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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Die abgebildete Mondsichel ist geometrisch gesehen ein Kreissektor mit Radius $r_1=4$ cm, abzüglich einem Kreissegment mit Radius $r_2=2\cdot r_1$.
Gib den Flächeninhalt und den Umfang der gefärbten Mondsichel an.
2.
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
3.
Ein Swimmigpool im Urlaubsparadies hat die Form von drei übereinanderliegenden Kreisen. Der mittlere Kreis hat einen Durchmesser $d_1=6$ m, die beiden äußeren Kreise haben einen Radius $r_2=2$ m. Die Mittelpunkte der kleineren Kreise liegen auf der Kreislinie des großen Kreises. Es gibt zwei $3,76$ m lange Stege zum überqueren des Pools.
Berechne die Oberfläche und den Umfang des Swimmingpools.
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Lösungen
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1.  Die Fläche der Mondsichel wird durch einen Kreissektor mit Radius $r_1=4\,\mathrm{cm}$ dargestellt, von dem die Fläche eines Kreissegmentes mit Radius $r_2=2\cdot r_1$ abgezogen wird.
Schematisch kannst du dir das wie folgt vorstellen:
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
Du kannst erkennen, dass der Kreissektor hierbei ein Halbkreis mit Radius $r_1$ ist.
Die Bogenlänge $b_1$ entspricht somit dem halben Kreisumfang.
Die Fläche und den Umfang eines Kreises berechnest du wie folgt:
  • $A_{\text{Kreis}}=\pi\cdot r^2$
  • $U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot r$
Von der Halbkreisfläche wird nun ein Kreissegment mit Radius $r_2=2\cdot r_1=8\,\mathrm{cm}$ abgezogen, um die Fläche der Mondsichel zu erhalten.
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
Um die Fläche und die Bogenlänge des Kreissegmentes zu berechnen, kannst du folgende Formeln verwenden:
  • $A_{\text{Segment}}=\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r^2-\dfrac{s^2}{4}}$
  • $s=\sqrt{2\cdot r^2\cdot(1-\cos\alpha)}$
  • $b_2=2\cdot\pi\cdot r\cdot \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}$
Gehe wie folgt vor:
  • Berechne die Fläche des Kreissektors.
  • Berechne den Mittelpunktswinkel $\alpha$ mit der Formel für die Kreissehne $s$.
  • Berechne die Fläche des Kreissegmentes.
  • Subtrahiere $A_{\text{Segment}}$ von $A_{\text{Sektor}}$, um die Fläche der Mondsichel zu berechnen
  • Bestimme den Umfang der Mondsichel
1. Schritt: $\boldsymbol{A_{\text{Sektor}}}$ bestimmen
$A_{\text{Sektor}}=\dfrac{1}{2}\cdot A_{\text{Kreis}}=\dfrac{1}{2}\cdot\pi\cdot r_1^2=\dfrac{1}{2}\cdot\pi\cdot (4\,\mathrm{cm})^2=8\pi\,\mathrm{cm}^2$
2. Schritt: Mittelpunktswinkel $\boldsymbol{\alpha}$ des Kreissegmentes bestimmen
Den Mittelpunktswinkel $\alpha$ kannst du aus der Formel für die Kreissehne herleiten:
$\begin{array}{rrll} s&=&\sqrt{2\cdot r_2^2\cdot(1-\cos\alpha)}&\scriptsize \\[5pt] 4\,\mathrm{cm}&=&\sqrt{2\cdot (8\,\mathrm{cm})^2\cdot(1-\cos\alpha)}&\scriptsize\mid\; (\hspace{.2cm})^2 \\[5pt] 16\,\mathrm{cm}^2&=&128\,\mathrm{cm}^2\cdot(1-\cos\alpha)&\scriptsize\mid\; :128\,\mathrm{cm}^2 \\[5pt] \dfrac{1}{8}&=&1-\cos\alpha&\scriptsize\mid\; -1 \\[5pt] \dfrac{7}{8}&=&\cos\alpha&\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&28,95^{\circ} \end{array}$
