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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Grundkurs
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Kombinatorik

Spickzettel
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Mit Hilfe der Kombinatorik bestimmst du, wie viele mögliche Anordnungen (auch Permutationen genannt) es für Personen bzw. generell für unterscheidbare Objekte gibt.
Die Anzahl der möglichen Anordnungen hängt davon ab, ob die Reihenfolge zu beachten ist oder nicht.
Am besten überlegst du dir, wie viele Möglichkeiten es für jeden einzelnen zu besetzenden Platz gibt und multiplizierst diese.

Beispiele

  1. Du hast $5$ Stifte unterschiedlicher Farben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, daraus $3$ herauszunehmen und nebeneinander zu legen?
    Bei dieser Aufgabe musst du die Reihenfolge beachten. Für den ersten Platz gibt es $5$ Möglichkeiten. Um den zweiten Platz zu besetzen, bleiben also noch $4$ verschiedene Stifte übrig und beim dritten Platz sind es nur noch $3$.
    Nun musst du die Möglichkeiten für die einzelnen Plätze nur noch multiplizieren:
    $5\cdot4\cdot3=60$
    Es gibt also $60$ Möglichkeiten, die Stifte anzuordnen.
  2. Du hast wieder $5$ Stifte unterschiedlicher Farben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, daraus $3$ herauszunehmen und nebeneinander zu legen, wenn die Reihenfolge egal ist?
    Da nun die Reihenfolge egal ist, musst du die Anzahl der Anordnungen, bei denen gleiche Farben kombiniert sind, „rausrechnen”.
    Im 1. Beispiel haben wir errechnet, dass es 60 Möglichkeiten gibt, die Stifte anzuordnen, wenn die Reihenfolge egal ist. Berechne nun die Anzahl der Anordnungen, bei denen gleiche Farben kombiniert sind:
    Wenn du $3$ Stifte aus den $5$ auswählst, so kannst du diese auf $3\cdot2\cdot1=6$ Arten kombinieren.
    Als Lösung ergibt sich somit:
    $\dfrac{60}{6}=10$
    Es gibt also $10$ Möglichkeiten, die Stifte anzuordnen.
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Aufgaben
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1.  Du triffst die drei Fußballer Bastian Schweinsteiger, David Beckham und Lionel Messi und möchtest ein Foto von ihnen machen.
a)  Wie viele verschiedene Fotos kannst du schießen, wenn die Fußballer immer in einer anderen Reihenfolge nebeneinander stehen sollen?
b)  Wie viele verschiedene Fotos kannst du schießen, wenn die Reihenfolge der Sportler keine Rolle spielt?
Daten und Zufall: Kombinatorik
Daten und Zufall: Kombinatorik
2.  Philipp beschwert sich über seine Freundin: „Donata hat zuhause 17 Paar Schuhe, 15 Tops und 7 Hosen. Damit kann sie drei Jahre lang jeden Tag eine andere Kombination anziehen!“
Hat er recht damit?
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Lösungen
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1.
a)  Um dir einen Überblick über alle möglichen Anordnungen der drei Fußballer zu verschaffen, zeichnest du am besten zuerst ein passendes Baumdiagramm.
Daten und Zufall: Kombinatorik
Daten und Zufall: Kombinatorik
$\blacktriangleright$  Erklärung zu Lösungspfad 1:
Links auf deinem Bild kann entweder Schweinsteiger (=S), Beckham (=B) oder Messi (=M) stehen. In Lösungspfad 1 entscheiden wir uns für Schweinsteiger.
Wenn Schweinsteiger nun links auf deinem Foto steht können in der Mitte nur noch Beckham oder Messi stehen.
Wir entscheiden uns auf unserem ersten Bild (Lösungspfad 1) für Beckham.
So sind jetzt bereits Schweinsteiger und Beckham an ihren Plätzen. Für den Platz rechts kann also nur noch Messi in Frage kommen.
Die Reihenfolge auf deinem ersten Bild wäre in dem Fall (von links nach rechts): Schweinsteiger, Beckham, Messi.
Wenn du das komplette Baumdiagramm aufgezeichnet hast, siehst du, dass es 6 verschiedene Möglichkeiten gibt, die Fußballer anzuordnen.
$\blacktriangleright$  Alternative Lösung
Ganz links können 3 verschiedene Personen stehen (S, B, M). Wenn bereits ein Platz vergeben ist, kann in der Mitte nur noch die Auswahl zwischen 2 Personen erfolgen.
Für die Besetzung des rechten Platzes kommt dann nur noch 1 Person in Frage.
Anzahl der Möglichkeiten : $\color{#a0321e}{3}\cdot\color{#87c800}{2}\cdot\color{#0096c8}{1} = 6$
b)  Wenn es dir egal ist, in welcher Reihenfolge die Fußballer auf dem Bild stehen, gibt es nur ein mögliches Bild (und zwar das, auf dem alle drei abgebildet werden).
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