gerade die durch eine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird.
Für eine Fixgerade $g$ gilt:
$g=g'$
$g=g'$
Das bedeutet, dass die Gerade $g$ gleich der Bildgeraden $g'$ ist. Zur Bestimmung einer Fixgeraden musst du eine allgemeine Geradengleichung abbilden und die Bedingung verwenden, dass Steigung und $y$-Achsenabschnitt der Bildgerade gleich sein muss.
#fixpunkt#fixgerade
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeige, dass der Punkt $P(3 \mid 2)$ ein Fixpunkt zur Abbildung
$F: \pmatrix{x' \\ y'}=\pmatrix{-1& 0 \\0& -1} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{6\\4}$
$F: \pmatrix{x' \\ y'}= \dotsc $
ist.
b)
Bestimme die Fixpunkte der Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\pmatrix{-2& 4\\4& -2} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{1\\2}$.
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\dotsc $
c)
Untersuche die Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\pmatrix{2&-1\\-1&2} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\1}$
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\dotsc$
auf Fixgeraden.
#fixgerade#fixpunkt

Aufgabe 1

a)
Überprüfe, ob die Punkte $P(2 \mid 1)$ und $S(2 \mid 2)$ Fixpunkte der Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \pmatrix{1&-2\\-2&1} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\4}$
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\dotsc $
sind.
b)
Überprüfe, ob die Punkte $P(1 \mid 5)$ und $T(1 \mid 0)$ Fixpunkte der Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \pmatrix{ 0&-1\\-1&0} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{1\\1}$
$ F: \pmatrix{x'\\y'}=\dotsc $
sind.
#fixpunkt

Aufgabe 2

Bestimmme die Fixpunkte für die folgenden Abbildungen.
a)
$F: \pmatrix{x' \\ y'}=\pmatrix{-2& 1 \\1& -2} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\2}$
$F: \pmatrix{x' \\ y'}=\dotsc $
b)
$F: \pmatrix{x' \\ y'}=\pmatrix{-1& 0 \\0& -1} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{-1\\2}$
$F: \pmatrix{x' \\ y'}=\dotsc$
#fixpunkt

Aufgabe 3

Überprüfe, ob die gegebenen Geraden Fixgeraden zu der Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \pmatrix{2 &-1\\-1& 2} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\1}$
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\dotsc $
sind.
a)
$g: y=x+\dfrac{1}{2}$
b)
$h: y=x+3$
#fixgerade
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Fixpunkt zeigen
Du sollst zeigen, dass der Punkt $P(3 \mid 2)$ ein Fixpunkt zur Abbildung
$F: \pmatrix{x' \\ y'}=\pmatrix{-1& 0 \\0& -1} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{6\\4}$
$F: \pmatrix{x' \\ y'}=\dotsc $
ist. Ein Punkt $P$ ist genau dann ein Fixpunkt zur Abbildung $F$, wenn die Koordinaten des Bildpunktes $P'$ mit den Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ übereinstimmen.
Berechne somit die Koordinaten des Bildpunktes $P'$. Für den Punkt $P(3 \mid 2)$ folgt mit der Abbildung $F$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x' \\ y'}&=& \pmatrix{-1& 0 \\0& -1} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{6\\4}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1& 0 \\0& -1} \odot \pmatrix{3\\2} \oplus \pmatrix{6\\4}\\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-2} \oplus \pmatrix{6\\4}\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\2}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x' \\ y'}= \pmatrix{3\\2}$
Somit gilt $P'(3 \mid 2)$ und die Koordinaten stimmen überein und damit ist der Punkt $P$ ein Fixpunkt.
b)
$\blacktriangleright$  Fixpunkt berechnen
Du sollst die Fixpunkte für die Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\pmatrix{-2& 4\\4& -2} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{1\\2}$
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\dotsc $
berechnen. Dazu musst du die Matrixform in Koordinatenform umschreiben. Damit erhältst du zwei verschiedene Gleichungen. Da es sich hierbei um einen Fixpunkt handeln soll muss $x'=x$ und $y'=y$ gelten.
