Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Realschulabschluss
VERA 8
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Trigonometrie
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Allgemeines Vieleck
Berechnungen in Körpe...
Streckenzug
Raumdiagonale
Funktionswerte spezie...
Formvariable
Stereometrie
Prismen
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Zylinder
Kugel
Pyramide
Kegel
Zusammengesetzte Körp...
Daten
Statistische Erhebung...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme erstellen u...
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Algebra
Schnittwinkel im Koor...
Quadratische Funktion...
Wiederholung lineare ...
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Parabelfor...
Achsenschnittpunkte
Punktberechnung und P...
Schnittstellen zweier...
Herleitung von Funkti...
Modellierungsaufgaben
Wachstum
Lineares Wachstum
Quadratisches Wachstu...
Exponentielles Wachst...
Exponentieller Zerfal...
Sachrechnen
Erhöhter und verminde...
Zinsrechnung
Zinsrechnen
Vermischte Aufgaben
Zuwachssparen und Rat...
Orthogonale Affinität
Daten und Zufall
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Zinseszins

Arithmetisches Mittel und Modalwert

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Heutzutage werden unzählige Befragungen, Messungen oder Experimente durchgeführt, um Daten über gewisse Themengebiete zu gewinnen. Um diese anschließend besser zu verstehen und interpretieren zu können, kannst du verschiedene Kennzahlen berechnen. Ausgangspunkt dazu ist zum Beispiel eine Liste mit Werten und der Anzahl der Messungen/Befragungen:
Wert$ x_1 $$ x_2 $$ x_4 $
Anzahl$ 1$$ 2 $$ 4 $
Ausgehend davon kannst du zum Beispiel den Mittelwert, Quartile oder auch Spannnweite und mittlere Abweichung bestimmen. Der Mittelwert $\overline{x}$, auch arithmetisches Mittel genannt, berechnet dabei den Durchschnitt der gegebenen Werte, während du mit Spannweite $SPW$ und mittlerer Abweichung $MAA$ die Streuung der Daten untersuchen kannst.
$\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$
$SPW=x_{max}-x_{min}$
$MAA$ $=\dfrac{|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+…+|x_n-\overline{x}|}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$
$SPW=x_{max}-x_{min}$
$MAA$ $=\dfrac{|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+…+|x_n-\overline{x}|}{n}$
Um Quartile zu bestimmen, benötigst du eine sortierte Liste. Eine solche beginnt mit $x_1=x_{min}$ und der letzte Wert ist $x_n=x_{max}$. Quartile teilen die Werte einer solchen Liste in zwei Teile auf:
Statistische Erhebung und Darstellung: Arithmetisches Mittel und Modalwert
Statistische Erhebung und Darstellung: Arithmetisches Mittel und Modalwert
Quartile kannst du wie folgt berechnen:
  • Unteres Quartil: $q_u=x_{0,25\cdot (n+1)}$
  • Oberes Quartil: $q_o=x_{0,75\cdot (n+1)}$
  • Mittleres Quartil (Median): abh. von $n$
    • $n$ ungerade: $q_o=x_{0,5\cdot (n+1)}$
    • $n$ gerade: $q_o=0,5\cdot(x_{0,5\cdot n}+x_{0,5\cdot (n+1)})$
  • Unteres Quartil: $q_u=x_{0,25\cdot (n+1)}$
  • Oberes Quartil: $q_o=x_{0,75\cdot (n+1)}$
  • Mittleres Quartil (Median):
    abh. von $n$
    • $n$ ungerade: $q_o=x_{0,5\cdot (n+1)}$
    • $n$ gerade:
      $q_o$$=0,5\cdot(x_{0,5\cdot n}+x_{0,5\cdot (n+1)})$
Des Weiteren gibt es den so genannten Modalwert. Dies ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Beispiel

Gegeben sei folgende sortierte Liste, die $14$ Werte enthält:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28
Wir berechnen:
  • $\overline{x}=\dfrac{2+4+…+26+28}{14}=15$
  • $SPW=x_{max}-x_{min}=28-2=26$
  • $q_u=x_{0,25\cdot (14+1)}=x_{3,75}\approx x_{4}=8$
  • $q_o=x_{0,75\cdot (14+1)}=x_{11,25}\approx x_{11}=22$
  • $q_m=0,5\cdot(x_{0,5\cdot14}+x_{0,5\cdot (14+1)})$
    $\;\;\;\;\,\approx 0,5\cdot(x_{7}+x_{8})=0,5\cdot(14+16)$
    $\;\;\;\;\,=15$
  • $\overline{x}$$=\dfrac{2+4+…+26+28}{14}=15$
  • $SPW=x_{max}-x_{min}$$=28-2$$=26$
  • $q_u=x_{0,25\cdot (14+1)}$$=x_{3,75}\approx x_{4}=8$
  • $q_o=x_{0,75\cdot (14+1)}$$=x_{11,25}\approx x_{11}=22$
  • $\begin{array}[ccc] q_m&=&0,5\cdot(x_{0,5\cdot14}+x_{0,5\cdot (14+1)})\\ &\approx& 0,5\cdot(x_{7}+x_{8})\\ &=&0,5\cdot(14+16)\\ &=&15 \end{array}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Bestimme das arithmetische Mittel und den Modalwert von …
a)
diesen Körpergrößen (in m): 1,75, 1,90, 2,03, 1,65, 1,75, 1,80, 1,69, 1,67, 1,75
b)
diesen Noten: 2, 3, 4, 1, 2, 5, 2, 3, 4, 2, 1, 1, 6, 5, 2, 2, 3, 2, 2,
c)
diesen Stundenlöhnen (in € pro h): 7, 8, 5,50, 9, 10, 12, 11, 18, 9, 9,30, 8, 9, 8, 9,20
2.
