Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Realschulabschluss
VERA 8
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Trigonometrie
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Allgemeines Vieleck
Berechnungen in Körpe...
Streckenzug
Raumdiagonale
Funktionswerte spezie...
Formvariable
Stereometrie
Prismen
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Zylinder
Kugel
Pyramide
Kegel
Zusammengesetzte Körp...
Daten
Statistische Erhebung...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme erstellen u...
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Algebra
Schnittwinkel im Koor...
Quadratische Funktion...
Wiederholung lineare ...
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Parabelfor...
Achsenschnittpunkte
Punktberechnung und P...
Schnittstellen zweier...
Herleitung von Funkti...
Modellierungsaufgaben
Wachstum
Lineares Wachstum
Quadratisches Wachstu...
Exponentielles Wachst...
Exponentieller Zerfal...
Sachrechnen
Erhöhter und verminde...
Zinsrechnung
Zinsrechnen
Vermischte Aufgaben
Zuwachssparen und Rat...
Orthogonale Affinität
Daten und Zufall
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Zinseszins

Spannweite und mittlere Abweichung

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Die Spannweite (SPW) und die mittlere absolute Abweichung (MAA) sind zwei Methoden, um Werte einer Liste auf ihre Streuung zu untersuchen.
$\begin{array}{rll} \text{SPW}&& \text{kleiner Wert} \Rightarrow \text{kleine Streuung (hoher Wert kann auch an Außreiser liegen)}\\[5pt] &=& \text{größter Wert}-\text{kleinster Wert}\\[5pt] &=& x_{max}- x_{min} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{SPW}&&… \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=& \text{durchschnittl. Abweichung jedes Wertes vom arithm. Mittel}\\[5pt] &=& \dfrac{|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+…+|x_n-\overline{x}|}{n} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=… \end{array}$