Für die Abbildung in Koordinatenform und mit den Bedingungen für Fixpunkte ergeben sich die Gleichungen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& -2x +4y+1 &\quad \\ \text{II}\quad& y'&=& +4x-2y+2 &\quad \\ \hline \text{I}\quad& x&=& -2x +4y+1 &\quad \scriptsize\mid\; +2x\\ \text{II}\quad& y&=& +4x-2y+2 &\quad \scriptsize\mid\; -4x-y\\ \hline \text{I}\quad& 3x&=& +4y+1 &\quad \scriptsize\mid\; :3\\ \text{II}\quad& -4x&=& -3y+2 &\quad \scriptsize\mid\; :(-4)\\ \hline \text{I}\quad& x&=& \dfrac{4}{3}y+\dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize\mid\; :3\\ \text{II}\quad& x&=& \dfrac{3}{4}y-\dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize\mid\; :(-4)\\ \end{array}$
$\text{I}: x'=\dotsc$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{3}y+\dfrac{1}{3}&=& \dfrac{3}{4}y-\dfrac{1}{2}&\quad \scriptsize \mid\;- \dfrac{3}{4}y \\[5pt] \dfrac{7}{12}y+\dfrac{1}{3}&=& -\dfrac{1}{2}&\quad \scriptsize \mid\;- \dfrac{1}{3} \\[5pt] \dfrac{7}{12}y&=& - \dfrac{5}{6} &\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{7}{12} \\[5pt] y&=& - \dfrac{10}{7} \\[5pt] \end{array}$
$y=- \dfrac{10}{7}$
Den Wert für die $y$-Koordinate kannst du nun in eine der beiden oberen Gleichungen einsetzen und den zugehörigen $x$-Wert berechnen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 3x&=&+4y+1 \\[5pt] 3x&=& 4 \cdot \left(- \dfrac{10}{7}\right) +1 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x&=& - \dfrac{11}{7} \end{array}$
$x= - \dfrac{11}{7}$
Somit besitzt der Fixpunkt die Koordinaten $\left(- \dfrac{11}{7} \Big| - \dfrac{10}{7}\right)$
c)
$\blacktriangleright$  Fixgeraden untersuchen
Du sollst die Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\pmatrix{2&-1\\-1&2} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\1}$
$F: \pmatrix{x'\\y'}=\dotsc $
auf Fixgeraden untersuchen. Setze dazu die allgemeine Geradengleichung $y=mx+t$ als $y$-Koordinate in die Abbildung ein und bestimme mögliche Werte für die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt von Fixgeraden. Mit $y=mx+t$ und der Umformung in Koordinatenform folgen die Gleichungen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& 2x - y +2 \\ \text{II}\quad& y'&=& -x+2y+1 \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& 2x -mx-t +2 \\ \text{II}\quad& y'&=& -x+2\cdot (mx+t)+1 \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& 2x -mx-t +2 \\ \text{II}\quad& y'&=& -x+2mx+2t+1 \\ \end{array}$
$\text{I}: x'=\dotsc$
Du kannst die Gleichung $\text{I}$ nach $x$ umformen und in die Gleichung $\text{II}$ einsetzen. Damit erhältst du eine Gerade für die Bildpunkte. Es folgt für die Gleichung $\text{I}$:
$\begin{array}[t]{rll} x'&=& 2x -mx-t +2 &\quad \scriptsize \mid\; +t-2\\[5pt] x'+t-2&=& x \cdot (2-m) &\quad \scriptsize \mid\;:(2-m) \\[5pt] \dfrac{x'+t-2}{2-m}&=& x \\[5pt] \end{array}$
$x= \dfrac{x'+t-2}{2-m} $
Hierbei musst du beachten, dass $m\neq 2$ gelten muss, da du nicht durch Null teilen darfst.
Die Gleichung kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y'&=& -x+2mx+2t+1 \\[5pt] &=& -\left(\dfrac{x'+t-2}{2-m} \right)+2m\cdot \left(\dfrac{x'+t-2}{2-m} \right)+2t+1 \\[5pt] &=& \dfrac{-x'-t+2}{2-m} +\dfrac{2mx'+2mt-4m}{2-m} +2t+1 \\[5pt] &=& \dfrac{-x'}{2-m} +\dfrac{-t+2}{2-m} +\dfrac{2mx'}{2-m}+\dfrac{2mt-4m}{2-m} +2t+1 \\[5pt] &=& \dfrac{-x'}{2-m}+\dfrac{2mx'}{2-m} +\dfrac{2mt-4m-t+2}{2-m} +2t+1 \\[5pt] &=& \dfrac{-x'+2mx'}{2-m} +\dfrac{2mt-4m-t+2}{2-m} +2t+1 \\[5pt] &=& \dfrac{x' \cdot (2m-1)}{2-m} +\dfrac{2mt-4m-t+2}{2-m} +2t+1 \\[5pt] &=& x' \cdot \dfrac{ 2m-1}{2-m} +\dfrac{2mt-4m-t+2}{2-m} +2t+1 \\[5pt] \end{array}$
$y'= \dotsc$
Da es sich hierbei um eine Fixgerade handeln soll müssen die Geradengleichung für die Bildpunkte und Urbildgerade $y=mx+t$ gleich sein. Das bedeutet, dass die Steigung und der $y$-Achsenabschnitt gleich sein müssen. Die Steigung der Geradengleichung der Bildpunkte ist $\dfrac{ 2m-1}{2-m}$ und der $y$-Achsenabschnitt beträgt $\dfrac{2mt-4m-t+2}{2-m} +2t+1$.
