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Gleichschenkliges Dreieck

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Abb. 1: Gleichschenkliges Dreieck
Abb. 1: Gleichschenkliges Dreieck
Beachte bei folgenden Formeln, dass die Seiten $a$ und $b$ gleich lang ist, d.h. es gilt $a = b$. In allen Formeln kannst du also auch anstatt $a$ auch $b$ schreiben.
  • Für den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks gilt: $A$ = $\dfrac{c}{2}\cdot \sqrt{a²-\dfrac{c²}{4}}.$
  • Für den Umfang $U$ des Dreiecks gilt: $U$ = $2a+c = 2b+c.$
  • Für die Höhe $h$ des Dreiecks gilt: $h$ = $\sqrt{a^2-\dfrac{c^2}{4}}.$

Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligem Dreieck die beiden Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind.
Umgekehrt gilt, sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so ist das Dreieck gleichschenklig.
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Einführung

Abb. 1: Gesucht sind die Seitenlängen des Satteldachs
Abb. 1: Gesucht sind die Seitenlängen des Satteldachs
Er benutzt also die Formeln für das gleichschenklige Dreieck, um die Seitenlängen zu bestimmen.

Erklärung

Abb. 2: Gleichschenkliges Dreieck
Abb. 2: Gleichschenkliges Dreieck
Beachte bei folgenden Formeln, dass die Seiten $a$ und $b$ gleich lang ist, d.h. es gilt $a = b$. In allen Formeln kannst du also auch anstatt $a$ auch $b$ schreiben.
  • Für den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks gilt: $A$ = $\dfrac{c}{2}\cdot \sqrt{a²-\dfrac{c²}{4}}.$
  • Für den Umfang $U$ des Dreiecks gilt: $U$ = $2a+c = 2b+c.$
  • Für die Höhe $h$ des Dreiecks gilt: $h$ = $\sqrt{a^2-\dfrac{c^2}{4}}.$

Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligem Dreieck die beiden Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind.
Umgekehrt gilt, sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so ist das Dreieck gleichschenklig.