3. Schritt: $\boldsymbol{A_{\text{Segment}}}$ bestimmen
$\begin{array}{rrll} A_{\text{Segment}}&=&\pi\cdot r_2^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}-\dfrac{s}{2}\cdot\sqrt{r_2^2-\dfrac{s^2}{4}} \\[5pt] &=&\pi\cdot (8\,\mathrm{cm})^2\cdot\dfrac{28,95^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{4\,\mathrm{cm}}{2}\cdot\sqrt{8\,\mathrm{cm}^2-\dfrac{4\,\mathrm{cm}^2}{4}} \\[5pt] &\approx&0,677\,\mathrm{cm}^2 \end{array}$
4. Schritt: Fläche der Mondsichel berechnen
$A_{\text{Mondsichel}}=A_{\text{Sektor}}-A_{\text{Segment}}=8\pi\,\mathrm{cm}^2-0,677\,\mathrm{cm}^2\approx 24,46\,\mathrm{cm}^2$
5. Schritt: Umfang der Mondsichel berechnen
$b_1=\dfrac{1}{2}\cdot u_{\text{Kreis}}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\pi\cdot r_1=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\pi\cdot 4\,\mathrm{cm}=4\pi\,\mathrm{cm}$
$b_2=2\cdot\pi\cdot r_2\cdot \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}=b_2=2\cdot\pi\cdot 8\,\mathrm{cm}\cdot \dfrac{28,95^{\circ}}{360^{\circ}}\approx4,04\,\mathrm{cm}$
$u_{\text{Mondsichel}}=b_1+b_2=4\pi\,\mathrm{cm}+4,04\,\mathrm{cm}\approx 16,61\,\mathrm{cm}$
2.  Fläche des Dreiecks berechnen
Anhand der Fläche des inneren, blauen Kreises kannst du im 1. Schritt den Radius $r_1$ dieses Kreises durch Umformen von
$A=\pi \cdot r^2$
berechnen. Durch Verbinden der Eckpunkte des Dreiecks mit dem Mittelpunkt des Kreises erhälst du drei neue, gleichschenklige Dreiecke. Über die angegeben Peripherenwinkel $\beta_1=75 ^{\circ},\beta_2=50 ^{\circ}$ erhälst du im 2. Schritt $\beta_3$ über die Innenwinkelsumme im Dreieck. Damit ergeben sich im 3. Schritt die Mittelpunktswinkel $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ mit
$\beta=\dfrac{\alpha}{2}$.
Mit diesen kannst du die Grundseiten $s_1,s_2,s_3$ der Dreiecke (in diesem Fall Kreissehnen) durch
$s=\sqrt{2 \cdot r^2 \cdot (1-\cos(\alpha))}$
im 4. Schritt errechnen. Da du nun alle drei Seitenlängen ermittelt hast, erhälst du im 5. Schritt die Flächeninhalte über die Formel
$A=\dfrac{c}{2} \cdot \sqrt{a^2 - \dfrac{c^2}{4}}$
für gleichschenklige Dreiecke. Abschließend musst du im 6. Schritt die Flächeninhalte der einzelnen Dreiecke nur noch zum Gesamtflächeninhalt $A_\text{Dreieck}$ aufsummieren.
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
1. Schritt: $r_1$ bestimmen
Aus
$A=\pi \cdot r^2$
folgt durch Umformen
$r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$.
Einsetzen liefert
$\begin{array}{rl} r_1=&\sqrt{\dfrac{78,5\,\text{cm}^2}{\pi}} \\[5pt] \approx & 5 \text{cm} \end{array}$
2. Schritt: $\beta_3$ bestimmen
Da die Innenwinkelsumme des Dreiecks $180^{\circ}$ betragen muss, gilt:
$\beta_1+\beta_2+\beta_3=180^{\circ}$
Auflösen nach $\beta_3$ ergibt:
$\begin{array}{rl} \beta_3=&180^{\circ}-\beta_1-\beta_2 \\[5pt] = & 180^{\circ} - 75^{\circ} - 50^{\circ} \\[5pt] =& 55^{\circ} \end{array}$
3. Schritt: $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ bestimmen
Wegen
$\beta=\dfrac{\alpha}{2}$
gilt
$\alpha=2 \cdot \beta$.
