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Wachstum

Spickzettel
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Wächst (oder fällt) eine Größe nach einer Zeit $n$ mit prozentualem Zuwachs $p$ (z.B. der Kontostand mit einem jährlichem Zinssatz), so spricht man von exponentiellem Wachstum. Die allgemeine Form für exponentielles Wachstum lautet:
© SchulLV 2015
$H_n=H_0 \cdot \left( 1+\dfrac{p}{100}\right) ^n$
© SchulLV 2015 Die Parameter haben folgende Bedeutung:
  • $H_n:$ Wert nach $n$ Zeiteinheiten
  • $H_0:$ Anfangswert
  • $p:$ prozentualer Zuwachs (oder Zerfall, d.h. $p <; 0$)
  • $n:$ Zeiteinheit

Beispiel

© SchulLV 2015 Lege ich 10.000 € bei einem (jährlichen) Zinssatz von 2% an, wie viel Geld habe ich nach 3 Jahren?
© SchulLV 2015 Die Parameter haben hier nun folgende Bedeutung:
  • $H_n:$ Kontostand nach $n$ Jahren in €
  • $H_0=10.000:$ Anlagewert in €
  • $p=2:$ jährlicher Zinssatz in %
  • $n=3:$ Zeit in Jahren
© SchulLV 2015 $\Longrightarrow H_3=H_0 \cdot \left( 1+\dfrac{p}{100}\right) ^3= 10.000 \cdot \left(1+ \dfrac{2}{100}\right)^3=10.612,08$
© SchulLV 2015 Also hast du nach 3 Jahren 10.612,08 €.
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Aufgaben
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1.  Das Seerosenwachstum an der Oberfläche eines Sees (Fläche in $\text{m}^2$ wird näherungsweise durch die Funktion $H_n=10\cdot \left( 1+\frac{5}{100}\right)^n$ ($n$ in Wochen) beschrieben.
a)  Um wie viel Prozent nimmt die Fläche pro Woche zu?
b)  Zu welchem Zeitpunkt ist die bedeckte Fläche 20$\text{m}^2$ groß?
c)  Wie groß ist die von Seerosen bedeckte Fläche zu Beginn der Messung und wie groß ist diese nach zehn Wochen?
d)  Diese Funktion gilt nur für einen gewissen Zeitraum. Warum?
2.  Heutzutage bekommt man für ein Girokonto bei einer Bank etwa $2,2$% Zinsen. Früher war dieser Zinssatz höher angesetzt, oftmals bei $4$%.
a)  Angenommen, du legst heute $1.000$€ zum Zinssatz von $2,2$% an. Wie viel Geld steht uns nach fünf Jahren zur Verfügung?
b)  Wie viel Geld wäre es, wenn der Zinssatz bei $4$% liegen würde?
c)  Meinst du, dass ein Millionär mit einem gesparten Vermögen von $2.500.000$€ von seinen Zinsen leben könnte, wenn er bei seiner Bank einen Zinssatz von 2,2% bekommt?
3.  Handyfieber: In Deutschland gibt es mittlerweile mehr Handys als Einwohner. $1992$ waren es etwa eine Million Handys, $2008$ lag die Zahl bei über $80$ Millionen. Pro Jahr hat sich die Anzahl der Handys um 32% vergrößert.
a)  Wie viele Handys gab es etwa dann zum Jahrtausendwechsel?
b)  Warum lässt sich die Handyentwicklung in Deutschland auf Dauer nicht mit exponentiellem Wachstum beschreiben.
4.  Gegeben ist die Funktion $H_n=H_0\cdot \left( 1+\frac{p}{100}\right) ^n$. Sind die folgenden Aussagen richtig? Gib eine kurze Begründung an.
a)  Wenn $p>0$, dann handelt es sich um exponentielle Zunahme eines Bestandes.
b)  Diese Funktion schneidet die $y$-Achse an der Stelle $H_0$.
5.  Die Funktion $H_n=H_0\cdot \left( 1+\frac{p}{100} \right) ^n$ beschreibt den Bestand von Viren im Körper zu jedem Zeitpunkt $n$. Die Viren vermehren sich pro Tag um $20$%. Zu Beginn sind es $100$ Viren.
a)  Wie groß sind die Werte für $H_0$ und $p$!
b)  Wie viele Viren sind nach $10$ Tagen im Körper vorhanden?
c)  Zu welchem Zeitpunkt sind es $1000$ Viren?
