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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.  Sina und Lisa fahren mit dem Fahrrad zum Internetcafe. Lisa fährt um $14.30$ Uhr mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $7$ $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ los. Sina wohnt $1$km näher am Internetcafe als Lisa und fährt auch um $14.30$ Uhr los. Allerdings mit einer Geschwindigkeit von $18$ $\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Wann treffen sich die beiden?
Nachdem Lisa Sina eingeholt hat, fahren sie mit einer Geschwindigkeit von $21,6$ $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ weiter. Insgesamt muss Lisa bis zum Internetcafe eine Strecke von $4,1$km zurücklegen. Nach wie vielen Minuten kommen die beiden im Internetcafe an?
2.  Miriam hat bereits ein Handy und möchte zu einem neuen Anbieter wechseln. Im Internet hat sie recherchiert und folgende vier Anbieter ausfindig gemacht.
HandyTEL* MAXIphone* LimYO-Tel* Supermarkt-TALK*
Vertragsart Prepaid Prepaid Vertrag Prepaid
Einrichtungsgebühr $15$€ $13$€ $0$€ $19,99$€
Monatliche Grundgebühr $0$€ $0$€ $3$€ $0$€
Verbindungskosten $11$ ct $13$ ct $8$ ct 9 Ct
SMS $20$ ct $15$ ct $15$ Ct $12$ Ct
Laufzeit $0$ Monate $0$ Monate $6$ Monate $0$ Monate
HandyTEL* MAXI-
phone*
Vertragsart Prepaid Prepaid
Einrichtungs-
gebühr
$15$€ $13$€
Monatliche Grundgebühr $0$€ $0$€
Verbindungs-
kosten
$11$ ct $13$ ct
SMS $20$ ct $15$ ct
Laufzeit $0$ Monate $0$ Monate
LimYO-Tel* Supermarkt-TALK*
Vertragsart Vertrag Prepaid
Einrichtungs-
gebühr
$0$€ $19,99$€
Monatliche Grundgebühr $3$€ $0$€
Verbindungs-
kosten
$8$ Ct $9$ Ct
SMS $15$ Ct $12$ Ct
Laufzeit $6$ Monate $0$ Monate
a)  Die Verbindungskosten des MAXIphone-Tarif kann man mithilfe der Funktionsgleichung $y=0,13x+13$ beschreiben.
Für was steht das $x$ und das $y$ in der Funktionsgleichung?
Stelle eine solche Funktionsgleichung für die anderen zwei Prepaid-Tarife auf.
Stelle eine Funktionsgleichung auf, die den LimYO-Tel-Tarif für die nächsten $12$ Monate beschreibt.
b)  Miriam möchte das nächste Jahr insgesamt nicht mehr als $200$€ für Telefonkosten ausgeben. Wie viele Minuten kann sie dafür beim Supermarkt-Talk telefonieren? Wie viele Minuten sind es bei LimYO-Tel?
c)  Miriam telefoniert gerne und viel. Sie vergleicht deshalb die Tarife von HandyTEL und MAXIphone. Stelle die beiden Tarife grafisch dar.
Ab wie vielen Gesprächsminuten lohnt sich der eine oder andere Tarif?
d)  Um den richtigen Tarif zu finden, schaut sie sich Miriam nochmal die Rechnungen Ihres alten Tarifes an. Im Durchschnitt hat sie $20$ SMS im Monat geschrieben und ungefähr $50$ Minuten telefoniert. Welchen Tarif würdest du Ihr für ein Jahr raten?
3.  Nach der Einnahme eines Medikaments gelangen die Wirkstoffe des Medikaments in das Blut. Danach wird das Medikament wieder im Körper abgebaut. Gegeben ist folgendes Schaubild dazu.
Funktionen: Vermischte Aufgaben
Funktionen: Vermischte Aufgaben
a)  Wie viel mg pro Liter des Medikaments sind noch nach $7$h im Blut? Wann ist die Konzentration des Medikaments am größten?
Wann ist das Medikament vollständig abgebaut?
b)  Wie verläuft die Konzentration des Medikaments im Körper? Fasse kurz zusammen. Nutze dabei dein Wissen aus Teilaufgabe a).
c)  Sarah hat ungefähr $4,5$ Liter Blut im Körper. Wie viel Gramm des Medikaments ist nach $3$ Stunden noch in Ihrem Körper? Ab welchem Zeitpunkt ist noch weniger als 10mg des Medikaments im Körper?
4.  Der Fahrstuhl $A$ des Olympiaturms in München fährt zu einer Aussichtsplattform in $182$m Höhe.
Das Schaubild unten beschreibt dabei ungefähr den zurückgelegten Weg in Metern in Abhängigkeit der Zeit in Sekunden.
