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Abklingprozesse

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Exponentieller Zerfall beschreibt ein Vorgang bei dem die beobachtete Größe (Bestand $B(t)$) in festen Zeitintervallen immer um den selben Faktor schrumpft.
Exponentiellen Zerfall kannst du mathematisch wie folgt beschreiben:
$B(t)=B_0\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=B_0\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
  • Der Zerfallsfaktor $a$ ist die Größe, die den Zerfall (deshalb gilt $a < 1$) des beobachteten Bestandes in einem Zeitintervall beschreibt.
  • Der Anfangsbestand $B_0$ gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ und somit $B(0)$ an.
  • Der Zeitpunkt $t$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit. Dabei können die Zeiteinheiten je nach Modell variieren.
#abklingprozesse
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

#wachstum#abklingprozesse

Aufgabe 1

#wachstum#abklingprozesse

Aufgabe 2

a)
Stelle eine Gleichung für die Werte aus der Tabelle auf, sodass die Funktionsgleichung erfüllt ist.
b)
Berechne den passenden $y$-Wert für $x=10$.
#wachstum#abklingprozesse

Aufgabe 3

#abklingprozesse#wachstum

Aufgabe 4

Ein radioaktiver Stoff zerfällt jede halbe Stunde um $20\;\%$.
a)
Wie viel Prozent des Stoffes sind nach $2$ Stunden noch da?
b)
Zu welchem Zeitpunkt ist noch genau die Hälfte des Stoffes da?
#wachstum#abklingprozesse

Aufgabe 5

#wachstum#abklingprozesse

Aufgabe 6

Die Halbwertszeit von Caesium beträgt ca. $30$ Jahre. $30$ Jahre nach Beobachtungsbeginn liegen noch $0,5\,\text{kg}$ Caesium vor.
a)
Berechne den Anfangsbestand des Caesiums und gib die Funktionsgleichung für $B(t)$ an.
b)
Wie groß ist der Bestand an Caesium in $10$ Jahren?
c)
Nach wie vielen Jahren sind nur noch $0,1\,\text{kg}$ Caesium vorhanden?
#abklingprozesse#wachstum
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Milchschaumhöhe zu verschiedenen Zeitpunkten angeben
Die Milchschaumhöhe beträgt zu Beginn $8\;\text{cm}$. Nach $5$ Minuten ist der Milchschaum nur noch halb so hoch. Die Milchschaumhöhe nach verschiedenen Zeiten kannst du berechnen, indem du die Höhe zum ersten Zeitpunkt durch zwei teilst, um die Höhe zum nächsten Zeipunkt zu erhalten.
Zeit in $\text{min}$Höhe in $\text{cm}$
$0$$8$
$5$$4$
$10$$2$
$15$$1$
$20$$0,5$
$25$$0,25$
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung für Milchschaumhöhe angeben
Der Vorgang des Milchschaumzerfalls kann als exponentieller Zerfall betrachtet werden, denn die beobachtete Größe schrumpft immer um den selben Faktor in festen Zeitintervallen.
Exponentiellen Zerfall kannst du mathematisch wie folgt beschreiben:
$B(t)=B_0\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=B_0\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
  • Der Zerfallsfaktor $a$ ist die Größe, die den Zerfall (deshalb gilt $a < 1$) des beobachteten Bestandes in einem Zeitintervall beschreibt.
  • Der Anfangsbestand $B_0$ gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ und somit $B(0)$ an.
  • Der Zeitpunkt $t$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit. Dabei können die Zeiteinheiten je nach Modell variieren.
In diesem Fall verschwindet pro Zeiteinheit immer die Hälfte des Schaumes, also beträgt die Abnahme $50\;\%$. Der Wachstumsfaktor beträgt deswegen $a=0,5$. Der Anfangsbestand entspricht der Milchschaumhöhe zum Zeipunkt $t=0$, also $B_0=8$. Setze diese Werte nun in die Formel für einen exponentiellen Zerfall ein und du erhältst:
$B(t)=8\cdot 0,5^t$
Damit du mit der Gleichung die Milchschaumhöhe zu jedem Zeitpunkt und nicht nur zu jeder $5.$ Minute beschreiben kannst, musst du $t$ noch mit $\frac{1}{5}$ multiplizieren. Es ergibt sich die Formel:
$B(t)=8\cdot 0,5^{\frac{1}{5}\cdot t}$
Die Milchschaumhöhe lässt sich mit der Formel $B(t)=8\cdot 0,5^{\frac{1}{5}\cdot t}$ berechnen.
c)
$\blacktriangleright$ Milchschaumhöhe nach $\boldsymbol{60}$ Minuten berechnen
Um die Milchschaumhöhe nach $60$ Minuten zu berechnen, kannst du die Gleichung, die du aufgestellt hast verwenden. Setze $t=60$ ein:
$B(60)=8\cdot 0,5^{\frac{1}{5}\cdot 60}=0,002$
Der Milchschaum ist nach $60$ Minuten noch $0,002\;\text{cm}$ hoch, also fast verschwunden.
#abklingprozesse#wachstum