6.  Laut dem Thüringer Landesamt für Statistik gab es im Jahr 2002 2.534.849 Apfelbäume in Thüringen. 2007 gab es in Thüringen lediglich noch 2.370.516 Apfelbäume. Diese Entwicklung entspricht einem jährlichen Rückgang der Apfelbäume von 1,33% pro Jahr. Man geht davon aus, dass diese Entwicklung der Apfelbäume weiterhin genau so verläuft.
a)  Wie viele Apfeläume gibt es heute (2010) noch in Thüringen?
b)  Wann wird es in Thüringen nur noch halb so viele Apfelbäume wie 2002 geben?
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Lösungen
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1.
a)  Prozentsatz
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du die allgemeine Form für exponentielles Wachstum kennen und die Auswirkung der einzelnen Parametern.
Die allgemeine Form lautet:
$H_n=H_0 \left( 1+\frac{p}{100}\right) ^n$
Die Parameter haben folgende Auswirkung:
  • $H_n:$ Bedeckte Oberfläche in $\text{m}^2$ nach n Wochen
  • $H_0:$ Bedeckte Oberfläche in $\text{m}^2$ zu Beginn der Messung
  • $p:$ prozentualer Zuwachs
  • $n:$ Zeit in Wochen
Der Prozentuale Zuwachs pro Woche wird also durch den Parameter $p$ angegeben. Du erhältst also einen Flächenzuwachs von 5% pro Woche.
b)  Zeitpunkt $n$ berechnen
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ die bedeckte Fläche an. Du sollst also den Zeitpunkt $n$ berechnen, zu dem eine Fläche von 20$\text{m}^2$ bedeckt ist. Um den Zeitpunkt $n$ berechnen zu können, musst du die Funktionsgleichung $H_n$ gleich 20 setzen und die Gleichung nach dem Parameter $n$ umstellen.
$\begin{array}{l} H_N=&20&\scriptsize \\[5pt] 10\cdot \left( 1+\frac{5}{100}\right) ^n=&20&\scriptsize \mid\;:10 \\[5pt] \left( 1+\frac{5}{100}\right) ^n=&2&\scriptsize \mid\;\lg \\[5pt] \lg\left( 1+\frac{5}{100}\right) ^n=&\lg2&\scriptsize\text {Logarithmusgesetz} \\[5pt] n\cdot \lg\left( 1+\frac{5}{100}\right)=&\lg2&\scriptsize \mid\;:\lg\left( 1+\frac{5}{100}\right) \\[5pt] n=&\dfrac{\lg2}{\lg\left( 1+\frac{5}{100}\right)}&\scriptsize \\[5pt] n=&\frac{\lg2}{\lg1,05}&\scriptsize \\[5pt] n\approx&14,2&\scriptsize \end{array}$
Nach 14, 2 Wochen sind 20$\text{m}^2$ des Sees mit Seerosen bedeckt.
c)  Bedeckte Fläche zu Beginn der Messung berechnen
$\blacktriangleright\blacktriangleright$  Lösungsweg über die Kenntnis der Parameter
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du die allgemeine Form für exponentielles Wachstum kennen und die Auswirkung der einzelnen Parametern (siehe Lösung Teilaufgabe a)).
Die bedeckte Oberfläche in $\text{m}^2$ zu Beginn der Messung wird also durch den Parameter $H_0$ angegeben. Du erhältst also eine bedeckte Fläche zu Beginn der Messung von 10$\text{m}^2$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg über Einsetzen von $n=0$
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ die bedeckte Fläche an. Da du die bedeckte Fläche zu Beginn der Messung berechnen sollst, musst du $n=0$ wählen und $H_0$ berechnen.
$\begin{array}{l} H_0=&10\cdot \left( 1+\frac{5}{100}\right) ^0& \\[2pt] H_0=&10\cdot 1& \\[2pt] H_0=&10& \end{array}$
Du erhältst also einen bedeckte Fläche zu Beginn der Messung ($n=0$) von 10$\text{m}^2$.
Bedeckte Fläche nach 10 Wochen berechnen
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ die bedeckte Fläche an. Da du die bedeckte Fläche nach 10 Wochen berechnen sollst, musst du $n=10$ wählen und $H_{10}$ berechnen.
