Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch M II
Digitales Schulbuch M I
Realschulabschluss M I
Realschulabschluss M II
VERA 8
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss M I
Realschulabschluss M II
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Zentrische Streckung mit Zentrum in Ursprung

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Abbildungen im Koordinatensystem: Zentrische Streckung mit Zentrum in Ursprung
Abb. 1: Zentrische Streckung
Abbildungen im Koordinatensystem: Zentrische Streckung mit Zentrum in Ursprung
Abb. 1: Zentrische Streckung
Daraus ergeben sich die folgenden Abbildungsgleichungen mit den zugehörigen Koordinaten.
In Koordinatenform gilt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& k \cdot x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& k \cdot x \\ \text{II}\quad& y'&=& k \cdot y \\ \end{array}$
#zentrischestreckung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

a)
Bilde die Punkte $P(1 \mid 2)$ und $Q(2 \mid 2)$ durch zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $Z(0 \mid 0)$ und dem Streckungsfaktor $k=2$ ab und gib die Koordinaten der Bildpunkte an.
b)
Beschreibe eine Vorgehensweise zur Berechnung der Koordinaten der Bildpunkte infolge einer zentrischen Streckung, wobei das Streckungszentrum nicht im Ursprung liegt.
c)
Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte durch zentrische Streckung der Punkte $A(-1 \mid 2)$ und $B(1 \mid 1)$ mit dem Streckungszentrum $Z(-2 \mid 0)$ und dem Streckungsfaktor $k=2$.
#zentrischestreckung

Aufgabe 1

Die Eckpunkte $A(0 \mid 0)$, $B(0 \mid 3)$, $C(3 \mid 2)$ und $D(0 \mid 2)$ des Rechtecks $ABCD$ werden durch zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum und dem Streckungsfaktor $k$ auf die Punkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ abgebildet.
a)
Berechne die Koordinaten der Bildpunkte für $k=-1$ und zeichne die Rechtecke $ABCD$ und $A'B'C'D'$ in ein Koordinatensystem.
b)
Berechne die Koordinaten der Bildpunkte für $k=\dfrac{3}{2}$ und zeichne die Rechtecke $ABCD$ und $A'B'C'D'$ in ein Koordinatensystem.
c)
Bestimme den Streckungsfaktor $k$ für den sich das dargestellte Rechteck $A'B'C'D'$ ergibt.
Abbildungen im Koordinatensystem: Zentrische Streckung mit Zentrum in Ursprung
Abb. 1: Rechtecke
Abbildungen im Koordinatensystem: Zentrische Streckung mit Zentrum in Ursprung
Abb. 1: Rechtecke
#zentrischestreckung#rechteck

Aufgabe 2

a)
Der Punkt $A(4 \mid -3)$ wird mit dem Streckungsfaktor $k=-4$ durch eine zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum auf den Bildpunkt $A'$ abgebildet. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes.
b)
Der Punkt $A$ wird durch eine zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum und dem Streckungsfaktor $k=-\dfrac{2}{5}$ auf den Bildpunkt $A'(-3 \mid 2)$ abgebildet. Bestimme die Koordinaten des Punktes $A$.
c)
Der Punkt $A(2 \mid 8)$ wird durch eine zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum und dem Streckungsfaktor $k$ auf den Bildpunkt $A'(-0,5 \mid -2)$ abgebildet. Bestimme den Streckungsfaktor $k$.
#zentrischestreckung

Aufgabe 3

Bestimme die Abbildungsgleichung für die zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $Z$ und dem Streckungsfaktor $k$, wobei der Punkt $P$ auf den Bildpunkt $P'$ abgebildet wird.
a)
$Z(0 \mid 0)$ und $k=-2$.
b)
$Z(3 \mid 2)$ und $k=-4$.
c)
$Z(-1 \mid 2)$, $P(17 \mid 11)$ und $P'(1 \mid 3)$.
#zentrischestreckung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Bildpunkte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Punkte $P(1 \mid 2)$ und $Q(2 \mid 2)$ durch zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $Z(0 \mid 0)$ und dem Streckungsfaktor $k=2$ abbilden. Du sollst dazu die Koordinaten der Bildpunkte angeben.
