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Satz des Pythagoras

Spickzettel
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Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 1: Satz des Pythagoras
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 1: Satz des Pythagoras
#hypotenuse#kathete
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a=5\;\text{cm}$, $b=6\;\text{cm}$ und $c=7,8\;\text{cm}$.Trage den rechten Winkel bei $C$ ein.
b)
Trage die Begriffe $\text{Kathete}$ und $\text{Hypotenuse}$ ein. Ergänze jede dieser Seiten zu einem Quadrat.
c)
Berechne die Flächeninhalte der Quadrate. Addiere die Flächeninhalte der Quadrate über den $\text{Katheten}$ zusammen, was fällt dir auf?

Aufgabe 1

Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 1: rechtwinkliges Dreieck
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 1: rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Zeichne rechtwinklige Dreiecke mit folgenden Längenangaben. Der rechte Winkel befindet sich bei $C$.

Aufgabe 4

Entscheide, ob es sich um rechtwinklige Dreiecke handelt.

Aufgabe 5

Berechne die fehlenden Seitenlängen mit Hilfe des Satzes des Pythagoras

Aufgabe 6

Berechne die fehlenden Seitenlängen.
Kathete aKathete bHypotenuse
1)$6\;\text{cm}$$8\;\text{cm}$
2)$3\;\text{cm}$$7\;\text{cm}$
3)$3,5\;\text{cm}$$9\;\text{cm}$
4)$6\;\text{cm}$$12\;\text{cm}$
5)$2,5\;\text{cm}$$16\;\text{cm}$
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ rechtwinkliges Dreieck zeichnen
Du sollst ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a=5\;\text{cm}$, $b=6\;\text{cm}$ und $c=7,8\;\text{cm}$ zeichnen. Der rechte Winkel liegt beim Punkt $C$.
Gehe in folgenden Schritten vor und beachte dabei die Abbildung $1$ zur Orientierung:
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 1: rechtwinkliges Dreieck
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 1: rechtwinkliges Dreieck
b)
$\blacktriangleright$ Begriffe eintragen und zum Quadrat ergänzen
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 2: rechtwinkliges Dreieck mit Quadraten ergänzt
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 2 : rechtwinkliges Dreieck mit Quadraten ergänzt
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Quadrate berechnen
Den Flächeninhalt der Quadrate kannst du mit der Formel:
$A=a^2$
$A=a^2$
berechnen. Die Seitenlänge $a$ entspricht den jeweiligen Seitenlängen des Dreiecks.
Flächeninhalt des Quadrats über $a$ berechnen
Du hast in der Aufgabenstellung gegeben, dass die Seitenlänge von $a$ $5\;\text{cm}$ beträgt. Setze diese Angabe in die Formel ein und du erhältst als Flächeninhalt:
$A_a=(5\;\text{cm})^2=25\;\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt über $a$ beträgt $25\;\text{cm}^2$.
Flächeninhalt des Quadrats über $b$ berechnen
Du weißt, dass die Seite $b$ $6\;\text{cm}$ lang ist. Den Flächeninhalt des Quadrates über $b$ kannst du mit der angegebenen Formel berechnen:
$A_b=(6\;\text{cm})^2=36\;\text{cm}^2$.
Die Fläche über $b$ ist $36\;\text{cm}^2$ groß.
Flächeninhalt des Quadrats über $c$ berechnen
Die Seitenlänge von $c$ ist $7,8\;\text{cm}$. Berechne den Flächeninhalt des Quadrates über $c$ mithilfe der Formel von oben:
$A_c=(7,8\;\text{cm})^2\approx61\;\text{cm}^2$.
Der Flächeninhalt über $c$ beträgt ca.$61\;\text{cm}^2$.
Es ist auffallend, dass die Flächeninhalte der Quadrate über $a$ und $b$ zusammen, so groß sind wie der Flächeninhalt über $c$. Dies kann man allgemein mit der Formel:
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
ausdrücken. Diesen Zusammenhang in einem rechtwinkligen Dreieck nennt man Satz des Pythagoras.
Die Seiten $c$ entspricht der längsten Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie wird als Hypoteunse bezeichnet und liegt gegenüber vom rechten Winkel. Die Seiten $a$ und $b$ sind die Katheten.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Seiten des Dreiecks beschriften