Funktionen: Vermischte Aufgaben
Funktionen: Vermischte Aufgaben
a)  Auf welcher Höhe ist der Fahrstuhl $A$ ungefähr nach $12$ Sekunden? Nach wie vielen Sekunden erreicht der Fahrstuhl ungefähr die Aussichtsplattform?
b)  Nach wie viel Sekunden hat der Fahrstuhl $A$ ungefähr eine Höhe von $100$m erreicht? Nach wie vielen Minuten hat er ungefähr ein Viertel der Strecke hinter sich gebracht?
c)  Der Fahrstuhl $A$ ist nach $3$ Sekunden in $21$ Meter Höhe. Stelle eine Geradengleichung auf, die das Schaubild beschreibt. Was gibt die Steigung $m$ an?
d)  Eine neuer Fahrstuhlbauer behauptet, dass er einen zweiten Fahrstuhl $B$ einbauen kann, der wesentlich schneller ist. Der neue Fahrstuhl soll $50$m in $7$s schaffen.
Stelle eine Geradengleichung zum neuen Fahrstuhl auf und zeichne diese in das Koordinatensystem ein. Wie viele Sekunden fährt Fahrstuhl $B$ schneller zur Aussichtsplattform?
e)  Um große Besuchermassen zu bewältigen sind beide Fahrstühle (A und B) in Betrieb. Wenn der neue Fahrstuhl herunterfährt, fährt der alte Fahrstuhl zur Aussichtsplattform hoch.
Bestimme die Geradengleichung, welche die Abwärtsbewegung des Fahrstuhls $B$ beschreibt. Auf welcher Höhe Treffen sich Fahrstuhl $A$ und $B$?
5.  Die Abschlussklassen der Erich-Kästner Realschule möchte für die Abschlussfeier $T$-Shirts bestellen. Es sollen $125$ T-Shirts bestellt werden. Martin hat die Preise zwei verschiedener Online-Shops im Schaubild veranschaulicht. Die $x$-Achse gibt die Anzahl der T-Shirts und die $y$-Achse die Kosten wieder.
Funktionen: Vermischte Aufgaben
Funktionen: Vermischte Aufgaben
a)  Was kosten $50$ T-Shirts bei Händler $A$. Für welchen Anbieter werden sich die Abschlussklassen entscheiden?
b)  Der Förderverein der Schule spendet $500$€ für die $T$-Shirts. Wie viele T-Shirts würde man ungefähr bei diesem Betrag bei Onlineshop $A$ und $B$ bekommen?
c)  Stelle jeweils die Geradengleichung für Händler $A$ und $B$ auf, die die Preise in Abhängigkeit der Stückanzahl beschreiben.
Formuliere die Preise von Händler $A$ und $B$ in Worten. Bei welcher Stückzahl würdest du dich für welchen Händler entscheiden?
d)  Marcel kennt einen dritten Online-Shop der T-Shirts anbietet. Sein Angebot lautet
Aktionsangebot
je T-Shirt $20$ Euro - ab dem $51$. T-Shirt jedes Weitere nur noch $10$ Euro
Aktionsangebot
je T-Shirt $20$ Euro - ab dem $51$. T-Shirt jedes Weitere nur noch $10$ Euro
Ist dieser Online-Shop für die Stückzahl von 125 T-Shirts günstiger als die anderen beiden? Veranschauliche das Angebot dieses Onlineshops im Schaubild oben.
6.  Du findest folgende Preistabelle in einem Internetcafe.
Zeit im Internet Tagsüber von 6.00 bis 16.00Uhr (Tagestarif) Abends von 16.00Uhr bis 23.00Uhr (Abendtarif)
pro Minute $0,03$€ $0,04$€
Bevor man überhaupt in das Internet gehen kann, verlangt das Internetcafe noch eine feste Grundgebühr von $50$ Cent. Danach zahlt man die genutzten Minuten wie in der Tabelle oben beschrieben.
a) Martin surft von 14.00 Uhr- 14.45Uhr. Was muss er dafür bezahlen?
b)  Martin surft danach nochmal von 15.30Uhr - 18Uhr. Was muss er dafür bezahlen?
c)  Stelle die Gleichung einer Geraden auf, welche die Kosten pro Minute im Abendtarif angibt. Wie viele Minuten kann man im Abendtarif für $10$€ surfen.
