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Abbildungen im Koordinatensystem: Verknüpfung von Abbildungen
Abb. 1: Verknüpfung von Abbildungen
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Der Punkt $P$ wird durch den Vektor $v=\pmatrix{2\\-1}$ parallel verschoben und anschließend an der $y$-Achse gespiegelt. Bestimme die Ersatzabbildung für einen allgemeinen Punkt $P$.
b)
Berechne die verschobenen Koordinaten des Punktes $P(1 \mid 2)$ durch die einzelnen Verschiebungen und Spiegelungen und durch die Ersatzabbildung.
c)
Stelle die Verschiebung des Punktes $P$ grafisch dar.
#verschiebung#spiegelung

Aufgabe 1

a)
Du hast die Punkte $R(-3 \mid 1)$, $S(2 \mid 2)$ und $T(1 \mid -3)$ gegeben. Verschiebe die Punkte so, dass der Bildpunkt $S^+$ im Ursprung liegt. Berechne die Koordinaten der neuen Punkte infolge der Parallelverschiebung.
b)
Drehe die Punkte $R^+$ und $T^+$ um den Ursprung, also um den Punkt $S^+$, mit $\alpha=90^°$. Berechne die neuen Bildpunkte $R^*$ und $T^*$.
c)
Verschiebe die Punkte durch Parallelverschiebung, sodass der Punkt $S^*$ auf dem ursprünglichen Punkt $S$ liegt.
d)
Zeichne die Abbildungen von a) bis c) in ein Koordinatensystem. Durch die Drehung, um welchen Punkt würdest du den Punkt $R$ direkt zum Punkt $R'$ abbilden?
#verschiebung#drehung

Aufgabe 2

a)
Berechne die Bildpunkte für eine Drehung der Punkte $R(2 \mid 0)$ und $T(-1 \mid 4)$ um den Punkt $S(1 \mid 2)$ mit $\alpha=180^°$. Gehe nach dem Verfahren wie in Aufgabe 1 vor.
b)
Bestimme die Ersatzabbildung für eine Drehung eines Punktes $P(x \mid y)$ um einen allgemeinen Punkt $S(s_x \mid s_y)$ mit dem Winkel $\alpha$.
c)
Berechne die Koordinaten der Bildpunkte zu den Punkten $R$ und $T$ mit der Ersatzabbildung und überprüfe diese mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe a).
#drehung
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Ersatzabbildung bestimmen
Du sollst die Ersatzabbildung für einen allgemeinen Punkt $P$ bestimmen. Du hast gegeben, dass der Punkt $P$ zuerst durch den Vektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{2\\-1}$ parallel verschoben wird und anschließend an der $y$-Achse gespiegelt wird.
Bezeichne die ursprünglichen Koordinaten des Punktes $P$ beispielsweise mit $(x \mid y)$. Die Koordinaten des Punktes $P^*(x^* \mid y^*)$ entstehen anschließend durch die Parallelverschiebung mit dem Vektor $v=\pmatrix{2\\-1}$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Abbildungsgleichung in Matrixform
In Matrixform gilt:
$\pmatrix{x^*\\y^*}= \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\-1}$
Die Koordinaten des Punktes $P`(x`\mid y`)$ entstehen anschließend durch die Spiegelung des Punktes $P^*(x^* \mid y^*)$ an der $y$-Achse. Die Spiegelung an der $y$-Achse wird durch die Drehmatrix $\pmatrix{-1& 0\\0 &1}$ erzeugt. Entsprechend folgt:
$\pmatrix{x`\\y`}=\pmatrix{-1& 0\\0 &1} \odot \pmatrix{x^*\\y^*} $
Du kannst die Koordinaten $(x^* \mid y^*)$ durch die obige Gleichung zur Verschiebung angeben. Es folgt:
$\pmatrix{x`\\y`}= \pmatrix{-1& 0\\0 &1} \odot \left(\pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\-1}\right) $
$\pmatrix{x`\\y`}= \dotsc$
Dies entspricht der Ersatzabbildung in Matrixform.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Abbildungsgleichung in Koordinatenform
Diese Umformung kannst du auch in Koordinatenform schreiben. Hierbei gilt für die neuen Koordinaten des Punktes $P^*$ infolge der Parallelverschiebung durch den Vektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{2\\-1}$ die Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x^*&=& x +2 \\[5pt] y^*&=& y - 1 \\[5pt] \end{array}$
Für die Spiegelung an der $y$-Achse gelten die Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x`&=& -x^* \\[5pt] y`&=& y^* \\[5pt] \end{array}$
Du kannst die Gleichungen für die Paralleverschiebung in die obige Gleichungen einsetzen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x`&=& -(x +2) \\[5pt] &=& -x -2 \\[5pt] y`&=& y-1\\[5pt] \end{array}$
Dies entspricht der Abbildungsgleichung der Ersatzabbildung in Koordinatenform.