Das Streckungszentrum liegt hierbei im Ursprung. Somit handelt es sich hierbei um eine zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung. Für einen Punkt $A$ mit den Koordinaten $(x \mid y)$ gilt für die zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung und dem Streckungsfaktor $k$ folgende Gleichung für die Koordinaten des Bildpunktes $A'(x' \mid y')$ in Vektorform:
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
Somit gelten für den Bildpunkt $P'$ mit dem Punkt $P(1 \mid 2)$ und $k=2$ die Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& k \cdot \pmatrix{x\\y} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pmatrix{1\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\4} \\[5pt] \end{array}$
Entsprechend folgen für den Bildpunkt $Q'$ mit dem Punkt $Q(2 \mid 2)$ die Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& k \cdot \pmatrix{x\\y} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pmatrix{2\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\4} \\[5pt] \end{array}$
Somit gelten für die Bildpunkte die Koordinaten $P'(2 \mid 4)$ und $Q'(4 \mid 4)$.
b)
$\blacktriangleright$  Vorgehensweise beschreiben
Du sollst die Vorgehensweise zur Berechnung der Koordinaten der Bildpunkte für eine zentrische Streckung beschreiben, falls das Streckungszentrum nicht im Ursprung des Koordinatensystem liegt. Hierbei kannst du das Streckungszentrum und den zu streckenden Punkt $P$ zuerst durch den Verschiebungsvektor $v$ so verschieben, dass das Streckungszentrum im Ursprung liegt. Daraus ergibt sich der verschobene Punkte $P'$ und das verschobene Streckungszentrum im Ursprung $Z'(0 \mid 0)$.
Anschließend kannst du den verschobenen Punkt $P'$ durch eine zentrische Streckung um den Ursprung mit dem Streckungsfaktor $k$ auf den Bildpunkt $P^*$ abbilden. Zuletzt musst du noch das Streckungsszentrum $Z'$ und den Punkt $P^*$ so verschieben, dass das Streckungszentrum auf dem ursrünglichen Punkt $Z$ liegt. Verschiebe somit die Punkte $Z'$ und $P^*$ mit dem Verschiebungsvektor $-v$.
Somit ergibt sich zusammenfassend folgende Vorgehensweise:
  1. Verschiebe das Streckungszentrum $Z$ in den Ursprung
  2. Führe die zentrische Streckung durch.
  3. Verschiebe das Streckungszentrum zurück zum Punkt $Z$.
c)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Bildpunkte bestimmen
Du sollst die Koordinaten der Bildpunkte durch zentrische Streckung der Punkte $A(-1 \mid 2)$ und $B(1 \mid 1)$ mit dem Streckungszentrum $Z(-2 \mid 0)$ und dem Streckungsfaktor $k=2$ berechnen. Hierbei kannst du erkennen, dass sich das Streckungszentrum nicht im Ursprung befindet. Gehe somit nach der Beschreibung in der oberen Teilaufgabe vor.
