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Trapez

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Ein Trapez ist ein ebenes Viereck mit mindestens zwei Seiten, die zueinander parallel sind. Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu bestimmen, benötigst du die Längen der beiden parallelen Seiten $a$ und $c$ und die Höhe $h$ des Trapezes.
Für den Flächeninhalt $A$ des Trapezes gilt:
$A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$
$A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$
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#trapez#flächeninhalt
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Einführungsaufgabe

Gegeben seien die Punkte $A(1 \mid 1)$, $B(2 \mid 1)$ und $C(3 \mid 3)$.
a)
Gebe die Definition eines Trapezes und die Formel für dessen Flächeninhalt an.
b)
Zeichne die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem ein und füge einen zusätzlichen Punkt $D$ hinzu, sodass die vier Punkte ein Trapez bilden. Erkläre dabei, was bei der Wahl von $D$ zu beachten hast.
c)
Nun sei der Punkt $D'(0 \mid 3)$ gegeben. Verbinde die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D'$ zu einem Trapez. Zeichne die Höhe des Trapezes ein und markiere die beiden parallelen Seiten rot.

Aufgabe 1

Bestimme den Flächeninhalt folgender Trapeze.

Aufgabe 2

a)
Zeichne zwei Trapeze mit dem gleichen Flächeninhalt und der Höhe von $4 \text{ cm}$, aber mit zwei Grundseiten unterschiedlicher Länge.
b)
Wie müssen die Grundseiten angepasst werden, wenn der Flächeninhalt des Trapezes halbiert werden soll?
c)
Leite die Formel zur Berechnung eines Trapezes her, indem du zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten $a$ und $h$ berechnest und anschließend den Flächeninhalt der beiden Dreiecke, die nicht zum Trapez gehören, vom Flächeninhalt des Rechtecks abziehst.

Aufgabe 3

Vervollständige die vorliegende Tabelle.
a)b)c)d)
a$6 \text{ m}$$14 \text{ cm}$$43,2 \text{ dm}$$27 \text{ cm}$
c$1,2 \text{ m}$ $0,86 \text{ m}$$2a \text{ cm}$
h$3,9 \text{ m}$$2,4 \text{ m}$$93 \text{ cm}$
A$3,6 \text{ m}^2$$3,52b \text{ m}^2$
Dabei bezeichnen $a$ und $c$ die Längen der beiden Grundseiten, $h$ die Höhe des Trapezes und $A$ den Flächeninhalt.

Aufgabe 4

a)
Entspricht das Zimmer Lisas Anforderungen?
b)
Lisa will nicht mehr als $465$€ pro Monat für ihr Zimmer ausgeben. Bleibt sie in ihrem Budget, wenn sie pro $\text{m}^2$ $19,43$€ zahlen muss?

Aufgabe 5

a)
Wie viel Liter fasst die Badewanne, wenn die Füllhöhe $40 \text{ cm}$ beträgt?
b)
Bleiben Aileen und Nikolas unter ihrem Budget, wenn inklusive Heizkosten $1.000$ Liter Wasser $2,45$€ kosten?
c)
Um welchen Faktor muss die Badewanne verkleinert/vegrößert werden, damit die Kosten $73$ € pro Jahr entsprechen?
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Einführungsaufgabe

a)
Ein Trapez ist ein ebenes Viereck mit mindestens zwei Seiten, die zueinander parallel sind. Der Flächeninhalt lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$A = \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$
$A = \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$
b)
Bei der Wahl von $D$ ist zu beachten, dass entweder die Seite $\overline{BC}$ parallel zur Seite $\overline{AD}$ sein soll oder die Seite $\overline{AB}$ zur Seite paralle $\overline{DC}$ sein muss (treffen beide Eigenschaften zu, handelt es sich sogar um ein Parallelogramm). Eine mögliche Wahl von $D$ wäre der Punkt$(1 \mid 3).$
c)
Die Höhe bildet mit den beiden parallelen Seiten einen $90°$-Winkel.