b)
$\blacktriangleright$  Ersatzabbildung überprüfen
Du sollst die bereits erstellten Gleichungen für die Ersatzabbildungen für den Punkt $P(1 \mid 2)$ überprüfen. Berechne somit die neuen Koordinaten des Punktes $P$ durch einsetzen in die Ersatzabbildung und vergleichsweise durch Einzelausführung der Verschiebungen beziehungsweise Spiegelungen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösung durch Ersatzabbildung
Mit dem Punkt $P(1 \mid 2)$ folgen für die Koordinaten der Bildpunkte durch die Ersatzabbildung in Matrixform:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x`\\y`} &=&\pmatrix{-1& 0\\0 &1} \odot \left(\pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\-1}\right) \\[5pt] &=&\pmatrix{-1& 0\\0 &1} \odot \left(\pmatrix{1\\2} \oplus \pmatrix{2\\-1}\right) \\[5pt] &=&\pmatrix{-1& 0\\0 &1} \odot \pmatrix{3\\1} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\1} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x`\\y`}= \pmatrix{-3\\1}$
Die Koordinaten des Bildpunktes sind somit $P`(-3 \mid 1)$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösung durch Einzelausführung
Mit dem Punkt $P(1 \mid 2)$ folgen für die Koordinaten des Bildpunktes durch die Parallelverschiebung in Matrixform:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x^*\\y^*} &=&\pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{2\\-1} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2} \oplus \pmatrix{2\\-1} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{x^*\\y^*} = \pmatrix{3\\1}$
Durch Spiegelung an der $y$-Achse folgt mit der Drehmatrix:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x`\\y`} &=&\pmatrix{-1& 0\\0 &1} \odot \pmatrix{x^*\\y^*} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1& 0\\0 &1} \odot \pmatrix{3\\1} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{x`\\y`} = \pmatrix{-3\\1}$
Die Koordinaten des Bildpunktes sind somit $P`(-3 \mid 1)$ und stimmen mit den berechneten Koordinaten durch die Ersatzabbildung überein.
c)
$\blacktriangleright$  Verschiebung darstellen
Du sollst die Verschiebung des Punktes $P$ grafisch darstellen. Zeichne dazu den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ vom Punkt $P$ und spiegel anschließend den verschobenen Punkt an der $y$-Achse. Es folgt folgende grafische Darstellung:
Abbildungen im Koordinatensystem: Verknüpfung von Abbildungen
Abb. 1: Verknüpfung von Abbildungen
Abbildungen im Koordinatensystem: Verknüpfung von Abbildungen
Abb. 1: Verknüpfung von Abbildungen

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Verschiebung berechnen
Du sollst die Punkte $R(-3 \mid 1)$ , $S(2 \mid 2)$ und $T(1 \mid -3$ so verschieben, dass der Bildpunkt $S^+$ infolge der Verschiebung im Ursprung liegt. Somit soll gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0} &=& \pmatrix{2\\2} \oplus \overrightarrow{v} &\quad \scriptsize \mid\; - \pmatrix{2\\2}\\[5pt] \overrightarrow{v}&=& \pmatrix{0\\0} \oplus \pmatrix{-2\\-2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\-2} \end{array}$
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{-2\\-2}$
Somit müssen die Punkte $R$ und $T$ durch den Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-2\\-2}$ parallel verschoben werden. Damit folgen für die Bildpunkte $R^+$ und $T^+$ infolge der Verschiebung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{r_x^+\\r_y^+} &=& \pmatrix{-3\\1} \oplus \pmatrix{-2\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\-1} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{r_x^+\\r_y^+} = \pmatrix{-5\\-1}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{t_x^+\\t_y^+} &=& \pmatrix{1\\-3} \oplus \pmatrix{-2\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\-5} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{t_x^+\\t_y^+}= \pmatrix{-1\\-5}$
Somit gilt $R^+(-5 \mid -1)$, $T^+(-1 \mid -5)$ und $S^+(0 \mid 0)$.
b)
$\blacktriangleright$  Drehung berechnen
Du sollst die Punkte $R^+(-5 \mid -1)$ und $T^+(-1 \mid -5)$ um den Punkt $S^+(0 \mid 0)$ mit dem Winkel $\alpha=90^°$ drehen. Es handelt sich somit um eine Drehung um dem Ursprung um $90^°$.