Zuerst sollst du das Streckungszentrum und die zu streckenden Punkte $A$ und $B$ durch den Verschiebungsvektor $v$ so verschieben, dass das Streckungszentrum im Ursprung liegt. Bestimme den Verschiebungsvektor $v$, sodass das verschobene Streckungszentrum $Z'(0 \mid 0)$ im Ursprung liegt. Somit muss folgende Gleichung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0}&=&\pmatrix{x_z\\y_z} +\overrightarrow{v} \\[5pt] \pmatrix{0\\0}&=&\pmatrix{-2\\0} +\overrightarrow{v} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{-2\\0} \\[5pt] \pmatrix{2\\0}&=& \overrightarrow{v} \end{array}$
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{2\\0}$
Damit gilt für den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{2\\0}$. Dadurch folgt für die Verschiebung der Punkte $A(-1 \mid 2)$ und $B(1 \mid 1)$ folgende Gleichung für die Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x_A'\\y_A'}&=&\pmatrix{x_A\\y_A} +\overrightarrow{v} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\2} +\pmatrix{2\\0}\\[5pt] &=& \pmatrix{1\\2} \end{array}$
$\pmatrix{x_A'\\y_A'}=\pmatrix{1\\2}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x_B'\\y_B'}&=&\pmatrix{x_B\\y_B} +\overrightarrow{v} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\1} +\pmatrix{2\\0}\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\1} \end{array}$
$\pmatrix{x_B'\\y_B'}=\pmatrix{3\\1}$
Anschließend sollst du die Punkte $A'$ und $B'$ durch zentrische Streckung um den Ursprung mit dem Streckungsfaktor $k$ auf die Bildpunkte $A^*$ und $B^*$ abbilden. Hierbei folgt für die Koordinaten der Bildpunkte:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x_A^*\\y_A^*}&=& k \cdot \pmatrix{x_A'\\y_A'} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pmatrix{1\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x_B^*\\y_B^*}&=& k \cdot \pmatrix{x_B'\\y_B'} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pmatrix{3\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\\2} \end{array}$
Anschließend sollst du die Punkte $A^*$ und $B^*$ mit dem Verschiebungsvektor $-\overrightarrow{v}$ verschieben. Hierdurch folgen für die Koordinaten der verschobenen Punkte $A^+$ und $B^+$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x_A^+\\y_A^+}&=&\pmatrix{x_A^*\\y_A^*} -\overrightarrow{v} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\4} -\pmatrix{2\\0}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\4} \end{array}$
$\pmatrix{x_A^+\\y_A^+}= \pmatrix{0\\4}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x_B^+\\y_B^+}&=&\pmatrix{x_B^*\\y_B^*} -\overrightarrow{v} \\[5pt] &=&\pmatrix{6\\2} -\pmatrix{2\\0}\\[5pt] &=& \pmatrix{4\\2} \end{array}$
$\pmatrix{x_B^+\\y_B^+}=\pmatrix{4\\2}$
Somit gelten für die Koordinaten der Bildpunkte durch zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $Z(-2 \mid 0)$ und dem Streckungsfaktor $k=2$ $A^+(0 \mid 4)$ und $B^+(4 \mid 2)$.
#vektoren#verbindungsvektor

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Bildpunkte berechnen
Du sollst die Koordinaten der Bildpunkte für den Streckungsfaktor $k=-1$ berechnen. Du hast hierfür gegeben, dass die Eckpunkte $A(0 \mid 0)$, $B(0 \mid 3)$, $C(3 \mid 2)$ und $D(0 \mid 2)$ des Rechtecks $ABCD$ durch zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum und dem Streckungsfaktor $k=-1$ auf die Punkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ abgebildet werden.
Das Streckungszentrum liegt hierbei im Ursprung. Somit handelt es sich hierbei um eine zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung. Für einen Punkt $A$ mit den Koordinaten $(x \mid y)$ gilt für die zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung und den Streckungsfaktor $k$ folgende Gleichung für die Koordinaten des Bildpunktes $A'(x' \mid y')$ in Vektorform:
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
Somit gilt für die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ mit dem Punkt $A(0 \mid 0)$ und $k=-1$ die folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'_A\\y'_A}&=& k \cdot \pmatrix{x_A\\y_A} \\[5pt] &=& -1 \cdot \pmatrix{0\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0} \\[5pt] \end{array}$
Entsprechend folgt für die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ mit dem Punkt $B(0 \mid 3)$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'_B\\y'_B}&=& k \cdot \pmatrix{x_B\\y_B} \\[5pt] &=& -1 \cdot \pmatrix{0\\3} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-3} \\[5pt] \end{array}$
Für die Koordinaten des Bildpunkt $C'$ folgt mit dem Punkt $C(3 \mid 2)$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'_C\\y'_C}&=& k \cdot \pmatrix{x_C\\y_C} \\[5pt] &=& -1 \cdot \pmatrix{3\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-2} \\[5pt] \end{array}$
Für die Koordinaten des Bildpunktes $D'$ folgt mit dem Punkt $D(0 \mid 2)$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'_D\\y'_D}&=& k \cdot \pmatrix{x_D\\y_D} \\[5pt] &=& -1 \cdot \pmatrix{0\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-2} \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $A'(0 \mid 0)$, $B'(0 \mid -3)$, $C'(-3 \mid -2)$ und $D'(0 \mid -2)$.
