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Funktionsgleichungen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Proportionale Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 1: Route 66.
Proportionale Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 1: Route 66.
a)
Stelle den Sachverhalt graphisch dar. Ist die zugehörige Funktion proportional?
b)
Bilde den Quotienten aus den zugehörigen Wertepaaren. Was stellst du fest?
c)
Leite die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion her.
#funktionsgleichung#proportional

Aufgabe 1

Nick möchte für ein neues Tablet sparen. Er eröffnet ein Sparkonto und möchte jeden Monat $25\;€$ von seinem Taschengeld einzahlen.
a)
Erstelle eine Wertetabelle.
b)
Leite die Funktionsgleichung her.
c)
Nach wie vielen Monaten hat Nick genug Geld zusammen, damit er sich ein neues Tablet für $175\;€$ kaufen kann?
#funktionsgleichung

Aufgabe 2

Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne die fehlende Werte mit Hilfe der Funktionsgleichung.
a)
$y= 3\cdot x$
$x$$ 2$$3 $$ 5$$7 $$10 $
$y$$ $$ $$ $$ $$ $
$x$$y$
$2 $$ $
$3 $$ $
$5 $$ $
$7 $$ $
$ 10$$ $
b)
$y= -1,5\cdot x$
$x$$3 $$ 5$$8 $$ 15$$ 25$
$y$$ $$ $$ $$ $$ $
$x$$y$
$ 3$$ $
$5 $$ $
$ 8$$ $
$ 15$$ $
$ 25$$ $
c)
$y= \dfrac{1}{4}\cdot x$
$x$$12 $$20 $$ 32$$48$$ 60$
$y$$ $$ $$ $$ $$ $
$x$$y$
$ 12$$ $
$ 20$$ $
$ 32$$ $
$ 48$$ $
$ 60$$ $
#funktionsgleichung

Aufgabe 3

Die drei Graphen veranschaulichen die proportionale Zuordnung Gewicht und Preis von drei verschiedenen Süßigkeiten.
Proportionale Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 2: Funktionen der verschiedenen Süßigkeiten
Proportionale Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 2: Funktionen der verschiedenen Süßigkeiten
a)
Lege für jede Süßigkeit eine Wertetabelle mit $x$-Werten von $1$ bis $10$ an.
b)
Stelle zu jeder Süßigkeit die zugehörige Funktionsgleichung auf und ordne ihr den zugehörenden Graphen A, B, C zu.
#funktionsgleichung
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Funktion graphisch darstellen
Um die Funktion zu skizzieren, solltest du als erstes eine geeignete Beschriftung der Achsen wählen. Danach kannst du einige Punkte aus der Wertetabelle einzeichnen und diese durch eine Gerade verbinden.
Proportionale Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 1: Graph der Funktion
Proportionale Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 1: Graph der Funktion
$\blacktriangleright$  Funktionsart bestimmen
Da das Schaubild der Funktion eine Gerade ist und durch den Koordinatenursprung verläuft, liegt in dieser Aufgabe eine proportionale Funktion vor.
b)
$\blacktriangleright$  Quotient bilden
Jetzt sollst du den Quotient $\dfrac{y}{x}$ bilden. Dazu teilst du die Entfernungs in $\text{km}$ durch die zugehörige Entfernung in $\text{mls}$. Die Wertepaare findest du in der Wertetabelle.
Entfernung $\text{(mls)}$
$x$-Wert
Entfernung $\text{(km)}$
$y$-Wert
Quotient $\frac{y}{x}$
$10$$16$$1,6$
$30$$48$$1,6$
$50$$80$$1,6$
$70$$128$$1,6$
$80$$216$$1,6$
$\blacktriangleright$  Feststellung aufschreiben
Der Quotient aus $y$- und $x$-Wert ist immer gleich. Der Quotient ist somit konstant. Das ist ein wichtiges Merkmal einer proportionalen Funktion. Merke dir:
Bei proportionalen Funktionen ist der Quotient aus $y$-Wert und $x$-Wert immer gleich. Der gemeinsame Quotient heißt Proportionalitätskonstante.
Bei proportionalen Funktionen ist der Quotient aus $y$-Wert und $x$-Wert immer gleich. Der gemeinsame Quotient heißt Proportionalitätskonstante.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung herleiten
Im Aufgabenteil zuvor hast du berechnet, dass $\dfrac{16}{10}= 1,6$ ist. Da der Quotient konstant ist, kannst du auch schreiben:
$\dfrac{y}{x}=1,6$
Wenn du diese Gleichung nun nach $y$ auflöst, erhältst du die gesuchte Funktionsgleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y}{x}&=&1,6 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x \\[5pt] y&=&1,6\cdot x \end{array}$
Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion ist $y= m\cdot x$, wobei $m$ der Proportionalitätsfaktor ist.
$m$ beschreibt die Steigung der zugehörigen Gerade.
Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion ist $y= m\cdot x$, wobei $m$ der Proportionalitätsfaktor ist.
$m$ beschreibt die Steigung der zugehörigen Gerade.
#geradengleichung#funktionsgleichung

