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Einführung

Spickzettel
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Ein Dreieck besteht allgemein aus drei beliebig langen Seiten $a$, $b$ und $c$. Die Summe der Winkel in jedem Dreieck beträgt $180°$. Die Höhe des Dreiecks steht senkrecht auf der jeweiligen Seite und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. In einem Dreieck gelten folgende Formeln:
Ein Dreieck besteht allgemein aus drei beliebig langen Seiten $a$, $b$ und $c$. Die Summe der Winkel in jedem Dreieck beträgt $180°$. Die Höhe des Dreiecks steht senkrecht auf der jeweiligen Seite und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
In einem Dreieck gelten folgende Formeln:
Fläche$A=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$
Umfang$U=a+b+c$
Höhe$h_c=\sqrt{b^2-c_1^2}=\sqrt{a^2-c_2^2}$
Winkel-
summe
$\alpha+ \beta+\gamma=180^{\circ}$
  • Außenwinkelsatz:$\;\alpha '= \beta+\gamma$
  • Satz von den Winkelweiten im Dreieck:
    Zur längeren Seite gehört der größere gegenüberliegende Winkel: Ist $a\gt b$, so ist $\alpha\gt \beta$
  • Kehrsatz von den Winkelweiten im Dreieck:
    Zum größeren Winkel gehört die längere gegenüberliegende Seite: Ist $\alpha\gt \beta$, so ist $a\gt b$
  • Satz von Umweg: $\quad a+b\gt c$ $\quad b+c\gt a$ $\quad a+c\gt b$
    Diese Ungleichungen werden Dreiecksungleichungen genannt.
Fläche$A=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$
Umfang$U=a+b+c$
Höhe$h_c=\sqrt{b^2-c_1^2}=\sqrt{a^2-c_2^2}$
Winkel-
summe
$\alpha+ \beta+\gamma=180^{\circ}$
  • Außenwinkelsatz:
    $\;\alpha '= \beta+\gamma$
  • Satz von den Winkelweiten im Dreieck:
    Zur längeren Seite gehört der größere gegenüberliegende Winkel: Ist $a\gt b$, so ist $\alpha\gt \beta$
  • Kehrsatz von den Winkelweiten im Dreieck:
    Zum größeren Winkel gehört die längere gegenüberliegende Seite: Ist $\alpha\gt \beta$, so ist $a\gt b$
  • Satz von Umweg:
    Die Summe der Längen zweier Seiten ist immer größer als die Länge der Dritten:
    • $a+b\gt c$
    • $b+c\gt a$
    • $a+c\gt b$
    Diese Ungleichungen werden Dreiecksungleichungen genannt.
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1.  Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha=70^{\circ}$ und $\beta=50^{\circ}$. Wie groß ist der Winkel $\gamma$?
Berechne zu jedem Winkel den Außenwinkel.
2.  Von einem Dreieck sind folgende Angaben bekannt:
$c=4\,\text{cm}$, $h_c=2\,\text{cm}$, $\alpha=70^{\circ}$ und $U=9,9\,\text{cm}$
Bestimme die Länge der Seiten $a$ und $b$.
3.  Welchen Umfang hat das Dreieck mit der Seitenlänge $c=6\,\text{cm}$, $b=3\,\text{cm}$,
$h_c=2\,\text{cm}$ und dem Winkel $\beta=30^{\circ}$?
4.  Gib den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Höhe $h_c=3\,\text{cm}$
und der Seite $c=6\,\text{cm}$ an.
5.  Gegeben ist ein beliebiges Dreieck mit der Seitenlänge $a=4\,\text{cm}$ und $c=6\,\text{cm}$.
Der Winkel $\beta$ hat eine Größe von $\beta=30^{\circ}$.
Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Dreiecks.
6.  Rund um einen Badesee gibt es 3 Strandbäder. Vom Strandbad $A$ kann man die beiden anderen Strandbäder im Winkel von $\alpha=55°$ sehen. Die Entfernung von Strandbad $A$ und $B$ beträgt $c=3\,\text{km}$ und von Strandbad $A$ und $C$ beträgt $b=2\,\text{km}$.