Ergänze in diesen Häufigkeitstabellen die fehlenden Angaben.
Ein Würfel wurde zehnmal geworfen. Das arithmetische Mittel dieser zehn Würfe ist 3,5.
Dies sind neun der zehn Würfe: 1, 6, 3, 5, 4, 4, 2, 3, 2
Bestimme den fehlenden Wert.
3.
Ein Würfel wurde sechs Mal geworfen. Sowohl der Modal- als auch der Mittelwert ist 4.
Dies hier sind vier der sechs Würfe: 2, 4, 5, 6
Bestimme die zwei fehlenden Werte.
4.
Fünf Freunde vergleichen ihr Taschengeld.
Tim erhält 8€ pro Woche. Sarah bekommt 40€ im Monat. Max bekommt einmal im halben Jahr 240€. Tobias hat pro Monat 50€ und Marina bekommt jede Woche 10€.
Wie viel Geld haben die Freunde durchschnittlich jeden Monat zur Verfügung?
5.
Einer Wetterstation hat in den letzten Tagen diese Temperaturen aufgezeichnet (in $^\circ\,\text{C}$): 11, 12, 13, 11, 13
a)
Wie hoch ist die Durchschnittstemperatur der letzten fünf Tage?
b)
Wie hoch war die Temperatur am sechsten Tag, wenn die Durchschnittstemperatur um $0,5^\circ\,\text{C}$ gestiegen ist?
c)
Gib eine mögliche, realistische Temperatur für den siebten Tag an, damit die Durchschnittstemperatur wieder den Wert aus Teil a annimmt.
6.  In dieser Grafik sind auf der $x$-Achse die Noten einer Schulaufgabe und auf der $y$-Achse die Anzahl, wie oft diese Note geschrieben wurde.
Welche Note wurde durchschnittlich geschrieben?
Statistische Erhebung und Darstellung: Arithmetisches Mittel und Modalwert
Statistische Erhebung und Darstellung: Arithmetisches Mittel und Modalwert
7.  In dieser Grafik sind auf der $x$-Achse die Augenzahlen eines Würfels und auf der $y$-Achse die relativen Häufigkeiten der Augenzahlen. Der Würfel wurde insgesamt 60-mal geworfen.
Ergänze den Balken für die Augenzahl 4.
Wie oft wurde jede Zahl gewürfelt?
Statistische Erhebung und Darstellung: Arithmetisches Mittel und Modalwert
Statistische Erhebung und Darstellung: Arithmetisches Mittel und Modalwert
8.  An einem Ort wird fünfmal am Tag die Temperatur gemessen.
Der Zeitabstand zwischen zwei Messungen beträgt 3 Stunden. Um 8 Uhr wurden 12$^\circ\,\text{C}$ gemessen, um 11 Uhr 21$^\circ\,\text{C}$ und um 14 Uhr betrug die Temperatur 24$^\circ\,\text{C}$.
Die durchschnittliche Tagestemperatur liegt bei 18$^\circ\,\text{C}$.
Berechne die jeweiligen Temperaturen von 17 und 20 Uhr, wenn es um 20 Uhr 3$^\circ\,\text{C}$ kälter war als um 17 Uhr.
9.  Sortiere diese Listen sinnvoll!
a)  1, 5, 1, 2, 3, 10, 4, 2, 4, 5, 1, 2, 3, 10, 8, 4, 2
b)  1,75, 1,90, 2,03, 1,65, 1,75, 1,80, 1,69, 1,67, 1,77
c)  K, K, Z, K, Z, Z, Z, K, K, Z, Z, Z, K
d)  A, B, B, C, F, T, F, D, A, C, T, A
10.  In den letzten beiden Klassenarbeiten wurden diese Noten geschrieben:
a)  2, 3, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 5, 2, 3, 4, 2, 3, 2
b)  1, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 4, 5
Gib jeweils den Median an.