Damit erhalten wir unsere Mittelpunktswinkel
$\alpha_1=2 \cdot \beta_1$$=2 \cdot 75^{\circ}$$=150 ^{\circ}$
$\alpha_2=2 \cdot \beta_2$$=2 \cdot 50^{\circ}$$=100 ^{\circ}$
$\alpha_3=2 \cdot \beta_3$$=2 \cdot 55^{\circ}$$=110 ^{\circ}$
4. Schritt: $s_1,s_2,s_3$ bestimmen
Da die jeweiligen Grundseiten $s_1,s_2,s_3$ unserer Dreiecke gerade die Kreissehnen zu den Mittelpunktswinkeln sind, können wir diese anhand folgender Formel berechnen:
$s=\sqrt{2 \cdot r_1^2 \cdot (1-\cos(\alpha))}$
Einsetzen liefert:
$s_1=\sqrt{2 \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot (1-\cos(150 ^{\circ}))}$$\, \approx 9,6593\,\text{cm}$
$s_2=\sqrt{2 \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot (1-\cos(100 ^{\circ}))}$$\, \approx 7,6604\,\text{cm}$
$s_3=\sqrt{2 \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot (1-\cos(110 ^{\circ}))}$$\, \approx 8,1915\,\text{cm}$
5. Schritt: $A_1,A_2,A_3$ bestimmen
Nun haben wir alle drei Seitenlängen unserer drei gleichschenkligen Dreiecke gegeben. Zum einen die Schenkel, deren Länge uns durch den Radius gegeben ist, zum anderen die eben errechneten Grundseiten. Damit ergibt sich mit der Formel für den Flächeninhalt gleichschenkliger Dreiecke mit Grundseite c und Schenkel a:
$A=\dfrac{c}{2} \cdot \sqrt{a^2 - \dfrac{c^2}{4}}$
In unserem Fall also:
$A=\dfrac{s}{2} \cdot \sqrt{r_1^2 - \dfrac{s^2}{4}}$
Wir setzen ein:
$A_1=\dfrac{9,6593\,\text{cm}}{2} \cdot \sqrt{(5\,\text{cm})^2 - \dfrac{(9,6593\,\text{cm})^2}{4}}$$\, \approx 6,2497\,\text{cm}^2$
$A_2=\dfrac{7,6604\,\text{cm}}{2} \cdot \sqrt{(5\,\text{cm})^2 - \dfrac{(7,6604\,\text{cm})^2}{4}}$$\, \approx 12,3101\,\text{cm}^2$
$A_3=\dfrac{8,1915\,\text{cm}}{2} \cdot \sqrt{(5\,\text{cm})^2 - \dfrac{(8,1915\,\text{cm})^2}{4}}$$\, \approx 11,7462\,\text{cm}^2$
6. Schritt: $A_\text{Dreieck}$ bestimmen
Die in der Aufgabe gesuchte Fläche des Dreiecks erhälst du nun durch Aufsummieren der Flächen unserer drei Dreiecke:
$\begin{array}{rl} A_\text{Dreieck}=&A_1+A_2+A_3 \\[5pt] =&6,2497\,\text{cm}+12,3101\,\text{cm}+11,7462\,\text{cm} \\[5pt] \approx & 30,306\,\text{cm}^2 \end{array}$
Fläche des Kreisrings berechnen
Zunächst musst den Radius $r_2$ des äußeren Kreis berechnen. Diesen erhälst du über Umformen von
$u=2 \cdot \pi \cdot r$
in
$r=\dfrac{u}{2 \cdot \pi}$
Der Umfang ist in der Aufgabenstellung gegeben:
$r_2=\dfrac{37,7 \,\text{cm}}{2 \cdot \pi}$$\,\approx 6\,\text{cm}$
Jetzt hast du aus dem ersten Teil der Aufgabe den inneren Radius $r_1$ sowie den äußeren Radius $r_2$ berechnet. Diese kannst du in die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisrings einsetzen:
$A_\text{Kreisring}=\pi \cdot (r_2^2 - r_1^2)$$=\pi \cdot ((6\,\text{cm})^2 - (5\,\text{cm})^2)$$\,\approx 34,5575\,\text{cm}^2$
3.  Berechne zunächst den gesamten Flächeninhalt und Umfang der drei Kreise. Ziehe anschließend jeweils den Flächeninhalt der Kreissegmente bzw. die Bogenlänge der Kreissegmente ab. Nutze dabei auch die Symmetrie der kleinen Kreise und der gleichlangen Stege.