Für die Drehung um den Ursprung mit dem Winkel $\alpha$ gilt folgende Drehmatrix:
$D_\alpha=\pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha}$
$D_\alpha=\pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha}$
Mit dem Winkel $\alpha=90^°$ gilt für die Drehung des Punktes $R^+$ um den Ursprung zum Bildpunkt $R^*$ folgende Rechnung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{r^*_x\\r^*_y} &=& \pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha} \odot \pmatrix{r^+_x\\r^+_y} \\[5pt] &=& \pmatrix{\cos 90^°& -\sin 90^°\\\sin 90^°& \cos 90^°} \odot \pmatrix{-5\\-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{0& -1\\ 1& 0} \odot \pmatrix{-5\\-1} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\-5} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{r^*_x\\r^*_y}=\pmatrix{1\\-5} $
Für die Drehung des Punktes $T^+$ um den Ursprung zum Bildpunkt $T^*$ gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{t^*_x\\t^*_y} &=& \pmatrix{0& -1\\ 1& 0} \odot \pmatrix{-1\\-5} \\[5pt] &=&\pmatrix{5\\-1} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{t^*_x\\t^*_y} =\pmatrix{5\\-1} $
Somit gilt $R^*(1 \mid -5)$, $T^*(5 \mid -1)$ und $S^*(0 \mid 0)$.
c)
$\blacktriangleright$  Verschiebung berechnen
Du sollst die Punkte $R^*(1 \mid -5)$, $T^*(5 \mid -1)$ und $S^*(0 \mid 0)$ so verschieben, dass $S^*$ auf dem ursprünglichen Punkt $S(2 \mid 2)$ liegt. Somit soll gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2\\2} &=& \pmatrix{0\\0} \oplus \overrightarrow{v} \\[5pt] \overrightarrow{v}&=& \pmatrix{2\\2}\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{v}= \pmatrix{2\\2} $
Somit müssen die Punkte $R^*$ und $T^*$ durch den Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{2\\2}$ parallel verschoben werden. Damit folgen für die Bildpunkte $R'$ und $T'$ infolge der Verschiebung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{r_x'\\r_y'} &=& \pmatrix{1\\-5} \oplus \pmatrix{2\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\-3} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{r_x'\\r_y'}= \pmatrix{3\\-3} $
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{t_x'\\t_y'} &=& \pmatrix{5\\-1} \oplus \pmatrix{2\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{7\\1} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{t_x'\\t_y'} = \pmatrix{7\\1} $
Somit gilt $R'(3 \mid -3)$, $T'(7 \mid 1)$ und $S'(2 \mid 2)$.
d)
$\blacktriangleright$  Abbildung zeichnen
Du sollst die Abbildungen für die Teilaufgaben a) bis c) in ein Koordinatensystem zeichnen. Hierbei folgt folgende Zeichnung:
Abbildungen im Koordinatensystem: Verknüpfung von Abbildungen
Abb. 2: Verknüpfung der Abbildungen
Abbildungen im Koordinatensystem: Verknüpfung von Abbildungen
Abb. 2: Verknüpfung der Abbildungen
Vom Punkt $R$ gelangst du durch eine Drehung um $90^°$ um den Punkt $S$ zum Punkt $R'$.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Bildpunkte berechnen
Du sollst die Koordinaten der Bildpunkte für eine Drehung der Punkte $R(2 \mid 0)$ und $T(-1 \mid 4)$ um den Punkt $S(1 \mid 2)$ mit $\alpha=180^°$ bestimmen. Zuerst sollst du wie in Aufgabe 1 die Punkte so verschieben, dass der Punkt $S^+$, welcher aus der Parallelverschiebung von $S$ entsteht im Nullpunkt liegt.