11.  Gib für diese Listen jeweils das untere Quartil, den Median und das obere Quartil an.
a)  A, B, B, C, F, T, F, D, A, C, T, A
b)  9, 6, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 1, 3, 2, 8, 5, 7, 1, 7, 8
12.  Die 9 ist das mittlere Quartil dieser unsortierten Liste.
Gib je einen möglichen Wert für x und y an.
6, x, 2, 7, 16, 9, 14, y, 17
13.  In dieser Liste sind $q_u$, $q_m$ und $q_o$ die Quartile. Ordne die Liste der Größe nach.
Welche Werte können $q_u$, $q_m$ und $q_o$ annehmen?
$q_u$, 7, $q_o$, 1, 33, $q_m$, 1, 12, 19, 15, 22
14.  Gib den Wert der fehlenden Zahl $x$ an, falls der Median 12,5 ist.
1, 4, $x$, 16, 25, 49
15.  Wie lang ist diese Liste, wenn die 7 das untere Quartil ist?
1, 3, 5, 7, 9, 11, …
16.  Bestimme die Spannweite dieser Werte.
a)  1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1
b)  2, 10, 3, 5, 2, 10, 2, 5, 10, 5, 2, 8, 9
c)  8, -10, 23, 13, -4, 23, 32, 4, -12, 33, 3, 9, 20, 11, 12, 33, 12, 10, 33, 9
d)  0,78, 0,45, 0,43, 0,88, 0,32, 0,35, 0,07, 0,69, 0,02
17.  Bestimme die mittlere absolute Abweichung dieser Werte.
a)  7 3 2 3 6 5 1 3 3 5 6
b)  1, -5, -3, 0, 2, 2, -1, 4, -1, 5, -4, 0,13
c)  0,78, 0,97, 0,03, 0,71, 0,58, 0,62, 0,85, 0,37, 0,44, 0,59, 0,89
18.  Du weißt von einer Liste, dass die MAA gleich 5 ist. Außerdem kennst du du die Summe der absoluten Abweichungen, sie ist 100. Wieviele Daten sind in der ursprünglichen Liste?
19.  Du möchtest die Preise für eine Pizza Mozzarella in Frankfurt vergleichen. Du schaust deshalb bei 12 Pizzerien nach den Preisen (in €):
5, 7,50, 9, 6, 5,50, 7, 4, 7, 8, 8,50, 9, 6
Wie groß ist die Spannweite der Pizzapreise und wie stark weichen sie im Mittel vom Durchschnittspreis ab?
20.  Bestimme von dieser Liste die mittlere absolute Abweichung und die Spannweite. Erkläre, warum sich die Aussagen der beiden benutzen Methoden zur Streuungsmessung widersprechen. Welche Methode ist besser geeignet?
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 10
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
a)
Körpergrößen
1. Schritt: Arithmetisches Mittel bestimmen
Durch das Addieren aller angegebenen Werte erhältst du $15,99\,\text{m}$. Diese Summe teilst du durch die Anzahl der Werte: $9$, da insgesamt $9$ Körpergrößen angegeben wurden.
$\overline{x}=\dfrac{15,99\,\text{m}}{9}= 1,77\,\text{m}$
Das arithmetische Mittel ist somit $1,77\,\text{m}$.
2. Schritt: Modalwert bestimmen
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. In diesem Fall ist das mit dreimal die $1,75\,\text{m}$.
b)
Schulnoten
1. Schritt: Arithmetisches Mittel bestimmen
Durch das Addieren aller angegebenen Werte erhältst du $15,99\,\text{m}$. Diese Summe teilst du durch die Anzahl der Werte: $9$, da insgesamt $9$ Körpergrößen angegeben wurden.
$\overline{x}=\dfrac{15,99\,\text{m}}{9}= 1,77\,\text{m}$
Das arithmetische Mittel ist somit $1,77\,\text{m}$.
2. Schritt: Modalwert bestimmen
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. In diesem Fall ist das mit dreimal die $1,75\,\text{m}$.
c)
Stundenlöhne
1. Schritt: Arithmetisches Mittel bestimmen
Addierst du alle Löhne so kommst du auf einen Wert von $133€$. Es sind $17$ Stundenlöhne angegeben somit ist die Anzahl der Werte $17$.
$\overline{x}=\dfrac{133€}{14}= 9,5$€.
Das arithmetische Mittel ist somit $9,5$€.
2. Schritt: Modalwert bestimmen
Die Modalwerte sind $8$ und $9$, da beide Werte dreimal und somit am häufigsten vorkommen.
2.
Fehlenden Wert bestimmen
Benutze die Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels:
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize n=10\text{ und }\overline{x}=3,5\,\text{einsetzen}\\[5pt] 3,5=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{10} &\scriptsize \mid \cdot 10\\[5pt] 35=&\text{Summe aller Werte} \end{array}$
  $\text{Summe aller Werte}=35 $
Damit das arithmetische Mittel 3,5 ist muss die Summe aller Werte insgesamt 35 sein.
