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Einführung

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Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable $x$ im Exponenten steht. Die Basis ist eine konstante Zahl $b$. Zudem gibt es einen Faktor $a$. Sie haben diese Form:
$f(x)=a\cdot b^x$
$f(x)=a\cdot b^x$
Alternativ kannst du die Potenz auch als Produkt schreiben:
$f(x)=a\cdot\underbrace{b\cdot b \cdot b\cdot … \cdot b}_{x\text{ Faktoren}}$
$f(x)=a\cdot\underbrace{b\cdot b \cdot b\cdot … \cdot b}_{x\text{ Faktoren}}$
Du brauchst Exponentialfunktionen meistens dann, wenn es um sogenanntes exponentielles Wachstum geht. Das heißt, wenn sich bestimmte Größen ver-$x$-fachen. Der Faktor $a$ ist der Anfangswert. $b$ wird durch die Vergrößerung angegeben. Verdoppelt sich eine Größe, gilt für die Basis $b=2$, verdreifacht sich eine Größe, gilt für die Basis $b=3$.

Beispiel 1

Die Anzahl an Füchsen, die in einem Wald leben, verdoppelt sich jedes Jahr. Zu Beginn sind $10$ Füchse im Wald. Wie groß ist die Anzahl an Füchsen nach $4$ Jahren?
Der Anfangswert $a$ ist $10$ Füchse. Die Anzahl verdoppelt sich jedes Jahr, deshalb muss $b$ gleich $2$ sein. Du sollst die Anzahl nach $4$ Jahren bestimmen, deshalb ist $x$ gleich $4$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&a\cdot b^x\\[5pt] &=&10 \cdot 2^4&= 10 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\\[5pt] &=& 10 \cdot 16 &=160 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=160 \end{array}$
Nach $4$ Jahren gibt es bereits $160$ Füchse im Wald.

Natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion $\color{#87c800}{\exp(x)}$ wird sehr häufig verwendet. Die Basis ist die irrationiale Zahl $\mathrm e=2,71828…$, die auch Eulersche Zahl genannt wird. Die natürliche Exponentialfunktion wird auch $\mathrm e$-Funktion genannt.
Die natürliche Exponentialfunktion wird deshalb so häufig gewählt, weil ihre Ableitung einfach zu bilden ist.
$f_1(x)=\mathrm e^x \quad \quad f'_1(x)=\mathrm e^x \\[5pt] f_2(x)=\mathrm e^{c\cdot x} \quad\quad f'_2=c\cdot \mathrm e^{c\cdot x}\\[5pt] $
Im Weiteren wählen wir als Basis immer die Eulersche Zahl $\mathrm e$.
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