$\blacktriangleright$  Rechtecke zeichnen
Du sollst die Rechtecke $ABCD$ und $A'B'C'D'$ in ein geeignetes Koordinatensystem zeichnen. Die Koordinaten der Punkte hast du bereits gegeben. Trage somit die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zu einem Rechteck. Hierdurch folgt folgende Abbildung:
Abbildungen im Koordinatensystem: Zentrische Streckung mit Zentrum in Ursprung
Abb. 1: Rechtecke
Abbildungen im Koordinatensystem: Zentrische Streckung mit Zentrum in Ursprung
Abb. 1: Rechtecke
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Bildpunkte berechnen
Du sollst die Koordinaten der Bildpunkte für den Streckungsfaktor $k=\dfrac{3}{2}$ berechnen. Du hast hierfür gegeben, dass die Eckpunkte $A(0 \mid 0)$, $B(0 \mid 3)$, $C(3 \mid 2)$ und $D(0 \mid 2)$ des Rechtecks $ABCD$ durch zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum und dem Streckungsfaktor $k=\dfrac{3}{2}$ auf die Punkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ abgebildet werden.
Das Streckungszentrum liegt hierbei im Ursprung. Somit handelt es sich hierbei um eine zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung. Für einen Punkt $A$ mit den Koordinaten $(x \mid y)$ gilt für die zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung und den Streckungsfaktor $k$ folgende Gleichung für die Koordinaten des Bildpunktes $A'(x' \mid y')$ in Vektorform:
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
Somit gilt für die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ mit dem Punkt $A(0 \mid 0)$ und $k=\dfrac{3}{2}$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'_A\\y'_A}&=& k \cdot \pmatrix{x_A\\y_A} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \cdot \pmatrix{0\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0} \\[5pt] \end{array}$
Entsprechend folgt für die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ mit dem Punkt $B(0 \mid 3)$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'_B\\y'_B}&=& k \cdot \pmatrix{x_B\\y_B} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \cdot \pmatrix{0\\3} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\\dfrac{9}{2}} \\[5pt] \end{array}$
für die Koordinaten des Bildpunktes $C'$ folgt mit dem Punkt $C(3 \mid 2)$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'_C\\y'_C}&=& k \cdot \pmatrix{x_C\\y_C} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \cdot \pmatrix{3\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{\dfrac{9}{2} \\ 3} \\[5pt] \end{array}$
für die Koordinaten des Bildpunktes $D'$ folgt mit dem Punkt $D(0 \mid 2)$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'_D\\y'_D}&=& k \cdot \pmatrix{x_D\\y_D} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \cdot \pmatrix{0\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\3} \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $A'(0 \mid 0)$, $B'\left(0 \Big| \dfrac{9}{2}\right)$, $C'\left(\dfrac{9}{2} \Big| 3\right)$ und $D'(0 \mid 3)$.
$\blacktriangleright$  Rechtecke zeichnen
Du sollst die Rechtecke $ABCD$ und $A'B'C'D'$ in ein geeignetes Koordinatensystem zeichnen. Die Koordinaten der Punkte hast du bereits gegeben. Trage somit die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zu einem Rechteck. Hierbei folgt folgende Abbildung:
Abbildungen im Koordinatensystem: Zentrische Streckung mit Zentrum in Ursprung
Abb. 2: Rechtecke
Abbildungen im Koordinatensystem: Zentrische Streckung mit Zentrum in Ursprung
Abb. 2: Rechtecke
c)
$\blacktriangleright$  Streckungsfaktor bestimmen
Du sollst den Streckungsfaktor bestimmen für den sich das dargestellte Rechteck $A'B'C'D'$ ergibt. Lese dazu beispielsweise die Koordinaten des Punktes $D'$ ab und bestimme daraus den Streckungsfaktor $k$. Hierbei gilt $D'(0 \mid -1)$. Du hast hierbei außerdem die ursprünglichen Koordinaten des Punktes $D$ mit $D(0 \mid 2)$ gegeben. Somit folgt für den Streckungsfaktor $k$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'_D\\y'_D}&=& k \cdot \pmatrix{x_D\\y_D} \\[5pt] \pmatrix{0\\-1}&=& k \cdot \pmatrix{0\\2} \\[5pt] \end{array}$
Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 0&=& k \cdot 0\\ \text{II}\quad& -1&=& k \cdot 2\\ \end{array}$
Aus der Gleichung $\text{II}$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} -1&=& k \cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] -\dfrac{1}{2}&=& k \end{array}$
$k=-\dfrac{1}{2} $
Somit kommt als möglicher Streckungsfaktor nur $k=-\dfrac{1}{2}$ in betracht. Dies kannst du überprüfen, indem du den Streckungsfaktor für die anderen Punkte nachprüfst. Du erhältst, dass $k=-\dfrac{1}{2}$ gilt.