7.  Bestimme die Steigung $m$ sowie den Schnittpunkt mit der $y$-Achse der Geraden, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft. Gib die Geradengleichung an.
a)  $A(1\mid -4)$; $B(-2\mid 5)$
b)  $A(4\mid 0)$; $B(-4\mid 2)$
c)  $A(1\mid 4)$; $B(-2\mid -5)$
d)  $A(1\mid 0)$; $B\left(-2\mid -1\frac{1}{2}\right)$
a)  $A(1\mid -4)$; $B(-2\mid 5)$
b)  $A(4\mid 0)$; $B(-4\mid 2)$
c)  $A(1\mid 4)$; $B(-2\mid -5)$
d)  $A(1\mid 0)$; $B\left(-2\mid -1\frac{1}{2}\right)$
8.  Die drei Punkte $(2\mid -3)$, $(4\mid -2)$ und $(-6\mid -7)$ liegen auf dem Graphen einer linearen Funktion ($y=mx+b$).
a)  Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.
b)  Gib die zugehörige Funktionsgleichung an.
9. 
Funktionen: Vermischte Aufgaben
Funktionen: Vermischte Aufgaben
In einem Schokoladenladen gibt es Pralinen zu kaufen. Schau dir das Preisschild an und erstelle eine Wertetabelle. Zeichne einen entsprechenden Graphen und gib die „Pralinen-Funktionsgleichung“ an.
Tipp: die Funktionsgleichung ist vom Typ $y=mx$
Was kosten $300$ g Pralinen? Welche Information enthält der Faktor $m$ ?
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Lösungen
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1.  Die Funktionsgleichung $y=7x$ beschreibt Lisas zurückgelegten Weg $y$ in $m$ in Abhängigkeit der Zeit $x$ in $s$.
Sina fährt mit einer Geschwindigkeit von $18$ $\frac{\text{km}}{\text{h}}$; das sind $5$ $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
Die Funktionsgleichung $y=5x+1000$ beschreibt daher Sinas zurückgelegten Weg in Abhängigkeit der Zeit ($t=1000$ deshalb, weil sie 1km näher am Internetcafe wohnt).
Die beiden treffen sich im Schnittpunkt der beiden Geraden
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 7x&=&5x+1000& \mid-5x\\[5pt] 2x&=&1000& \mid:2\\[5pt] x&=&500& \\[5pt] \end{array}$
Nach $500$ Sekunden $=$ $8$ Minuten und $20$ Sekunden treffen sich die beiden. Die beiden treffen sich also um ca. $14.38$Uhr. Zu diesem Zeitpunkt hat Lisa schon $y=7\cdot500=3500$m zurückgelegt. Zum Internetcafe sind es daher nur noch $4100\text{m}-3500\text{m}=600\text{m}$.
Gemeinsam fahren sie nun mit einer Geschwindigkeit von $21,6$ $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ $=6$ $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ weiter. Damit brauchen sie für die restlichen $600$m noch $600:6=100$s $=$ $1$ Minute und $40$ Sekunden.
Für den Weg haben sie also insgesamt $8$ Minuten und $20$ Sekunden $+$ $1$ Minute und $40$ Sekunden $=10$ Minuten gebraucht.
Lisa und Sina kommen daher um $14.40$Uhr am Internetcafe an.
2. 
a)  Das $x$ steht für die Anzahl der (telefonierten) Minuten und das $y$ für die Kosten in Euro.
HandyTEL
$y=0,11x+15$
Supermarkt-TALK
$y=0,09x+19,99$
LimYO-Tel
Dies ist der einzige Anbieter mit einem 6 monatigen Vertragsabschluss. Bei LimYO-Tel entfällt zwar die Einrichtungsgebühr, aber dafür gibt es eine Grundgebühr von $3$€ pro Monat. Für die nächsten 12 Monate sind dies insgesamt Fixkosten von $3\cdot12=36$€.
Damit ergibt sich für die Funktionsgleichung $y=0,08x+36$.
b)  Telefonminuten für $200$€ bei Supermarkt-Talk
Die $y$-Werte geben die Kosten in Euro an. Gefragt ist also nach der Anzahl der Minuten $x$, wenn $y=200$ ist.
Funktionsgleichung $y=0,09x+19,99$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 200&=&0,09x+19,99& \mid -19,99 \\[5pt] 180,1&=&0,09x& \mid:0,09 \\[5pt] x&=&2.001& \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 200&=&0,09x+19,99& \mid -19,99 \\[5pt] 180,1&=&0,09x& \mid:0,09 \\[5pt] x&=&2.001& \\[5pt] \end{array}$
Miriam könnte also für $200$€ bei Supermarkt-Talk $2.001$ Minuten telefonieren.