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
Berechnungen am Kreis: Vermischte Aufgaben
Oberfläche berechnen
1. Schritt: $A_1, A_2$ und $A_3$ bestimmen
Nutze
$A=\pi \cdot r^2$,
um die Flächeninhalte des mittleren Kreises $A_1$ und der beiden kleinen Kreise $A_2=A_3$ zu berechnen. Der mittlere Kreis hat dabei den Radius
$r_1=\dfrac{d_1}{2}$$=\dfrac{6\,\text{m}}{2}=3\,\text{m}$.
Damit folgt:
$A_1=\pi \cdot r_1^2$$=\pi \cdot (3\,\text{m})^2$$\, \approx 9,4248\,\text{m}^2$
$A_2=\pi \cdot r_2^2$$=\pi \cdot (2\,\text{m})^2$$\, \approx 6,2832\,\text{m}^2$
2. Schritt: Fläche der Kreissegmente bestimmen
Die Stege zum Überqueren des Pools kannst du sowohl als Kreissehne eines kleinen Kreis sowie auch als Kreissehne des mittleren Kreis auffassen. Damit ergeben sich die Mittelpunktswinkel $\alpha_1, \alpha_2$ durch Umformen von der Formel zur Berechnung einer Kreissehne:
$\begin{array}{rll} s=&\sqrt{2 \cdot r^2 \cdot (1-\cos(\alpha))}& \scriptsize \mid \,(\,)^2 \\[5pt] s^2=&2 \cdot r^2 \cdot (1-\cos(\alpha))& \scriptsize \mid \, : 2r^2 \\[5pt] \dfrac{s^2}{2r^2}=&(1-\cos(\alpha))& \scriptsize \mid \, -1 \\[5pt] \dfrac{s^2}{2r^2}-1=&-\cos(\alpha)& \scriptsize \mid \, \cdot (-1) \\[5pt] 1-\dfrac{s^2}{2r^2}=& \cos(\alpha)& \scriptsize \mid \, \cos^{-1} \\[5pt] \cos^{-1}(1-\dfrac{s^2}{2r^2})=& \alpha \end{array}$
Setze nun ein:
$\alpha_1=\cos^{-1}(1-\dfrac{s^2}{2r_1^2})$$=\cos^{-1}(1-\dfrac{(3,76\,\text{m})^2}{2 \cdot (3\,\text{m})^2})$$\, \approx 77,6092 ^{\circ}$
$\alpha_2=\cos^{-1}(1-\dfrac{s^2}{2r_2^2})$$=\cos^{-1}(1-\dfrac{(3,76\,\text{m})^2}{2 \cdot (2\,\text{m})^2})$$\, \approx 140,1031^{\circ}$
Die Formel für die Kreissegmentfläche lautet:
$A_\text{Segment}=\pi\cdot r²\cdot\frac{\alpha}{360°}-\frac{s}{2}\cdot\sqrt{r²-\frac{s²}{4}}$
Durch Einsetzen erhalten wir:
$\begin{array}{rl} A_\text{Segment mittlerer Kreis}=&\pi\cdot (r_1)^2\cdot\frac{\alpha_1}{360°}-\frac{s}{2}\cdot\sqrt{r_1²-\frac{s²}{4}} \\[5pt] =&\pi\cdot (3\,\text{m})^2\cdot\frac{77,6092 ^{\circ}}{360°}-\frac{3,76\,\text{m}}{2}\cdot\sqrt{(3\,\text{m})^2-\frac{(3,76\,\text{m})^2}{4}} \\[5pt] \approx & 1,7002\,\text{m}^2 \\[10pt] A_\text{Segment kleiner Kreis}=&\pi\cdot (r_2)^2\cdot\frac{\alpha_2}{360°}-\frac{s}{2}\cdot\sqrt{r_2^2-\frac{s²}{4}} \\[5pt] =&\pi\cdot (2\,\text{m})^2\cdot\frac{140,1031 ^{\circ}}{360°}-\frac{3,76\,\text{m}}{2}\cdot\sqrt{(2\,\text{m})^2-\frac{(3,76\,\text{m})^2}{4}} \\[5pt] \approx & 3,6077\,\text{m}^2 \end{array}$