Die Summe der neun angegebenen Würfe ist nur 30. Somit ist der fehlende Wert die 5.
3.
Zwei fehlende Werte bestimmen
Modal- und Mittelwert sind mit jeweils $4$ angegeben. Der Würfel wird sechsmal geworfen, d.h. die Anzahl der Werte ist $6$.
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}&=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize n=6 \text{ und }\overline{x}=4\,\text{einsetzen}\\[5pt] 4&=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{6} &\scriptsize \mid \cdot 6\\[5pt] \text{Summe aller Werte}&=& 24 \end{array}$
  $ \text{Summe aller Werte}= 24 $
Zählst du die $4$ angegebenen Würfe zusammen, kommst du auf die Summe $17$. Die Summe aller Werte muss $24$ sein, d.h. die beiden fehlenden Zahlen müssen zusammen $7$ ergeben. Des Weiteren wissen wir, dass mindestens eine der beiden Zahlen eine $4$ sein muss, da nur so diese auch der Modalwert ist.
Die beiden fehlenden Würfe können somit nur die $4$ und die $3$ sein.
4.
Taschengeld vergleichen
1. Schritt: Taschengeld pro Monat bestimmen
Berechne das Taschengeld pro Monat, um die angegebenen Beträge vergleichen zu können:
$\begin{array}{rll} \text{Tim}=&8\,\text{€ pro Woche}&\rightarrow& 8\,\text{€}\cdot 4=32\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Max}=&240\,\text{€ pro 6 Monate}&\rightarrow& 240\,\text{€}:6=40\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Marina}=&10\,\text{€ pro Woche}&\rightarrow& 10\,\text{€}\cdot 4=40\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Sarah}=&40\,\text{€ pro Monat}&& \\[5pt] \text{Tobias}=&50\,\text{€ pro Monat}&& \\[5pt] \end{array}$
  $\begin{array}{rll} \text{Tim}=&32\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Max}=&40\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Marina}=&40\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Sarah}=&40\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Tobias}=&50\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Durchschnittliches Taschengeld berechnen
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] {\overline{x}}=& \frac{202 €}{5} \\[5pt] {\overline{x}}=& 40,40 € \end{array}$
Zeichne die relative Häufigkeit der Augenzahl $4$ in das Diagramm ein.
5.
Wetterstation
a)
Durchschnittstemperatur berechnen
Setze die angegebenen Werte in die Formel ein:
$\overline{x}=\dfrac{11°\,\text{C}+12°\,\text{C}+13°\,\text{C}+11°\,\text{C}+13°\,\text{C}}{5}= 12°\,\text{C}$
  $ \overline{x}=12°\,\text{C} $
Die Durchschnittstemperatur der letzten fünf Tage betrug $12°C$.
b)
Temperatur am sechsten Tag
Die Durchschnittstemperatur ist von $12°\,\text{C}$ auf $12,5°\,\text{C}$ um $0,5°\,\text{C}$ gestiegen.
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] 12,5°\,\text{C}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{6} & \scriptsize \mid \cdot 6\\[5pt] 75°\,\text{C}=&\text{Summe aller Werte} \end{array}$
  $ \text{Summe aller Werte}=75°\,\text{C} $
c)
Zwei weitere Werte berechnen
$11°\,\text{C}, 12°\,\text{C}, 13°\,\text{C}, 11°\,\text{C},$

$ 13°\,\text{C}, 15°\,\text{C}, $ $x_1$, $x_2$
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] 12°\,\text{C}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{8} & \scriptsize \mid \cdot 8\\[5pt] 96°\,\text{C}=&\text{Summe aller Werte} \end{array}$
  $ \text{Summe aller Werte}=96°\,\text{C} $
Wie in b) berechnet, ist die Summe der sechs gegebenen Werte $75^\circ\,\text{C}$. Diese $75^\circ\,\text{C}$ subtrahierst du von den eben errechneten $96^\circ\,\text{C}$, so bekommst du eine Differenz von $21^\circ\,\text{C}$ als Ergebnis.
Als realistische Lösung kommen alle Werte in Frage, die in der Summe $21^\circ\,\text{C}$ ergeben und ungefähr zwischen $7^\circ\,\text{C}$ und $14^\circ\,\text{C}$ liegen.
Zwei mögliche Werte könnten somit $x_1=11^\circ\,\text{C}$ und $x_2=10^\circ\,\text{C}$ sein.
6.  Arithmetischer Mittelwert anhand der Grafik bestimmen
Es sind insgesamt $35$ Noten, dies ist auch die Anzahl der Werte.
