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Flächeninhalt und Umfang

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Wichtig: Flächen können den selben Flächeninhalt, aber einen unterschiedlichen Umfang besitzen.
#umfang#flächeninhalt
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Vergleiche die Formenpaare. Haben sie den selben Flächeninhalt?
b)
Abb. 2: Formenpaar 2
Abb. 2: Formenpaar 2

Aufgabe 1

Abb. 4: Skizze Abdeckplane und Teich
Abb. 4: Skizze Abdeckplane und Teich

Aufgabe 2

Abb. 5: die verschiedenen Kacheln
Abb. 5 : die verschiedenen Kacheln

Aufgabe 3

Leonie und Nico haben die Aufgabe, den Schulgarten einzuzäunen.
Leonie ist für das Gemüsebeet und Nico für den Kräutergarten zuständig.
Abb. 6: Skizze der beiden Beete
Abb. 6: Skizze der beiden Beete
Ihre Lehrerin hat ihnen verraten, dass beide Beete den gleichen Flächeninhalt besitzen.
Leon meint:
„Es reicht, wenn wir den Umfang von einem der beiden Beete abmessen. Da beide den gleichen Flächeninhalt besitzen, haben sie auch den gleichen Umfang. “
Hat Nico recht?

Aufgabe 4

Max möchte sein Zimmer neu streichen. Um das ganze etwas abwechslungsreicher zu gestalten, möchte er ein Rechteck sowie ein Dreieck an die Wand malen.
Abb. 7: Skizze der Formen
Abb. 7: Skizze der Formen
Braucht er für beide Figuren gleich viel Farbe?
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Formenpaar $\boldsymbol{1}$ vergleichen
Schneidet man von der zweiten Form das obere Dreieck ab, passt es genau in die untere Lücke. So ergibt es genau den gleichen Flächeninhalt wie bei dem ersten Rechteck.
Die beiden Formen haben den gleichen Flächeninhalt.
b)
$\blacktriangleright$  Formenpaar $\boldsymbol{2}$ vergleichen
Die erste Form hat einen viel größeren Flächeninhalt, denn zusätzlich zur rechteckigen Grundform hat es noch oben ein Dreieck. Dieses Dreieck fehlt der zweiten Form zusätzlich zur Grundform.
Die beiden Formen haben nicht den selben Flächeninhalt.
c)
$\blacktriangleright$  Formenpaar $\boldsymbol{3}$ vergleichen
Um diese beiden Flächeninhalte zu vergleichen, kannst du die Kästchen zählen, die sich innerhalb der Form befinden.
Die erste Form umschließt $26$ Kästchen und die zweite Form $19$ Kästchen.
Die erste Form hat somit den größeren Flächeninhalt.
Die beiden Formen haben nicht den selben Flächeninhalt.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Teich abdecken
Anmerkung :
Bei dieser Aufgabe wird auch noch einmal deutlich:
Flächen, die den selben Flächeninhalt haben, haben nicht immer den gleichen Umfang.
Zu Beginn hat die Plane den Umfang $14\text{ m}+5\text{ m}+14\text{ m}+5\text{ m}=38\text{ m}$
Nach dem Zerschneiden besitzt sie den Umfang $10\text{ m}+7\text{ m}+10\text{ m}+7\text{ m}=34\text{ m}$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Größte Kachel bewerten
Kachel Nummer $1$ besteht aus $3\text{ Kästchen} \cdot4\text{ Kästchen}=12\text{ Kästchen}$
Kachel Nummer $2$ besteht aus $2\text{ Kästchen} \cdot4\text{ Kästchen}=8\text{ Kästchen}$
Kachel Nummer $3$ besteht aus $3\text{ Kästchen} \cdot3\text{ Kästchen}=9\text{ Kästchen}$
$ $
Kachel Nummer $1$ besitzt mit $12\text{ Kästchen}$ den größten Flächeninhalt. Somit wird sich Marie für diese Kacheln entscheiden.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Nicos Aussage überprüfen
Um die Aussage von Nico zu überprüfen, nimmst du die Skizze zu Hilfe.
Um den Umfang zu berechnen, addierst du alle Seitenlängen.
Das Gemüsebeet hat somit den Umfang :
$6\text{ Kästchen}+8\text{ Kästchen}+6\text{ Kästchen}+8\text{ Kästchen}=28\text{ Kästchen}$
$ 28\text{ Kästchen} $
Der Kräutergarten hat durch seine zusätzliche Ecke mehr als $4$ Seitenlägen. An der Vorgehensweise ändert das jedoch nichts.
Der Kräutergarten hat somit den Umfang:
$7\text{ Kästchen}+4\text{ Kästchen}+2\text{ Kästchen}+4\text{ Kästchen}+5\text{ Kästchen}+8\text{ Kästchen}=30\text{ Kästchen}$
$ 30\text{ Kästchen} $
Obwohl beide Beete den gleichen Flächeninhalt besitzen, hat der Kräutergarten einen größeren Umfang.
Nicos Behauptung ist somit falsch und die beiden können sich keine Arbeit sparen, indem sie nur den Umfang eines Beetes berechnen.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Beide Formen vergleichen
Beide Formen lassen sich jeweils zu einem Quadrat ergänzen, indem du die gleiche Form nocheinmal hinzufügst.
Abb. 3: Formen zum Quadrat ergänzt
Abb. 3: Formen zum Quadrat ergänzt
Beide Quadrate sind gleich groß und haben somit den gleichen Flächeninhalt.
Da die Quadrate jeweils den doppelten Flächeninhalt der jeweiligen Form besitzen, haben auch die beiden Formen den gleichen Flächeninhalt und Max benötigt für beide gleich viel Farbe.
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