Beispiel – Noten einer Mathearbeit

Durchschnittsnote $2,6$; $n=20$ Noten
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4
$\begin{array}{rll} \text{SPW}&=& x_{max}- x_{min}\\[5pt] &=& 4-1\\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=& \dfrac{|1-2,6|+…+|4-2,6|}{20}\\[5pt] &=& \dfrac{|-1,6|+…+|1,4|}{20}\\[5pt] &=& \dfrac{1,6+…+1,4}{20}\\[5pt] &=& \dfrac{16}{20}\\[5pt] &=& 0,8\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=& 0,8\\[5pt] \end{array}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Bestimme die Spannweite dieser Werte.
a)
1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1
b)
2, 10, 3, 5, 2, 10, 2, 5, 10, 5, 2, 8, 9
c)
8, -10, 23, 13, -4, 23, 32, 4, -12, 33, 3, 9, 20, 11, 12, 33, 12, 10, 33, 9
d)
0,78, 0,45, 0,43, 0,88, 0,32, 0,35, 0,07, 0,69, 0,02
2.
Bestimme die mittlere absolute Abweichung dieser Werte.
a)
7 3 2 3 6 5 1 3 3 5 6
b)
1, -5, -3, 0, 2, 2, -1, 4, -1, 5, -4, 0,13
c)
0,78, 0,97, 0,03, 0,71, 0,58, 0,62, 0,85, 0,37, 0,44, 0,59, 0,89
3.
Du weißt von einer Liste, dass die MAA gleich 5 ist. Außerdem kennst du du die Summe der absoluten Abweichungen, sie ist 100. Wieviele Daten sind in der ursprünglichen Liste?
4.
Du möchtest die Preise für eine Pizza Mozzarella in Frankfurt vergleichen. Du schaust deshalb bei 12 Pizzerien nach den Preisen (in €):
5, 7,50, 9, 6, 5,50, 7, 4, 7, 8, 8,50, 9, 6
Wie groß ist die Spannweite der Pizzapreise und wie stark weichen sie im Mittel vom Durchschnittspreis ab?
5.
Bestimme von dieser Liste die mittlere absolute Abweichung und die Spannweite. Erkläre, warum sich die Aussagen der beiden benutzen Methoden zur Streuungsmessung widersprechen. Welche Methode ist besser geeignet?
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 10
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Listen sortieren
a)
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=1-0$
SPW$=1$
Somit beträgt die Spannweite 1.
b)
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=10-2$
SPW$=8$
Somit beträgt die Spannweite 8.
c)
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=33-(-12)$
SPW$=45$
Somit beträgt die Spannweite 45.
d)
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Jetzt setzt du den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=0,88-0,02$
SPW$=0,86$
Somit beträgt die Spannweite 0,86.
2.
Mittlere absolute Abweichung bestimmen
a)
Die Liste ist $n=11$ Werte lang
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
1 2 3 3 3 3 5 5 6 6 7
2. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}\\[5pt] &=&\dfrac{44}{11}\\[5pt] &=&4 \end{array}$
3. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n}\\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|1-4|+|2-4|+|3-4|+|3-4|+|3-4|+|3-4|}{11}\\[5pt] &&\scriptsize +\dfrac{|5-4|+|5-4|+|6-4|+|6-4|+|7-4|}{11}\\[5pt] &=&\dfrac{18}{11}\\[5pt] & ≈ &1,64 \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}& ≈ &1,64 \end{array}$
Die mittlere absolute Abweichung beträgt ca. 1,64.
b)
Die Liste ist $n=12$ Werte lang
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
-5 -4 -3 -1 -1 0 0,13 1 2 2 4 5
2. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} \\[5pt] &=&\dfrac{0,13}{12}\\[5pt] & ≈ &0,01 \end{array}$
3. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n} \\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|-5-0,01|+|-4-0,01|+|-3-0,01|+|-1-0,01|+|-1-0,01|+|0-0,01|}{12} \\[5pt] && \scriptsize +\dfrac{0,13-0,01|+|1-0,01|+|2-0,01|+|2-0,01|+|4-0,01|+|5-0,01|}{12}\\[5pt] &=&\dfrac{33,13}{12}\\[5pt] & ≈ & 2,76 \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}& ≈ & 2,76 \end{array}$
Die mittlere absolute Abweichung beträgt 2,76.
c)
Die Liste ist $n=12$ Werte lang
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
0,03 0,37 0,44 0,58 0,59 0,62 0,71 0,78 0,85 0,89 0,97
2. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}\\[5pt] &=&\dfrac{6,83}{11}\\[5pt] & ≈ & 0,62 \end{array}$
3. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n} \\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|0,03-0,62|+|0,37-0,62|+|0,44-0,62|+|0,58-0,62|+|0,59-0,62|+|0,62-0,62|}{12} \\[5pt] &&\scriptsize +\dfrac{|0,71-0,62|+|0,78-0,62|+|0,85-0,62|+|0,89-0.62|+|0,97-0,62|}{12}\\[5pt] &=&\dfrac{2,19}{11}\\[5pt] & ≈ & 0,2 \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}& ≈ & 0,2 \end{array}$
Die mittlere absolute Abweichung beträgt ca. 0,2.
3.
Länge der Liste bestimmen
Die MAA ist 5. Die Summe der absoluten Abweichungen ist 100.
Die Formel lautet:
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n} \\[5pt] 5&=&\dfrac{100}{n}& \scriptsize \mid \cdot n\\[5pt] 5 \cdot n&=& 100 &\scriptsize \mid :5, \cdot n\\[5pt] n&=&\dfrac{100}{5}\\[5pt] n&=&20 \end{array}$
$\begin{array}{rll} n&=&20 \end{array}$
Die Liste hat $n=20$ Werte.
4.
Spannweite und absolute mittlere Abweichung am Beispiel Pizza bestimmen
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
4, 5, 5.50, 6, 6, 7, 7, 7.50, 8, 8.50, 9, 9
2. Schritt: Spannweite berechnen
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite SPW $ = x_{max}- x_{min}$
Setze den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=9-4$
SPW$=5$
Somit beträgt die Spannweite der Pizzapreise 5€.
3. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
Die Liste hat $n=12$ Werte.
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} \\[5pt] &=&\dfrac{4+5+5.50+6+6+7+7+7.50+8+8.50+9+9}{12}\\[5pt] &=&6,875 \end{array}$
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&6,875 \end{array}$
Eine Pizza kostet im Durchschnitt ca. $6,88$€.
4. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n}\\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|4-6,875|+|5-6,875|+|5.50-6,875|+|6-6,875|+|6-6,875|+|7-6,875|}{12}\\[5pt] &&\scriptsize +\dfrac{|7-6,875|+|7.50-6,875|+|8-6,875|+|8.50-6,875|+|9-6,875|+|9-8,75|}{12}\\[5pt] &=&\dfrac{15,75}{12}\\[5pt] & ≈ & 1,31 \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}& ≈ & 1,31 \end{array}$
Die mittlere absolute Abweichung beträgt 1,31.
Die Pizzapreise weichen im Mittel um 1,31€ vom Durchschnittspreis ab.
5.
Mittlere absolute Abweichung und SPW bestimmen
1. Schritt: Liste sortieren
Sortiere die Zahlen aufsteigend von vorne nach hinten.
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 10
2. Schritt: Spannweite berechnen
Die Formel für die Spannweite ist:
Spannweite $SPW = x_{max}- x_{min}$
Setze den niedrigsten und höchsten Wert aus der Liste in die Formel ein:
SPW$=10-0$
SPW$=10$
Somit beträgt die Spannweite 10.
3. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen
Die Liste hat $n=12$ Werte.
Addierst du die Werte der Liste, erhältst du 15.
$\begin{array}{rll} \overline{x}&=&\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}\\[5pt] &=&\dfrac{15}{12}\\[5pt] & ≈ & 1,25 \end{array}$
Das arithmetisches Mittel ist ca. 1,25.
4. Schritt: Mittlere absolute Abweichung berechnen
$\begin{array}{rll} \text{MAA}&=&\dfrac{|x_{1}-\overline{x}|+|x_{2}-\overline{x}|+…|x_{n}-\overline{x}|}{n}\\[5pt] &=&\scriptsize \dfrac{|0-1,25|+|0-1,25|+|0-1,25|+|0-1,25|+|0-1,25|+|0-1,25|}{12}\\[5pt] &&\scriptsize +\dfrac{|1-1,25|+|1-1,25|+|1-1,25|+|1-1,25|+|1-1,25|+|1-1,25|+|10-1,25|}{12}\\[5pt] &=&\dfrac{17,5}{12}\\[5pt] & ≈ & 1,46 \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{MAA}& ≈ & 1,46 \end{array}$
Die mittlere absolute Abweichung beträgt ca. 1,46.
$\blacktriangleright$ Unterschied mittlere absolute Abweichung und SPW
Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Sie ist zur Streuungsmessung nicht besonders gut geeignet, da ein einzelner extremer Wert (Ausreißer) bereits auf eine hohe Streuung schließen lässt.
Die mittlere absolute Abweichung ist der durchschnittliche Abstand von jedem Wert zum arithmetischen Mittel. Sie ist etwas robuster gegen Ausreißer und somit besser zur Streuungsmessung geeignet als die Spannweite.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App