Die Summe der Werte berechnest du folgendermaßen:
$\text{Summe aller Werte}=(4\cdot1)+(7\cdot2)+(5\cdot3)+(8\cdot4)+(5\cdot5)+(6\cdot6)= 126$
  $\text{Summe aller Werte}=126 $
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] {\overline{x}}=&\frac{126}{35} \\[5pt] {\overline{x}}=&3,6 \end{array}$
$ {\overline{x}}=3,6 $
Im Durchschnitt wurde die Note $3,6$ geschrieben.
7.  Relative und absolute Häufigkeit anhand der Grafik bestimmen
1. Schritt: Absolute Häufigkeit berechnen
Der Würfel wurde insgesamt $60$-mal geworfen. Somit ist die Anzahl der Werte $60$.
Berechne, wie oft jede Zahl geworfen wurde mit folgender Formel:
$\text{absolute Häufigkeit}=\text{relative Häufigkeit}\cdot \text{Anzahl der Werte}$
$\text{absolute Häufigkeit}$$=\text{relative Häufigkeit}\cdot \text{Anzahl der Werte}$
Die relative Häufigkeit und die Anzahl der Werte sind gegeben, somit ergeben sich für die absoluten Häufigkeiten:
$\begin{array}{rll} 1:&0,1\cdot60=6\\[5pt] 2:&0,2\cdot60=12 \\[5pt] 3:&0,05\cdot60=3\\[5pt] 4:&\\[5pt] 5:&0,3\cdot60=18 \\[5pt] 6:&0,2\cdot60=12\\[5pt] \end{array}$
Die Summe der absoluten Häufigkeiten aller Augenzahlen ist $51$.
Das heißt, die fehlenden neun Würfe zeigten die Augenzahl $4$.
2. Schritt: Relative Häufigkeit berechnen
Nun verwendest du wie gewohnt die Formel zur Bestimmung der relativen Häufigkeit:
$\begin{array}{rll} \text{relative Häufigkeit}=& \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{relative Häufigkeit}=& \frac{9}{60} \\[5pt] \text{relative Häufigkeit}=& 0,15 \end{array}$
  $ \text{relative Häufigkeit}=0,15 $
Zeichne die relative Häufigkeit der Augenzahl $4$ in das Diagramm ein.
Statistische Erhebung und Darstellung: Arithmetisches Mittel und Modalwert
Statistische Erhebung und Darstellung: Arithmetisches Mittel und Modalwert
8.  Temperaturmessungen
Die Durchschnittstemperatur von \(18^\circ\,\text{C}\) sowie drei der fünf Messungen sind angegeben.
1. Schritt: Summe aller Werte berechnen
Berechne die Summe aller Werte mit der Formel für den arithmetischen Mittelwert:
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] 18°\,\text{C}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{5} & \scriptsize \mid \cdot 8\\[5pt] 90°\,\text{C}=&\text{Summe aller Werte} \end{array}$
  $ \text{Summe aller Werte}=90°\,\text{C} $
Damit die Durchschnittstemperatur \(18^\circ\,\text{C}\) beträgt, muss die Summe aller Werte $90^\circ\,\text{C}$ sein.
2. Schritt: Zwei Messwerte berechnen
Addiere die drei gegebenen Werte:
$12^\circ\,\text{C}+21^\circ\,\text{C}+24^\circ\,\text{C}=57^\circ\,\text{C}$
Die Differenz beträgt: $90^\circ\,\text{C} - 57^\circ\,\text{C} =33^\circ\,\text{C}$
Die Summe der beiden gesuchten Messwerte beträgt \(33^\circ\,\text{C}\).
Berechne die Messwerte folgendermaßen:
Die Temperatur um 17:00 Uhr sei $x$ und die Temperatur um 20:00 Uhr ist \(3^\circ\,\text{C}\) tiefer als um 17:00 Uhr ($x-3^\circ\,$C).
Stelle folgende Gleichung auf und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}{rll} (x-3^\circ\,\text{C})+x=& 33^\circ\,\text{C} &\scriptsize \\[5pt] 2x-3^\circ\,\text{C}=& 33^\circ\,\text{C} \\[5pt] 2x=& 36^\circ\,\text{C}\\[5pt] 2x=& 18^\circ\,\text{C}\\[10pt] (x-3^\circ\,\text{C})=& 15^\circ\,\text{C}\\[5pt] \end{array}$
Um 17:00 Uhr lag die Temperatur somit bei \(18^\circ\,\text{C}\), um 20:00 Uhr bei \(15^\circ\,\text{C}\).
9.  Listen sortieren
a)  Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 8, 10, 10
b)  Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1,65, 1,67, 1,69, 1,75, 1,75, 1,77, 1,80, 1,90, 2,03
c)  Sortiere die Buchstaben alphabetisch von vorne nach hinten.
K, K, K, K, K, K, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z
d)  Sortiere die Buchstaben alphabetisch von vorne nach hinten.