Beispiel

Jannik ist die Höhe $h$ und die Länge der Grundseite $c$ bekannt. Er muss also die Formel für die Höhe $h = \sqrt{a^2-\dfrac{c^2}{4}}$ nach der Variablen $a$ umstellen.
$\begin{array}[t]{rll} h &=& \sqrt{a^2-\dfrac{c^2}{4}} &\quad \scriptsize \mid\ \text{mit 2 potenzieren} \\[5pt] h^2 &=& a^2-\dfrac{c^2}{4} &\quad \scriptsize \mid\ +\dfrac{c^2}{4} \\[5pt] a^2 &=& h^2+\dfrac{c^2}{4} &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{ } \\[5pt] a &=& \sqrt{h^2+\dfrac{c^2}{4}} \end{array}$
Nun kann Jannik die entsprechenden Längen in die Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \sqrt{h^2+\dfrac{c^2}{4}} \\[5pt] &=& \sqrt{1^2+\dfrac{4^2}{4}} \\[5pt] &=& \sqrt{5} \\[5pt] &\approx& 2,236 \end{array}$
Die beiden Seiten des Dachs sind also jeweils $2,236$ m lang.
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Aufgaben
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1.
Welche grundlegenden Eigenschaften hat ein gleichschenkliges Dreieck?
2.
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck.
Bestimme die Länge der Seite $a$ und den Winkel $\alpha$.
a) $ b=3\,\text{cm}$ b) $ u=8\,\text{cm}$ c) $u=10\,\text{cm}$
$\beta=50^{\circ}$ $c=3\,\text{cm}$ $c=4\,\text{cm}$
$\gamma=70^{\circ}$ $\beta=55^{\circ}$
a)$b=3\,\text{cm}$ $\beta=50^{\circ}$
b)$u=8\,\text{cm}$ $c=3\,\text{cm}$ $\gamma=70^{\circ}$
c)$u=10\,\text{cm}$ $c=4\,\text{cm}$ $\beta=55^{\circ}$
3.
Zeichne eine Skizze eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Seitenlänge $c=7\,\text{m}$ und $b=5\,\text{m}$.
Welchen Flächeninhalt und welchen Umfang hat das Dreieck?
4.
Um welchen Faktor vergrößert sich der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit $c=6\,\text{cm}$ und $a=10\,\text{cm}$, wenn man die Länge der Seite $a$ verdoppelt und die Länge der Seite $c$ beibehält?
5.
Über eine Straße wird von Hauswand zu Hauswand (Abstand $c=16\,\text{m}$) ein Drahtseil zur Befestigung einer mittig angebrachten Lampe gespannt. Die Lampe hat einen Durchhang $d=1,5\,\text{m}$. Berechne die Länge des benutzten Seils.
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Lösungen
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1.
Die grundlegenden Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks sind:
  • Es ist achsensymmetrisch.
  • Zwei Seitenkanten sind gleich lang.
  • Die Winkel, welche den Schenkeln gegenüberliegen, sind gleich groß.
2.
Im gleichschenkligen Dreieck gilt $a=b$ und $\alpha=\beta$.
a)
Die Seite $a=b=3\,\text{cm}$ lang und der Winkel $\alpha=\beta=50^{\circ}$.
b)
Berechne $\boldsymbol{a}$ über den Umfang
$ \begin{array}{rll} u&=&2\cdot a + c&\scriptsize \text{nach}\;a\;\text{umstellen}\\ a&=&\dfrac{u-c}{2}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ a&=&\dfrac{8\,\text{cm}-3\,\text{cm}}{2}\\ a&=&2,5\,\text{cm}\\ \end{array} $
$ a = 2,5 $
Berechne $\boldsymbol\alpha$ über die Winkelsumme
$ \begin{array}{rll} \gamma&=&180^{\circ}-2\cdot\alpha&\scriptsize \text{nach}\; \alpha \;\text{umstellen}\\ \alpha&=&\dfrac{180^{\circ}-\gamma}{2}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ \alpha&=&\dfrac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}\\ \alpha&=&55^{\circ}\\ \end{array} $
$ \alpha = 55^{\circ}\\ $
c)
Berechne $\boldsymbol{a}$ über den Umfang
$ \begin{array}{rll} u&=&2\cdot a + c&\scriptsize \text{nach}\;a\;\text{umstellen}\\ a&=&\dfrac{u-c}{2}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ a&=&\dfrac{10\,\text{cm}-4\,\text{cm}}{2}\\ a&=&3\,\text{cm}\\ \end{array} $
$ a = 3\,\text{cm}\\ $
Winkel $\boldsymbol{\alpha}$
$\alpha=\beta=55^{\circ}$
3.
Flächeninhalt
1. Schritt: $\boldsymbol{h_c}$ berechnen
Damit du die Fläche des Dreiecks berechnen kannst, musst du zu erst die Höhe $h_c$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Die allgemeine Formel dafür lautet $c^2=a^2+b^2$. Da es sich bei diesem Dreieck um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, teilt die senkrechte Linie $h_c$ sowohl das Dreieck als auch die Grundseite $c$ genau in der Mitte. Dies ist beim einsetzten der Werte in die Pythagoras-Formel wichtig.
$ \begin{array}[t]{rll} a^2&=&c^2-b^2&\quad\scriptsize \text{Variable einsetzen}\\ h_c^2&=&b^2-\left(\frac{1}{2}c\right)^2&\quad\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\ h_c^2&=&\left(5\,\text{m}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\cdot7\,\text{m}\right)^2&\quad\scriptsize \text{vereinfachen}\\ h_c^2&=&12,75\,\text{m}²&\quad\scriptsize\mid \sqrt{\;}\\ h_c&\approx&3,6\,\text{m}&\\ \end{array} $
$ h_c \approx 3,6\,\text{m} \\ $
2. Schritt: Fläche berechnen
Die Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet:
$A=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$.
$A=\frac{1}{2}\cdot 7\,\text{m}\cdot3,6\,\text{m}\approx12,6\,\text{m}^2$
Die Fläche des Dreiecks beträgt $12,6\,\text{m}^2$
Umfang berechnen
$u=2\cdot b + c=2\cdot 5\,\text{m} + 7\,\text{m} =17\,\text{m}$
Der Umfang des Dreiecks beträgt $17\,\text{m}$.
4.
Berechne den Faktor, um den der Flächeninhalt größer ist
1. Schritt: Ursprünglichen Flächeninhalt $\mathbf{A_1}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A&= & \dfrac{c}{2}\cdot \sqrt{a²-\dfrac{c²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A_1&= & \dfrac{6\,\text{cm}}{2}\cdot \sqrt{(10\,\text{cm})²-\dfrac{(6\,\text{cm})²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{100\,\text{cm}²-\dfrac{36\,\text{cm}²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A_1&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{100\,\text{cm}²-9\,\text{cm}²} &\quad\scriptsize\\ A_1&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{91\,\text{cm}²} &\quad\scriptsize\\ A_1&= & 3\,\text{cm} \cdot 9,54\,\text{cm} &\\ A_1&= & 28,62\,\text{cm}^2 &\\ \end{array} $
$ A_1 = 28,62\,\text{cm}^2 $
2. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_2}$ mit doppelter Seite a berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A&= & \dfrac{c}{2}\cdot \sqrt{a²-\dfrac{c²}{4}} &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ A_2&= & \dfrac{6\,\text{cm}}{2}\cdot \sqrt{(20\,\text{cm})²-\dfrac{(6\,\text{cm})²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A_2&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{400\,\text{cm}²-\dfrac{36\,\text{cm}²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A_2&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{400\,\text{cm}²-9\,\text{cm}²} &\quad\scriptsize\\ A_2&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{391\,\text{cm}²} &\quad\scriptsize\\ A_2&= & 3\,\text{cm} \cdot 19,77\,\text{cm} &\\ A_2&= & 59,32\,\text{cm}^2 &\\ \end{array} $
$ A_2 = 59,32\,\text{cm}^2 $
3. Schritt: Faktor $\boldsymbol{f}$ bestimmen
$ \begin{array}[t]{rll} f&= & \dfrac{A_2}{A_1}&\\ f&= & \dfrac{59,32\,\text{cm}^2}{28,62\,\text{cm}^2}&\\ f&\approx & 2,07 \end{array} $
5.
Seillänge berechnen
Betrachte die Aufgabe als ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $c=16\,\text{m}$ und den Schenkeln $a$ und $b$, welche zusammen die Länge des benutzten Seils ergeben. Die Seiten $\frac{c}{2}$, $d$ und $a$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne den Schenkel $a$ mit dem Satz des Pythagoras.
$c²=a²+b²$ mit $c=a$, $a=\frac{c}{2}$ und $b=d$
$ \begin{array}[t]{rll} a²&= & \left(\frac{16\,\text{m}}{2}\right)²+\left(1,5\,\text{m}\right)²\\ a²&= & (8\,\text{m})²+(1,5\,\text{m})²\\ a²&= & 64\,\text{m}²+2,25\,\text{m}²\\ a²&= & 66,25\,\text{m}²& \quad\scriptsize\mid \sqrt{\;}\\ a&= & 8,14\,\text{m} \end{array} $


Damit ergibt sich die Länge des gesamten benutzten Drahtseils:
$2\cdot a=2\cdot 8,14\,\text{m}=16,28\,\text{m}$
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