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Einführung

Spickzettel
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Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable $x$ im Exponenten steht. Die Basis ist eine konstante Zahl $b$. Zudem gibt es einen Faktor $a$. Sie haben diese Form:
$f(x)=a\cdot b^x$
$f(x)=a\cdot b^x$
Alternativ kannst du die Potenz auch als Produkt schreiben:
$f(x)=a\cdot\underbrace{b\cdot b \cdot b\cdot … \cdot b}_{x\text{ Faktoren}}$
$f(x)=a\cdot\underbrace{b\cdot b \cdot b\cdot … \cdot b}_{x\text{ Faktoren}}$
Du brauchst Exponentialfunktionen meistens dann, wenn es um sogenanntes exponentielles Wachstum geht. Das heißt, wenn sich bestimmte Größen ver-$x$-fachen. Der Faktor $a$ ist der Anfangswert. $b$ wird durch die Vergrößerung angegeben. Verdoppelt sich eine Größe, gilt für die Basis $b=2$, verdreifacht sich eine Größe, gilt für die Basis $b=3$.

Beispiel 1

Die Anzahl an Füchsen, die in einem Wald leben, verdoppelt sich jedes Jahr. Zu Beginn sind $10$ Füchse im Wald. Wie groß ist die Anzahl an Füchsen nach $4$ Jahren?
Der Anfangswert $a$ ist $10$ Füchse. Die Anzahl verdoppelt sich jedes Jahr, deshalb muss $b$ gleich $2$ sein. Du sollst die Anzahl nach $4$ Jahren bestimmen, deshalb ist $x$ gleich $4$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&a\cdot b^x\\[5pt] &=&10 \cdot 2^4&= 10 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\\[5pt] &=& 10 \cdot 16 &=160 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=160 \end{array}$
Nach $4$ Jahren gibt es bereits $160$ Füchse im Wald.

Natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion $\color{#87c800}{\exp(x)}$ wird sehr häufig verwendet. Die Basis ist die irrationiale Zahl $\mathrm e=2,71828…$, die auch Eulersche Zahl genannt wird. Die natürliche Exponentialfunktion wird auch $\mathrm e$-Funktion genannt.
Die natürliche Exponentialfunktion wird deshalb so häufig gewählt, weil ihre Ableitung einfach zu bilden ist.
$f_1(x)=\mathrm e^x \quad \quad f'_1(x)=\mathrm e^x \\[5pt] f_2(x)=\mathrm e^{c\cdot x} \quad\quad f'_2=c\cdot \mathrm e^{c\cdot x}\\[5pt] $
Im Weiteren wählen wir als Basis immer die Eulersche Zahl $\mathrm e$.
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Aufgaben
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1.
Zu Beobachtungsbeginn sind in einer Probe $10.000$ Bakterien. Jeden Tag verdreifacht sich die Anzahl. Wie viele Bakterien sind nach einer Woche in der Probe?
2.
Die Weltbevölkerung verdoppelt sich alle $40$ Jahre. Zur Zeit beträgt die Weltbevölkerung circa $7$ Milliarden Menschen. Wie viele Menschen gibt es in $80$ Jahren?
3.
Die Größe von Mikrochips gleicher Leistung halbiert sich alle $2$ Jahre. Nach wie vielen Jahren ist die Größe auf $\frac{1}{16}$ der ursprünglichen Größe geschrumpft?
4.
Das Kapital einer Bank vervierfacht sich alle $10$ Jahre. Nach wie vielen Jahren ist das Kapital auf das $64$-fache angewachsen?
5.
Wird ein Stück Papier gefaltet, so verdoppelt sich die Anzahl der Schichten mit jedem Knicken. Wie oft musst du das Papier falten, bis es $1.024$ Schichten sind?
6.
Der Abstand zwischen dir und einem Goldbarren beträgt $2\,\text{m}$. Mit jedem Schritt, den du gehst, halbiert sich die Strecke zwischen dir und dem Goldbarren. Nach wie vielen Schritten erreichst du den Goldbarren?
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Lösungen
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1.
Der Anfangswert ist $a=10.000$. Die Basis ist $b=3$. Der Exponent ist $x=7$, denn eine Woche hat sieben Tage.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 10.000 \cdot 3^7 \\[5pt] &=& 10.000 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& 10.000 \cdot 2.187 \\[5pt] &=& 21.870.000 \\[5pt] \end{array}$
Nach einer Woche sind $21.870.000$ Bakterien in der Probe.
2.
Der Anfangswert ist die aktuelle Weltbevölkerung $a=7.000.000.000$. Die Basis ist $b=2$, denn die Bevölkerung verdoppelt sich. $x=2$, denn $80$ Jahre sind $2$ mal der Verdopplungszeitraum von $40$ Jahren.
$\begin{array}[t]{rll} 7.000.000.000 \cdot 2^2\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &=& 28.000.000.000 \\[5pt] \end{array}$
Nach $80$ Jahren beträgt die Weltbevölkerung $28$ Milliarden Menschen.
3.
Hier hast du keinen Anfangswert gegeben, deshalb nehmen wir $a=1$ an. Zudem halbiert sich die Größe, deshalb muss $b=\frac{1}{2}$ sein. Finde $x$, sodass $\frac{1}{2}^x=\frac{1}{16}$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}^1&=& \dfrac{1}{2} &=\dfrac{1}{2}\\[5pt] \dfrac{1}{2}^2&=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{4} \\[5pt] \dfrac{1}{2}^3&=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{8} \\[5pt] \dfrac{1}{2}^4&=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{16} \\[5pt] \Rightarrow x&=& 4\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $x=4$, allerdings halbiert sich die Größe alle $\boldsymbol{2}$ Jahre und nicht jedes Jahres, deshallb musst du $x=4$ mit $2$ multiplizieren.
Nach $4\cdot 2 =8$ Jahren ist die Größe auf $\frac{1}{16}$ geschrumpft.
4.
Du hast hier auch keinen Anfangswert gegeben, deshalb gilt $a=1$. Es ist von Vervierfachung die Rede, deshalb muss $b=4$ sein. Finde $x$, sodass $4^x=64$.
$\begin{array}[t]{rll} 4^1&=&4 &=4\\[5pt] 4^2&=&4 \cdot 4 &= 16 \\[5pt] 4^3&=&4 \cdot 4 \cdot 4 &= 64 \\[5pt] \Rightarrow x&=& 3 \\[5pt] \end{array}$
Du weißt, dass $x=3$ gilt, allerdings ist hier wieder von einem Zeitraum von $10$ Jahren die Rede. Du musst demnach $x$ mit $10$ multiplizieren.
Nach $3\cdot 10=30$ Jahren hat sich das Kapital der Bank ver-$64$-facht.
5.
Hier ist der Anfangswert $a=1$, da eine Schicht Papier vorhanden ist. Die Rede ist von Verdoppeln, deshalb gilt $b=2$. Finde $x$, sodass $2^x=1.024$:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Ausprobieren
$\begin{array}[t]{rll} 2^1&=&2 &=2\\[5pt] …\\[5pt] 2^8&=&\underbrace{2\cdot … \cdot 2}_{8\text{-mal}} &= 256\\[5pt] 2^9&=&\underbrace{2 \cdot 2 \cdot … \cdot 2}_{9\text{-mal}} &= 512\\[5pt] 2^{10}&=& \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot … \cdot 2}_{10\text{-mal}} &=1.024\\[5pt] \end{array}$
Es gilt $x=10$. Das heißt, du musst ein Blatt Papier $10$ Mal falten, bis es $1.024$ Schichten hat.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Logarithmusfunktion
Hier nutzt du die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion, den Logarithmus. Am schnellsten erhältst du die Lösung, wenn du die Basis des Logarithmus gleich der Basis der Exponentialfunktion wählst:
$\begin{array}[t]{rll} 2^x&=&1.024 &\quad\mid\; \scriptsize\log_2\\[5pt] \log_2\left(2^x\right)&=&\log_2(1.024)\\[5pt] x\cdot \log_2(2)&=&\log_2(1.024)\\[5pt] x&=&10\\[5pt] \end{array}$
Es gilt $x=10$. Das heißt, du musst ein Blatt Papier $10$ Mal falten, bis es $1.024$ Schichten hat.
6.
Der Anfangswert ist $a=2$. Der verkleinernde Faktor ist $\frac{1}{2}$. Finde $x$, sodass gilt: $2\cdot \frac{1}{2}^x=0$:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Ausprobieren
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot \dfrac{1}{2}^1&=& 2 \cdot \dfrac{1}{2} &=1\\[5pt] 2 \cdot \dfrac{1}{2}^2&=& 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} &=\dfrac{1}{2}\\[5pt] … \\[5pt] 2 \cdot \dfrac{1}{2}^{10} &=& 2 \cdot \underbrace{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\cdot … \cdot \dfrac{1}{2}}_{10 \text{-mal}} &=\dfrac{1}{512} \approx 0,00195\\[5pt] … \\[5pt] 2 \cdot \dfrac{1}{2}^{20} &=&2 \cdot \underbrace{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\cdot … \cdot \dfrac{1}{2}}_{20 \text{-mal}} &=\dfrac{1}{524.288} \approx 0,0000019 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 2\cdot \dfrac{1}{2}^1&=& 1\\[5pt] … \\[5pt] 2 \cdot \dfrac{1}{2}^{20} &\approx & 0,0000019 \end{array}$
Wie du siehst, wird der Abstand mit jedem Schritt kleiner. Mathematisch gesehen wird allerdings der Abstand nie Null. Du kommst beliebig nah an den Goldbarren ran, wirst ihn aber nie erreichen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Logarithmusfunktion
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot \dfrac{1}{2}^x&=&0 &\quad\mid\;\scriptsize \log_{\frac{1}{2}}\\[5pt] \log_{\frac{1}{2}}\left(2\cdot \frac{1}{2}^x\right)&=& \log_{\frac{1}{2}}(0) \end{array}$
Diese Gleichung hat keine Lösung, da der Logarithmus nur für Zahlen echt größer Null definiert ist. Somit wirst du den Goldbarren mathematisch nie erreichen.
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