A, A, A, B, B, C, C, D, F, F, T, T
10.  Median bestimmen
a) 
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
2. Schritt: Median bestimmen
$\begin{array}{rll} q_m&=&x_{0,5\cdot(n+1)}& \scriptsize n=15 \\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(15+1)}\\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(16)}\\[5pt] q_m&=&x_{8} \end{array}$
Der Median beträgt somit 3.
b) 
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
2. Schritt: Median bestimmen
$\begin{array}{rll} q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot n}+x_{0,5\cdot(n+1)}\right)& \scriptsize n=12 \\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot 12}+x_{0,5\cdot(12+1)}\right)\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot 12}+x_{0,5\cdot13}\right)\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{6}+x_{6,5}\right)& \scriptsize \text{runden} \\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_6+x_7\right)& \scriptsize \mid x_6=3\quad x_7=3 \\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(3+3\right)\\[5pt] q_m&=&3 \end{array}$
  $ q_m=3 $
Der Median ist somit 3.
11.  Unteres, oberes Quartil und Median bestimmen
a) 
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Buchstaben alphabetisch von vorne nach hinten.
A, A, A, B, B, C, C, D, F, F, T, T
2. Schritt: Unteres Quartil bestimmen
$\begin{array}{rll} q_u&=&x_{0,25\cdot(n+1)}& \scriptsize n=12 \\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot(12+1)}\\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot13}\\[5pt] q_u&=&x_{3,25}& \scriptsize \text{runden}\\[5pt] q_u&=&x_{3} \\[5pt] \end{array}$
Das untere Quartil ist A.
3. Schritt: Oberes Quartil bestimmen
$\begin{array}{rll} q_o&=&x_{0,75\cdot(n+1)}& \scriptsize n=12 \\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot(12+1)}\\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot13}\\[5pt] q_o&=&x_{9,25}& \scriptsize \text{runden}\\[5pt] q_o&=&x_{9}=\text{F} \\[5pt] \end{array}$
Das obere Quartil ist F.
4. Schritt: Median bestimmen
$\begin{array}{rll} q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot n}+x_{0,5\cdot(n+1)}\right)& \scriptsize n=12 \\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot 12}+x_{0,5\cdot(12+1)}\right)\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{0,5\cdot 12}+x_{0,5\cdot13}\right)\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_{6}+x_{6,5}\right)& \scriptsize \text{runden}\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(x_6+x_7\right)& \scriptsize x_6=\text{C},\, x_7=\text{C}\\[5pt] q_m&=&0,5\cdot \left(2\text{C}\right)\\[5pt] q_m&=&\text{C} \end{array}$
  $ q_m=\text{C} $
Das obere Quartil ist F.
b) 
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9
2. Schritt: Unteres Quartil bestimmen
$\begin{array}{rll} q_u&=&x_{0,25\cdot(n+1)}& \scriptsize n=17 \\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot(17+1)}\\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot18}\\[5pt] q_u&=&x_{4,5}& \scriptsize \text{runden}\\[5pt] q_u&=&x_{5} \\[5pt] \end{array}$
Das untere Quartil ist $5$.
3. Schritt: Oberes Quartil bestimmen
$\begin{array}{rll} q_o&=&x_{0,75\cdot(n+1)}& \scriptsize n=17 \\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot(17+1)}\\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot18}\\[5pt] q_o&=&x_{13,5}& \scriptsize \text{runden}\\[5pt] q_o&=&x_{14}=\text{8} \\[5pt] \end{array}$
Das obere Quartil ist $8$.
4. Schritt: Median bestimmen
$\begin{array}{rll} q_m&=&x_{0,5\cdot(n+1)}& \scriptsize n=17 \\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(17+1)}\\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(18)}\\[5pt] q_m&=&x_{9}=7 \end{array}$
Das obere Quartil ist $7$.
12.  Mögliche Werte bestimmen
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
2, 6, 7, 9, 14, 16, 17
2. Schritt: Werte für $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ bestimmen
Damit die 9 das mittlere Quartil ist, muss ein Wert größer und ein Wert kleiner als $9$ sein.
Zwei mögliche Werte können beispielsweise $\text{x}=4$ und $\text{y}=12$ sein.
Somit lautet die Liste: 2, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 16, 17
13.  Werte für $\boldsymbol{q_u,\;q_m,\;q_o}$ bestimmen
1. Schritt: Stellen der Quartile bestimmen
Da die Anzahl der Werte ($n=11$) in der Liste bekannt sind, kannst du die Stellen bestimmen.
$\begin{array}{rll} q_u&=&x_{0,25\cdot(n+1)}& \scriptsize n=11 \\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot(11+1)}\\[5pt] q_u&=&x_{0,25\cdot12}\\[5pt] q_u&=&x_{53} \end{array}$
$q_u$ ist an dritter Stelle.