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle erstellen
Wenn Nick sein Sparkonto eröffnet, befinden sich $0\;€$ darauf. Jeden Monat kommen dann $25\;€$ dazu. Das ergibt folgende Wertetabelle:
Zeit in Monaten Geld in Euro
$0$$0$
$1$$25$
$2$$50$
$3$$75$
$4$$100$
$5$$125$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung herleiten
Berechne als erstes die Proportionalitätskonstante der Funktion und setze diese anschließend in die allgemeine Form der Funktionsgleichung ein.
$\dfrac{y}{x}= \dfrac{25}{1} = 25$
$y= 25\cdot x$
Die Funktionsgleichung lautet: $y= 25\cdot x$.
c)
$\blacktriangleright$  Berechnen, wann $175\;€$ auf dem Konto sind
Bei dieser Aufgabe hast du den $y$-Wert gegeben und gesucht ist der $x$-Wert. Um diesen zu berechnen setzt du den $y$-Wert in die Funktionsgleichung ein und löst die Gleichung nach $x$ auf. Beim Lösen der Gleichung kannst du die Einheiten weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 175&=&25x &\quad \scriptsize \mid\; :25 \\[5pt] 7&=&x \end{array}$
Nach 7 Monaten hat Nick $175\;€$ auf dem Konto und kann sich somit ein neues Tablet leisten.
#funktionsgleichung

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  $y$-Werte berechnen
Um die fehlenden $y$-Werte zu berechnen, setzt du den bekannten $x$-Wert in die Funktionsleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3\cdot x& \\[5pt] y&=& 3\cdot 2& \\[5pt] y&=& 6& \\[5pt] \end{array}$
$x$$ 2$$ 3$$ 5$$ 7$$ 10$
$y$$6$$9 $$15$$21$$30 $
$x$$y$
$2 $$6 $
$ 3$$9 $
$ 5$$ $
$ 7$$21 $
$ 10$$30 $
b)
$\blacktriangleright$  $y$-Werte berechnen
Um die fehlenden $y$ Werte zu berechnen, setzt du den bekannten $x$ Wert in die Funktionsleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -1,5\cdot x& \\[5pt] y&=& -1,5\cdot 3& \\[5pt] y&=& -4,5& \\[5pt] \end{array}$
$x$$ 3$$ 5$$8 $$15 $$ 25$
$y$$-4,5 $$-7,5$$-12 $$-22,5 $$-37,5 $
$x$$y$
$ 3$$-4,5 $
$5 $$-7,5$
$8 $$-12 $
$15 $$-22,5 $
$25 $$-37,5 $
c)
$\blacktriangleright$  $y$-Werte berechnen
Um die fehlenden $y$ Werte zu berechnen, setzt du den bekannten $x$ Wert in die Funktionsleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \frac{1}{4}\cdot x& \\[5pt] y&=& \frac{1}{4}\cdot 12& \\[5pt] y&=& 3& \\[5pt] \end{array}$
$x$$12 $$20 $$32 $$ 48$$ 60$
$y$$3$$5$$8 $$12$$15$
$x$$y$
$12 $$3$
$20 $$5$
$ 32$$8$
$ 48$$12$
$ 60$$15 $
#funktionswert

