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Arithmetisches Mittel

Spickzettel
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Der Mittelwert ist der Durchschnittswert von Daten einer Liste.
Mittelwert: $\overline{x}=\dfrac{\text{Summe der Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}$

Beispiel

Du willst wissen, was eine Kugel Eis durchschnittlich kostet und schaust deshalb bei vier Eisverkäufern nach den Preisen:
$\text{65 ct + 90 ct + 80 ct + 75 ct}$ pro Kugel
Im Durchschnitt kostet eine Kugel dann:
$\overline{x}=\dfrac{\text{65 ct + 90 ct + 80 ct + 75 ct}}{4} $$ =\dfrac{\text{310 ct}}{4}=\text{77,5 ct}$.
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Aufgaben
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1.
Bestimme das arithmetische Mittel und den Modalwert von …
a)
diesen Körpergrößen (in m): 1,75, 1,90, 2,03, 1,65, 1,75, 1,80, 1,69, 1,67, 1,75
b)
diesen Noten: 2, 3, 4, 1, 2, 5, 2, 3, 4, 2, 1, 1, 6, 5, 2, 2, 3, 2, 2,
c)
diesen Stundenlöhnen (in € pro h): 7, 8, 5,50, 9, 10, 12, 11, 18, 9, 9,30, 8, 9, 8, 9,20
2.
Ergänze in diesen Häufigkeitstabellen die fehlenden Angaben.
Ein Würfel wurde zehnmal geworfen. Das arithmetische Mittel dieser zehn Würfe ist 3,5.
Dies sind neun der zehn Würfe: 1, 6, 3, 5, 4, 4, 2, 3, 2
Bestimme den fehlenden Wert.
3.
Ein Würfel wurde sechs Mal geworfen. Sowohl der Modal- als auch der Mittelwert ist 4.
Dies hier sind vier der sechs Würfe: 2, 4, 5, 6
Bestimme die zwei fehlenden Werte.
4.
Fünf Freunde vergleichen ihr Taschengeld.
Tim erhält 8€ pro Woche. Sarah bekommt 40€ im Monat. Max bekommt einmal im halben Jahr 240€. Tobias hat pro Monat 50€ und Marina bekommt jede Woche 10€.
Wie viel Geld haben die Freunde durchschnittlich jeden Monat zur Verfügung?
5.
Einer Wetterstation hat in den letzten Tagen diese Temperaturen aufgezeichnet (in $^\circ\,\text{C}$): 11, 12, 13, 11, 13
a)
Wie hoch ist die Durchschnittstemperatur der letzten fünf Tage?
b)
Wie hoch war die Temperatur am sechsten Tag, wenn die Durchschnittstemperatur um $0,5^\circ\,\text{C}$ gestiegen ist?
c)
Gib eine mögliche, realistische Temperatur für den siebten Tag an, damit die Durchschnittstemperatur wieder den Wert aus Teil a annimmt.
6.
7.
8.
An einem Ort wird fünfmal am Tag die Temperatur gemessen.
Der Zeitabstand zwischen zwei Messungen beträgt 3 Stunden. Um 8 Uhr wurden 12$^\circ\,\text{C}$ gemessen, um 11 Uhr 21$^\circ\,\text{C}$ und um 14 Uhr betrug die Temperatur 24$^\circ\,\text{C}$.
Die durchschnittliche Tagestemperatur liegt bei 18$^\circ\,\text{C}$.
Berechne die jeweiligen Temperaturen von 17 und 20 Uhr, wenn es um 20 Uhr 3$^\circ\,\text{C}$ kälter war als um 17 Uhr.
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Lösungen
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1.
a)
Körpergrößen
1. Schritt: Arithmetisches Mittel bestimmen
Durch das Addieren aller angegebenen Werte erhältst du $15,99\,\text{m}$. Diese Summe teilst du durch die Anzahl der Werte: 9, da insgesamt 9 Körpergrößen angegeben wurden.
$\overline{x}=\dfrac{15,99\,\text{m}}{9}= 1,77\,\text{m}$
Das arithmetische Mittel ist somit $1,77\,\text{m}$.
2. Schritt: Modalwert bestimmen
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. In diesem Fall ist das mit dreimal die $1,75\,\text{m}$.
b)
Schulnoten
1. Schritt: Arithmetisches Mittel bestimmen
Durch das Addieren aller angegebenen Werte erhältst du $52$. Diese Summe teilst du durch die Anzahl der Werte: 19, da insgesamt 19 Noten angegeben wurden.
$\overline{x}=\dfrac{52}{19}\approx 2,74 $
Das arithmetische Mittel ist somit ca. $2,74$.