#vektoren

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Bildpunktes bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ bestimmen. Hierzu hast du gegeben, dass der Punkt $A(4 \mid -3)$ durch eine zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum und dem Streckungsfaktor $k=-4$ auf den Bildpunkt $A'$ abgebildet wird.
Für einen Punkt $A$ mit den Koordinaten $(x \mid y)$ gilt für die zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung und den Streckungsfaktor $k$ folgende Gleichung für die Koordinaten des Bildpunktes $A'(x' \mid y')$ in Vektorform:
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
Somit gilt für die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ mit dem Punkt $A(4 \mid -3)$ und $k=-4$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& k \cdot \pmatrix{x\\y} \\[5pt] &=& -4 \cdot \pmatrix{4\\-3} \\[5pt] &=& \pmatrix{-16\\12} \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $A'(-16 \mid 12)$.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $A$ bestimmen. Hierzu hast du gegeben, dass der Punkt $A$ durch eine zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum und dem Streckungsfaktor $k=-\dfrac{2}{5}$ auf den Bildpunkt $A'(-3\mid 2)$ abgebildet wird.
Für einen Punkt $A$ mit den Koordinaten $(x \mid y)$ gilt für die zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung und den Streckungsfaktor $k$ folgende Gleichung in Vektorform:
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
Somit gilt für die Koordinaten des Bildpunktes $A$ mit dem Bildpunkt $A'(-3\mid 2)$ und $k=-\dfrac{2}{5}$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& k \cdot \pmatrix{x\\y} \\[5pt] \pmatrix{-3\\2}&=& -\dfrac{2}{5} \cdot \pmatrix{x\\y} & \quad \mid \, \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)\\[5pt] -\dfrac{5}{2} \cdot \pmatrix{-3\\2} &=& \pmatrix{x\\y} \\[5pt] \pmatrix{\dfrac{15}{2}\\-5} &=& \pmatrix{x\\y} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{\dfrac{15}{2}\\-5} $
Dadurch gilt $A(7,5 \mid -5)$.
c)
$\blacktriangleright$  Streckungsfaktor bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Streckungsfaktor $k$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass der Punkt $A(2 \mid 8)$ durch eine zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum und dem Streckungsfaktor $k$ auf den Bildpunkt $A'(-0,5\mid -2)$ abgebildet wird.
Für einen Punkt $A$ mit den Koordinaten $(x \mid y)$ gilt für die zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung und den Streckungsfaktor $k$ folgende Gleichung für die Koordinaten des Bildpunktes $A'(x' \mid y')$ in Vektorform:
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
Somit gilt für den Streckungsfaktor $k$ mit dem Punkt $A(2 \mid 8)$ und dem Bildpunkt $A'(-0,5\mid -2)$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& k \cdot \pmatrix{x\\y} \\[5pt] \pmatrix{-3\\2}&=& k \cdot \pmatrix{-0,5\\-2}\\[5pt] \end{array}$
Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 2&=& k \cdot (-0,5) \\ \text{II}\quad& 8&=& k \cdot (-2) \\ \end{array}$
Aus Gleichung $\text{I}$ folgt für den Streckungsfaktor $k$:
$\begin{array}[t]{rll} 2&=& k \cdot (-0,5) &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,5) \\[5pt] -4&=& k \end{array}$
$k=-4$
Anschließend kannst du $k=-4$ in die Gleichung $\text{II}$ einsetzen und überprüfen, ob dies zu einer wahren Aussage führt. Es gilt mit der Gleichung $\text{II}$:
$\begin{array}[t]{rll} 8&=& k \cdot (-2) \\[5pt] 8&=& -4 \cdot (-2) \\[5pt] 8&=& 8 \\[5pt] \end{array}$
Dies entspricht einer wahren Aussage. Somit ist $k=-4$ der gesuchte Streckungsfaktor.