Der Verschiebungsvektor muss somit genau den negativen Koordinaten des Punktes $S$ entsprechen. Somit gilt $v=\pmatrix{-1\\-2}$ und damit folgt für die Punkte $R^+$ und $T^+$, welche durch die Parallelverschiebung entstehen, folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{r^+_x\\r^+_y} &=& \pmatrix{2\\0} \oplus \pmatrix{-1\\-2}\\[5pt] &=& \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{r^+_x\\r^+_y}= \pmatrix{1\\-2}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{t^+_x\\t^+_y}&=& \pmatrix{-1\\4} \oplus \pmatrix{-1\\-2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{t^+_x\\t^+_y}=\pmatrix{-2\\2} $
Du sollst die Punkte $R^+(1 \mid -2)$ und $T^+(-2 \mid 2)$ weiter um den Punkt $S^+(0 \mid 0)$ mit dem Winkel $\alpha=180^°$ drehen. Es handelt sich somit um eine Drehung um dem Ursprung um $180^°$.
Für die Drehung um den Ursprung mit dem Winkel $\alpha$ gilt folgende Drehmatrix:
$D_\alpha=\pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha}$
$D_\alpha=\pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha}$
Mit dem Winkel $\alpha=180^°$ gilt für die Drehung des Punktes $R^+$ um den Ursprung zum Bildpunkt $R^*$ folgende Rechnung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{r^*_x\\r^*_y} &=& \pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha} \odot \pmatrix{r^+_x\\r^+_y} \\[5pt] &=& \pmatrix{\cos 180^°& -\sin 180^°\\\sin 180^°& \cos 180^°} \odot \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-1& 0\\ 0& -1} \odot \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\ 2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{r^*_x\\r^*_y}=\pmatrix{-1\\ 2} $
Für die Drehung des Punktes $T^+$ um den Ursprung zum Bildpunkt $T^*$ gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{t^*_x\\t^*_y} &=& \pmatrix{-1& 0\\ 0& -1} \odot \pmatrix{-2\\2}\\[5pt] &=&\pmatrix{2\\-2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{t^*_x\\t^*_y}=\pmatrix{2\\-2} $
Anschließend muss du die Punkte so verschieben, dass der Punkt $S^+$ wieder zum ursprünglichen Punkt $S(1 \mid 2)$ verschoben wird. Somit musst du die Punkte parallel verschieben mit dem Verschiebungsvektor $v=\pmatrix{1\\2}$. Damit folgt für die Punkte $R^*$ und $T^*$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{r'_x\\r'_y} &=& \pmatrix{-1\\2} \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\4} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{r'_x\\r'_y}=\pmatrix{0\\4}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{t'_x\\t'_y}&=& \pmatrix{2\\-2} \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\0} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{t'_x\\t'_y}=\pmatrix{3\\0}$
Somit gilt für die gedrehten Punkte um den Punkt $S$ die Koordinaten $R'(0 \mid 4)$ und $T'(3 \mid 0)$.
b)
$\blacktriangleright$  Ersatzabbildung bestimmen
Du sollst die Ersatzabbildung für eine Drehung eines Punktes $P(x \mid y)$ um einen allgemeinen Punkt $S(s_x \mid s_y)$ mit dem Winkel $\alpha$ bestimmen. Überlege dir somit anhand des obigen Beispiels wie du dieses Vorgehen auf einen allgemeinen Punkt anwenden kannst.
Bei der Berechnung der neuen Koordinaten kannst du wie folgt vorgehen:
  1. Punkte durch Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ so verschieben, dass $S^+$ im Nullpunkt liegt.
  2. Verschobener Punkt $P^+$ um den Ursrpung mit dem Winkel $\alpha$ drehen.
  3. Punkte mit dem Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ so verschieben, dass der Punkt $S^+$ wieder im Punkt $S$ liegt.
