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Berechnungen im Koordinatensystem

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Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Berechnungen im Koordinatensystem
Abb. 1: Strecke im Koordinatensystem
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Berechnungen im Koordinatensystem
Abb. 1: Strecke im Koordinatensystem
#rechtwinkligesdreieck#satzdespythagoras
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne ein Koordinatensystem und trage die Punkte $A(1\;|\;1)$, $B(5\;|\;5)$ und $C(1\;|\;5)$ ein.
b)
Verbinde die Punkte zu einem Dreieck und beschrifte die Seiten mit den Begriffen Kathete und Hypotenuse.
c)
Messe die Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ ab und notiere die Ergebnisse. Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $\overline{AB}$.
d)
Berechne die Länge der Strecke $\overline{AC}$ nun, indem du die $x_A$-Korrdinate von der $x_B$ Koordinate abziehst und die Länge der Strecke $\overline{BC}$, indem du die $y_A$-Koordinate von der $y_B$-Koordinate abziehst. Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $\overline{AB}$.

Aufgabe 1

Du hast die Punkte Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ gegeben. Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}$
a)
mit den Punkten $A(2\;|\;3)$ und $B(7\;|\;5)$.
b)
mit den Punkten $A(5\;|\;6)$ und $B(-3\;|\;-5)$.
c)
mit den Punkten $A(-2\;|\;9)$ und $B(3\;|\;-3)$.

Aufgabe 2

Das Dreieck $ABC$ hat die Eckpunkte $A(3\;|\;4)$, $C(7\;|\;4)$ und $B(7\;|\;7)$.
a)
Berechne die Seitenlängen des Dreiecks.
b)
Überprüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
c)
Berechne den Umfang des Dreiecks.

Aufgabe 3

a)
Zeichne die Punkte $A(2\;|\;5,5)$, $B(6\;|\;5,5)$, $C(2\;|\;3)$ und $D(6\;|\;3)$ in ein Koordinatensystem ein.
b)
Zeichne die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ ein. Wie lang sind die Strecken jeweils?

Aufgabe 4

a)
Zeichne in ein Koordinatensystem ein Quadrat mit den Eckpunkten $A(3\;|\;5)$, $B(6\;|\;5)$, $C(3\;|\;2)$ und $D(6\;|\;2)$.
b)
Ergänze nun ein Rechteck in das Koordinatensystem mit den Eckpunkten $S(3\;|\;4)$, $T(\;5|\;5)$, $U(\;6|\;3)$ und $V(\;4|\;2)$.
c)
Berechne nun die Länge der Strecken $\overline{ST}$ und begründe, dass es sich um ein Quadrat handelt.