$\begin{array}{rll} q_m&=&x_{0,5\cdot(n+1)}& \scriptsize n=11\\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(11+1)}\\[5pt] q_m&=&x_{0,5\cdot(12)}\\[5pt] q_m&=&x_{6} \end{array}$
$q_m$ ist an sechster Stelle.
$\begin{array}{rll} q_o&=&x_{0,75\cdot(n+1)}& \scriptsize n=11 \\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot(11+1)}\\[5pt] q_o&=&x_{0,75\cdot12}\\[5pt] q_o&=&x_{9} \end{array}$
$q_o$ ist an neunter Stelle.
2. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1, 1, $q_u$, 7, 12, $q_m$, 15, 19, $q_o$, 22 33
3. Schritt: Werte, die $\boldsymbol{q_u,\;q_m,\;q_o}$ annehmen können
$q_u$ liegt zwischen 1 und 7, somit kann $q_u$ die Werte 1 bis 7 annehmen.
$q_m$ liegt zwischen 12 und 15, somit kann $q_m$ die Werte 12 bis 15 annehmen.
$q_o$ liegt zwischen 19 und 22, somit kann $q_m$ die Werte 19 bis 22 annehmen.
14.  Fehlenden Wert $\boldsymbol{x}$ bestimmen
Der Median ist 12,5. Die Liste ist $n=6$ Werte lang.
Benutze die Formel für gerade $n$, um den fehlenden Wert zu bestimmen:
$\begin{array}{rll} q_m&=&0,5\cdot\left(x_{0,5\cdot n}+x_{0.5\cdot(n+1)}\right)& \scriptsize n=6 \\[5pt] 12,5&=&0,5\cdot\left(x_{0,5\cdot 6}+x_{0.5\cdot(6+1)}\right)\\[5pt] 12,5&=&0,5\cdot\left( x_{3}+x_{3,5}\right) & \scriptsize \text{runden}\\[5pt] 12,5&=&0,5\cdot\left( x_{3}+x_{4}\right)& \scriptsize x_3=x, \,x_4=16 \\[5pt] 12,5&=&0,5\cdot\left( x+16\right)& \scriptsize \mid \cdot2 \\[5pt] 25&=&x+16& \scriptsize \mid -16 \\[5pt] 95&=&x \end{array}$
  $ x=95 $
Der fehlende Wert ist $x=9$.
15.  Länge der Liste bestimmen
Die 7 steht an vierter Stelle, somit handelt es sich um $x_4$.
Die Länge der Liste ($n$) ist Teil der Formel zur Berechnung des unteren Quartiles.
$\begin{array}{rll} q_u&=&x_{0,25\cdot(n+1)}& \scriptsize q_u=x_4 \\[5pt] x_4&=&x_{0,25\cdot(n+1)} \end{array}$
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}{rll} 4&=&0,25\cdot(n+1)& \scriptsize \mid \cdot 4 \\[5pt] 16&=&n+1& \scriptsize \mid -1\\[5pt] 15&=&n \end{array}$
Die Liste besteht aus $15$ Werten.
16.  Listen sortieren
a)  Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=1-0$
SPW$=1$
Somit beträgt die Spannweite $1$.
b)  Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=10-2$
SPW$=8$
Somit beträgt die Spannweite $8$.
c)  Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=33-(-12)$
SPW$=45$
Somit beträgt die Spannweite $45$.
d)  Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=0,88-0,02$
SPW$=0,86$
Somit beträgt die Spannweite $0,86$.
17.  Mittlere absolute Abweichung bestimmen
a)  Die Liste ist $n=11$ Werte lang
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1 2 3 3 3 3 5 5 6 6 7
2. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}\\[5pt] &=&\dfrac{44}{11}\\[5pt] &=&4 \end{array}$
3. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n}\\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|1-4|+|2-4|+|3-4|+|3-4|+|3-4|+|3-4|}{11}\\[5pt] &&\scriptsize +\dfrac{|5-4|+|5-4|+|6-4|+|6-4|+|7-4|}{11}\\[5pt] &=&\dfrac{18}{11}\\[5pt] & ≈ &1,64 \end{array}$
  $ \text{MAA}\approx 1,64 $
Die mittlere absolute Abweichung beträgt ca. $1,64$.
b)  Die Liste ist $n=12$ Werte lang
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
-5 -4 -3 -1 -1 0 0,13 1 2 2 4 5
2. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} \\[5pt] &=&\dfrac{0,13}{12}\\[5pt] & ≈ &0,01 \end{array}$
3. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n} \\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|-5-0,01|+|-4-0,01|+|-3-0,01|+|-1-0,01|+|-1-0,01|+|0-0,01|}{12} \\[5pt] && \scriptsize +\dfrac{0,13-0,01|+|1-0,01|+|2-0,01|+|2-0,01|+|4-0,01|+|5-0,01|}{12}\\[5pt] &=&\dfrac{33,13}{12}\\[5pt] & ≈ & 2,76 \end{array}$
  $ \text{MAA}\approx 2,76 $
Die mittlere absolute Abweichung beträgt $2,76$.