Zuerst wird der Punkt $P$ durch den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ verschoben. Der Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ besitzt hierbei die negative Koordinaten des Punktes $S$, da der Punkt $S$ durch den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ in den Ursprung verschoben wird. Somit gilt für den verschobenen Punkt $P^+$ die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x^+\\y^+} &=& \pmatrix{x\\y} \oplus \overrightarrow{v}\\[5pt] &=& \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{-s_x\\-s_y}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x^+\\y^+}= \dotsc$
Anschließend kannst du den Punkt $P^+$ um den Ursprung mit einem Winkel $\alpha$ drehen. Dazu hast du die Drehmatrix $D_{\alpha}$ gegeben. Die Drehmatrix für den Winkel $\alpha$ lautet:
$D_\alpha=\pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha}$
$D_\alpha=\pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha}$
Somit gilt für die Drehung des Punktes $P^+$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x^*\\y^*} &=& \pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha} \odot \pmatrix{x^+\\y^+} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x^*\\y^*}= \dotsc $
Anschließend wird der gedrehte Punkt $P^*$ durch den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ erneut parallel verschoben, sodass der Punkt $S^+$ wieder aus dem Nullpunkt zu seinem ursprünglichen Punkt $S$ verschoben wird. Der Verschiebungsvektor besitzt somit die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $S$. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'} &=& \pmatrix{x^*\\y^*} \oplus \overrightarrow{v}\\[5pt] &=& \pmatrix{x^*\\y^*} \oplus \pmatrix{s_x\\s_y}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'} = \dotsc $
Du kannst nun die obige Gleichung für den Vektor $ \pmatrix{x^*\\y^*} $ in die untere Gleichung einsetzen. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'} &=& \pmatrix{x^*\\y^*} \oplus \pmatrix{s_x\\s_y}\\[5pt] &=& \pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha} \odot \pmatrix{x^+\\y^+} \oplus \pmatrix{s_x\\s_y}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\dotsc $
Mit der Gleichung für den Vektor $\pmatrix{x^+\\y^+}$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'} &=& \pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha} \odot \pmatrix{x^+\\y^+} \oplus \pmatrix{s_x\\s_y}\\[5pt] &=& \pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha} \odot \left( \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{-s_x\\-s_y} \right) \oplus \pmatrix{s_x\\s_y}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\dotsc $
Somit hast du die Ersatzabbildung bestimmt. Die Ersatzabbildung kannst du durch Matrix-Vektor-Multiplikation in Koordinatenform umformen.
c)
$\blacktriangleright$  Ersatzabbildung prüfen
Du sollst die Ersatzabbildung für die Punkte aus Aufgabenteil a) prüfen. Für die Ersatzabbildung mit einem Drehpunkt $S(s_x \mid s_y)$ und einen Winkel $\alpha$ gilt:
$\pmatrix{x'\\y'}=\pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha} \odot \left( \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{-s_x\\-s_y} \right) \oplus \pmatrix{s_x\\s_y}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\dotsc $
Für den Drehpunkt $S(1 \mid 2)$ und den Winkel $\alpha=180^°$ gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'} &=& \pmatrix{\cos \alpha& -\sin \alpha\\\sin \alpha& \cos \alpha} \odot \left( \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{-s_x\\-s_y} \right) \oplus \pmatrix{s_x\\s_y}\\[5pt] &=& \pmatrix{\cos 180^°& -\sin 180^°\\\sin 180^°& \cos 180^°} \odot \left( \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{-1\\-2} \right) \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1& 0\\0& -1} \odot \left( \pmatrix{x\\y} \oplus \pmatrix{-1\\-2} \right) \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\dotsc$
Für die Drehung des Punktes $R(2 \mid 0)$ gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{r_x'\\r_y'} &=& \pmatrix{-1& 0\\0& -1} \odot \left( \pmatrix{r_x\\r_y} \oplus \pmatrix{-1\\-2} \right) \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1& 0\\0& -1} \odot \left( \pmatrix{2\\0} \oplus \pmatrix{-1\\-2} \right) \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1& 0\\0& -1} \odot \pmatrix{1\\-2} \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\2} \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\4} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{r_x'\\r_y'} = \pmatrix{0\\4}$
Für die Drehung des Punktes $T(-1 \mid 4)$ gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{t_x'\\t_y'} &=& \pmatrix{-1& 0\\0& -1} \odot \left( \pmatrix{t_x\\t_y} \oplus \pmatrix{-1\\-2} \right) \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1& 0\\0& -1} \odot \left( \pmatrix{-1\\4} \oplus \pmatrix{-1\\-2} \right) \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1& 0\\0& -1} \odot \pmatrix{-2\\2} \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{2\\-2} \oplus \pmatrix{1\\2}\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\0} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{t_x'\\t_y'}=\pmatrix{3\\0} $
Somit besitzen die gedrehte Punkte die Koordinaten $R'(0 \mid 4)$ und $T'(3 \mid 0)$. Diese stimmen mit den Koordinaten aus Aufgabenteil a) überein und du hast die Ersatzabbildung somit bestätigt.
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