2. Schritt: Modalwert bestimmen
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. In diesem Fall ist das mit achtmal die $2$.
c)
Stundenlöhne
1. Schritt: Arithmetisches Mittel bestimmen
Addierst du alle Löhne so kommst du auf einen Wert von 133€. Es sind 17 Stundenlöhne angegeben somit ist die Anzahl der Werte 17.
$\overline{x}=\dfrac{133€}{14}= 9,5$€.
Das arithmetische Mittel ist somit $9,5$€.
2. Schritt: Modalwert bestimmen
Die Modalwerte sind 8 und 9, da beide Werte dreimal und somit am häufigsten vorkommen.
2.
Fehlenden Wert bestimmen
Benutze die Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels:
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \mid \text{Werte einsetzen und Formel umformen}\\[5pt] 3,5=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{10} &\scriptsize \mid \cdot 10\\[5pt] 35=&\text{Summe aller Werte} \end{array}$
Damit das arithmetische Mittel 3,5 ist muss die Summe aller Werte insgesamt 35 sein.
Die Summe der neun angegebenen Würfe ist nur 30. Somit ist der fehlende Wert die 5.
${\overline{x}}=\;…$
3.
Zwei fehlende Werte bestimmen
Modal- und Mittelwert sind mit jeweils 4 angegeben. Der Würfel wird sechsmal geworfen, d.h. die Anzahl der Werte ist 6.
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] 4=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{6} &\scriptsize \mid \cdot 6 \end{array}$
Zählst du die 4 angegebenen Würfe zusammen, kommst du auf die Summe 17. Die Summe aller Werte muss 24 sein, d.h. die beiden fehlenden Zahlen müssen zusammen 7 ergeben. Des Weiteren wissen wir, dass mindestens eine der beiden Zahlen eine 4 sein muss, da nur so diese auch der Modalwert ist.
Die beiden fehlenden Würfe können somit nur die 4 und die 3 sein.
4.
Taschengeld vergleichen
1. Schritt: Taschengeld pro Monat bestimmen
Berechne das Taschengeld pro Monat, um die angegebenen Beträge vergleichen zu können:
$\begin{array}{rll} \text{Tim}=&8\,\text{€ pro Woche}&\rightarrow& 8\,\text{€}\cdot 4=32\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Max}=&240\,\text{€ pro 6 Monate}&\rightarrow& 240\,\text{€}:6=40\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Marina}=&10\,\text{€ pro Woche}&\rightarrow& 10\,\text{€}\cdot 4=40\,\text{€ pro Monat} \\[5pt] \text{Sarah}=&40\,\text{€ pro Monat}&& \\[5pt] \text{Tobias}=&50\,\text{€ pro Monat}&& \\[5pt] \end{array}$
$\text{Tim}=\;…$
2. Schritt: Durchschnittliches Taschengeld berechnen
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] {\overline{x}}=& \frac{202 €}{5} \\[5pt] {\overline{x}}=& 40,40 € \end{array}$
Zeichne die relative Häufigkeit der Augenzahl 4 in das Diagramm ein.
5.
Wetterstation
a)
Durchschnittstemperatur berechnen
Setze die angegebenen Werte in die Formel ein:
$\overline{x}=\dfrac{11°\,\text{C}+12°\,\text{C}+13°\,\text{C}+11°\,\text{C}+13°\,\text{C}}{5}= 12°\,\text{C}$
$\overline{x}=\;…$
Die Durchschnittstemperatur der letzten fünf Tage betrug 12°C.
b)
Temperatur am sechsten Tag
Die Durchschnittstemperatur ist von $12°\,\text{C}$ auf $12,5°\,\text{C}$ um $0,5°\,\text{C}$ gestiegen.
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] 12,5°\,\text{C}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{6} & \scriptsize \mid \cdot 6\\[5pt] 75°\,\text{C}=&\text{Summe aller Werte} \end{array}$
${\overline{x}}=\;…$
c)
Zwei weitere Werte berechnen
$11°\,\text{C}, 12°\,\text{C}, 13°\,\text{C}, 11°\,\text{C}, 13°\,\text{C}, 15°\,\text{C}, $ $x_1$, $x_2$
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] 12°\,\text{C}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{8} & \scriptsize \mid \cdot 8\\[5pt] 96°\,\text{C}=&\text{Summe aller Werte} \end{array}$
${\overline{x}}=\;…$
Wie in b) berechnet, ist die Summe der sechs gegebenen Werte \(75^\circ\,\text{C}\). Diese \(75^\circ\,\text{C}\) subtrahierst du von den eben errechneten $96^\circ\,\text{C}$, so bekommst du eine Differenz von \(21^\circ\,\text{C}\) als Ergebnis.