Telefonminuten für $200$€ bei LimYO-Tel
Funktionsgleichung $y=0,08x+36$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 200&=&0,08x+36& \mid -36 \\[5pt] 164&=&0,08x& \mid:0,08 \\[5pt] x&=&2.050& \\[5pt] \end{array}$
Miriam könnte also für $200$€ bei LimYO-Tel $2.050$ Minuten telefonieren. Das sind ungefähr 170 Minuten pro Monat.
c)  HandyTEL und MAXIphone
Funktionen: Vermischte Aufgaben
Funktionen: Vermischte Aufgaben
Im Schnittpunkt der beiden Funktionsgleichung $y=0,11x+15$ und $y=0,13x+13$ sind die Tarife von HandyTEL und MAXIphone gleich teuer.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 0,11x+15&=&0,13x+13& \mid -15 \\[5pt] 0,11x&=&0,13x-2& \mid -0,13x \\[5pt] -0,02x&=&-2& \mid : (-0,02) \\[5pt] x&=&100&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 0,11x+15&=&0,13x+13& \mid -15 \\[5pt] 0,11x&=&0,13x-2& \mid -0,13x \\[5pt] -0,02x&=&-2& \mid : (-0,02) \\[5pt] x&=&100&\\[5pt] \end{array}$
Bei 100 Minuten sind die beiden Tarife gleich teuer. Auf Miriam kommen dann Kosten in Höhe von $y=0,11\cdot100+15=26$€ zu.
Ab der 101. Minute ist der HandyTEL-Tarif günstiger. Bei ihm kostet jede weitere Minute nur 11 statt 13 Cent.
d)  Wenn Miriam pro Monat 50 Minuten telefoniert und 20 SMS schreibt, sind dies insgesamt $50\cdot12=600$ Minuten und $20\cdot12=140$ SMS im Jahr. Die Geraden lauten:
Berechnung der Kosten:
MAXIphone
Minuten: $y=0,13\cdot600+13=91$€
SMS: $140\cdot0,15=21$€
Gesamt: $91+21=112$€\; pro Jahr
HandyTEL
Minuten: $y=0,11\cdot600+15=81$€
SMS: $140\cdot0,20=28$€
Gesamt: $81+28=109$€pro Jahr
LimYO-Tel
Minuten: $y=0,08\cdot600+36=84$€
SMS: $140\cdot0,15=21$€
Gesamt: $84+21=105$€
Supermarkt-Talk
Minuten: $y=0,09\cdot600+19,99=73,99$€
SMS: $140\cdot0,20=28$€
Gesamt: $73,99+28=101,99$€
Somit ist der Supermarkt-Talk Tarif mit Abstand der Günstigste für Miriam.
3. 
a)   Wie viel mg pro Liter des Medikaments sind noch nach 7h im Blut?
Gefragt ist nach dem $y$-Wert (Konzentration des Medikaments in mg pro Liter) für $x=7$. Aus dem Schaubild liest man für $x=7$ ungefähr $y=2,7$ ab. Damit sind nach 7h noch $2,7$ mg pro Liter des Medikaments im Blut.
Wann ist die Konzentration des Medikaments am größten?
Die $y$-Werte geben die Konzentration des Medikaments im Blut wieder. Gefragt ist also nach dem größten $y$-Wert. Dieser ist bei $x=1$ mit $y=8$. Damit ist nach 1h genau $8$ mg pro Liter des Medikaments im Blut.
Medikament vollständig abgebaut?
Das Medikament ist vollständig abgebaut, wenn die Konzentration des Medikaments im Blut $=0$ ist. Gefragt ist also nach dem $x$-Wert für $y=0$. Aus dem Schaubild liest man, ab dass dies für $x=10$ ist. Nach 10h ist somit das Medikament im Körper nicht mehr vorhanden.
b)   Das Schaubild beschreibt die Konzentration des Medikaments in mg pro Liter in Abhängigkeit der Zeit $x$ in Stunden nach der Einnahme. Bei $x=0$ wird das Medikament eingenommen. Dann steigt es linear an (Wenn das Medikament durch den Mund eingenommen wurde, gelangt es z.B. zunächst in den Magen. Dort wird es "`verdaut"' und gelangt dann erst langsam in die Blutbahn).
Nach einer Stunde ist die Konzentration des Medikaments am größten. Dies bedeutet, dass das Medikament komplett vom Körper aufgenommen wurde und hier die Wirkung des Medikaments am stärksten ist. Ab diesem Zeitpunkt wird es wieder Stück für Stück abgebaut (die Konzentration sinkt). Dies beschreibt die fallende Gerade. Nach 10h ist die Konzentration $=0$. Das Medikament ist vom Körper komplett abgebaut und hat keine Wirkung mehr.
c)   Medikament im Blut nach 3h
Aus dem Schaubild liest man ab, dass nach $3$h die Konzentration des Medikament bei ungefähr $6,3$mg pro Liter liegt. Dies bedeutet, dass jeder Liter Blut $6,3$mg des Medikaments enthält. Insgesamt sind das dann $6,3\cdot4,5=28,53$mg des Medikaments im ganzen Körper (Blut).
