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Logistisches Wachstum

Spickzettel
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Beim logistischen Wachstum handelt es sich um ein mathematisches Modell, welches oft für Wachstumsprozesse bei Bakterien angewendet wird. Hier wird das Modell des exponentiellen Wachstums so angepasst, dass es den Verbrauch einer Ressource mit einschließt. Bei einer Bakterienkultur könnte das beispielsweise der Nährboden, der nur eine begrenzte Größe hat, sein. Zu Beginn verläuft der Wachstumsprozess somit exponentiell und, wenn man sich der Sättigungsgrenze nähert, wird er durch ein beschränktes Wachstumsmodell beschrieben.

Modell

Eine logistische Wachstumsfunktion hat allgemein folgende Gleichung:
$B(t)= \dfrac{a\cdot S}{a + \left(S-a\right)\mathrm{e}^{-Skt}}$
$B(t)= \dfrac{a\cdot S}{a + \left(S-a\right)\mathrm{e}^{-Skt}}$
Dabei gilt folgendes für die Parameter:
  • $t$: Zeit
  • $B(t)$: Bestandsgröße nach $t$ Zeitschritten
  • $S$: natürliche Schranke
  • $k$: Wachstumskonstante
  • $a$: Anfangsbestand zur Zeit $t=0$
  • $S$: Schranke für die Bestandsgröße, die nicht überschritten werden kann