Aufgabe 1

Die Flächeninhalte der gegebenen Trapeze berechnest du, indem du die Werte für die Grundseiten und die Höhe in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes einsetzt:
$A = \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$
$A = \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$
b)
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot (7,1 + 5,2) \cdot 8 \\[5pt] &=& 49,2 \text{ dm}^2 \end{array}$

Aufgabe 2

a)
Bevor du mit dem Zeichnen beginnst, musst du dir überlegen, wie lang die jeweiligen Grundseiten der beiden Trapeze sein müssen. Die Trapeze müssen denselben Flächeninhalt haben. Wähle als möglichen Flächeninhalt z.B. $12 \text{ cm}^2$. Löse die Formel zur Berechnung eines Trapezes nach den beiden Grundseiten auf und setze die bekannten Werte in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{2}{h} \\[5pt] a + c &=& \dfrac{2A}{h} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot 12}{4} \\[5pt] &=& 6 \end{array}$
Die Längen der beiden Seiten $a$ und $c$ müssen also in der Summe $6$ ergeben. Wähle z.B. $a_1 = 2 \text{ cm}$ und $c_1 = 4 \text{ cm}$ und $a_2 = 1 \text{ cm}$ und $c_2 = 5 \text{ cm}$, sodass du zwei Trapeze mit derselben Höhe und demselben Flächeninhalt erhälst, aber mit unterschiedlichen Grundseiten.
b)
Der Flächeninhalt eines Trapezes ist gegeben durch
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \end{array}$
Halbiert man nun den Flächeninhalt eines Trapezes, so muss die Summe der beiden Seiten die Hälfte der ursprünglichen Summe ergeben, da die Höhe konstant bleibt. Also gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2} \cdot A &=& \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{a+c}{2}) \cdot h \end{array}$
c)
Der Flächeninhalt des großen Rechtecks ist $a \cdot h$. Die Summe des Flächeninhalts der beiden kleineren Rechtecke ist gerade $(a - c) \cdot h.$ Da du aber nur den Flächeninhalt der beiden Dreiecke abziehen willst, die nicht zum Trapez gehören, musst du den Flächeninhalt der beiden kleinen Rechtecke durch $2$ teilen: $(\dfrac{a - c}{2}) \cdot h.$ Durch Ausklammern erhälst du die dir bekannte Formel:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Trapez}}&=& a \cdot h - (\dfrac{a - c}{2}) \cdot h \\[5pt] &=& h \cdot (a - (\dfrac{a - c}{2})) \\[5pt] &=& h \cdot (\dfrac{a}{2} + \dfrac{c}{2}) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \end{array}$

Aufgabe 3

Um die vorliegende Tabelle zu vervollständigen, benötigst du zur Berechnung die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes:
$A = \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$
$A = \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$
Löse diese Formel in jeder Teilaufgabe nach der gesuchten Variable auf und setze die gegebenen Werte ein. Beachte, dass bei jeder Rechnung alle Einheiten einheitlich sein müssen.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h \\[5pt] A &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h + \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h ~~~~~ \scriptsize \mid\ -\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h; ~ \cdot \dfrac{2}{h} \\[5pt] c &=& \dfrac{2 \cdot (A - \frac{1}{2} \cdot a \cdot h)}{h} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot (3,6 - \frac{1}{2} \cdot 0,14 \cdot 2,4)}{2,4} \\[5pt] &=& 2,86 \end{array}$
$c=2,86$
d)
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (27 + 2a) \cdot 93 ~~~~~ \scriptsize \mid\ \text{Setze den Wert für a ein} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (27 + 2 \cdot 27) \cdot 93 \\[5pt] &=& 3.766,5 \\[5pt] \end{array}$
$A=3.766,5$
Somit ergibt sich folgende Tabelle:
a)b)c)d)
a$6 \text{ m}$$14 \text{ cm}$$43,2 \text{ dm}$$27 \text{ cm}$
c$1,2 \text{ m}$$\color{#87c800}{2,86 \text{ m}}$$0,86 \text{ m}$$2a \text{ cm}$
h$3,9 \text{ m}$$2,4 \text{ m}$$\color{#87c800}{1,36b \text{ m}}$$93 \text{ cm}$
A$\color{#87c800}{14,04 \text{ m}^2}$$3,6 \text{ m}^2$$3,52b \text{ m}^2$$\color{#87c800}{3.766,5\text{ cm}^2}$