Somit kannst du die Steigung der Geradengleichung der Bildpunkte mit der Steigung der Urgerade gleichsetzen. Damit folgt die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{ 2m-1}{2-m} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (2-m)\\[5pt] m\cdot (2-m)&=& 2m-1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot -2m\\[5pt] -m^2&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] m^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] m_1&=& +1 \\[5pt] m_2&=& -1 \\[5pt] \end{array}$
$m_{1,2}= \dotsc$
Somit gibt es für die Steigung der Fixgeraden zwei mögliche Lösungen mit $m_1=1$ und $m_2=-1$. Anschließend kannst du die $y$-Achsenabschnitte untersuchen. Du kannst den $y$-Achsenabschnitt der Urbildgerade mit dem $y$-Achsenabschnitt der Bildgerade gleichsetzen. Damit folgt die Gleichung:
$t=\dfrac{2mt-4m-t+2}{2-m} +2t+1$
$t=\dotsc$
Du kannst nun die möglichen Werte für die Steigung einsetzen und die dazugehörigen $y$-Achsenabschnitte berechnen. Mit $m_1=1$ folgt für den $y$-Achsenabschnitt $t$:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \dfrac{2t-4-t+2}{2-1} +2t+1 \\[5pt] t&=& 2t-4-t+2 +2t+1 \\[5pt] t&=& 3t-1 &\quad \scriptsize \mid\; -3t \\[5pt] -2t&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] t&=& \dfrac{1}{2} \\[5pt] \end{array}$
$ t=\dfrac{1}{2} $
Somit lautet die Gleichung einer Fixgeraden $y=x+\dfrac{1}{2}$.
Mit $m_2=-1$ folgt für den $y$-Achsenabschnitt $t$:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \dfrac{-2t+4-t+2}{2+1} +2t+1 \\[5pt] t&=& \dfrac{-3t+6}{3} +2t+1 \\[5pt] t&=& -t+2 +2t+1 \\[5pt] t&=& t+3 &\quad \scriptsize \mid\; -t \\[5pt] 0&=& 3 \\[5pt] \end{array}$
$ 0=3 $
Somit gibt es für die Steigung $m_2=-1$ keinen passenden $y$-Achsenabschnitt und somit keine weitere Fixgerade.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Fixpunkte zeigen
Du sollst prüfen ob die Punkte $P(2 \mid 1)$ und $S(2 \mid 2)$ Fixpunkte der Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \pmatrix{1&-2\\-2&1} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\4}$
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \dotsc$
sind. Setze dazu die Koordinaten der Fixpunkte in die Abbildung ein und überprüfe ob die Punkte mit ihren Bildpunkten übereinstimmen. Falls sie übereinstimmen handelt es sich um Fixpunkte.
Für den Punkt $P(2 \mid 1)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& \pmatrix{1&-2\\-2&1} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{1&-2\\-2&1} \odot \pmatrix{2\\1} \oplus \pmatrix{2\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-3} \oplus \pmatrix{2\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\pmatrix{2\\1}$
Für den Punkt $S(2 \mid 2)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& \pmatrix{1&-2\\-2&1} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{1&-2\\-2&1} \odot \pmatrix{2\\2} \oplus \pmatrix{2\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\-2} \oplus \pmatrix{2\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\2}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\pmatrix{0\\2}$
Somit hast du gezeigt, dass der Bildpunkt $P'$ mit dem Punkt $P$ übereinstimmt und deshalb ist $P$ für die Abbildung $F$ ein Fixpunkt. Außerdem hast du gezeigt, dass der Bildpunkt $S'$ nicht mit dem Punkt $S$ übereinstimmt. Deshalb ist $S$ kein Fixpunkt.
b)
$\blacktriangleright$  Fixpunkte zeigen
Du sollst prüfen ob die Punkte $P(1 \mid 5)$ und $T(1 \mid 0)$ Fixpunkte der Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \pmatrix{0&-1\\-1&0} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{1\\1}$
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \dotsc$
sind. Setze dazu die Koordinaten der Fixpunkte in die Abbildung ein und überprüfe ob die Punkte mit ihren Bildpunkten übereinstimmen. Falls sie übereinstimmen handelt es sich um Fixpunkte.
