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Erwartungswert

Spickzettel
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Eine Variable $X$, deren Wert zufällig gebildet wird, nennt man eine Zufallsvariable.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der Durchschnittswert der Ergebnisse.
Sind $x_1, x_2,…, x_n$ die Ergebnisse eines Experiments und
sind $p_1, p_2,…, p_n$ die Wahrscheinlichkeiten für jedes dieser Ergebnisse, dann ist
$E(X)=p_1\cdot x_1 + p_2\cdot x_2 + …. + p_n\cdot x_n$
der Erwartungswert der Zufallsvariable $X$.

Beispiel

Ein Wurf mit einem Würfel ist ein Zufallsexperiment. Die möglichen Ergebnisse beim Würfeln sind $x_1=1$, $x_2=2$, …, $x_6=6$ und die Wahrscheinlichkeiten sind $p_1, p_2,…, p_n=\frac{1}{6}$.%
$\begin{array}{} E(X)&=&\frac{1}{6}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot 2 + \frac{1}{6}\cdot 3 + \frac{1}{6}\cdot 4 + \frac{1}{6}\cdot 5 + \frac{1}{6}\cdot 6\\ &=& \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}=\frac{21}{6}=3,5 \end{array}$
$ E(X)=\frac{1}{6}\cdot 1 + … $
Wenn du sehr oft würfelst und den Durchschnitt der Ergebnisse bildest, dann erhälst du den Wert 3,5.
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Aufgaben
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1.
Aus einer Urne mit 2 schwarzen und 10 grünen Kugeln werden nacheinander, ohne Zurücklegen, so lange einzelne Kugeln entnommen, bis die erste grüne Kugel kommt.
Wie oft muss man durchschnittlich ziehen?
2.
Ein mysteriöser Mann bietet an einer Straßenecke folgendes Würfelspiel an:
Geworfen werden zwei Würfel und dann wird die Augensumme betrachtet. Beträgt diese 12, werden 5 Euro ausgezahlt, beträgt diese 10 oder 11, werden 2 Euro ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
Wie viel Geld wird durchschnittlich ausgezahlt?
3.
In einer Lostrommel sind 20 Lose. Davon enthalten 12 Lose 1 Gewinnpunkt, die anderen 8 Lose 0 Gewinnpunkte. Mit den gesammelten Gewinnpunkten kann man sich dann einen Preis aussuchen. Es werden drei Lose auf einmal gezogen. Wie viele Punkte erhält man im Durchschnitt?
4.
In einem Sparschwein befinden sich zehn 20 Cent-Münzen, sieben 50 Cent-Münzen, und drei 2 Euro-Münzen. Sarah plündert ihr Sparschwein und
a)
entnimmt eine Münze. Mit wie viel Geld kann Sarah im Durchschnitt rechnen?
b)
entnimmt zwei Münzen. Mit wie viel Geld kann Sarah jetzt durchschnittlich rechnen?
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Lösungen
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1.
Berechnung der durchschnittlichen Züge
Wird als Erstes eine grüne Kugel gezogen, wird das Zufallsexperiment abgebrochen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist $P(g)=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$.
Wird als Erstes eine schwarze und dann eine grüne Kugel gezogen, wird das Zufallsexperiment abgebrochen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist $P(sg)=\frac{2}{12}\cdot\frac{10}{11}=\frac{20}{132}$.
Sind die ersten beiden Kugeln schwarz und die dritte grün, wird das Zufallsexperiment wieder abgebrochen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist $P(ssg)=\frac{2}{12}\cdot\frac{1}{11}\cdot\frac{10}{10}=\frac{2}{132}$
Die Situation kannst du in folgender Tabelle veranschaulichen:
Ergebnis Anzahl der Züge $x_i$ $P(x_i)$ $x_i\cdot P(x_i)$
g 1 $\frac{5}{6}$ $1\cdot \frac{5}{6}$
sg 2 $\frac{20}{132}$ $2\cdot \frac{20}{132}=\frac{40}{132}$
ssg 3 $\frac{2}{132}$ $3\cdot \frac{2}{132}=\frac{6}{132}$
Für den Erwartungswert $E(X)$ ergibt sich mit der Formel:
$E(X)=\Sigma x_i\cdot P(x_i)=\dfrac{5}{6}+\dfrac{40}{132}+\dfrac{6}{132}=\dfrac{110+40+6}{132}=\dfrac{13}{11}\approx1,18$