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle erstellen
Lese die Werte aus dem Graphen ab.
Süßigkeit A
$\text{kg}$$1 $$ 2$$ 3$$4 $$5 $$6 $$7$$8 $$9 $$10 $
$€$$2$$4 $$6 $$8 $$10 $$- $$- $$- $$- $$- $
$\text{kg}$$€$
$ 1$$2 $
$2 $$4 $
$ 3$$ 6$
$4 $$ 8$
$ 5$$ 10$
$6 $$ -$
$7 $$ -$
$8 $$ -$
$ 9$$ -$
$10 $$- $
Süßigkeit B
$\text{kg}$$1 $$ 2$$ 3$$4 $$5 $$6 $$7$$8 $$9 $$10 $
$€$$1$$2 $$3 $$4 $$5$$6 $$7 $$8 $$9 $$10$
$\text{kg}$$€$
$ 1$$1 $
$2 $$2 $
$ 3$$ 3$
$4 $$ 4$
$ 5$$ 5$
$6 $$ 6$
$7 $$ 7$
$8 $$ 8$
$ 9$$ 9$
$10 $$10 $
Süßigkeit C
$\text{kg}$$1 $$ 2$$ 3$$4 $$5 $$6 $$7$$8 $$9 $$10 $
$€$$0,75$$1,5 $$2,25 $$3 $$3,75$$4,5 $$5,25 $$6 $$6,75 $$7,5$
$\text{kg}$$€$
$ 1$$0,75 $
$2 $$1,5 $
$ 3$$ 2,25$
$4 $$ 3$
$ 5$$ 3,75$
$6 $$ 4,5$
$7 $$ 5,25$
$8 $$ 6$
$ 9$$ 6,75$
$10 $$7,5 $
b)
$\blacktriangleright$  Proportionalitätskonstante bestimmen
Um die Proportionalitätskonstante $m$ zu bestimmen, teilst du einen $y$-Wert durch den zugehörigen $x$-Wert.
Süßigkeit A
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \frac{y}{x}& \\[5pt] m&=& \frac{2}{1}& \\[5pt] m&=& 2& \\[5pt] \end{array}$
Süßigkeit B
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \frac{y}{x}& \\[5pt] m&=& \frac{1}{1}& \\[5pt] m&=& 1& \\[5pt] \end{array}$
Süßigkeit C
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \frac{y}{x}& \\[5pt] m&=& \frac{3}{4}& \\[5pt] m&=& 0,75& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
Um die Funktionsgleichungen aufzustellen, setzt du die Proportionalitätskonstante in die Funktionsgleichung $y=m\cdot x$ ein.
Süßigkeit A
$y=2x$
Süßigkeit B
$y=1x$
Süßigkeit C
$y=0,75x$
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
(A)
Der steilste Graph A hat die Funktionsgleichung mit der größten Proportionalitätskonstanten.
Die Funktionsgleichung von A lautet: $y=2x$
(B)
Der mittlere Graph B hat die Funktionsgleichung mit der mittleren Proportionalitätskonstanten.
Die Funktionsgleichung von B lautet: $y=1x$
(C)
Der flachste Graph C hat die Funktionsgleichung mit der kleinsten Proportionalitätskonstanten.
Die Funktionsgleichung von C lautet: $y=0,75x$
#proportional#steigung
Bildnachweise [nach oben]
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