Wie weit ist das Strandbad $B$ von $C$ entfernt?
7.  Von einem gleichschenkligen Dreieck sind folgende Angaben bekannt:
$c=8 \;\text{cm}$ und $\alpha=45°$.
Konstruiere das Dreieck $ABC$.
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Lösungen
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1. Winkel $\boldsymbol\gamma$
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^{\circ}$:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha+\beta+\gamma&=& 180 ^{\circ}&\quad \scriptsize \\[5pt] 70^{\circ}+50^{\circ}+\gamma&=& 180^{\circ}&\\[5pt] 120^{\circ}+\gamma&=& 180^{\circ}& \quad \scriptsize \mid \;-120^{\circ}\\[5pt] \gamma&=& 60^{\circ}&\\[5pt] \end{array}$
Der gesuchte Winkel ist $\boldsymbol{\gamma=60^{\circ}}$.
Um die Außenwinkel zu berechnen, wende den Außenwinkelsatz an:
  • $\alpha'=\beta+\gamma=50^{\circ}+60^{\circ}=110^{\circ}$
  • $\beta'=\alpha+\gamma=70^{\circ}+60^{\circ}=130^{\circ}$
  • $\gamma'=\alpha+\beta=70^{\circ}+50^{\circ}=120^{\circ}$
Die gesuchte Außenwinkel sind: $\boldsymbol{\alpha'=110^{\circ}, \;\beta'=130^{\circ},\;\gamma'=120^{\circ}}$.
2.  Seitenlängen $\boldsymbol{b}$
$ \begin{array}{rll} \sin\;\alpha=&\dfrac{h_c}{b}&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] b&=&\dfrac{h_c}{\sin\;\alpha }&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] b&=&\dfrac{2 \text{ cm}}{\sin\;70^{\circ}}\\[5pt] b&=&\dfrac{2 \text{ cm}}{0,94}\\[5pt] b&\approx&2,1 \text{ cm} \end{array} $
Seitenlängen $\boldsymbol{a}$
$ \begin{array}{rll} U&=&a+b+c&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] a&=&U-b-c&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] a&=&9,9 \text{ cm}-2,1 \text{ cm}-4 \text{ cm}\\[5pt] a&=&3,8 \text{ cm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} U&=&a+b+c\scriptsize\text{ umstellen}\\[5pt] a&=&U-b-c\scriptsize\text{ einsetzen} \\[5pt] a&=&9,9 \text{ cm}-2,1 \text{ cm}-4 \text{ cm}\\[5pt] a&=&3,8 \text{ cm} \end{array} $
3.  Umfang berechnen
1. Schritt: Seitenlänge $\boldsymbol{a}$
$ \begin{array}{rll} \sin\;\beta=&\dfrac{h_c}{a}&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] a&=&\dfrac{h_c}{\sin\;\beta }&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] a&=&\dfrac{2 \text{ cm}}{\sin\;30^{\circ}}\\[5pt] a&=&4 \text{ cm}\\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Umfang berechnen
$ \begin{array}{rll} U&=&a+b+c&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] U&=&4 \text{ cm}+3 \text{ cm}+6 \text{ cm}\\[5pt] U&=&13 \text{ cm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} U&=&a+b+c\scriptsize \text{ einsetzen}\\[5pt] U&=&4 \text{ cm}+3 \text{ cm}+6 \text{ cm}\\[5pt] U&=&13 \text{ cm} \end{array} $
4.  Flächeninhalt
$ \begin{array}{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 3 \text{ cm}\cdot 6 \text{ cm}\\[5pt] A&=&9 \text{ cm}² \end{array} $
5.  Flächeninhalt berechnen
1. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_c}$ berechnen
$ \begin{array}{rll} \sin\;\beta&=&\dfrac{h_c}{a}&\scriptsize \mid\cdot a \\[5pt] \sin\;\beta\cdot a&=&h_c&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\;30^{\circ}\cdot 4 \text{ cm}&=&h_c\\[5pt] 2 \text{ cm}&=&h_c\\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$ \begin{array}{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot h_c\cdot c&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 2 \text{ cm}\cdot 6 \text{ cm}\\[5pt] A&=&6 \text{ cm}²\\[5pt] \end{array} $
Umfang berechnen
Nun kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Teilstrecke $c_2$ bestimmen.