#vektoren

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Abbildungsgleichung bestimmen
Du sollst die Abbildungsgleichung für die zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $Z$ und dem Streckungsfaktor $k$ bestimmen. Hierbei hast du gegeben, dass der Punkt $P$ durch den Streckungsfaktor $k=-2$ und dem Ursprung als Streckungszentrum auf den Bildpunkt $P'$ abgebildet wird.
Für einen Punkt $P$ mit den Koordinaten $(x \mid y)$ gilt für die zentrische Streckung mit Zentrum im Ursprung und den Streckungsfaktor $k$ folgende Gleichung für die Koordinaten des Bildpunktes $P'(x' \mid y')$ in Vektorform:
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
Die Abbildungsgleichungen in Koordinatenform lauten entsprechend:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& -2 \cdot x \\ \text{II}\quad& y'&=& -2 \cdot y \\ \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Abbildungsgleichung bestimmen
Du sollst die Abbildungsgleichung für die zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $Z$ und dem Streckungsfaktor $k$ bestimmen. Hierbei hast du gegeben, dass der Punkt $P$ durch den Streckungsfaktor $k=-4$ und dem Streckungszentrum $Z(3 \mid 2)$ auf den Bildpunkt $P'$ abgebildet wird.
Hierbei kannst du erkennen, dass das Streckungszentrum nicht im Ursprung liegt. Du kannst somit zuerst das Streckungszentrum und den zu streckenden Punkt $P$ durch den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ so verschieben, dass das Streckungszentrum im Ursprung liegt. Daraus ergibt sich der verschobene Punkte $P^*$ und das verschobene Streckungszentrum im Ursprung $Z^*(0 \mid 0)$.
Anschließend kannst du den verschobenen Punkt $P^*$ durch eine zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum und dem Streckungsfaktor $k$ auf den Punkt $P^+$ abbilden. Zuletzt sollst du noch das Streckungsszentrum $Z'$ und den Punkt $P^+$ so verschieben, dass das Streckungszentrum auf dem ursrünglichen Punkt $Z$ liegt. Verschiebe somit die Punkte $Z^*$ und den Punkt $P^+$ mit dem Verschiebungsvektor $-\overrightarrow{v}$.
  1. Verschiebe das Streckungszentrum $Z$ in den Ursprung
  2. Führe die zentrische Streckung durch.
  3. Verschiebe das Streckungszentrum zurück zum Punkt $Z$.
Bestimme somit die verschiedenen Abbildungsgleichungen und führe sie zuletzt zu einer Ersatzabbildung zusammen. Zuerst musst du den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ bestimmen. Bestimme den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$, sodass das verschobene Streckungszentrum $Z'(0 \mid 0)$ im Ursprung liegt. Somit muss folgende Gleichung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0}&=&\pmatrix{x_z\\y_z} +\overrightarrow{v} \\[5pt] \pmatrix{0\\0}&=&\pmatrix{3\\2} +\overrightarrow{v} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{3\\2} \\[5pt] \pmatrix{-3\\-2}&=& \overrightarrow{v} \end{array}$
$ \overrightarrow{v}=\pmatrix{-3\\-2}$
Somit gilt für den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{-3\\-2}$. Damit folgt für die Abbildungsgleichung der Verschiebung des Punktes $P$ zum Punkt $P^*$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x^*\\y^*}&=&\pmatrix{x\\y} + \overrightarrow{v} \\[5pt] &=&\pmatrix{x\\y} + \pmatrix{-3\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{x-3\\y-2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x^*\\y^*}=\pmatrix{x-3\\y-2} $