$E(X)=\;…$
Man braucht also durchschnittlich ungefähr 1,18 Züge.
2.
Berechnung der durchschnittlichen Auszahlung
Die Situation kannst du in folgender Tabelle veranschaulichen:
Augensumme Auszahlung $x_i$ $P(x_i)$ $x_i\cdot P(x_i)$
12 5 $\frac{1}{36}$ $5\cdot \frac{1}{36}=\frac{5}{36}$
11 2 $\frac{2}{36}$ $2\cdot \frac{2}{36}=\frac{4}{36}$
10 2 $\frac{3}{36}$ $2\cdot \frac{3}{36}=\frac{6}{36}$
2 bis 9 0 $\frac{30}{36}$ 0
Augensumme Auszahlung $x_i$
12 5
11 2
Für den Erwartungswert $E(X)$ ergibt sich mit der Formel:
$E(X)=\Sigma x_i\cdot P(x_i)=\dfrac{5}{36}+\dfrac{4}{36}+\dfrac{6}{36}=\dfrac{15}{36}=0,41\overline{6}$
$E(X)=\;…$
Man bekommt also durchschnittlich ungefähr 42 Cent ausgezahlt.
3.
Berechnung der durchschnittlichen Gewinnpunktanzahl
Es werden drei Lose auf einmal gezogen. Du kannst diese Situation in einem Baumdiagramm darstellen. Das „Auf-einmal-Ziehen“ entspricht dem „Ziehen ohne Zurücklegen“.
Daten und Zufall: Erwartungswert
Daten und Zufall: Erwartungswert
Es gibt vier mögliche Ausgänge bei diesem Zufallsexperiment: 0 Punkte, 1 Punkt, 2 Punkte oder 3 Punkte. Aus dem Baumdiagramm folgen die Wahrscheinlichkeiten:
Ergebnis Anzahl Punkte $x_i$ $P(x_i)$ $x_i\cdot P(x_i)$
drei Punkte 3 $\frac{12}{20}\cdot\frac{11}{19}\cdot\frac{10}{18}=\frac{11}{57}$ $3\cdot \frac{11}{57}=\frac{11}{19}$
zwei Punkte 2 $3\cdot\frac{12}{20}\cdot\frac{11}{19}\cdot\frac{8}{18}=\frac{44}{95}$ $2\cdot \frac{44}{95}=\frac{88}{95}$
ein Punkt 1 $3\cdot\frac{12}{20}\cdot\frac{8}{19}\cdot\frac{7}{18}=\frac{28}{95}$ $1\cdot \frac{28}{95}=\frac{28}{95}$
kein Punkt 0 $\frac{8}{20}\cdot\frac{7}{19}\cdot\frac{6}{18}$ 0
Ergebnis Anzahl Punkte $x_i$
drei Punkte 3
zwei Punkte 2
Für den Erwartungswert $E(X)$ ergibt sich mit der Formel:
$E(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{3}\left(x_i\cdot P(x_i)\right)=\frac{11}{19}+\frac{88}{95}+\frac{28}{95}+0=1{,}8$
$E(X)=\;…$
Man bekommt also durchschnittlich 1,8 Gewinnpunkte.
4.
Berechnung der durchschnittlichen Geldmenge
a) Die Wahrscheinlichkeit, eine 20 Cent-Münze zu ziehen, beträgt: $\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$
Die Wahrscheinlichkeit, eine 50 Cent-Münze zu ziehen, beträgt: $\dfrac{7}{20}$
Die Wahrscheinlichkeit, eine 2 Euro-Münze zu ziehen, beträgt: $\dfrac{3}{20}$
Durchschnittlich sind daher
$E(X)=0,2\cdot\dfrac{10}{20}+0,5\cdot\dfrac{7}{20}+2\cdot\dfrac{3}{20}=0,575$
$E(X)=\;…$
Euro zu erwarten – im Durchschnitt also 57,5 Cent.
b) Es ergeben sich beim zweimaligen Ziehen folgende Wahrscheinlichkeiten:
0,4 Euro: $P\small{(\text{zweimal 20 Cent})}$ $=\dfrac{10}{20}\cdot\dfrac{9}{19}=\dfrac{90}{380}$
0,7 Euro: $P\small{(\text{einmal 20 Cent und einmal 50 Cent})}$ $=\dfrac{10}{20}\cdot\dfrac{7}{19}+\dfrac{7}{20}\cdot\dfrac{10}{19}=\dfrac{140}{380}$
2,2 Euro: $P\small{(\text{einmal 20 Cent und einmal 2 Euro})}$ $=\dfrac{10}{20}\cdot\dfrac{3}{19}+\dfrac{3}{20}\cdot\dfrac{10}{19}=\dfrac{60}{380}$
1,0 Euro: $P\small{(\text{zweimal 50 Cent})}$ $=\dfrac{7}{20}\cdot\dfrac{6}{19}=\dfrac{42}{380}$
2,5 Euro: $P\small{(\text{einmal 50 Cent und einmal 2 Euro})}$ $=\dfrac{7}{20}\cdot\dfrac{3}{19}+\dfrac{3}{20}\cdot\dfrac{7}{19}=\dfrac{42}{380}$
4,0 Euro: $P\small{(\text{zweimal 2 Euro})}$ $=\dfrac{3}{20}\cdot\dfrac{2}{19}=\dfrac{6}{380}$
Es ist
$\scriptsize{E(X)=0,4\cdot\dfrac{90}{380}+0,7\cdot\dfrac{140}{380}+2,2\cdot\dfrac{60}{380}+1,0\cdot\dfrac{42}{380}+2,5\cdot\dfrac{42}{380}+4,0\cdot\dfrac{6}{380}=1,15}$
$E(X)=\;…$
Im Durchschnitt kann Sarah mit 1,15 Euro rechnen.
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