Beispiel

Auf einem Nährboden vermehrt sich eine Bakterienkultur. Zu Beginn befindet sich eine Bakterienkultur aus 15 Bakterien auf dem Nährboden, nach 10 Tagen sind es bereits 114 Bakterien. Der Nährboden bietet Platz für ca. 200 Bakterien.
Bestimme zunächst die Schranke:
Da die Anzahl von 200 nie überschritten werden kann gilt $S=200$.
Da zu Beginn der Beobachtung $15$ Bakterien vorhanden sind, ist der Anfangsbestand $a= 15$.
Als nächstes kannst du mit Hilfe der zweiten Angabe $B(10)=114$ die Wachstumskonstante $k$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} B(10)&=&114 \\[5pt] 114&=&\dfrac{15\cdot 200}{15 +(200-15) \mathrm{e}^{-200k\cdot 10}}\\[5pt] 114&=&\dfrac{3000}{15 + 185\mathrm{e}^{-2000k}}& \scriptsize \mid\; \cdot \left(15 + 185\mathrm{e}^{-2000k}\right)\\[5pt] 1710+ 21090\mathrm{e}^{-2000k}&=&3000& \scriptsize \mid\; -1710\\[5pt] 21090\mathrm{e}^{-2000k}&=&1290& \scriptsize \mid\; :21090\\[5pt] \mathrm{e}^{-2000k}&=&0,061& \scriptsize \ln\\[5pt] -2000k&\approx&-2,797& \scriptsize \mid\; :(-2000)\\[5pt] k&\approx&0,0014 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k&\approx=&0,0014 \end{array}$
Das logistische Wachstumsmodell lautet dann:
$B(t) = \dfrac{3000}{15 + 185\mathrm{e}^{-0,28t}}$.
#wachstum
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Aufgaben
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1.
In einem Zoo bricht unter einer Affenart eine Krankheit aus, für die nur sie anfällig ist. Als dem Personal die Krankheit auffällt, sind bereits 4 Affen der 204 Affen infiziert, nach 4 Wochen sind bereits 24 erkrankt.
a)
Ermittle anhand der gegebenen Werte eine Funktionsgleichung, mit der sich die Ausbreitung der Krankheit unter den Affen beschreiben lässt.
b)
Wann wird die Hälfte der Affen erkrankt sein?
c)
Nach 3 Monaten glaubt ein Arzt, ein Gegenmittel gefunden zu haben. Aus Vorsicht injiziert er es zunächst nur 10% der noch gesunden Affen. Wie vielen Affen wird das Medikament verabreicht?
2.
Ein 100$m^2$ großer Teich ist zu Beginn der Beobachtung zu 6% mit Seerosen bedeckt. Nach 3 Wochen haben sich die Seerosen bereits auf 24$m^2$ ausgebreitet.
a)
Ermittle anhand dieser Daten eine Funktionsgleichung, mit der sich das Seerosenwachstum beschreiben lässt.
b)
Wann werden nach diesem Modell 80$m^2$ mit Seerosen bedeckt sein?
c)
An welchem Punkt ist das Wachstum der Seerosen am größten? (Es ist keine Rechnung verlangt!)
3.
Ein neues Spielzeug für Kinder kommt auf den Markt. Die Zielgruppe wird auf 300.000 Kinder geschätzt. Der Kollege, der die Statistik über den Verkauf führt, ist anfangs krank. So beginnen die Beobachtungen erst, als schon 20.000 Spielzeuge verkauft wurden. Nach 4 Wochen sind es schon 48.000.
a)
Ermittle anhand dieser Daten eine Wachstumsgleichung, mit der sich die Verkaufszahlen des Spielzeugs beschreiben lassen ($B\left(t\right)$ und $S$ in Tausend, $t$ in Wochen).
b)
Wie viele Spielzeuge sind nach 4 Monaten verkauft worden?
c)
Aufgrund der schlechten Auftragslage hatte die Firma einen Kredit aufgenommen, der 2 Monate nach Beginn der Beobachtungen zurückgezahlt werden muss. Mit den ersten 10.000 Spielzeugen machte die Firma je 2€ Gewinn, mit allen nachfolgenden je 2,10€. War sie nach 2 Monaten in der Lage, den Kredit von 200.000€ zurückzubezahlen?
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Lösungen
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1.
a)
Da es sich um logistisches Wachstum handelt, lautet die allgemeine Wachstumsgleichung
$B\left(t\right)=\dfrac{a\cdot S}{a+\mathrm (S-a)e^{-Skt}}$
1. Schritt: S bestimmen
Da $S$ die obere Schranke darstellt, muss $S=204$ sein. Dieser Wert wird nie überschritten.
2. Schritt: a bestimmen
Setze t=0 und B(0)=4 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 4&=\dfrac{a\cdot204}{a+(204-a)\mathrm e^{-204k\cdot0}}\\[5pt] 4&=\dfrac{204a}{a+204-a}\\[5pt] 4&=a\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 4&=a \end{array}$
3. Schritt: k bestimmen
Setze a=4, S=204, t=4 und B(4)=24 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 24&=\dfrac{4\cdot204}{4+(204-4)\mathrm e^{-204k\cdot4}}&\mid\;\cdot\left(4+200\mathrm e^{-204k\cdot4}\right)\\[5pt] 24\left(4+200\mathrm e^{-204k\cdot4}\right)&=204\cdot4 &\mid\;:24\\[5pt] 4+200\mathrm e^{-816k}&=34&\mid\;-4\\[5pt] 200\mathrm e^{-816k}&=30&\mid\;:200\\[5pt] \mathrm e^{-816k}&=0,15&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\mathrm e^{-816k}\right)}&=\ln{\left(0,15\right)}\\[5pt] -816k&=\ln{\left(0,15\right)}&\mid\;:\left(-816\right)\\[5pt] k&=\dfrac{\ln{\left(0,15\right)}}{-816}\\[5pt] k &\approx 0,0023 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} k &\approx 0,0023 \end{array}$
Daraus ergibt sich die Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=\dfrac{816}{4+200\mathrm e^{-0,46t}}$
b)