Ab welchem Zeitpunkt ist noch weniger als $10$ Gramm des Medikaments im Körper?
Wenn Sarah insgesamt $4,5$Liter Blut im Körper hat und insgesamt nur noch $10$mg des Medikaments vorhanden sein soll, muss man die $10$g auf die $4,5$Liter "verteilen". Schaut man sich die Rechnung oben an, so kann man diese auf die jetzige Situation übertragen:
$\underbrace{6,3}_{x}\cdot4,5=\underbrace{28,53}_{10}$mg. Damit ergibt sich die Gleichung:
$x\cdot4,5=10$mg $\Longrightarrow\;x=\dfrac{10}{4,5}\approx2,22$
Dies bedeutet: bei einer Konzentration von $2,22\frac{\text{mg}}{\text{l}}$ sind insgesamt $10$mg des Medikaments in Sarahs Blut.
Schaut man sich das Schaubild an, so sieht man dass nach ungefähr $7,5$h die Konzentration $2,22\frac{\text{mg}}{\text{l}}$ beträgt.
Damit ist nach mehr als $7,5$h weniger als $10$mg des Medikaments im Blut.
4. 
a)   Auf welcher Höhe ist der Fahrstuhl ungefähr nach $12$ Sekunden?
An der Stelle $x=12$ liest man ungefähr den $y$-Wert $85$ ab. Dies bedeutet, dass der Fahrstuhl nach 12 Sekunden ungefähr 85m über dem Boden ist.
Nach wie vielen Sekunden erreicht der Fahrstuhl ungefähr die Aussichtsplattform?
Aus dem Anfangstext kann man entnehmen, dass die Aussichtsplattform in $y=182$m Höhe ist. Aus dem Schaubild liest man für diese $y$-Wert ungefähr $x=27$ ab.
Der Fahrstuhl braucht daher bis zur Aussichtsplattform ungefähr 27 Sekunden.
b)   Nach wie viel Sekunden hat der Fahrstuhl ungefähr eine Höhe von $100$m erreicht?
Aus dem Schaubild liest man für $y=100$ ungefähr $x=14$ ab. Der Fahrstuhl braucht daher ungefähr 14 Sekunden um auf eine Höhe von $100$m zu kommen.
Nach wie vielen Minuten hat er ungefähr ein Viertel der Strecke hinter sich gebracht?
Insgesamt legt der Fahrstuhl $182$m zurück (bis zur Aussichtsplattform). Ein Viertel der Strecke wäre dann $\frac{182\text{m}}{4}=45,5$m.
Aus dem Schaubild liest man ab, dass nach ungefähr $6$ Sekunden (genauer Wert: $6,5$) der Fahrstuhl eine Höhe von $45,5$m erreicht hat. In Minuten ausgedrückt sind $6$ Sekunden $0,1$ Minuten.
c)   Für die Geradengleichung macht man den Ansatz $y=mx$. Aus der Aussage „der Fahrstuhl ist nach $3$ Sekunden in $21$ Meter Höhe“ ergibt sich der Punkt $(3|21)$. Eingesetzt in $y=mx$ liefert das
$\begin{array}{rll} 2&=&m\cdot3&\quad\mid:3\\[5pt] m&=&7&\quad \end{array}$
Damit ergibt sich die Geradengleichung $y=7x$.
Was gibt die Steigung $m$ an?
Die Steigung $m=7$ gibt in diesem Fall die zurückgelegten Höhenmeter pro Sekunde an.
d)   Geradengleichung des neuen Fahrstuhls B
Für die Geradengleichung macht man den Ansatz $y=mx$. Aus der Aussage „der neue Fahrstuhl soll $50$m in $7$s schaffen“ ergibt sich der Punkt $(7|50)$. Eingesetzt in $y=mx$ liefert das
$\begin{array}{rll} 50&=&m\cdot6,5&\quad\mid:6,5\\[5pt] m&=&7,7&\quad \end{array}$
Damit ergibt sich die Geradengleichung $y=7,7x$.
Funktionen: Vermischte Aufgaben
Funktionen: Vermischte Aufgaben
Wie viele Sekunden ist Fahrstuhl $B$ schneller zur Aussichtsplattform?
Für Fahrstuhl $B$ gilt die Geradengleichung $y=7,7x$. Die Aussichtsplattform ist in $y=182$m Höhe. Damit ergibt sich
$\begin{array}{rll} 182&=&7,7x&\quad\mid:7,7\\[5pt] x&\approx&23,64&\quad \end{array}$
Damit ist Fahrstuhl $B$ um $27-23,64=3,36$ Sekunden schneller.
e)   Die Funktionsgleichung, welche die Abwärtsbewegung beschreibt ist $y=-7,7x+182$ (negatives Vorzeichen, da Abwärtsbewegung). Die Fahrstühle "treffen" sich im Schnittpunkt der Geraden $y=-7,7x+182$ und $y=7x$.