Für den Punkt $P(1 \mid 5)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& \pmatrix{0&-1\\-1&0} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{1\\1} \\[5pt] &=&\pmatrix{0&-1\\-1&0} \odot \pmatrix{1\\5} \oplus \pmatrix{1\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\-1} \oplus \pmatrix{1\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4\\0}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\pmatrix{-4\\0}$
Für den Punkt $T(1 \mid 0)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& \pmatrix{0&-1\\-1&0} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{1\\1} \\[5pt] &=&\pmatrix{0&-1\\-1&0} \odot \pmatrix{1\\0} \oplus \pmatrix{1\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-1} \oplus \pmatrix{1\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\0}\\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{x'\\y'}=\pmatrix{1\\0}$
Somit hast du gezeigt, dass der Bildpunkt $P'$ nicht mit dem Punkt $P$ übereinstimmt und deshalb ist $P$ für die Abbildung $F$ kein Fixpunkt. Außerdem hast du gezeigt, dass der Bildpunkt $T'$ mit dem Punkt $T$ übereinstimmt. Deshalb ist $T$ ein Fixpunkt.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Fixpunkte bestimmen
Du sollst die Fixpunkte für die Abbildung
$F: \pmatrix{x' \\ y'}=\pmatrix{-2& 1 \\1& -2} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\2}$
$F: \pmatrix{x' \\ y'}= \dotsc$
bestimmen. Dazu musst du die Matrixform in Koordinatenform umschreiben. Damit erhältst du zwei verschiedene Gleichungen. Da es sich hierbei um einen Fixpunkt handeln soll muss $x'=x$ und $y'=y$ gelten.
Für die Abbildung in Koordinatenform und mit den Bedingungen für Fixpunkte ergeben sich die Gleichungen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& -2x +y+2 &\quad \\ \text{II}\quad& y'&=& +x-2y+2 &\quad \\ \hline \text{I}\quad& x&=& -2x +y+2 &\quad \scriptsize\mid\; +2x\\ \text{II}\quad& y&=& +x-2y+2 &\quad \scriptsize\mid\; +2y-2\\ \hline \text{I}\quad& 3x&=& +y+2 &\quad \\ \text{II}\quad& 3y-2&=& x &\quad \\ \end{array}$
$\text{I}: x'=\dotsc$
Einsetzen der Gleichung $\text{II}$ in $\text{I}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 3x&=& y+2 \\[5pt] 3 \cdot (3y-2)&=& y+2&\quad \scriptsize \mid\;- y \\[5pt] 8y -6&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] 8y&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] y&=& 1\\[5pt] \end{array}$
$y=1$
Den Wert für die $y$-Koordinate kannst du nun in eine der beiden oberen Gleichungen einsetzen und den zugehörigen $x$-Wert berechnen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 3x&=&+y+2 \\[5pt] 3x&=& 1+2 \\[5pt] 3x&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x&=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$x=1$
Somit besitzt der Fixpunkt die Koordinaten $(1 \mid 1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Fixpunkte bestimmen
Du sollst die Fixpunkte für die Abbildung
$F: \pmatrix{x' \\ y'}=\pmatrix{-1& 0 \\0& -1} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{-1\\2}$
$F: \pmatrix{x' \\ y'}= \dotsc $
bestimmen. Dazu musst du die Matrixform in Koordinatenform umschreiben. Damit erältst du zwei verschiedene Gleichungen. Da es sich hierbei um einen Fixpunkt handeln soll muss $x'=x$ und $y'=y$ gelten.