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Gleichung für die Beleuchtungsstärke aufstellen
Die Beleuchtungsstärke an der Oberfläche des Wassers beträgt $120\;\text{Lux}$, dies entspricht dem Anfangsbestand $B_0$. Die Beleuchtungsstärke in Abhängigkeit von der Tiefe kann als exponentieller Zerfall beschrieben werden, da sich die Beleuchtungsstärke in verschiedenen Tiefenintervallen $t$ immer um den gleichen Faktor, $15\%$, ändert. Der Wachstumsfaktor $a$ ist $a=0,85$, da nach jedem Zeitintervall noch $1-0,15=0,85$ der vorherigen Beleuchtungsstärke vorhanden sind.
Setze diese Werte in die Formel für einen exponentiellen Zerfall ein und du erhältst folgende Gleichung:
$B(t)=B_0 \cdot a^t$
$B(t)=120\cdot 0,85^t$
Die Gleichung, die die Beleuchtungsstärke in Abhängigkeit von der Tiefe beschreibt lautet $B(t)=120\cdot 0,85^t$.
b)
$\blacktriangleright$Beleuchtungsstärke in $\boldsymbol{10}$ Metern Tiefe berechnen
Du sollst die Beleuchtungsstärke in $10$ Metern Tiefe berechnen. Dazu kannst du die Formel, die du aufgestellt hast verwenden und $t=10$ in die Gleichung einsetzen.
$B(10)=120\cdot 0,85^{10}\approx23,62$
Die Beleuchtungsstärke in $10$ Metern Tiefe beträgt ca. $23,62\;\text{Lux}$.
$\blacktriangleright$ Beleuchtungsstärke in $\boldsymbol{20}$ Metern Tiefe berechnen
Du sollst nun die Beleuchtungsstärke in $20$ Metern Tiefe berechnen. Dazu kannst du die Formel, die du aufgestellt hast verwenden und $t=20$ in die Gleichung einsetzen.
$B(20)=120\cdot 0,85^{20}\approx4,65$
Die Beleuchtungsstärke in $20$ Metern Tiefe beträgt ca. $4,65\;\text{Lux}$ .
#wachstum#abklingprozesse

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen
Der Wert für $x=0$ hat einen zugehörigen $y$-Wert von $y=80$. Wenn $x$ das betrachtete Intervall beschreibt, dann entspricht $y(0)=80$ dem Anfangsbestand $B_0$. Die Werte in der Tabelle lassen sich durch einen exponentiellen Zerfall beschreiben, da der Wachstumsfaktor in jedem Zeitintervall gleich bleibt. Der $y$-Wert halbiert sich in jedem Intervall, also beträgt der Wachstumsfaktor $a=0,5$. Stelle mithilfe dieser Werte nun eine Gleichung für einen exponentiellen Zerfall auf:
$B(t)=B_0 \cdot a^t$
$Y(x)=80 \cdot 0,5^x$
Die Gleichung $Y(x)=80 \cdot 0,5^x$ erfüllt die Werte in der Tabelle.
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{y}$-Wert für $\boldsymbol{x=10}$ berechnen
Den $y$-Wert für $x=10$ kannst du berechnen, indem du $x=10$ in die zuvor aufgestellte Gleichung einsetzt.
$Y(10)=80 \cdot 0,5^{10}\approx0,078$
Der passende $y$-Wert für $x=10$ ist $0,078$.
#abklingprozesse#wachstum