Aufgabe 5

$\;$
Ist das folgende Dreieck $ABC$ mit den Eckpunkten $A(5\;|\;1)$, $B(2\;|\;6)$ und $C(2\;|\;1)$ rechtwinklig.
Verwende den Satz des Pythagoras.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte eintragen
Du sollst die Koordinaten der Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen. Beschrifte die Achsen des Koordinatesystems und trage die Koordinaten der Punkte ein. Die erste Koordinate entspricht der $x$-Koordinate die zweite entspricht der $y$- Koordinate. Du erhältst folgendes Schaubild:
b)
$\blacktriangleright$ Seiten bezeichnen
Wenn du die Punkte $A$ und $B$, $B$ und $C$ und $C$ und $A$ miteinander verbindest, erhältst du ein Dreieck. Das Dreieck hat einen rechten Winkel bei $C$. Die Strecke gegenüber dem rechten Winkel wird als Hypotenuse bezeichnet. Die anderen beiden Strecken entsprechen den Katheten.
c)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen
Um die Länge der Strecke $\overline{AB}$ zu bestimmen, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. Diese Strecke entspricht der Hypotenuse $c$. Messe dazu zuerst die Länge der Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$, die den Katheten $a$ und $b$ entsprechen.
Durch Abmessen erhältst du die Länge der Strecke $\overline{AC}=4\;\text{cm}$.
Durch Abmessen erhältst du die Länge der Strecke $\overline{BC}=4\;\text{cm}$.
Verwende nun den Satz des Pythagoras:
$a^2+b^2=c^2$
Forme die Formel nach $c$ um und setze die Werte ein:
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
$c=\sqrt{4\;\text{cm}^2+4\;\text{cm}^2}=\sqrt{32\;\text{cm}^2}\approx 5,66\;\text{cm}$
Die Länge der Strecke ist ca. $5,66\;\text{cm}$ lang.
d)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen
Berechne nun de Länge der Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$, indem du die $x_A$ Koordinate von der $x_B$ Koordinate abziehst und die $y_A$-Koordinate von der $y_B$-Koordinate abziehst.
$\overline{AC}=(x_B-x_A)=5-1=4$
$\overline{BC}=(y_B-y_A)=5-1=4$
Da eine Längeneinheit einem $\text{cm}$ entspricht sind die Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ jeweils $4\;\text{cm}$ lang.
Mit dem Satz des Pythagoras erhältst du:
$c=\sqrt{4\;\text{cm}^2+4\;\text{cm}^2}=\sqrt{32\;\text{cm}^2}\approx 5,66\;\text{cm}$
Die Strecke $\overline{AB}$ ist also ca. $5,66\;\text{cm}$ lang.
Die Strecke $\overline{AB}$ lässt sich allgemein mit der Formel:
$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
berechnen.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen
Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}$, indem du die Formel:
$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
verwendest. Setzte die Koordinaten der Punkte $A(2\;|\;3)$ und $B(5\;|\;5)$ ein:
$\overline{AB}=\sqrt{(5-2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{13}$
Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist ca. $\sqrt{13}\;\text{LE}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen
Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}$, indem du die Formel:
$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
verwendest. Setzte die Koordinaten der Punkte $A(5\;|\;6)$ und $B(-3\;|\;-5)$ ein:
$\overline{AB}=\sqrt{(-3-5)^2+(-5-6)^2}=13,6$
Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist ca. $13,6\;\text{LE}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen
Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}$, indem du die Formel:
$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
verwendest. Setzte die Koordinaten der Punkte $A(-2\;|\;9)$ und $B(3\;|\;-3)$ ein:
$\overline{AB}=\sqrt{(3--2)^2+(-3-9)^2}=13$
Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist $13\;\text{LE}$ lang.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Seitenlängen der Strecke berechnen
Du sollst die Seitenlängen des Dreiecks $ABC$ berechnen. Du kannst dazu die Formel:
$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
verwenden. Setze die Koordinaten der Punkte $A(3\;|\;4)$ und $B(7\;|\;7)$ in die Formel ein und du erhältst $\overline {AB}$.
$\overline{AB}=\sqrt{(7-3)^2+(7-4)^2}=5$
Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist $5\;\text{LE}$ lang.
Berechne nun de Länge der Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$, indem du die $x_A$ Koordinate von der $x_B$ Koordinate abziehst und die $y_A$-Koordinate von der $y_B$-Koordinate abziehst.
$\overline{AC}=(x_B-x_A)=7-3=4$
$\overline{BC}=(y_B-y_A)=7-4=3$
Die Länge der Strecke $\overline{AC}$ beträgt $4\;\text{LE}$, die der Strecke $\overline{BC}$ $3\;\text{LE}$.
b)
$\blacktriangleright$ Überprüfen auf rechten Winkel
Um zu überprüfen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden. Wenn der Satz des Pythagoras gilt, also $a^2+b^2=c^2$, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Setze dazu die Länge der Katheten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ ind die Formel für $a$ und $b$ ein. Als Ergebnis erhältst du die Länge der Hypotenuse $\overline{AB}$ zum Quadrat, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.
$(4\;\text{LE})^2+(3\;\text{LE})^2=25\;\text{LE}=(5\;\text{LE})^2$
Du hast somit gezeigt, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
c)
$\blacktriangleright$ flächenumfang berechnen
Berechne den Umfang des Dreiecks, indem du die Länge aller Seiten addierst. Du weißt, dass die Seiten $\overline{AC}=4\;\text{LE}$, $\overline{BC}=3\;\text{LE}$ und $\overline{AB}=5\;\text{LE}$ lang sind. Addiere die Längen, um den Umfgang des Dreiecks zu berechnen.
$U=5\;\text{LE}+4\;\text{LE}+3\;\text{LE}=12\;\text{LE}$
Das Dreieck hat einen Flächenumfang von $12\;\text{LE}$.