Bestimmung des Schnittpunkts
$\begin{array}{rll} -7,7x+182&=&7x&\quad\mid+7,7x\\[5pt] 182&=&15,4x&\quad\mid:15,4\\[5pt] x\approx&11,81\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} -7,7x+182&=&7x&\quad\mid+7,7x\\[5pt] 182&=&15,4x&\quad\mid:15,4\\[5pt] x\approx&11,81\\[5pt] \end{array}$
Die Fahrstühle treffen sich nach $11,81$ Sekunden.
Das entspricht einer Höhe von $y=7\cdot11,81=82,67$m.
5. 
a)   Aus dem Schaubild liest man für $x=50$, $y=750$ ab. Damit kosten 50 T-Shirts bei Händler $A$ $750$€.
Die Abschlussklassen werden sich für den günstigsten Anbieter in Ihrer Stückzahl entscheiden. Schaut man sich die Werte bei Onlineshop $A$ und $B$ für $x=125$ an, so ergibt sich für Onlineshop $A$ ca. $1.900$€ und bei Onlineshop $B$ ca. $1.800$€. Damit wird die Abschlussklasse bei Onlineshop $B$ bestellen.
b)   Aus dem Schaubild liest man für $y=500$ bei Onlineshop A ungefähr $x=32$ ab. Für $500$€ würde man also bei Onlineshop $A$ $\approx32$ T-Shirts bekommen.
Aus dem Schaubild liest man für $y=500$ bei Onlineshop B $x=20$ ab. Für $500$€ würde man also bei Onlineshop $B$ nur $20$ T-Shirts bekommen.
c)   Aufstellen der Geradengleichung für Onlineshop $A$
Die Gerade geht durch den Ursprung $\Longrightarrow\; y=mx$. Wir wissen, dass $(50|750)$ gilt (siehe Teilaufgabe a) ). Eingesetzt in $y=mx$ ergibt sich
$\begin{array}{rll} 750&=&m\cdot50&\quad\mid:50\\[5pt] m&=&15&\quad \end{array}$
$\begin{array}{rll} 750&=&m\cdot50&\quad\mid:50\\[5pt] m&=&15&\quad \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung für Onlineshop $A$: $y=15x$.
Aufstellen der Geradengleichung für Onlineshop $B$
Allgemeine Geradenform $\Longrightarrow\; y=mx+t$. Aus dem Schaubild liest man die Punkte $(0\;|\;250)$ und $(60\;|\;1.000)$. Eingesetzt in $y=mx+t$ ergibt sich
$\begin{array}{rll} 250&=&m\cdot0+t&\quad\Longrightarrow\;t=250\\[5pt] 1.000&=&m\cdot60+t&\quad\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} 250&=&m\cdot0+t&\\[5pt] \quad\Longrightarrow\;t&=&250\\[5pt] 1.000&=&m\cdot60+t&\quad\\[5pt] \end{array}$
$t=250$ eingesetzt in die untere Gleichung liefert
$\begin{array}{rll} 1.000&=&m\cdot60+250&\quad\mid-250\\[5pt] 750&=&m\cdot60&\quad\mid:60\\[5pt] m&=&12,5&\quad\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} 1000&=&m\cdot60+250&\quad\mid-250\\[5pt] 750&=&m\cdot60&\quad\mid:60\\[5pt] m&=&12,5&\quad\\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung für Onlineshop $B$: $y=12,5x+250$.
Beschreibung der Preise in Worten
Aus der Geradengleichung $y=15x$ des Onlineshop $A$ liest man ab, dass jedes T-Shirt unabhängig von der Stückzahl $15$€ kostet. \newline Aus der Geradengleichung $y=12,5x+250$ des Onlineshop $B$ liest man ab, dass jedes T-Shirt $12,50$€ kostet.
Das ist zwar günstiger als Onlineshop $A$, allerdings verlangt Onlineshop $B$ eine einmalige Pauschaulgebühr von $250$€, bevor er überhaupt nur ein T-Shirt bedruckt. Diese Pauschaulgebühr wird verlangt, um die Kosten für die Erstellung der Druckvorlage und die Ausrichtung der Maschinen zu bezahlen.Dies macht Onlineshop $B$ für kleinere Stückzahlen sehr teuer. Hier ist der Onlineshop $A$ wesentlich günstiger.
Bei welcher Stückzahl würdest du dich für welchen Händler entscheiden?
