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Daten beurteilen

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Um Aussagen über Datenmengen machen zu können bzw. Datenmengen vergleichen zu können, brauchst du so genannte Kennwerte. Zu den Kennwerten, die eine Aussage über die Lage von Daten machen, gehören:
  • Maximum bzw. Minimum
  • Mittelwert
  • Zentralwert (Der Zentralwert ist der Wert, der bei einer geordneten Datenreihe in der Mitte steht.)
Die Spannweite und der Quartilabstand machen dagegen über die Verteilung der Daten eine Aussage. Die Spannweite beschreibt den Abstand zwischen dem Maximum und dem Minimum.
Teilt man einen Datensatz in vier gleich große Teile, so sind diese durch drei Quartile aufgeteilt. Der Quartilabstand, ist der Abstand zwischen dem unteren und oberen Quartil. In diesem Bereich sind $50\,\%$ aller Beobachtungswerte enthalten. Das zweite Quartil entspricht dem Zentralwert.
Daten darstellen und beurteilen: Daten beurteilen
Daten darstellen und beurteilen: Daten beurteilen

Beispiel

Die Tabelle zeigt, wie viel Taschengeld die Schüler pro Monat bekommen. Werte die Tabelle mit Hilfe der Kennwerte aus und beurteile diese.
$€$ pro Monat
Timo$20$
Sara$15$
Max$25$
Steffi$10$
Jenni$15$
Luca$20$
Alex$30$
Zunächst ordnest du die Angaben aufsteigend nach ihrer Größe:
$10$, $15$, $15$, $20$, $20$, $25$, $30$
  • Steffi bekommt von den Schüler am wenigsten Taschengeld. Sie bekommt $10\,€$. Alex bekommt mit $30\,€$ am meisten Taschengeld. Der Abstand, bzw. die Spannweite, beträgt $20\,€$.
  • Der Mittelwert beträgt:
    $\frac{10\,€+15\,€+15\,€+20\,€+20\,€+25\,€+30\,€}{7}\approx19,29\,€$
    Die Schüler bekommen im Schnitt etwa $20\,€$. Dies entspricht in diesem Fall auch in etwa dem Zentralwert von $20\,€$.
  • Für das untere Quartil $q_u$ gilt: $q_u=15\,€$ Das obere Quartil $q_o$ beträgt $25\,€$. Dementsprechend gilt für den Quartilabstand: $q=25\,€-15\,€=10\,€$.
    Bei mindestens der Hälfte der Schüler unterscheidet sich das Taschengeld höchstens um $10\,€$.
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Aufgaben
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1.  Untersuche die Unterschiede
Die zwei folgenden Datenreihen zeigen die Ausgaben von Jungen und Mädchen in $€$ pro Monat.
  • Jungen: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25
  • Mädchen: 7; 7; 10; 10; 12; 12; 12; 15; 15; 18; 18; 20
Wie unterscheiden sich die Ausgaben der Jungen und Mädchen? Gehe dabei auf den Quartilabstand und den Mittelwert ein.
2.  Weitsprung
Bei einem Weitsprung-Wettbewerb nehmen $10$ Schüler teil. Wie weit sind die Schüler durchschnittlich gesprungen? Wie groß ist die Spannweite der Verteilung?
Weite in $\textbf{m}$
Schüler $\boldsymbol{1}$$3,27$
Schüler $\boldsymbol{2}$$3,54$
Schüler $\boldsymbol{3}$$2,94$
Schüler $\boldsymbol{4}$$3,05$
Schüler $\boldsymbol{5}$$3,15$
Schüler $\boldsymbol{6}$$2,64$
Schüler $\boldsymbol{7}$$4,03$
Schüler $\boldsymbol{8}$$3,82$
Schüler $\boldsymbol{9}$$2,98$
Schüler $\boldsymbol{10}$$3,43$
3.  Nutzung von WhatsApp
Schüler der Klasse $8a$ und $8b$ wurden nach ihrer durchschnittlichen Nutzung von „WhatsApp“ pro Tag befragt.
Die Auswertung ergab folgende Tabelle (Angaben in Stunden):
$\boldsymbol{8a}$$\boldsymbol{8b}$
Minimum$0$$0$
unteres Quartil$1$$2$
Zentralwert$2$$3$
oberes Quartil$3$$4$
Maximum$4$$5$
Mittelwert$2,5$$3,2$
Überprüfe die Aussagen:
  1. $25\,\%$ der Schüler der Klasse $8b$ nutzen WhatsApp mindestens $4$ Stunden pro Tag.
  2. $75\,\%$ der Schüler der Klasse $8a$ nutzen WhatsApp höchstens $2$ Stunden pro Tag.