$\begin{array}{rll} H_{10}=&10\cdot \left( 1+\frac{5}{100}\right) ^{10}& \\[2pt] H_{10}\approx&10\cdot 1,63& \\[2pt] H_{10}\approx&16,3& \end{array}$
Du erhältst also nach 10 Wochen ($n=10$) ungefähr eine bedeckte Fläche von 16$\text{m}^2$.
d)  Diese Funktion gilt nur für einen gewissen Zeitraum, denn die Seerosen können sich nur solange ausbreiten, bis die gesamte Fläche des Teiches vollständig bedeckt ist. Sobald die gesamte Fläche des Teiches bedeckt ist, stoppt das Wachstum der Seerosen
2.
a)  Kontostand nach 5 Jahren berechnen (2,2%)
Es handelt sich um exponentielles Wachstum, also gilt die Funktion:
$H_n=H_0\cdot \left( 1+\frac{p}{100}\right) ^n$
Durch Einsetzen der Parameter erhältst du die Funktion:
$H_n=1.000\cdot \left( 1+\frac{2,2}{100}\right) ^n$
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ den aktuellen Kontostand an. Da du den Kontostand nach 5 Jahren berechnen sollst, musst du $n=5$ wählen und $H_5$ berechnen.
$\begin{array}{rll} H_5=&1.000\cdot \left( 1+\frac{2,2}{100}\right) ^5&\scriptsize \\[5pt] H_5\approx&1.000\cdot 1,11495&\scriptsize \\[5pt] H_5\approx&1.114,95&\scriptsize \end{array}$
Bei einem Zinssatz von 2,2% hättest du nach 5 Jahren einen Betrag von 1.114,95€ auf dem Konto.
b)  Kontostand nach 5 Jahren berechnen (4%)
Es handelt sich um exponentielles Wachstum, also gilt die Funktion:
$H_n=H_0\cdot \left( 1+\frac{p}{100}\right) ^n$
Durch Einsetzen der Parameter erhältst du die Funktion:
$H_n=1.000\cdot \left( 1+\frac{4}{100}\right) ^n$
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ den aktuellen Kontostand an. Da du den Kontostand nach 5 Jahren berechnen sollst, musst du $n=5$ wählen und $H_5$ berechnen.
$\begin{array}{rll} H_5=&1.000\cdot \left( 1+\frac{4}{100}\right) ^5&\scriptsize\ \\[5pt] H_5\approx&1.000\cdot 1,21665&\scriptsize \\[5pt] H_5\approx&1.216,65&\scriptsize \end{array}$
Bei einem Zinssatz von 4\% hättest du nach 5 Jahren einen Betrag von 1.216,65€ auf dem Konto.
c)  Zinsen eines Millionärs berechnen
Es handelt sich um exponentielles Wachstum, also gilt die Funktion.
$H_n=H_0\cdot \left( 1+\frac{p}{100}\right) ^n$
Durch Einsetzen der Parameter erhältst du die Funktion:
$H_n=2.500.000\cdot \left( 1+\frac{2,2}{100}\right) ^n$
Um diese Frage beantworten zu können, berechnest du am besten zuerst den Kontostand des Millionärs nach einem Jahr. Anschließend berechnest du den Betrag, den der Millionär jährlich durch Zinsen zur Verfügung hat.
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ den aktuellen Kontostand an. Da du den Kontostand nach 1 Jahren berechnen sollst musst du $n=1$ wählen und $H_1$ berechnen.
$\begin{array}{rll} H_1=&2.500.000\cdot \left( 1+\frac{2,2}{100}\right) ^1&\scriptsize \\[5pt] H_1=&2.500.000\cdot \left( 1+\frac{2,2}{100}\right)&\scriptsize \\[5pt] H_1=&2.500.000\cdot 1,022&\scriptsize \\[5pt] H_1=&2.555.000&\scriptsize \end{array}$
Bei einem Zinssatz von 2,2% hätte der Millionär nach einem Jahr einen Betrag von 2.555.000€ auf dem Konto. Das würde bedeuten, dass der Millionär 55.000€ pro Jahr zur Verfügung hätte. Dieser Betrag würde einem Monatsgehalt von 4.583,33 € entsprechen. Ein „Normalbürger“ könnte davon gut leben, ein Millionär theoretisch auch. Aber so pauschal lässt sich diese Frage natürlich nicht beantworten.