Anschließend sollst du den Punkt $P^*$ durch zentrische Streckung um den Ursprung mit dem Streckungsfaktor $k=-4$ auf den Punkt $P^+$ abbilden. Hierbei folgt für die Abbildungsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x^+\\y^+}&=& k \cdot \pmatrix{x^*\\y^*}\\[5pt] &=& -4 \cdot \pmatrix{x^*\\y^*} \\[5pt] \end{array}$
Zuletzt muss du die Punkte $A^+$ und $B^+$ mit dem Verschiebungsvektor $-\overrightarrow{v}$ verschieben. Hierdurch folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $P'$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=&\pmatrix{x^+\\y^+} - \overrightarrow{v} \\[5pt] &=&\pmatrix{x^+\\y^+} - \pmatrix{-3\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{x^+\\y^+} + \pmatrix{3\\2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\dotsc$
Du kannst nun die Ersatzabbildung bestimmen, indem du die oberen Gleichungen schrittweise in die untere Gleichung einsetzt. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=&\pmatrix{x^+\\y^+} + \pmatrix{3\\2} \\[5pt] \\[5pt] &=& -4 \cdot \pmatrix{x^*\\y^*} + \pmatrix{3\\2} \\[5pt] &=& -4 \cdot \pmatrix{x-3\\y-2} + \pmatrix{3\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4x +12\\-4y+8} + \pmatrix{3\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4x +15\\-4y+10} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}= \dotsc$
Somit gelten die folgenden Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& -4x +15 \\ \text{II}\quad& y'&=& -4y+10 \\ \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Abbildungsgleichung bestimmen
Du sollst die Abbildungsgleichung für die zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $Z(-1 \mid 2)$ bestimmen. Hierbei hast du gegeben, dass der Punkt $P(17 \mid 11)$ auf den Bildpunkt $P'(1 \mid 3)$ abgebildet wird.
Zur Bestimmung der Abbildungsgleichung benötigst du den Streckungsfaktor $k$. Den Streckungsfaktor kannst du bestimmen, indem du eine Abbildungsgleichung in Abhängigkeit des Streckungsfaktors bestimmst und anschließend die gegebenen Koordinaten einsetzt und nach dem unbekannten Streckungsfaktor auflöst.
Du kannst erkennen, dass das Streckungszentrum nicht im Ursprung liegt. Du kannst somit zuerst das Streckungszentrum und den zu streckenden Punkt $P$ durch den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ so verschieben, dass das Streckungszentrum im Ursprung liegt. Daraus ergibt sich der verschobene Punkte $P^*$ und das verschobene Streckungszentrum im Ursprung $Z^*(0 \mid 0)$.
Anschließend kannst du den verschobenen Punkt $P^*$ durch eine zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckungszentrum mit dem Streckungsfaktor $k$ auf den Punkt $P^+$ abbilden. Zuletzt musst du noch das Streckungsszentrum $Z'$ und den Punkt $P^+$ so verschieben, dass das Streckungszentrum auf dem ursrünglichen Punkt $Z$ liegt. Verschiebe somit die Punkte $Z^*$ und den Punkt $P^+$ mit dem Verschiebungsvektor $-\overrightarrow{v}$.