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen
Es ist angegeben, dass ein Auto jährlich $25\;\%$ an Wert verliert. Da der Wachstumsfaktor konstant bleibt, kann der Wertverfall des Autos wie ein exponentieller Zerfall beschrieben werden. Der Anfangsbestand entspricht dem Wert des Autos zum Zeitpunkt $t=0$, also $B_0=80.000$. Der Wachstumsfaktor beträgt $a=1-0,25=0,75$, da das Auto im Folgejahr noch $75\;\%$ des ursprünglichen Geldes wert ist.
Mit diesen Angaben kannst du die Gleichung aufstellen:
$B(t)=B_0\cdot a^t$
$B(t)=80.000 \cdot 0,75^t$
Die Gleichung, die den Wert des Autos in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt lautet $B(t)=80.000 \cdot 0,75^t$.
b)
$\blacktriangleright$ Wert des Autos nach $\boldsymbol{3}$ Jahren berechnen
Den Wert des Autos nach $3$ Jahren kannst du berechnen, indem du $t=3$ in die Gleichung einsetzt.
$B(t)=80.000 \cdot 0,75^3=33.750$
Das Auto ist nach $3$ Jahren noch $33.750$ Euro wert.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt einer Wertunterschreitung von $\boldsymbol{60.000}$ Euro berechnen
Um zu berechnen wann eine Wertunterschreitung von $60.000$ Euro stattfindet, setzt du für $B(t)=60.000$ ein und löst nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 60.000&=& 80.000 \cdot 0,75^t &\quad \scriptsize \mid\; :80.000 \\[5pt] \dfrac{60.000}{80.000}&=& 0,75^t &\quad \scriptsize \mid\;ln \\[5pt] ln(0,75)&=& t \cdot ln(0,75) &\quad \scriptsize \mid\; :ln(0,75) \\[5pt] t&=& \frac{ln(0,75)}{ln(0,75)}=1 \end{array}$
Nach bereits einem Jahr wird der Betrag von $60.000$ Euro unterschritten.
#abklingprozesse#wachstum

Aufgabe 4

Du weißt, dass jede halbe Stunde $20\;\%$ eines radioaktiven Stoffes zerfallen, also dass nach jeder halben Stunde noch $80\;\%$ der vorherigen Menge da sind. Der Wachstumsfaktor ist deswegen $a=0,8$. Da nur nach prozentualen Angaben gefrag ist, brauchst du den Anfangsbestand $B_0$ nicht. Die allgemeine Gleichung für diesen Zerfall lautet:
$B(t)=B_0 \cdot 0,8^t$
a)
$\blacktriangleright$ Menge des Stoffes nach $\boldsymbol{2}$ Stunden berechnen
Die Gleichung $B(t)=B_0 \cdot 0,8^t$ beschreibt den Zerfall zu jeder halben Stunde, damit du weißt, wie viel Prozent des Stoffes nach $2$ Stunden noch da sind, musst du dir zuerst überlegen, wie viele Zeitintervalle von je einer halben Stunde den $2$ Stunden entsprechen. Zwei Stunden entsprechen vier mal einer halben Stunde, setze deswegen $t=4$ in die Gleichung ein.
$B(t)=B_0 \cdot 0,8^4\approx B_0\cdot 0,41$
Es sind also noch ca. $41\;\%$ des ursprünglichen Stoffes nach $2$ Stunden da.
b)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen an dem nur noch die Hälfte da ist
Die Zeit, die vergeht bis genau die Hälfte eines radioaktiven Stoffes zerfallen ist, nennt man Halbwertszeit. Der Bestand beträgt zu diesem Zeitpunkt $B_0\cdot 0,5$. Aus diesen Informationen kannst du eine Gleichung aufstellen:
$B_0 \cdot 0,5 = B_0 \cdot 0,8^t$
Stelle diese Gleichung nun nach $t$ um und du erhältst die Anzahl der Zeitintervalle, die vergangen sind.
$\begin{array}[t]{rll} B_0\cdot 0,5&=& B_0 \cdot 0,8^t&\quad \scriptsize \mid\; : B_0\\[5pt] 0,5&=& 0,8^t&\quad \scriptsize \mid\; ln\\[5pt] ln(0,5)&=& t \cdot ln(0,8) &\quad \scriptsize \mid\;: ln(0,8)\\[5pt] t&=&\dfrac{ln(0,5)}{ln(0,8)}\approx3,1 \end{array}$
Es sind ca. $3$ Zeitintervalle mit je einer halben Stunde vergangen, also ca. $1,5$ Stunden. Die Halbwertszeit für den Stoff beträgt also ca. $1,5$ Stunden.
#abklingprozesse#wachstum