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Lösungen
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1.  Untersuche die Unterschiede
Berechne zunächst für die beiden Datenreihen die geforderten Kennwerte.
Die Datenreihe besteht aus $12$ Werten und ist schon richtig geordnet. Das untere Quartil $q_u$ befindet sich demnach zwischen dem $3.$ und $4.$ Wert und das obere Quartil $q_o$ zwischen $9.$ und $10.$ Wert. Um das untere und obere Quartil zu berechnen, bildest du jeweils den Mittelwert dieser Werte.
Jungen:
unteres Quartil:
$\begin{array}[t]{rll} q_u&=&\dfrac{7+9}{2} \\[5pt] q_u&=& 8 \end{array}$
oberes Quartil:
$\begin{array}[t]{rll} q_o&=&\dfrac{19+21}{2} \\[5pt] q_o&=& 20 \end{array}$
Quartilabstand:
$\begin{array}[t]{rll} q&=& q_o-q_u \\[5pt] q&=& 20-8\\[5pt] q&=& 12 \end{array}$
Mittelwert:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{3+ 5+ 7+ 9+11+13+ 15+ 17+ 19+21+23+25}{12} \\[5pt] m&=&\dfrac{168}{12} \\[5pt] m&=& 14 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\frac{3+ 5+ 7+ 9+11+13+ 15+ 17+ 19+21+23+25}{12} \\[5pt] m&=&\dfrac{168}{12} \\[5pt] m&=& 14 \end{array}$
Mädchen:
unteres Quartil:
Bei den Mädchen ist der $3.$ und $4.$ Wert gleich. Es gilt: $q_u=10$
oberes Quartil:
$\begin{array}[t]{rll} q_o&=&\dfrac{15+18}{2} \\[5pt] q_o&=& 16,5 \end{array}$
Quartilabstand:
$\begin{array}[t]{rll} q&=& q_o-q_u \\[5pt] q&=& 16,5-10\\[5pt] q&=& 6,5 \end{array}$
Mittelwert:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{7+ 7+ 10+ 10+12+ 12+12+ 15+ 15+18+ 18+20}{12} \\[5pt] m&=&\dfrac{156}{12} \\[5pt] m&=& 13 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\frac{7+ 7+ 10+ 10+12+ 12+12+ 15+ 15+18+ 18+20}{12} \\[5pt] m&=&\dfrac{156}{12} \\[5pt] m&=& 13 \end{array}$
Bei den Jungen ist der Quartilabstand größer, als bei den Mädchen. Das bedeutet, dass es bei den Jungen größere Unterschiede bei den Ausgaben gibt. Bei mindestens der Hälfte der Mädchen unterscheideen sich die Ausgaben höchstens um $6,50\,€$. Bei Jungen sind es $12\,€$.
Mädchen geben pro Monat im Durchschnitt $1\,€$ weniger aus als Jungen.
2.  Weitsprung
Um zu berechnen, wie weit die Schüler durchschnittlich gesprungen sind, bildest du den Mittelwert. Die Spannweite berechnest du durch die Differenz des höchsten und des niedrigsten Wertes.
Mittelwert:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{3,27+3,54+2,94+3,05+3,15+2,64+4,03+3,82+2,98+3,43}{10} \\[5pt] m&\approx& 3,29 \end{array}$
$ m \approx 3,29 $
Im Durchschnitt sind die Schüler etwa $3,29\,\text{m}$ weit gesprungen.
Spannweite:
Am weitesten ist Schüler $7$ mit $4,03\,\text{m}$ gesprungen. Die kürzeste Weite hat Schüler $6$ erzielt. Er ist $2,64\,\text{m}$ gesprungen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Spannweite}&=& 4,03\,\text{m}-2,64\,\text{m} \\[5pt] &=& 1,39\,\text{m} \end{array}$
Der Unterschied zwischen dem besten und schlechtesten Schüler beträgt $1,39\,\text{m}$.
3.  Nutzung von WhatsApp
1. Aussage:
Damit $25\,\%$ der Schüler der Klasse $8b$ WhatsApp mindestens $4$ Stunden am Tag nutzen, müssen die Werte in einem der Quartile mindestens den $4$ Stunden entsprechen. Das obere Quartil beträgt $4$ Stunden. Das bedeutet, dass alle Schüler im $4.$ Viertel mindestens $4$ Stunden WhatsApp nutzen.
Die Aussage ist also richtig.
2. Aussage:
Damit $75\,\%$ der Schüler der Klasse $8a$ höchsten $2$ Stunden WhatsApp am Tag nutzen, dürfte der Wert des oberen Quartils höchstens $2$ betragen. Dies ist jedoch nicht der Fall.
Die Aussage ist falsch.
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