Bis einer Anzahl von $100$ T-Shirts (Schnittpunkt der Geraden) ist Onlineshop $A$ günstiger als Onlineshop $B$. Ab $100$ T-Shirts lohnt sich das Angebot von Onlineshop $B$. Würde man noch mehr als $125$ T-Shirts bestellen würde sich der Preisunterschied noch größer bemerkbar machen.
d)   Die ersten $50$ T-Shirts kosten insgesamt $y=20\cdot50=1.000$ Euro. Die Geradengleichung die dies beschreibt lautet $y=20x$.
Ab dem $51$. T-Shirt kostet jedes T-Shirt nur $10$€. Insgesamt benötigen die Abschlussklassen noch $125-50=75$ T-Shirts. Die restlichen T-Shirts kosten also noch $y=10\cdot75=750$ Euro. Die Geradengleichung, die dies beschreibt, lautet $y=10x$. Insgesamt verlangt der Onlineshop C also $900+825=1.725$€. Damit ist er günstiger als Onlineshop $A$ und $B$
Onlineshop $C$ im Schaubild veranschaulicht
Funktionen: Vermischte Aufgaben
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6. 
a)   Da Martin von 14.00-14.45Uhr surft, gilt für ihn der Tagestarif. Somit bezahlt er 3 Cent pro Minute und 50 Cent Grundgebühr. Für 45 Minuten surfen sind das:
$0,03$€$\cdot45+0,5$€$=1,85$€.
b)   Da Martin von 15.30Uhr-18Uhr surft, muss er eine halbe Stunde (bis 16 Uhr) den Tagestarif bezahlen. Ab 16 Uhr gilt der Abendtarif. Die Grundgebühr von 50 Cent wird nur einmal fällig.
30 Minuten Tagestarif (15.30-16Uhr):
$0,03$€$\cdot30=0,90$€.
120 Minuten Abendtarif (16Uhr-18Uhr):
$0,04$€$\cdot120=4,80$Euro.
Gesamtkosten mit Grundgebühr:
$0,90$€$+4,80$€$+0,5$€$=6,2$€
c)   Aufstellen einer Geraden, welche die Kosten pro Minute im Abendtarif beschreibt
Da die Kosten pro Minute um $0,04$ Euro steigen, ist $m=0,04$. Die Grundgebühr von $50$Cent $=$ $0,5$Euro ist der $y$-Achsenabschnitt $t$. Damit ergibt sich die Geradengleichung für die Kosten im Abendtarif mit $y=0,04x+0,5$.
Mögliche Surfzeit im Abendtarif für 10 Euro
Um die Anzahl der Minuten auszurechnen, für die man für 10 Euro surfen kann, benutzt man die Geradengleichung $y=0,04x+0,5$.
$x$ ist in diesem Fall die Anzahl der Minuten (diese sind gesucht), $y$ sind die Kosten die auf einen zukommen.
Da wir 10 Euro zur Verfügung haben ist $y=10$. In die Geradengleichung eingesetzt liefert das:
$\begin{array}{rll} 10&=&0,04x+0,5&\quad\mid -0,5\\[5pt] 9,5&=&0,04x&\quad\mid :0,04\\[5pt] x&=&237,5 \\[5pt] \end{array}$
Man kann also insgesamt für 10€ $237$ Minuten surfen. Dies sind fast $4$ Stunden.
7.  Geradengleichung bestimmen
Die gesuchte Geradengleichung stellst du auf, indem du die beiden Punkte in die Zwei-Punkt-Formel einsetzt und nach $y$ auflöst.
a)  Einsetzen der Punkte $A(1\mid -4)$ und $B(-2\mid 5)$ in die Zwei-Punkt-Formel.
$\begin{array}{rcll} \dfrac{y-y_1}{x-x_1}&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}& \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{y-5}{x-(-2)}&=&\dfrac{-4-5}{1-(-2)}& \scriptsize \mid \cdot (x+2)\\[5pt] y-5&=&\dfrac{-9}{3}\cdot(x+2)& \scriptsize \mid +5\\[5pt] y&=&-3\cdot(x+2)+5&\\[5pt] y&=&-3x-6+5&\\[5pt] y&=&-3x-1&\\[5pt] \end{array}$
$ y = -3x-1 $
Die Geradengleichung lautet also $y=-3x-1$.
b)  Einsetzen der Punkte $A(4\mid 0)$ und $B(-4\mid 2)$ in die Zwei-Punkt-Formel.