Als realistische Lösung kommen alle Werte in Frage, die in der Summe \(21^\circ\,\text{C}\) ergeben und ungefähr zwischen \(7^\circ\,\text{C}\) und \(14^\circ\,\text{C}\) liegen.
Zwei mögliche Werte könnten somit $x_1=11^\circ\,\text{C}$ und $x_2=10^\circ\,\text{C}$ sein.
6.
Arithmetischer Mittelwert anhand der Grafik bestimmen
Es sind insgesamt 35 Noten, dies ist auch die Anzahl der Werte.
Die Summe der Werte berechnest du folgendermaßen:
$(4\cdot1)+(7\cdot2)+(5\cdot3)+(8\cdot4)+(5\cdot5) $$ +(6\cdot6)= 126$
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=&\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] {\overline{x}}=&\frac{126}{35} \\[5pt] {\overline{x}}=&3,6 \end{array}$
Im Durchschnitt wurde die Note 3,6 geschrieben.
7.
Relative und absolute Häufigkeit anhand der Grafik bestimmen
1. Schritt: Absolute Häufigkeit berechnen
Der Würfel wurde insgesamt 60-mal geworfen. Somit ist die Anzahl der Werte 60.
Berechne, wie oft jede Zahl geworfen wurde mit folgender Formel:
$\text{absolute Häufigkeit}=\text{relative Häufigkeit} \cdot $$ \text{Anzahl der Werte}$
Die relative Häufigkeit und die Anzahl der Werte sind gegeben, somit ergeben sich für die absoluten Häufigkeiten:
$\begin{array}{rll} 1:&0,1\cdot60=6\\[5pt] 2:&0,2\cdot60=12 \\[5pt] 3:&0,05\cdot60=3\\[5pt] 4:&\\[5pt] 5:&0,3\cdot60=18 \\[5pt] 6:&0,2\cdot60=12\\[5pt] \end{array}$
Die Summe der absoluten Häufigkeiten aller Augenzahlen ist 51.
Das heißt, die fehlenden neun Würfe zeigten die Augenzahl 4.
2. Schritt: Relative Häufigkeit berechnen
Nun verwendest du wie gewohnt die Formel zur Bestimmung der relativen Häufigkeit:
$\begin{array}{rll} \text{relative Häufigkeit}=& \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{relative Häufigkeit}=& \frac{9}{60} \\[5pt] \text{relative Häufigkeit}=& 0,15 \end{array}$
$\text{relative Häufigkeit}=\;…$
Zeichne die relative Häufigkeit der Augenzahl 4 in das Diagramm ein.
8.
Temperaturmessungen
Die Durchschnittstemperatur von \(18^\circ\,\text{C}\) sowie drei der fünf Messungen sind angegeben.
1. Schritt: Summe aller Werte berechnen
Berechne die Summe aller Werte mit der Formel für den arithmetischen Mittelwert:
$\begin{array}{rll} {\overline{x}}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} &\scriptsize \mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] 18°\,\text{C}=& \frac{\text{Summe aller Werte}}{5} & \scriptsize \mid \cdot 8\\[5pt] 90°\,\text{C}=&\text{Summe aller Werte} \end{array}$
${\overline{x}}=\;…$
Damit die Durchschnittstemperatur \(18^\circ\,\text{C}\) beträgt, muss die Summe aller Werte $90^\circ\,\text{C}$ sein.
2. Schritt: Zwei Messwerte berechnen
Addiere die drei gegebenen Werte:
$12^\circ\,\text{C}+21^\circ\,\text{C}+24^\circ\,\text{C}=57^\circ\,\text{C}$
Die Differenz beträgt: $90^\circ\,\text{C} - 57^\circ\,\text{C} =33^\circ\,\text{C}$
Die Summe der beiden gesuchten Messwerte beträgt \(33^\circ\,\text{C}\).
Berechne die Messwerte folgendermaßen:
Die Temperatur um 17:00 Uhr sei $x$ und die Temperatur um 20:00 Uhr ist \(3^\circ\,\text{C}\) tiefer als um 17:00 Uhr ($x-3^\circ\,$C).
Stelle folgende Gleichung auf und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}{rll} (x-3^\circ\,\text{C})+x=& 33^\circ\,\text{C} &\scriptsize \mid \text{zusammenfassen}\\[5pt] 2x-3^\circ\,\text{C}=& 33^\circ\,\text{C} \\[5pt] 2x=& 36^\circ\,\text{C}\\[5pt] 2x=& 18^\circ\,\text{C}\\[10pt] (x-3^\circ\,\text{C})=& 15^\circ\,\text{C}\\[5pt] \end{array}$
Um 17:00 Uhr lag die Temperatur somit bei \(18^\circ\,\text{C}\), um 20:00 Uhr bei \(15^\circ\,\text{C}\).
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