3.
a)  Anzahl der Handys zum Jahrhtausendwechsel berechnen
Es handelt sich um exponentielles Wachstum, also gilt die Funktion:
$H_n=H_0\cdot \left( 1+\frac{p}{100}\right) ^n$
Durch Einsetzen der Parameter erhältst du die Funktion:
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ die aktuellen Anzahl der Handys in Deutschland an. Da du die Anzahl der Handys in Deutschland zum Jahrtausendwechsel berechnen sollst, musst du $n=8$ wählen, da zwischen 1992 und 2000 genau 8 Jahre liegen. Anschließend musst du $H_8$ berechnen.
$\begin{array}{rll} H_8=&1.000.000\cdot \left( 1+\frac{32}{100}\right) ^8&\scriptsize \\[5pt] H_8\approx&1.000.000\cdot 9,22&\scriptsize \\[5pt] H_8\approx&9220000&\scriptsize \end{array}$
Zum Jahrhtausendwechsel gab es in Deutschland in etwa 9,22 Millionen Handys.
b)  Handyentwicklung in Deutschland berechnen
Die Handyentwicklung in Deutschland lässt sich auf Dauer nicht mit einer exponentiellem Wachstum beschreiben, denn der Bedarf an Handys in Deutschland ist mittlerweile gedeckt, da nahezu jeder Einwohner in Deutschland ein Handy besitzt. Die Kapazität ist also irgendwann erschöpft.
4.
a)  Aussage prüfen
Diese Aussage ist richtig. Denn für p $>$ 0 gilt $\left( 1+\frac{p}{100}\right)$ $>$ 1. Solange der Bruch $\left( 1+\frac{p}{100}\right)$ $>$ 1 ist, handelt es sich um exponentielles Wachstum.
b)  Aussage prüfen
Auch diese Aussage ist richtig, da $H_0$ der Anfangsbestand (zum Zeitpunkt $n=0$) ist und somit auf der y-Achse liegt.
5.
a)  Parameter $H_0$ und $p$ bestimmen
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du die allgemeine Form für exponentielles Wachstum kennen und die Auswirkung der einzelnen Parametern.
Die allgemeine Form lautet:
$H_n=H_0\cdot \left( 1+\frac{p}{100}\right) ^n$
Die Parameter haben folgende Auswirkung:
  • $H_n:$ Bestand von Viren nach n Tagen
  • $H_0:$ Bestand von Viren zu Beginn der Messung
  • $p:$ prozentualer Zuwachs
  • $n:$ Zeit in Tagen
Der Bestand von Viren zu Beginn der Messung wird durch den Parameter $H_0$ angegeben. Du erhältst also einen Bestand von 100 Viren zu Beginn der Messung ($H_0=100$).
Der Prozentuale Zuwachs pro Tag wird durch den Parameter $p$ angegeben. Du erhältst also einen prozentualen Zuwachs von 20\% pro Tag ($p=20$).
b)  Viren nach 10 Tagen berechnen
Es handelt sich um exponentielles Wachstum, also gilt die Funktion:
$H_n=H_0\cdot \left( 1+\frac{p}{100}\right) ^n$
Durch Einsetzen der Parameter erhältst du die Funktion:
$H_n=100\cdot \left( 1+\frac{20}{100}\right) ^n$
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ den Bestand der Viren nach n Tagen an. Da du den Bestand der Viren nach 10 Tagen berechnen sollst, musst du $n=10$ wählen und $H_{10}$ berechnen.
$\begin{array}{l} H_{10}=100\cdot \left( 1+\frac{20}{100}\right) ^{10}\scriptsize \\[2pt] H_{10}\approx100\cdot 6,19\scriptsize \\[2pt] H_{10}\approx619\scriptsize \end{array}$
Nach 10 Tagen befinden sich in etwa 619 Viren im Körper.
c)  Zeitpunkt $n$ berechnen
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ den Bestand der Viren nach n Tagen an. Du sollst also den Zeitpunkt $n$ berechnen, zu dem sich 1.000 Viren im Körper befinden. Um den Zeitpunkt $n$ berechnen zu können, musst du die Funktionsgleichung $H_n$ gleich 1.000 setzen und die Gleichung nach dem Parameter $n$ umstellen.