Aufgabe 5

Ein Basketballspieler wirft einen Ball zu Beginn $8$ Meter hoch, dies entspricht dem Anfangsbestand $B_0$. Der springende Ball kann als exponentieller Zerfall betrachtet werden, da die Änderungsrate $a=0,75$ in jedem Zeitintervall gleich bleibt. Setze die Werte in die Formel für einen exponentiellen Zerfall ein:
$B(t)=B_0 \cdot a^t$
$B(t)=8 \cdot 0,75^t$
Die Gleichung $B(t)=8 \cdot 0,75^t$ beschreibt die Sprunghöhe des Balles.
a)
$\blacktriangleright$ Sprunghöhe nach $\boldsymbol{4}$ Bodenberührungen berechnen
Die Sprunghöhe nach $4$ Bodenberührungen kannst du berechnen, indem du $t=4$ in die Gleichung, die du aufgestellt hast, einsetzt.
$B(4)=8 \cdot 0,75^4\approx2,53$
Der Ball springt nach der $4.$ Bodenberührung noch ca. $2,53$ Meter hoch.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Bodenkontakte berechnen, bis der Ball unter $\boldsymbol{0,5}$ Meter hoch fliegt
Um die Anzahl an Bodenkontakten zu berechnen, bis der Ball unter $0,5$ Meter hoch fliegt, musst du $B(t)=0,5$ in die Gleichung einsetzen und nach $t$ auflösen. Die Anzahl der Bodenkontakte kann nur einen ganzzahligen Wert annehmen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,5&=& 8 \cdot 0,75^t &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] \frac{0,5}{8}&=& 0,75^t &\quad \scriptsize \mid\;ln \\[5pt] ln(0,0625)&=& t \cdot ln(0,75) &\quad \scriptsize \mid\; :ln(0,75) \\[5pt] t&=& \dfrac{ln(0,0625)}{ln(0,75)}\approx9,64 \end{array}$
Der Ball fliegt nach $10$ Bodenkontakten weniger als $0,5$ Meter hoch.
#abklingprozesse#wachstum

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Anfangsbestand berechnen
Du weißt, dass die Halbwertszeit von Caesium $30$ Jahre beträgt. Nach dieser Zeit liegen noch $0,5\;\text{kg}$ von dem Stoff vor. Da sich der Stoff in dieser Zeit bereits halbiert hat, muss davor das doppelte, also $1\;\text{kg}$ Caesium vorhanden gewesen sein. Der Anfagnsbestand $B_0$ beträgt also $B_0=1$.
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben
Es wird das Zeitintervall betrachtet, bei dem die Menge des Stoffes sich halbiert, somit ist der Wachstumsfaktor $a=0,5$. Damit du die Menge an Caesium zu jedem Jahr und nicht nur zu jedem $30.$ Jahr berechnen kannst, musst du $t$ noch mit $\frac{1}{30}$ multiplizieren. Somit ergibt sich die Funktionsgleichung:
$B(t)=1 \cdot 0,5^{\frac{1}{3}\cdot t}$
Die Funktionsgleichung $B(t)=0,5^{\frac{1}{3}\cdot t}$ beschreibt die Menge an Caesium in Abhängigkeit von der Zeit.
b)
$\blacktriangleright$ Bestand nach $\boldsymbol{10}$ Jahren berechnen
Den Bestand an Caesium in $10$ Jahren kannst du berechnen, indem du $t=10$ in die Funktionsgleichung einsetzt, die du aufgestellt hast.
$B(t)=0,5^{\frac{1}{30}\cdot 10}\approx0,793$
Nach $10$ Jahren sind also noch ca. $0,793\;\text{kg}$ vorhanden.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen, an dem der Bestand $\boldsymbol{0,1}$ kg beträgt
$\begin{array}[t]{rll} 0,1&=& 0,5^{\frac{1}{30}\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; ln \\[5pt] ln(0,1)&=& t \cdot \frac{1}{30} \cdot ln(0,5) &\quad \scriptsize \mid\; :ln(0,5) \mid\; \cdot 30\\[5pt] t&=& \frac{ln(0,1)}{ln(0,5)}\cdot 30 \approx 99,66 \end{array}$
Nach ca. $99,66$ Jahren sind noch $0,1\;\text{kg}$ Caesium vorhanden.
#abklingprozesse#wachstum
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