$B\left(t\right)=102$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}{rlllllll} 102&=\dfrac{816}{4+200\mathrm e^{-0,46t}}&\mid\;:102\\[5pt] 1&=\dfrac{8}{4+200\mathrm e^{-0,46t}}&\mid\;\cdot\left(4+200\mathrm e^{-0,46t}\right)\\[5pt] 4+200\mathrm e^{-0,46t}&=8&\mid\;-4\\[5pt] 200\mathrm e^{-0,46t}&=4&\mid\;:200\\[5pt] \mathrm e^{-0,46t}&=0,02&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] -0,46t&\approx -3,91&\mid\;:\left(-0,4692\right)\\[5pt] t &\approx 8,5 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} t &\approx 8,5 \end{array}$
Nach etwa achteinhalb Wochen wird die Hälfte der Affen erkrankt sein.
c)
3 Monate sind 12 Wochen.
$t=12$ setzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rlllllll} B\left(12\right)&=\dfrac{816}{4+200\mathrm e^{-0,46\cdot12}}\\[5pt] &\approx\dfrac{816}{4+0,8012}\\[5pt] &=\dfrac{816}{4,8012}\\[5pt] &\approx 169,96 \end{array}$
Nach 12 Wochen sind 170 Affen krank, d.h. noch 34 Affen gesund. 10% von 34 sind 3,4, also ca. 3. Diese 3 Affen haben das Medikament verabreicht bekommen.
2.
a)
Da es sich um logistisches Wachstum handelt, lautet die allgemeine Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=\dfrac{a\cdot S}{a+(S-a)\mathrm e^{-Skt}}$
1. Schritt: S bestimmen
Da $S$ die obere Schranke darstellt, muss $S=100$ sein. Dieser Wert wird nie überschritten.
2. Schritt: a bestimmen
Berechne nun den Anfangsbestand $a$:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 6\,\% \cdot 100\,m^2 \\[5pt] &=& 6\,m^2 \end{array}$
3. Schritt: k bestimmen
Setze a=6, S=100, t=3 und B(3)=24 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 24&=\dfrac{6\cdot100}{6+(100-6)\mathrm e^{-100k\cdot3}}&\mid\;\cdot\left(6+94\mathrm e^{-300k}\right):24\\[5pt] 6+94\mathrm e^{-300k}&=25&\mid\; -6\\[5pt] 94\cdot\mathrm e^{-300k}&=19&\mid\;:94\\[5pt] \mathrm e^{-300k}&=\frac{19}{94}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\mathrm e^{-300k}\right)}&=\ln{\left(\frac{19}{94}\right)}\\[5pt] -300k&=\ln{\left(\frac{19}{94}\right)}&\mid\;:\left(-300\right)\\[5pt] k&=\dfrac{\ln{\left(\frac{19}{94}\right)}}{-300}\\[5pt] k &\approx 0,0053 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} k &\approx 0,0053 \end{array}$
Daraus ergibt sich die Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=\dfrac{600}{6+94\mathrm e^{-0,53t}}$
b)
$B\left(t\right)=80$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}{rlllllll} 80&=\dfrac{600}{6+94\mathrm e^{-0,53t}}&\mid\;\cdot\left(6+94\mathrm e^{-0,53t}\right):80\\[5pt] 6+94\mathrm e^{-0,53t}&=7,5&\mid\; -6\\[5pt] 94\mathrm e^{-0,53t}&=1,5&\mid\;:94\\[5pt] \mathrm e^{-0,53t}&=\frac{3}{188}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] -0,53t&=\ln{\left(\frac{3}{188}\right)}&\mid\;:(-0,53)\\[5pt] t &\approx 7,81 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} t &\approx 7,81 \end{array}$
Nach fast 8 Wochen werden 80$m^2$ mit Seerosen bedeckt sein.
c)
Hier ist nach der maximalen Änderungsrate gefragt, d.h. nach dem Punkt mit der größten Steigung. Dies ist immer der Wendepunkt.
3.
a)
Da es sich um logistisches Wachstum handelt, lautet die allgemeine Wachstumsgleichung
$B\left(t\right)=\dfrac{a\cdot S}{a+(S-a)\mathrm e^{-Skt}}$
1. Schritt: S bestimmen
Da $S$ die obere Schranke darstellt, muss $S=300$ sein. Dieser Wert wird nie überschritten.
2. Schritt: a bestimmen
Da $B(0)=20$ ist, ist der Anfangsbestand $a = 20$
3. Schritt: k bestimmen
Setze a=20, S=300, t=4 und B(4)=48 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 48&=\dfrac{20\cdot300}{20+(300-20)\mathrm e^{-300k\cdot4}}&\mid\;\cdot\left(20+(300-20)\mathrm e^{-300k\cdot4}\right):48\\[5pt] 20+(300-20)\mathrm e^{-300k\cdot4}&=125&\mid\; -20\\[5pt] 280\cdot\mathrm e^{-1200k}&=105&\mid\;:280\\[5pt] \mathrm e^{-1200k}&=0,375&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] -1200k&=\ln{\left(0,375\right)}&\mid\;:\left(-1200\right)\\[5pt] k&=\dfrac{\ln{\left(0,375\right)}}{-1200}\\[5pt] k &\approx 0,0008 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} k &\approx 0,0008 \end{array}$
Daraus ergibt sich die Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=\dfrac{6000}{20+280\mathrm e^{-0,24t}}$
b)
4 Monate sind 16 Wochen.
$t=16$ setzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rlllllll} B\left(16\right)&=\dfrac{6000}{20+280\mathrm e^{-0,24\cdot16}}\\[5pt] &=\dfrac{6000}{20+280\mathrm e^{-3,84}}\\[5pt] &=\dfrac{6000}{20+5,88}\\[5pt] &=\dfrac{6000}{25,88}\\[5pt] &\approx 231,839 \end{array}$
Nach 4 Monaten sind etwa 231.839 Spielzeuge verkauft worden.
c)
1. Schritt: Berechnen, wie viele Spielzeuge nach 2 Monaten verkauft worden sind
2 Monate sind 8 Wochen.
$t=8$ setzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rlllllll} B\left(8\right)&=\dfrac{6000}{20+280\mathrm e^{-0,24\cdot8}}\\[5pt] &=\dfrac{6000}{20+280\mathrm e^{-1,92}}\\[5pt] &=\dfrac{6000}{20+41,05}\\[5pt] &=\dfrac{6000}{61,05}\\[5pt] &\approx 98,280 \end{array}$
Nach 2 Monaten sind etwa 98.280 Spielzeuge verkauft worden.
2. Schritt: Berechnen, ob die Firma in der Lage war, den Kredit zurückzuzahlen
Mit den ersten 10.000 verdient die Firma je 2€:
$10.000\cdot2=20.000$€
Mit den letzten 88.280 verdient die Firma je 2,10€:
$88.280\cdot2,10=185.388$€
Aufaddiert ergibt dies einen Gewinn von 205.388€, die Firma kann den Kredit also zurückzahlen.
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