c)  Die Liste ist $n=12$ Werte lang
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
0,03 0,37 0,44 0,58 0,59 0,62 0,71 0,78 0,85 0,89 0,97
2. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}\\[5pt] &=&\dfrac{6,83}{11}\\[5pt] & ≈ & 0,62 \end{array}$
3. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n} \\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|0,03-0,62|+|0,37-0,62|+|0,44-0,62|+|0,58-0,62|+|0,59-0,62|+|0,62-0,62|}{12} \\[5pt] &&\scriptsize +\dfrac{|0,71-0,62|+|0,78-0,62|+|0,85-0,62|+|0,89-0.62|+|0,97-0,62|}{12}\\[5pt] &=&\dfrac{2,19}{11}\\[5pt] & ≈ & 0,2 \end{array}$
  $ \text{MAA}\approx 0,2 $
Die mittlere absolute Abweichung beträgt ca. $0,2$;
18.  Länge der Liste bestimmen
Die MAA ist $5$. Die Summe der absoluten Abweichungen ist $100$.
Die Formel lautet:
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n} \\[5pt] 5&=&\dfrac{100}{n}& \scriptsize \mid \cdot n\\[5pt] 5 \cdot n&=& 100 &\scriptsize \mid :5, \cdot n\\[5pt] n&=&\dfrac{100}{5}\\[5pt] n&=&20 \end{array}$
  $ n=20 $
Die Liste hat $n=20$ Werte.
19.  Spannweite und absolute mittlere Abweichung am Beispiel Pizza bestimmen
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
4, 5, 5.50, 6, 6, 7, 7, 7.50, 8, 8.50, 9, 9
2. Schritt: Spannweite berechnen
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite $ SPW= x_{max}- x_{min}$
Setze den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=9-4$
SPW$=5$
Somit beträgt die Spannweite der Pizzapreise $5€$.
3. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
Die Liste hat $n=12$ Werte.
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} \\[5pt] &=&\dfrac{4+5+5.50+6+6+7+7+7.50+8+8.50+9+9}{12}\\[5pt] &=&6,875 \end{array}$
  $ \overline{x}=6,875 $
Eine Pizza kostet im Durchschnitt ca. $6,88€$.
4. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n}\\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|4-6,875|+|5-6,875|+|5.50-6,875|+|6-6,875|+|6-6,875|+|7-6,875|}{12}\\[5pt] &&\scriptsize +\dfrac{|7-6,875|+|7.50-6,875|+|8-6,875|+|8.50-6,875|+|9-6,875|+|9-8,75|}{12}\\[5pt] &=&\dfrac{15,75}{12}\\[5pt] & ≈ & 1,31 \end{array}$
  $ \text{MAA}\approx 1,31 $
Die mittlere absolute Abweichung beträgt $1,31$.
Die Pizzapreise weichen im Mittel um $1,31€$ vom Durchschnittspreis ab.
20.  Mittlere absolute Abweichung und SPW bestimmen
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 10
2. Schritt: Spannweite berechnen
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite $SPW = x_{max}- x_{min}$
Setze den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=10-0$
SPW$=10$
Somit beträgt die Spannweite $10$.
3. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
Die Liste hat $n=12$ Werte.
Addierst du die Werte der Liste, erhältst du $15$.
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}\\[5pt] &=&\dfrac{15}{12}\\[5pt] & ≈ & 1,25 \end{array}$
Das arithmetisches Mittel ist ca. $1,25$.
4. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n}\\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|0-1,25|+|0-1,25|+|0-1,25|+|0-1,25|+|0-1,25|+|0-1,25|}{12}\\[5pt] &&\scriptsize +\dfrac{|1-1,25|+|1-1,25|+|1-1,25|+|1-1,25|+|1-1,25|+|1-1,25|+|10-1,25|}{12}\\[5pt] &=&\dfrac{17,5}{12}\\[5pt] & ≈ & 1,46 \end{array}$
  $ \text{MAA}=1,46 $
Die mittlere absolute Abweichung beträgt ca. $1,46$.
$\blacktriangleright$ Unterschied mittlere absolute Abweichung und SPW
Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Sie ist zur Streuungsmessung nicht besonders gut geeignet, da ein einzelner extremer Wert (Ausreißer) bereits auf eine hohe Streuung schließen lässt.
Die mittlere absolute Abweichung ist der durchschnittliche Abstand von jedem Wert zum arithmetischen Mittel. Sie ist etwas robuster gegen Ausreißer und somit besser zur Streuungsmessung geeignet als die Spannweite.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App