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 3: rechtwinkliges Dreieck
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 3: rechtwinkliges Dreieck
b)
$\blacktriangleright$ Satz des Pythagoras aufstellen
Du sollst nun mithilfe des Dreiecks aus Abbildung $3$. Den Satz des Pythagoras aufstellen. Die Formel dafür lautet:
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
In der Formel stehen $a$ und $b$ für die Katheten, das $c$ steht für die Hypotenuse. In dieser Abbildung ist dies vertauscht.
Die Bedingung für die Hypotenuse ist, dass sie die längste Seite ist. Dies kannst du noch nicht wissen, da du nicht alle Längenangaben gegeben hast. Die zweite Bedingung ist, dass die Hypotenuse gegenüber vom rechten Winkel liegt. Die Hypotenuse in der Abbildung ist also $a$. Dieses $a$ entspricht dem $c$ aus der Formel. Die Seiten $b$ und $c$ in der Abbildung sind die Katheten.
Stelle mit diesem Wissen nun den Satz des Pythagoras auf:
$b^2+c^2=a^2$. Der Satz des Pythagoras lautet für dieses Dreieck $ b^2+c^2=a^2$.
c)
$\blacktriangleright$ Seitenlängen berechnen
Du hast oben bereits den Satz des Pythagoras für das Dreieck aufgestellt:
$ b^2+c^2=a^2$
Die Seiten $b$ und $c$ hast du gegeben. Die Seite $a$ kannst du bestimmen, indem du die Wurzel ziehst.
$a=\sqrt{b^2+c^2}$
Setze nun die Längenangeben ein und berechne die Seitenlänge von $a$:
$a=\sqrt{3,6^2+4,8^2}=6$
Die Seitenlänge der Hypotenuse beträgt $a=6\;\text{cm}$.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Hypotenuse kennzeichnen
Du sollst in den Dreiecken die Hypotenuse kennzeichnen. Die Hypothenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Ausßerdem liegt sie gegenüber vom rechten Winkel. Überprüfe, auf welche Seiten des Dreiecks diese Bedingungen zutreffen.
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 4: Hypotenusen
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras
Abb. 4: Hypotenusen
b)
$\blacktriangleright$ Länge der fehlenden Seite berechnen
In den Dreiecken $1-4$ sind die Längen der Katheten gegeben. Die Länge der Hypotenuse muss jeweils berechnet werden. Dazu kannst du den Satz des Pythagoras verwenden.
Länge der Hypotenuse von 1 bestimmen
Die Hypotenuse von Dreieck Nummer $1$ ist die Seite $c$. Der Satz des Pythagoras lautet deswegen:
$a^2+b^2=c^2$
Löse nach $c$ auf und setze die Längen der Seite $a=2,5\;\text{cm}$ und $b=5,2\;\text{cm}$ in die Formel ein und du erhältst:
$c=\sqrt{2,5^2+5,2^2}=5,77$
Die Hypotenuse hat eine Länge von $5,77\;\text{cm}$.
Länge der Hypotenuse von 2 bestimmen
Die Hypotenuse von Dreieck Nummer $2$ ist die Seite $b$. Der Satz des Pythagoras lautet deswegen:
$a^2+c^2=b^2$
Löse nach $b$ auf und setze die Längen der Seite $a=7,5\;\text{cm}$ und $b=9,5\;\text{cm}$ in die Formel ein und du erhältst:
$c=\sqrt{7,5^2+9,5^2}=12,1$
Die Hypotenuse hat eine Länge von $12,1\;\text{cm}$.
Länge der Hypotenuse von 3 bestimmen
Die Hypotenuse von Dreieck Nummer $3$ ist die Seite $b$. Der Satz des Pythagoras lautet deswegen:
$a^2+c^2=b^2$
Löse nach $b$ auf und setze die Längen der Seite $a=4,8\;\text{cm}$ und $b=6,7\;\text{cm}$ in die Formel ein und du erhältst:
$c=\sqrt{4,8^2+6,7^2}=8,24$
Die Hypotenuse hat eine Länge von $8,24\;\text{cm}$.
Länge der Hypotenuse von 4 bestimmen
Die Hypotenuse von Dreieck Nummer $4$ ist die Seite $c$. Der Satz des Pythagoras lautet deswegen:
$a^2+b^2=c^2$
Löse nach $c$ auf und setze die Längen der Seite $a=11,5\;\text{cm}$ und $b=9,6\;\text{cm}$ in die Formel ein und du erhältst:
$c=\sqrt{11,5^2+9,6^2}=5,77$
Die Hypotenuse hat eine Länge von $14,98\;\text{cm}$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Dreieck zeichnen
b)
$\blacktriangleright$ Dreieck zeichnen
c)
$\blacktriangleright$ Dreieck zeichnen
d)
$\blacktriangleright$ Dreieck zeichnen