Aufgabe 4

a)
Du musst den Flächeninhalt von Lisas Zimmer bestimmen. Dabei gehtst du in drei Schritten vor:
1. Bestimme den Flächeninhalt des großen Trapezes.
2. Bestimme den Flächeninhalt des kleinen Trapezes.
3. Ziehe den Flächeninhalt des kleinen Trapezes vom großen ab.
1. Bestimmen den Flächeninhalt des großen Trapezes.
Die Höhe des großen Trapezes hast du durch $4,8 \text{ m}$ gegeben genauso wie die Längen der beiden Grundseiten. Setze die gegebenen Werte in die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes ein:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{groß}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \big((5+2,5) + 5,2 \big) \cdot 4,8 \\[5pt] &=& 30,48 \text{ m}^2 \end{array}$
2. Bestimmen den Flächeninhalt des großen Trapezes.
Gehe bei dem kleinen Trapez analog zu dem großen vor:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{klein}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot (2,5 + 2,3) \cdot 2 \\[5pt] &=& 4,8 \text{ m}^2 \end{array}$
3. Ziehe den Flächeninhalt des kleinen Trapezes vom großen ab.
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{gesamt}} &=& A_{\text{groß}} - A_{\text{klein}} \\[5pt] &=& 30,48 - 4,8 \\[5pt] &=& 25,68 \text{ m}^2 \end{array}$
Somit entpricht das Zimmer bezüglich der Größe Lisas Anforderungen.
b)
Lisa will für ihr Zimmer maximal $465$€ ausgeben. Das ihr vorgeschlagene Zimmer ist nach Teilaufgabe a) $25,68 \text{ m}^2$ groß. Für einen Quaratemeter muss sie $19,43$ € zahlen, d.h. für die Gesamtfläche zahlt sie:
$\begin{array}[t]{rll} G &=& 25,68 \cdot 19,43 \\[5pt] &=& 498,96 \text{ €} \end{array}$
Das Zimmer ist also über Lisas Budget.

Aufgabe 5

a)
Berechne im ersten Schritt den Flächeninhalt des Trapezes und multipliziere das Ergebnis mit $0,4 \text{ m}$. Rechne anschließend die Kubikmeter in Liter um. Dabei entspricht $1 \text{ m}^3 = 1.000 \text{ l}.$
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (1,86 + 1,53) \cdot 0,73 \\[5pt] &\approx& 1,24 \text{ m}^2 \end{array}$
Multipliziere nun das Ergebnis mit der Füllhöhe der Badewanne.
$\begin{array}[t]{rll} V &=& 1,24 \cdot 0,4 \\[5pt] &=& 0,496 \text{ m}^3 \end{array}$
$1.000 \text{ l}$ entsprechen $1 \text{ m}^3$. Demzufolge entsprechen $0,496 \text{ m}^3$ gerade $496 \text{ l}.$
Befüllt man die Badewanne also $40 \text{ cm}$ hoch, sind in der Badewannne $496$ Liter Wasser.
b)
Aileen und Nikolas gehen jede Woche einmal baden, d.h. die Badewanne wird $52$ mal im Jahr $40 \text{ cm}$ hoch befüllt. Nach Teilaufgabe a) verbrauchen Nikolas und Aileen für die Badewanne pro Woche $496 \text{ l}$ Wasser. Berechne mit dem Dreisatz wie viel € die beiden wöchentlich für einen Badegang verbrauchen und multipliziere das Ergebnis anschließend mit $52.$
$\begin{array}[t]{rll} 1.000 \text{ l} &\widehat{=}& 2,45 \text{ €} &\quad \scriptsize \mid\ \cdot \dfrac{496}{1.000} \\[5pt] 496 \text{ l} &=& 1,22 \text{ €} \end{array}$
Pro Woche zahlen sie also $1,22 \text{ €},$ d.h. pro Jahr müssen sie
$\begin{array}[t]{rll} 1,22 \text{ €} \cdot 52 &=& 63,44 \text{ €.} \end{array}$
für das Wasser in der Badewanne bezahlen.
c)
Nun sollen die jährlichen Kosten für die Badewanne genau $73$ € betragen. Somit sind die wöchentlichen Kosten der Badewanne
$\begin{array}[t]{rll} 73 \text{ €} : 52 &\approx& 1,40 \text{ €.} \end{array}$
Die wöchentlichen Kosten von $1,40$ € entsprechen ca. $571 \text{ l}$, denn
$\begin{array}[t]{rll} 1.000 \text{ l} &\widehat{=}& 2,45 \text{ €} &\quad \scriptsize \mid\ \cdot \dfrac{1,40}{2,45} \\[5pt] 571, 43 \text{ l} &\approx& 1,40 \text{ €.} \end{array}$
Teile das neue Fassungsvermögen der Badewanne durch das alte, um den Vergrößerungsfaktor zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{571}{496} &\approx& 1,15 \end{array}$
Vergrößert man die Fläche der Badewanne um ca. $0,15$ der ursprünglichen Fläche, so belaufen sich die Kosten auf genau $73$ € pro Jahr.
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