$\begin{array}{rcll} \dfrac{y-y_1}{x-x_1}&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}& \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{y-0}{x-4}&=&\dfrac{2-0}{-4-4}& \scriptsize \mid \cdot (x-4)\\[5pt] y&=&\dfrac{2}{-8}\cdot(x-4)& \scriptsize \\[5pt] y&=&-\dfrac{1}{4}\cdot(x-4)&\\[5pt] y&=&-\dfrac{1}{4}x+1&\\[5pt] \end{array}$
$ y = -\dfrac{1}{4}x+1 $
Die Geradengleichung lautet also $y=-\dfrac{1}{4}x+1$.
c)  Einsetzen der Punkte $A(1\mid 4)$ und $B(-2\mid -5)$ in die Zwei-Punkt-Formel.
$\begin{array}{rcll} \dfrac{y-y_1}{x-x_1}&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}& \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{y-(-5)}{x-(-2)}&=&\dfrac{4-(-5)}{1-(-2)}& \scriptsize \mid \cdot (x+2)\\[5pt] y+5&=&\dfrac{9}{3}\cdot(x+2)& \scriptsize \mid -5\\[5pt] y&=&3\cdot(x+2)-5&\\[5pt] y&=&3x+6-5&\\[5pt] y&=&3x+1&\\[5pt] \end{array}$
$ y = 3x+1 $
Die Geradengleichung lautet also $y=3x+1$.
d)  Einsetzen der Punkte $A(1\mid 0)$ und $B(-2\mid -1\,\frac{1}{2})$ in die Zwei-Punkt-Formel.
$\begin{array}{rcll} \dfrac{y-y_1}{x-x_1}&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}& \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{y-0}{x-1}&=&\dfrac{-1\,\frac{1}{2}-0}{-2-1}& \scriptsize \mid \cdot (x-1)\\[5pt] y&=&\dfrac{-1\,\frac{1}{2}}{-3}\cdot(x-1)&\\[5pt] y&=&\frac{-1}{-2}\cdot(x-1)&\\[5pt] y&=&\frac{1}{2}\cdot(x-1)&\\[5pt] y&=&\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}&\\[5pt] \end{array}$
$ y = \frac{1}{2}x-\frac{1}{2} $
Die Geradengleichung lautet also $y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$.
8. 
a)  Graph zeichnen
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b)  Funktionsgleichung bestimmen
Aus dem Graphen liest man den $y$-Achsenabschnitt $t=-4$ ab.
Daraus folgt $y=mx-4$. Um $m$ zu bestimmen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Entweder berechnest du $m$ durch Einsetzen einer der Punkte in die Geradengleichung oder du zeichnest ein Steigungsdreieck in das Koordinatensystem (siehe oben) ein und liest die Steigung ab.
Einsetzen des Punktes $(2|-3)$ in $y=mx-4$
Einsetzen des Punktes $(2|-3)$ in
$y=mx-4$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} -3&=&m\cdot2-4& \mid\;+4 \\[5pt] 1&=&2m& \mid\;:2 \\[5pt] m&=&\dfrac{1}{2}&\\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich die Geradengleichung $y=\dfrac{1}{2}x-4$.
9.  Wertetabelle für die „Pralinen “-Funktionsgleichung
$\begin{array}[t]{r|l|l|l|l|lll} \text{$x$ in g}\;&\;250\;&\;500\;&\;750\;&\;1000\;\\[5pt] \hline \text{$y$ in Euro}\;&\;3,30\;&\;6,60\;&\;9,90\;&\;13,2\; \end{array}$
$x$ in g $y$ in Euro
250 3,30
500 6,60
750 9,90
1000 13,20
Einzeichnen der "Pralinen"- Funktionsgleichung
Funktionen: Vermischte Aufgaben
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Aufstellen der "Pralinen"- Funktionsgleichung
Die Funktion hat die Form $y=mx$. Aus dem Graphen liest man z.B. den Punkt $(250\mid 3,30)$ ab ($250$g Pralinen kosten $3,30$€)
Eingesetzt in $y=mx$ ergibt dies
$\begin{array}{rll} y&=&mx&\quad\\[5pt] 3,30&=&m\cdot250&\quad\mid:250\\[5pt] \dfrac{3,30}{250}&=&m\\[5pt] m&=&0,0132\\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich die "Pralinen"-Funktionsgleichung mit $y=0,0132x$.
Was kosten $300$g Pralinen?
Mithilfe der Funktionsgleichung $y=0,0132x$ kann man $x=300$ einsetzen, um die Kosten zu berechnen.
$y=0,0132\cdot300=3,96$€. Damit kosten $300g$ Pralinen $3,96$€.
Welche Information enthält der Faktor $m$?
In diesem Fall gibt die Steigung $m$ die steigenden Kosten pro Gramm Pralinen wieder. $m=0,0132$ bedeutet, dass ein Gramm Pralinen $1,32$ Cent kostet. Je Gramm Pralinen steigen die Kosten um diesen Betrag.
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