  1. Verschiebe das Streckungszentrum $Z$ in den Ursprung
  2. Führe die zentrische Streckung durch.
  3. Verschiebe das Streckungszentrum zurück zum Punkt $Z$.
Bestimme somit die verschiedenen Abbildungsgleichungen und führe sie zuletzt zu einer Ersatzabbildung zusammen. Zuerst musst du den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ bestimmen. Bestimme den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$, sodass das verschobene Streckungszentrum $Z'(0 \mid 0)$ im Ursprung liegt. Somit muss folgende Gleichung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0}&=&\pmatrix{x_z\\y_z} +\overrightarrow{v} \\[5pt] \pmatrix{0\\0}&=&\pmatrix{-1\\2} +\overrightarrow{v} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{-1\\2} \\[5pt] \pmatrix{1\\-2}&=& \overrightarrow{v} \end{array}$
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\-2}$
Somit gilt für den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\-2}$. Damit folgt für die Abbildungsgleichung der Verschiebung des Punktes $P$ zum Punkt $P^*$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x^*\\y^*}&=&\pmatrix{x\\y} + \overrightarrow{v} \\[5pt] &=&\pmatrix{x\\y} + \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{x+1\\y-2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x^*\\y^*}=\pmatrix{x+1\\y-2}$
Anschließend sollst du den Punkt $P^*$ durch zentrische Streckung um den Ursprung mit dem Streckungsfaktor $k$ auf den Punkt $P^+$ abbilden. Hierbei folgt für die Abbildungsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x^+\\y^+}&=& k \cdot \pmatrix{x^*\\y^*}\\[5pt] \end{array}$
Zuletzt muss du die Punkte $A^+$ und $B^+$ mit dem Verschiebungsvektor $-\overrightarrow{v}$ verschieben. Hierdurch folgen für die Koordinaten des Bildpunktes $P'$:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=&\pmatrix{x^+\\y^+} - \overrightarrow{v} \\[5pt] &=&\pmatrix{x^+\\y^+} - \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{x^+\\y^+} - \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\dotsc$
Du kannst nun die Ersatzabbildung bestimmen, indem du die oberen Gleichungen schrittweise in die untere Gleichung einsetzt. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=&\pmatrix{x^+\\y^+} - \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] &=& k \cdot \pmatrix{x^*\\y^*} - \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] &=& k \cdot \pmatrix{x+1\\y-2} - \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{k \cdot (x +1)\\k\cdot (y-2)} - \pmatrix{1\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{k \cdot (x +1) -1\\ k\cdot (y-2) +2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\dotsc$
Du kannst nun die Koordinaten des Punktes $P(17 \mid 11)$ und die Koordinaten des Bildpunktes $P'(1 \mid 3)$ in die bestimmte Abbildungsgleichung einsetzen und damit den Streckungsfaktor $k$ zu berechnen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=& \pmatrix{k \cdot (x +1) -1\\ k\cdot (y-2) +2} \\[5pt] \pmatrix{1\\3}&=& \pmatrix{k \cdot (17 +1) -1\\ k\cdot (11-2) +2} \\[5pt] \pmatrix{1\\3}&=& \pmatrix{k \cdot 18 -1\\ k\cdot 9 +2} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\dotsc$
Daraus ergeben sich die Gleichungen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 1&=& 18k -1 \\ \text{II}\quad& 3&=& 9k+2 \\ \end{array}$
Mit Gleichung $\text{I}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=& 18k-1 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 2&=& 18k &\quad \scriptsize \mid\;:18 \\[5pt] \dfrac{1}{9}&=& k \end{array}$
$k=\dfrac{1}{9}$
Den Streckungsfaktor musst du noch überprüfen, indem du $k=\dfrac{1}{9}$ in die Gleichung $\text{II}$ einsetzt und überprüfst, ob dies zu einer wahren Aussage führt. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 3&=& 9k+2 \\[5pt] 3&=& 9 \cdot \dfrac{1}{9} +2 &\quad \scriptsize \mid\;:18 \\[5pt] 3&=& 3 \end{array}$
$3=3$
Somit gilt $k=\dfrac{1}{9}$ und die Abbildungsgleichung ist folgendermaßen gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x'\\y'}&=&\pmatrix{k \cdot (x +1) -1\\ k\cdot (y-2) +2} \\[5pt] &=& \pmatrix{\dfrac{1}{9} \cdot (x +1) -1\\ \dfrac{1}{9}\cdot (y-2) +2} \\[5pt] &=& \pmatrix{\dfrac{1}{9} \cdot x +\dfrac{1}{9} -1\\ \dfrac{1}{9}\cdot y- \dfrac{2}{9} +2} \\[5pt] &=& \pmatrix{\dfrac{1}{9} \cdot x -\dfrac{8}{9} \\ \dfrac{1}{9}\cdot y + \dfrac{16}{9} } \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x'\\y'}=\dotsc$
Somit gelten folgende Abbildungsgleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x'&=& \dfrac{1}{9} \cdot x -\dfrac{8}{9}\\ \text{II}\quad& y'&=& \dfrac{1}{9}\cdot y + \dfrac{16}{9} \\ \end{array}$
#vektoren
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App