$ \begin{array}{rlll} a^2&=&c_2^2+h_c^2&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] c_2^2&=&a^2-h_c^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] c_2^2&=&(4 \text{ cm})^2-(2 \text{ cm})^2\\[5pt] c_2^2&=&12 \text{ cm}^2&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] c_2&\approx& 3,46 \text{ cm} \end{array} $
2. Schritt: Teilstrecke $\boldsymbol{c_1}$
$ \begin{array}{rll} c_1&=&c-c_2&\scriptsize \\[5pt] &=&6 \text{ cm}-3,46 \text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] &=&2,54 \text{ cm}\\ \end{array} $
3. Schritt: Seite $\boldsymbol{b}$ berechnen
$ \begin{array}{rll} b^2&=&h_c^2+c_1^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] b^2&=&(2 \text{ cm})^2+(2,54 \text{ cm})^2\\[5pt] b^2&=&10,45 \text{ cm}^2&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] b&=&3,23 \text{ cm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} b^2&=&h_c^2+c_1^2\scriptsize \text{ einsetzen}\\[5pt] b^2&=&(2 \text{ cm})^2+(2,54 \text{ cm})^2\\[5pt] b^2&=&10,45 \text{ cm}^2&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] b&=&3,23 \text{ cm} \end{array} $
4. Schritt: Umfang berechnen
$ \begin{array}{rll} U&=&a+b+c&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] U&=&4 \text{ cm}+3,23 \text{ cm}+6 \text{ cm}\\[5pt] U&=&13,23 \text{ cm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} U&=&a+b+c\scriptsize \text{ einsetzen}\\[5pt] U&=&4 \text{ cm}+3,23 \text{ cm}+6 \text{ cm}\\[5pt] U&=&13,23 \text{ cm} \end{array} $
6.  Seite $\boldsymbol{a}$ berechnen
Berechne die Seite $a$ mit dem Kosinussatz.
$ \begin{array}{rll} a²&=&b²+c²-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\;\alpha&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] a²&=&(2 \text{ km})²+(3 \text{ km})²-2\cdot 2 \text{ km} \cdot 3 \text{ km} \cdot \cos\;55^{\circ}\\[5pt] a²&=&4 \text{ km}²+9 \text{ km}²-(12 \text{ km}² \cdot 0,5736)\\[5pt] a²&=&4 \text{ km}²+9 \text{ km}²-6,89 \text{ km}²\\[5pt] a²&=&6,11 \text{ km}²&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] a&=&2,47 \text{ km}\\[5pt] \end{array} $
$ a = 2,47 $
Das Strandbad B ist $2,47 \text{ km}$ vom Strandbad C entfernt.
7.  Dreieck konstruieren
Gegeben sind folgende Werte: $c=8\;\text{cm}$ und $\alpha=45^{\circ}$.
Um das Dreieck zu konstruieren, führe folgende Schritte durch:
  1. Zeichne zuerst zwei Punkte, die $8\;\text{cm}$ voneinander entfernt sind.
  2. Benenne diese Punkte mit $A$ und $B$.
  3. Lege eine Gerade durch $A$ unter dem Winkel $\alpha=45^{\circ}$.
  4. Da das Dreieck gleichschenkig ist, ist der Winkel $\beta$, der bei dem Punkt $B$ liegt, auch $45^{\circ}$. Also lege eine Gerade durch Punkt $B$ unter dem Winkel $\beta=45^{\circ}$
  5. Die beiden Geraden aus 3. und 4. schneiden sich im Punkt $C$.
So hast du das gleichschenklige Dreieck $ABC$ konstruiert.
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