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Zusammengesetzte Zufallsexperimente

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Ein zusammengesetzes Zufallsexperiment ist die Hintereinanderschaltung mehrerer einstufiger Zufallsexperimente.
Einige Beispiele für zusammengesetzte Zufallsexperimente sind:
  • Mehrmaliges Werfen einer Münze und notieren der einzelnen Ergebnisse
  • Mehrmaliges Drehen eines Glücksrads und notieren der einzelnen Ergebnisse
  • Mehrmaliges Werfen eines Würfels und notieren der einzelnen Ergebnisse
Die Ergebnisse zusammengesetzter Zufallsexperimente werden in Baumdiagrammen dargestellt. Im Baumdiagramm sind alle Möglichkeiten, welche bei einem Zufallsexperiment auftreten können dargestellt. Die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse werden mit den Pfadregeln berechnet.
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Zwei $1€$-Münzen werden gleichzeitig geworfen.
a)
Erstelle das zugehörige Baumdiagramm.
b)
Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?
c)
Beschreibe ein weiteres Zufallsexperiment, bei dem ein gleiches Baumdiagramm erstellt werden kann.

Aufgabe 1

Finde verschiedene Zufallsexperimente, bei denen insgesamt 16 verschiedene Ergebnisse möglich sind.

Aufgabe 2

Aus welchen Teilexperimenten ist das beschriebene Zufallsexperiment zusammengesetzt? Erläutere.
a)
Aus einem Satz Skart-Karten mit $32$ unterschiedlichen Karten werden nacheinander $8$ Karten gezogen.
b)
Auf einem Tisch werden drei Spiel-Chips mit einer roten und einer blauen Seite auf die Kante gestellt und durch Anschnippen in Drehung versetzt.
c)
Beim Monopoly spielen werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen.

Aufgabe 3

Abb. 1: Kugeln in Urne
Abb. 1: Kugeln in Urne
a)
Erstelle ein Baumdiagramm.
b)
Wie viele unterschiedliche Ergebnisse gibt es?
c)
Welche Wahrscheinlichkeiten lassen sich den einzelnen Ergebnissen zuordnen? Erläutere.

Aufgabe 4

Beschreibe mit einem oder beiden Glücksrädern verschiedene Zufallsexperimente, die durch das gegebene Baumdiagramm dargestellt werden können.
Abb. 2: Glücksräder und Baumdiagramm
Abb. 2: Glücksräder und Baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
Bei diesem Zufallsexperiment gibt es zwei Ergebnisse. Entweder zeigt die Zahl nach oben oder das Bild. Die erste Münze kann somit mit dem Bild oder der Zahl nach oben liegen. Das gleiche gilt für die zweite Münze. Das Baumdiagramm sieht dann so aus:
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Ergebnisse angeben
Mit dem Baumdiagramm erkennst du, dass es die Ergebnisse „zweimal Bild“, „einmal Bild, einmal Zahl“, „einmal Zahl, einmal Bild “ und „zweimal Zahl“ möglich sind. Da die Münzen aber gleichzeitig geworfen werden, sind die Ergebnisse „einmal Zahl, einmal Bild “ und „einmal Bild, einmal Zahl“ gleich. Es gibt somit also drei unterschiedliche Ereignisse.
c)
$\blacktriangleright$  Weitere Zufallsexperimente beschreiben
Überlege dir bei dieser Aufgabe, wie du die Münzen noch werfen könntest, um das gleiche Baumdiagramm zu erhalten. Das gleiche Baumdiagramm würdest du zum Beispiel bei dem Zufallsexperiment „Zwei $1€$-Münzen werden nacheinander geworfen“ oder „Eine $1€$-Münze wird zwei mal nacheinander geworfen“ erhalten.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Zufallsexperimente mit $\boldsymbol{16}$ Ergebnissen finden
In dieser Aufgabe sollst du dir Zufallsexperimente überlegen, bei denen es $16$ verschiedene Ergebnisse gibt. Hier kannst du zum Beispiel ein Baumdiagramm rückwärts zeichnen. Du fängst also mit $16$ Ergebnissen an und überlegst dir, wie du diese Darstellen könntest.
Ein mögliches Zufallsexperiment wäre: In einer Urne befinden sich $4$ Kugeln in den Farben rot, grün, gelb und blau. Nachdem eine Kugel gezogen wurde, wird diese zurück in die Urne gelegt. Insgesamt wird zwei mal gezogen.
Eine zweite Möglichkeit wäre folgendes Zufallsexperiment: Eine Münze wird 4 mal nacheinander geworfen.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Teilexperiment angeben
Das Zufallsexperiment „$8$ Karten nacheinander ziehen“ besteht aus dem Teilexperiment „Eine Karte ziehen“ und wird acht mal wiederholt.
b)
$\blacktriangleright$  Teilexperiment angeben
Hier lautet das Teilexperiment „Werfen eines Chips“. Wenn dieses Teilexperiment drei mal wiederholt wird, erhältst du gerade das gegeben Zufallsexperiment „Drei Chips werden angeschnippst“.
c)
$\blacktriangleright$  Teilexperiment angeben
Das Zufallsexperiment „Zwei Würfel gleichzeitig werfen“ kann aus dem Teilexperiment „Mit einem Würfel würfeln“ zusammengesetzt werden.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
In dieser Aufgabe sollst du ein Baumdigramm des Zufallsexperimentes „Zwei mal eine Kugel aus einer Urne ziehen“ erstellen. Jedes mal wenn gezogen wird, kann eine orangene oder eine grüne Kugel gezogen werden. Nach zwei mal ziehen erhältst du folgendes Baumdiagramm:
Abb. 2: Baumdiagramm
Abb. 2: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Ergebnisse bestimmen
Hier sollst du die Anzahl der möglichen Ergebnissen angeben. Diese erhältst du, indem du die Einträge der letzten Zeile des Baumdiagrammes aus Aufgabenteil b) abzählst.
Insgesamt gibt es vier Ergebnisse.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit der vier Ergebnisse berechnen. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist immer $1$. Da es gleich wahrscheinlich ist eine orangene oder eine grüne Kugel zu ziehen, sind auch die Wahrscheinlichkeiten der vier Ergebnisse gleich. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis gerade $\frac{1}{4}$, also $25\%$.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Zufallsexperimente beschreiben
Das Baumdiagramm kannst du mit einem Glücksrad oder mit beiden Glücksrädern beschreiben.
Mit einem Glücksrad könnte das Zufallsexperiment lauten: „Ein Glücksrad wird zweimal nacheinander gedreht“.
Mit beiden Glücksrädern könnte das Zufallsexperiment lauten: „Zwei Glücksräder werden gleichzeitig gedreht“.
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