$\begin{array}{rll} H_n=&1.000&\scriptsize \\[5pt] 100\cdot \left( 1+\frac{20}{100}\right) ^n=&1.000&\scriptsize \mid\; :100 \\[5pt] \left( 1+\frac{20}{100}\right) ^n=&10&\scriptsize \mid\; \lg \\[5pt] \lg\left( 1+\frac{20}{100}\right) ^n=&\lg 10&\scriptsize \text {Logarithmusgesetz} \\[5pt] n\cdot\lg\left( 1+\frac{20}{100}\right)=&\lg 10&\scriptsize \\[5pt] n\cdot\lg1,2=&\lg 10&\scriptsize \mid\; :\lg1,2 \\[5pt] n=&\frac{\lg 10}{\lg 1,2}&\scriptsize \\[5pt] n\approx&12,6&\scriptsize \end{array}$
Nach etwa 12,6 Tage befinden sich 1.000 Viren im Körper.
6.
a)  Heutigen Baumbestand berechnen
Es handelt sich um exponentielles Wachstum, also gilt die Funktion:
$H_n=H_0\cdot \left( 1+\frac{p}{100}\right) ^n$
Da es sich in diesem Fall um eine Abnahme (und nicht um eine Zunahme) des Bestandes handelt, musst du den Parameter $p=-1,33$ setzen.
Durch Einsetzen der Parameter erhältst du die Funktion:
$H_n=2.534.849\cdot \left( 1+\frac{(-1,33)}{100}\right) ^n$
$H_n=2.534.849\cdot \left( 1-\frac{1,33}{100}\right) ^n$
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ den aktuellen Apfelbaumbestand in Thüringen an. Da du die Anzahl der Äpfelbäume in Thüringen im Jahre 2010 berechnen sollst, musst du $n=8$ wählen, da zwischen 2002 und 2010 genau 8 Jahre liegen. Anschließend musst du $H_8$ berechnen.
$\begin{array}{rll} 0H_8=0&02.534.849\cdot \left( 1-\frac{1,33}{100}\right) ^80&\scriptsize \\[5pt] 0H_8\approx 0&02.534.849\cdot 0,90&\scriptsize \\[5pt] 0H_8\approx 0&02.281.3640&\scriptsize \end{array}$
Heute (2010) gibt es noch über 2.281.364 Apfelbäume in Thüringen.
b)  Zeitpunkt $n$ berechnen
Die Funktion $H_n$ gibt zu jedem Zeitpunkt $n$ den aktuellen Bestand von Apfelbäume in Thüringen nach $n$ Jahren an. Du sollst also den Zeitpunkt n berechnen, zu dem es in Thüringen nur noch halb so viele Apfelbäume wie 2002 gibt. Um den Zeitpunkt $n$ berechnen zu können, musst du die Funktionsgleichung $H_n$ gleich $\frac{ 2.534.849}{2}$ setzen und die Gleichung nach dem gesuchten Parameter $n$ umstellen.
$\begin{array}{rll} H_n=&2.534.849\cdot \left( 1-\frac{1,33}{100}\right) ^n&\scriptsize \\[5pt] \frac{ 2.534.849}{2}=&2.534.849\cdot \left( 1-\frac{1,33}{100}\right) ^n&\scriptsize \mid\; :2.534.849 \\[5pt] \frac{ 2.534.849}{2}: 2.534.849=&\left( 1-\frac{1,33}{100}\right) ^n&\scriptsize \\[5pt] \frac{ 2.534.849}{2}\cdot \frac{1}{2.534.849}=&\left( 1-\frac{1,33}{100}\right) ^n&\scriptsize \\[5pt] \frac{ 1}{2}=&\left( 1-\frac{1,33}{100}\right) ^n&\scriptsize \mid\; lg \\[5pt] \lg{\frac{ 1}{2}}=&\lg\left( 1-\frac{1,33}{100}\right) ^n&\scriptsize\text {Logarithmusgesetz} \\[5pt] \lg{\frac{ 1}{2}}=&n\cdot \lg\left( 1-\frac{1,33}{100}\right) &\scriptsize \mid\; :\lg\left( 1-\frac{1,33}{100}\right) \\[5pt] \lg{\frac{ 1}{2}}:\lg\left( 1-\frac{1,33}{100}\right)=&n&\scriptsize \\[5pt] n\approx =&52&\scriptsize \end{array}$
In ca. 52 Jahren (also im Jahre 2054) wird es in Thüringen nur noch halb so viele Apfelbäume wie 2002 geben.
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