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Binomialverteilung

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Bei der Binomialverteilung wird eine Serie von Zufallsexperimenten betrachtet, bei der die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
  • Die einzelnen Zufallsexperimente sind unabhängig voneinander
  • In den einzelnen Zufallsexperimenten gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg und Misserfolg
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist in jedem einzelnen Zufallsexperiment gleich
  • Die einzelnen Zufallsexperimente sind unabhängig voneinander
  • In den einzelnen Zufallsexperimenten gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg und Misserfolg
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist in jedem einzelnen Zufallsexperiment gleich
Eine binomialverteilte Zufallsvariable beschreibt dann die Anzahl der Erfolge in dieser Serie.

Einzelwahrscheinlichkeit

Ist die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt und $p$ die Wahrscheinlichkeit, in einem einzelnen Versuch einen Erfolg zu erzielen, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, in $n$ Versuchen genau $k$ Erfolge zu erzielen:
$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

$P(X\leq k)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit für höchstens $k$ Erfolge in $n$ Versuchen:
$P(X \leq k) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k} B_{n,p}(i) = B_{n,p}(0) + B_{n,p}(1)+…+B_{n,p}(k)$
$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq k&=& \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k} B_{n,p}(i) \\[5pt] &=&B_{n,p}(0) + B_{n,p}(1)+\\&& …+B_{n,p}(k) \\ \end{array}$
Dabei gelten folgende Rechenregeln:
$P(X\geq k) = 1- P(X\leq k-1)$

und

$P(a\leq X \leq b) = P(X \leq b)-P(X\leq a-1)$
$P(X\geq k)\\ = 1- P(X\leq k-1)$

und

$P(a\leq X \leq b) \\ =P(X \leq b)-P(X\leq a-1)$
Hast du einen GTR oder CAS, findest du einen entsprechenden Befehl im Stochastik-Menü. Im wissenschaftlichen Taschenrechner kannst du je nach Modell auch Summenformeln eingeben.

Beispiel

Ein gleichmäßiger sechsseitiger Würfel wird fünfmal geworfen, wobei wir eine $6$ als Erfolg betrachten.
Sei $X$ nun die Zufallsvariable, die die Anzahl der Gewinne im angegebenen Versuch beschreibt. Dann ist $X$ binomialverteilt mit $n = 5$ und $p = \frac{1}{6}$. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge ergibt sich wie folgt:
$B_{5,\frac{1}{6}}(2) = \binom{5}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{3} \approx 0,1608 = 16,08\,\%$
$B_{5,\frac{1}{6}}(2) =\;…$
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