Aufgabe 3

a)
Zeichne ein Koordinatensystem und trage die Punkte $A-D$ ein. Achte darauf, dass du das Koordinatensystem so wählst, dass alle Punkte enthalten sind. Du erhältst folgende Zeichnung:
b)
Zeichne die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ ein, indem du die Punkte verbindest. Es ergeben sich jeweils zwei Dreicke. Die Länge der Strecken kannst du deswegen bestimmen, indem du die Formel:
$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
verwendest und für das Problem anpasst. In diesem Fall ist nicht $\overline{AB}$ die Hypotenuse, sondern $\overline{AC}$ beziehungsweise $\overline{BD}$.
Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen
Wenn du die Formel anpasst, um $\overline{AC}$ zu berechnen, erhältst du die Formel:
$\overline{AC}=\sqrt{(x_a-x_c)^2+(y_a-y_c)^2}$
Setze nun die Koordinaten der Punkte in die Formel ein.
$\overline{AC}=\sqrt{(2-2)^2+(5,5-3)^2}=2,5$
Die gesuchte Strecke ist also $2,5\;\text{LE}$ lang. Länge der Strecke $\overline{BD}$ berechnen
Wenn du die Formel anpasst, um $\overline{BD}$ zu berechnen, erhältst du die Formel:
$\overline{AC}=\sqrt{(6-6)^2+(5,5-3)^2}=2,5$
Die gesuchte Strecke ist also $2,5\;\text{LE}$ lang.

Aufgabe 4

a)
Wähle ein Koordinatensystem, sodass du die Punkte $A-D$ eintragen kannst. Verbinde die Punkte zu einem Quadrat. Du erhältst folgendes Schaubild:
b)
Trage nun die Koordinaten der Punkte $S-T$ ein und verbinde sie zu einem Rechteck. Du erhältst folgendes Schaubild:
c)
Berechne die Länge der Strecke $\overline{ST}$. Du kannst dazu die Formel
$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
verwenden. Du musst die Formel allerdings noch verändern, damit sie zu der Problemstellung passt.
Du erhältst als Formel:
$\overline{ST}=\sqrt{(x_A-x_T)^2+(y_A-y_T)^2}$
Setze nun die Koordinaten der Punkte ein.
$\overline{ST}=\sqrt{(3-5)^2+(5-5)^2}=2$
Die Strecke $\overline{ST}$ ist also $2\;\text{LE}$ lang.
Es handelt sich um ein Quadrat, da die Punkte des inneren Quadrats immer um die gleiche Strecke zu den Eckpunken des äußeren Quadrates versetzt sind. Somit sind die Strecken $\overline{TU}$, $\overline{UV}$ und $\overline{SV}$ gleich lang.

Aufgabe 5

a)
Du sollst zeigen, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist. Gehe dazu in folgenden Schritten vor:
  • Berechne die Seitenlängen $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{AC}$.
  • Überprüfe mithilfe des Satz des Pythagoras auf einen rechten Winkel.
Länge von $\overline{AB}$ berechnen
Um die gesuchte Strecke zu berechnen, kannst du die Formel:
$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ verwenden.Setze die Koordinate der Punkte ein.
$\overline{AB}=\sqrt{(2-5)^2+(6-1)^2}=\sqrt{34}$.
Die Strecke $\overline{AB}$ ist $\sqrt{34}$ LE lang. Länge von $\overline{BC}$ berechnen
Die Länge der Strecke $\overline{BC}$ kannst du berechnen, indem du nur die $y$-Werte der beiden Punkte voneinander abziehst, denn die $x$-WErte sind gleich.
$\overline{BC}=6-1=5$
Die Strecke $\overline{BC}$ ist $5\;\text{LE}$ lang. Länge von $\overline{AC}$ berechnen
Die Länge der Strecke $\overline{AC}$ kannst du berechnen, indem du die $x$-Werte voneinander abziehst. Die $y$-Werte sind gleich.
$\overline{AC}=5-2=3$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist also $3\;\text{LE}$ lang.
Satz des Pythagoras anwenden
Mithilfe der berechneten Längenangaben kannst du nun überprüfn, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Verwende dazu den Satz des Pythagoras und zeige, dass gilt:
$a^2+b^2=c^2$
$5^2+3^2=34=\sqrt{34}^2$
Dies entspricht den berechneten Längenangaben. Somit hast du gezeigt, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
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