3. Schritt: Fläche des Pools bestimmen
Die gesamte Oberfläche des Swimmingpools erhalten wir nun durch Addition der Fläche der beiden kleinen Kreise mit dem mittleren, wovon wir dann wieder die einzelnen Kreissegmente abziehen müssen, da wir diese sonst doppelt zählen würden. Aufgrund der Symmetrie des Pools müssen wir die Segmente zweimal subtrahieren.
Es ergibt sich:
$\begin{array}{rl} A_\text{Swimmingpool}=&A_1 + A_2 + A_3 - 2 \cdot ( A_\text{Segment mittlerer Kreis} + A_\text{Segment kleiner Kreis}) \\[5pt] =& 9,4248 \,\text{m}^2 + 6,2832 \,\text{m}^2 + 6,2832 \,\text{m}^2 - 2 \cdot (1,7002\,\text{m}^2 + 3,6077\,\text{m}^2) \\[5pt] =& 11,3754\,\text{m}^2 \end{array}$
Umfang berechnen
1. Schritt: $u_1, u_2$ und $u_3$ bestimmen
Mit
$u= 2 \cdot \pi \cdot r$
ergibt sich
$u_1= 2 \cdot \pi \cdot r_1$$=2 \cdot \pi \cdot 3\,\text{m}$$\, \approx 18,8496\,\text{m}$
$u_2= u_3= 2 \cdot \pi \cdot r_2$$=2 \cdot \pi \cdot 2\,\text{m}$$\, \approx 12,5664\,\text{m}$
2. Schritt: $b_1, b_2$ und $b_3$ bestimmen
Da wir die Mittelpunktswinkel bereits berechnet haben, erhalten wir die Länge des jeweiligen Kreisbogen mit
$b=2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}$.
Wir setzen ein:
$\begin{array}{rl} b_1=&2 \cdot \pi \cdot r_1 \cdot \dfrac{\alpha_1}{360^{\circ}} \\[5pt] =& 2 \cdot \pi \cdot 3\,\text{m} \cdot \dfrac{77,6092 ^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] \approx & 4,0636\,\text{m} \\[10pt] b_2=&2 \cdot \pi \cdot r_2 \cdot \dfrac{\alpha_2}{360^{\circ}} \\[5pt] =& 2 \cdot \pi \cdot 2\,\text{m} \cdot \dfrac{140,1031 ^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] \approx & 4,8905\,\text{m} \end{array}$
3. Schritt: Umfang des Pools bestimmen
Analog wie bei der Berechnung des Flächeninhalts kannst du die Umfänge der drei Kreise aufsummieren und davon die berechneten Kreisbogenlängen abziehen. Auch hier musst du wegen der Symmetrie des Pools die Kreisbogenlängen zweimal abziehen.
Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rl} u_\text{Swimmingpool}=& u_1 + u_2 u_3 - 2 \cdot (b_1 + b_2) \\[5pt] =& 18,8496\,\text{m} + 12,5664\,\text{m} + 12,5664\,\text{m} - 2 \cdot (4,0636\,\text{m} + 4,8905\,\text{m}) \\[5pt] \approx& 26,0742 \,\text{m} \end{array}$
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