Für die Abbildung in Koordinatenform und mit den Bedingungen für Fixpunkte ergeben sich die Gleichungen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& -x -1 &\quad \\ \text{II}\quad& y'&=& -y+2 &\quad \\ \hline \text{I}\quad& x&=& -x -1 &\quad \scriptsize\mid\; +x\\ \text{II}\quad& y&=& -y+2 &\quad \scriptsize\mid\; +y\\ \hline \text{I}\quad& 2x&=& -1 &\quad \scriptsize\mid\; :2\\ \text{II}\quad& 2y&=& 2 &\quad \scriptsize\mid\; :2\\ \hline \text{I}\quad& x&=& -\dfrac{1}{2} \\ \text{II}\quad& y&=& 1 \\ \end{array}$
$\text{I}: x'=\dotsc$
Somit besitzt der Fixpunkt die Koordinaten $\left( -\dfrac{1}{2} \Big| 1\right)$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Fixgeraden überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Gerade $g: y=x+0,5$ eine Fixgerade zur Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \pmatrix{2 &-1\\-1& 2} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\1}$
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \dotsc$
ist. Eine Fixgerade ist eine Gerade, welche sich durch die Abbildung nicht verändert. Das bedeutet, dass als Bildgerade die gleiche Gerade abgebildet werden muss.
Dafür musst du für die $y$-Koordinate die Geradengleichung $y=x+0,5$ einsetzen und überprüfen ob sich die Bildpunkte durch die identische Gerade darstellen lassen. Mit $y=x+0,5$ folgt mit der Umformung in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& 2x - y+2 \\ \text{II}\quad& y'&=& -x+2y+1 \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& 2x -x-0,5+2 \\ \text{II}\quad& y'&=& -x+2 \cdot (x+0,5)+1 \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& x +1,5 \\ \text{II}\quad& y'&=& x+2\\ \end{array}$
$\text{I}: x'= \dotsc$
Anschließend kannst du die Gleichung $\text{I}$ nach $x$ umformen und in die Gleichung $\text{II}$ einsetzen. Damit erhältst du eine Gerade der Bildpunkte. Stimmt diese Gerade mit der Gerade der Urpunkte, also mit der Gerade $g$ überein, dann ist die Gerade $g$ eine Fixgerade. Für die Gleichung $\text{I}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x'&=& x +1,5 &\quad \scriptsize \mid\; -1,5\\[5pt] x'-1,5&=& x \\[5pt] \end{array}$
$x= x'-1,5$
Diese Gleichung kannst du in die obige Gleichung $\text{II}$ einsetzen und damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y'&=& x+2\\[5pt] &=& x'-1,5 +2 \\[5pt] &=& x'+0,5\\[5pt] \end{array}$
Somit hast du gezeigt, dass die Gerade $g$ eine Fixgerade ist, da die Geraden übereinstimmen.
b)
$\blacktriangleright$  Fixgeraden überprüfen
Du sollst überprüfen, ob die Gerade $h: y=x+3$ eine Fixgerade zur Abbildung
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \pmatrix{2 &-1\\-1& 2} \odot \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\1}$
$F: \pmatrix{x'\\y'}= \dotsc$
ist. Eine Fixgerade ist eine Gerade, welche sich durch die Abbildung nicht verändert. Das bedeutet, dass als Bildgerade die gleiche Gerade abgebildet werden muss.
Dafür musst du für die $y$-Koordinate die Geradengleichung $y=x+3$ einsetzen und überprüfen ob sich die Bildpunkte durch die identische Gerade darstellen lassen. Mit $y=x+3$ folgt mit der Umformung in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& 2x - y+2 \\ \text{II}\quad& y'&=&-x+2y+1 \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& 2x -x-3+2 \\ \text{II}\quad& y'&=& -x+2 \cdot (x+3)+1 \\ \hline \text{I}\quad& x'&=& x -1 \\ \text{II}\quad& y'&=& x+7\\ \end{array}$
$\text{I}: x'=\dotsc$
Anschließend kannst du die Gleichung $\text{I}$ nach $x$ umformen und in die Gleichung $\text{II}$ einsetzen. Damit erhältst du eine Gerade der Bildpunkte. Stimmt diese Gerade mit der Gerade der Urpunkte, also mit der Gerade $g$ überein, dann ist die Gerade $g$ eine Fixgerade. Für die Gleichung $\text{I}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x'&=& x -1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] x'+1&=& x \\[5pt] \end{array}$
$ x=x'+1 $
Diese Gleichung kannst du in die obige Gleichung $\text{II}$ einsetzen und damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y'&=& x+7\\[5pt] &=& x'+1 +7 \\[5pt] &=& x'+8\\[5pt] \end{array}$
Somit hast du gezeigt, dass die Gerade $h$ keine Fixgerade ist, da die Geraden nicht übereinstimmen.
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