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Dreieck auf rechten Winkel überprüfen
Du sollst entscheiden, ob es sich bei dem gegebenen Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Du kannst das zeigen, indem du überprüfst, ob der Satz des Pythagoras gilt. Wenn:
$a^2+b^2=c^2$
zutrifft, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Stelle die Formel dazu nach $c$ um.
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Wenn du nun $a$ und $b$ einsetzt, muss wieder $c$ rauskommen.
$c=\sqrt{2,6^2+5,4^2}\approx6$
Das Ergebnis stimmt mit der Längenangabe des Dreiecks überein. Es handelt sich also um ein rechtwinkliges Dreieck.
b)
$\blacktriangleright$ Dreieck auf rechten Winkel überprüfen
Du sollst entscheiden, ob es sich bei dem gegebenen Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Du kannst dazu überprüfen, ob der Satz des Pythagoras gilt. Wenn:
$a^2+b^2=c^2$
zutrifft, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Stelle die Formel dazu nach $c$ um.
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Wenn du nun $a$ und $b$ einsetzt, muss wieder $c$ rauskommen.
$c=\sqrt{5,6^2+10,5^2}\approx11,9\neq15$
Das Ergebnis stimmt nicht mit der Längenangabe des Dreiecks überein. Es handelt sich also nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.
c)
$\blacktriangleright$ Dreieck auf rechten Winkel überprüfen
Du sollst entscheiden, ob es sich bei dem gegebenen Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Du kannst dazu überprüfen, ob der Satz des Pythagoras gilt. Wenn:
$a^2+b^2=c^2$
zutrifft, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Stelle die Formel dazu nach $c$ um.
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Wenn du nun $a$ und $b$ einsetzt, muss wieder $c$ rauskommen.
$c=\sqrt{4,9^2+8,4^2}\approx9,7$
Das Ergebnis stimmt mit der Längenangabe des Dreiecks überein. Es handelt sich also um ein rechtwinkliges Dreieck.
d)
$\blacktriangleright$ Dreieck auf rechten Winkel überprüfen
Du sollst entscheiden, ob es sich bei dem gegebenen Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Du kannst dazu überprüfen, ob der Satz des Pythagoras gilt. Wenn:
$a^2+b^2=c^2$
zutrifft, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Stelle die Formel dazu nach $c$ um.
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Wenn du nun $a$ und $b$ einsetzt, muss wieder $c$ rauskommen.
$c=\sqrt{8,6^2+14^2}\approx16\neq12,5$
Das Ergebnis stimmt nicht mit der Längenangabe des Dreiecks überein. Es handelt sich also nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Länge der fehlenden Seite berechnen
Du sollst die fehlenden Seitenlängen mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Die fehlende Seitenlänge ist in diesem Fall die Länge der Hypotenuse $c$. Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach der gesuchten Größe um.
$a^2+b^2=c^2$
Nach $c$ umgeformt ergibt sich:
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Setze nun die gegebenen Längenangaben ein:
$c=\sqrt{4,3^2+6,2^2}=7,55$
Die Seite $c$ ist $7,55\;\text{cm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$ Länge der fehlenden Seite berechnen
Du sollst die fehlenden Seitenlängen mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Die fehlende Seitenlänge ist in diesem Fall die Länge der Kathete $b$. Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach der gesuchten Größe um.
$a^2+b^2=c^2$
Nach $b$ umgeformt ergibt sich:
$b=\sqrt{c^2-a^2}$
Setze nun die gegebenen Längenangaben ein:
$b=\sqrt{16,8^2-10,7^2}=12,96$
Die Seite $b$ ist $12,96\;\text{cm}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$ Länge der fehlenden Seite berechnen
Du sollst die fehlenden Seitenlängen mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Die fehlende Seitenlänge ist in diesem Fall die Länge der Hypotenuse $c$. Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach der gesuchten Größe um.
$a^2+b^2=c^2$
Nach $c$ umgeformt ergibt sich:
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Setze nun die gegebenen Längenangaben ein:
$c=\sqrt{14,3^2+9,7^2}=17,28$
Die Seite $c$ ist $17,28\;\text{cm}$ lang.
d)
$\blacktriangleright$ Länge der fehlenden Seite berechnen
Du sollst die fehlenden Seitenlängen mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Die fehlende Seitenlänge ist in diesem Fall die Länge der Kathete $a$. Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach der gesuchten Größe um.
$a^2+b^2=c^2$
Nach $a$ umgeformt ergibt sich:
$a=\sqrt{c^2-b^2}$
Setze nun die gegebenen Längenangaben ein:
$a=\sqrt{13,7^2-6,2^2}=12,22$
Die Seite $a$ ist $12,22\;\text{cm}$ lang.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Länge der fehlenden Seite berechnen
1. Länge der Seite $\boldsymbol{c}$ berechnen
Du kannst die Länge der gesuchten Seite bestimmen, indem du den Satz des Pythagoras aufstellst.
$a^2+b^2=c^2$
Forme nun nach dem gesuchten Wert um:
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst die gesuchte Länge:
$c=\sqrt{6^2+8^2}=10\;\text{cm}$
Die Länge der Seite $c$ ist $10\;\text{cm}$.
2. Länge der Seite $\boldsymbol{a}$ berechnen
Du kannst die Länge der gesuchten Seite bestimmen, indem du den Satz des Pythagoras aufstellst.
$a^2+b^2=c^2$
Forme nun nach dem gesuchten Wert um:
$a=\sqrt{c^2-b^2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst die gesuchte Länge:
$a=\sqrt{7^2-3^2}=6,3\;\text{cm}$
Die Länge der Seite $a$ ist $6,3\;\text{cm}$.
3. Länge der Seite $\boldsymbol{c}$ berechnen
Du kannst die Länge der gesuchten Seite bestimmen, indem du den Satz des Pythagoras aufstellst.
$a^2+b^2=c^2$
Forme nun nach dem gesuchten Wert um:
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst die gesuchte Länge:
$c=\sqrt{3,5^2+9^2}=9,7\;\text{cm}$
Die Länge der Seite $c$ ist $9,7\;\text{cm}$.
4. Länge der Seite $\boldsymbol{b}$ berechnen
Du kannst die Länge der gesuchten Seite bestimmen, indem du den Satz des Pythagoras aufstellst.
$a^2+b^2=c^2$
Forme nun nach dem gesuchten Wert um:
$b=\sqrt{c^2-a^2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst die gesuchte Länge:
$b=\sqrt{12^2-6^2}=12,4\;\text{cm}$
Die Länge der Seite $b$ ist $12,4\;\text{cm}$.
5. Länge der Seite $\boldsymbol{b}$ berechnen
Du kannst die Länge der gesuchten Seite bestimmen, indem du den Satz des Pythagoras aufstellst.
$a^2+b^2=c^2$
Forme nun nach dem gesuchten Wert um:
$b=\sqrt{c^2-a^2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst die gesuchte Länge:
$b=\sqrt{16^2-2,5^2}=15,8\;\text{cm}$
Die Länge der Seite $b$ ist $15,8\;\text{cm}$.
Kathete aKathete bHypotenuse
1)$6\;\text{cm}$$8\;\text{cm}$$10\;\text{cm}$
2)$6,3\;\text{cm}$$3\;\text{cm}$$7\;\text{cm}$
3)$3,5\;\text{cm}$$9\;\text{cm}$$9,7\;\text{cm}$
4)$6\;\text{cm}$$12,4\;\text{cm}$$12\;\text{cm}$
5)$2,5\;\text{cm}$$15,8\;\text{cm}$$16\;\text{cm}$
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